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2022-2023 学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 15 反比例函数的应用
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021九上·鄂城期末）已知反比例函数的图象经过点 ，则这个反比例函数的解析式
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：设这个反比例函数的解析式为 ，
由题意，将点 代入 得： ，
则这个反比例函数的解析式为 .
故答案为：D.
【思路引导】设反比例函数的解析式为y= ，将（-2，3）代入求出k的值，进而可得反比例函数的解析
式.
2．（2分）（2021九上·永定期末）如图，直线y=x+2与反比例函 的图象在第一象限交于点P.若
，则k的值为（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【完整解答】解：由题意设
整理得：
在第一象限，则
故答案为：B.
【思路引导】根据直线上的点的坐标特点设 P（x，x+2），由坐标平面内两点间的距离公式求出OP2，结
合OP的长可列出方程，解之可求出点P坐标，再将点P坐标代入反比例函数解析式中求出k值即可.
3．（2分）（2021九上·无棣期末）如图，直线 与x轴交于点B，双曲线 （x＞0）交于点
A，过点B作x轴的垂线，与双曲线 交于点C，且AB=AC，则k的值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【完整解答】直线 与x轴交于点B，所以：B（2，0），
由于AB=AC，BC垂直于x轴，则点A在BC的垂直平分线上，所以： C（2， ），A（4， ），
将A点代入直线y=x﹣1得：k=4．
故答案为：C．
【思路引导】先利用一次函数的解析式求出点B的坐标，再利用AB=AC，证明点A在BC的垂直平分线
上，即可得到C（2， ），A（4， ），再将点A的坐标代入一次函数解析式即可得到k的值。
4．（2分）（2021九上·讷河期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与
x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线 （k≠0）上，则k的值
为（ ）A．4 B．﹣2 C． D．
【答案】D
【完整解答】解：根据翻折图形可得：AC=AO=2，∠CAO=60°，
过点C作 x轴于
点C的坐标为 ，
则k的值为 .
故答案为：D
【思路引导】根据翻折图形可得：AC=AO=2，∠CAO=60°，过点C作 x轴于 根据直角三角形的
性质以及勾股定理得出C的坐标，最后根据反比例函数解析式解答即可。
5．（2分）（2021九上·南海期末）已知反比例函数 经过点A 、B ，则m的值为（
）A．-6 B． C． D．6
【答案】A
【完整解答】解： 反比例函数 经过点 ，
，
，
将点 代入反比例函数解析式得：
，
故答案为：A．
【思路引导】将点A坐标代入反比例函数求出k的值，再将点B的坐标代入计算即可。
6．（2分）（2021九上·绵阳月考）如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于
A，B两点，若反比例函数 （x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．2≤k≤8 B．2≤k≤9 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8
【答案】B
【完整解答】解：∵点C（1，2），BC∥y轴，AC∥x轴，
∴当x=1时，y=−1+6=5，
当y=2时，−x+6=2，解得x=4，
∴点A. B的坐标分别为A（4，2），B（1，5），
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数过点C时，k=1×2=2最小，
设反比例函数与线段AB相交于点（x，−x+6）时k值最大，则k=x（−x+6）=−x²+6x=−（x−3） ²+9，
∵1 x 4，
∴当⩽x=⩽3时，k值最大，
此时交点坐标为（3，3），
因此，k的取值范围是2 k 9.
故答案为：B. ⩽ ⩽
【思路引导】先求出点A、B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，当反比例函数图象与
△ABC相交于点C时k的取值最小，当与线段AB相交时，k能取到最大值，根据直线y＝−x＋6，设交点
为（x，−x＋6）时k值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．
7．（2分）（2021九上·大渡口期末）如图，过原点的直线与反比例函数 的图象交于 、
两点，点 在第一象限，点 在 轴正半轴上，连接 交反比例函数图象于点 ，
为 的平分线，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，若 ，
的面积为8，则 的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【完整解答】解：如图：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴于点F，过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作
DG⊥AF于点G，∵过原点的直线与反比例函数y= （k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE=OA，
∴∠OAE=∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠OAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠AEO，
∴AD//OE，
∴S =S ，
ACE AOC
△ △
∵AD=2DC
∴AC=3DC，
∵△ADE的面积为8，
∴S =S =12，
ACE AOC
△ △
设点A（m， ），
∵AC=3DC，DH//AF，
∴3DH=AF，∴D（3m， ），
∵CH//GD，AG//DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S = S ，
HDC ADG
△ △
∵S =S +S +S
AOC AOF 梯形AFHD HDC
△ △ △
=
=
= ，
∴2k=12，
∴k=6.
故答案为：B.
【思路引导】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，由于AB经过
原点，则A与B关于原点对称，由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，得AD//OE，继而得S =S ，
ACE AOC
△ △
设A（m， ），由AC=3DC，DH//AF，得3DH=AF，则D（3m， ），证△DHC∽△AGD，可
得S = S ，根据S =S +S +S 即可求解.
HDC ADG AOC AOF 梯形AFHD HDC
△ △ △ △ △
8．（2分）（2020九上·青山期末）如图，直线 与双曲线 交于， ，直线AB交x轴于 ，下列命题：① ；②当
时， ；③若 为线段AB的中点，则 ，其中正确的命题有
（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【完整解答】解：∵点A（x，y），B（x，y）在双曲线 上，
1 1 2 2
∴xy=xy=m2+1，
1 1 2 2
∴ ，①符合题意；
∵当x＜x＜x 时，直线y=kx+b在双曲线 上方，
1 2
∴当 时， ，②符合题意；
∵M（t，s）为线段AB的中点，
∴ ，当 时，
即 ，
此时， ，
∴ ，
把C（x，0）代入y=kx+b得kx+b=0，
0 0
解得 ，
∴x+x=x，
1 2 0
∴ ，所以③符合题意．
故答案为：D．
【思路引导】根据反比例函数上的点横纵坐标之积相等，可得xy=xy，整理即可判断①；
1 1 2 2
结合函数图象一次函数在反比例函数上的的部分可对②进行判断；
根据线段的中点公式可得 ，联立反比例函数和一次函数整理后得一元二次方程
，根据根与系数关系可得 ，由此可得 ，由一次函数与x
轴的交点可得 ，由此可判断③．
9．（2分）（2022·镇海区模拟）如图，反比例函数图象 的表达式为 （ ），图象 与图象关于直线 对称，直线 与 交于 ， 两点，当 为 中点时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：由对称性可得函数l 的解析式为： ，
2
令 ，整理得，kx−2kx＋k＝0，
2 2 2 1
设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，
则m和n是kx−2kx＋k＝0的两根，
2 2 2 1
由根与系数的关系可得出m＋n＝2①，mn＝ ，
∵点A是OB的中点，
∴2m＝n②，
由①②可知，m＝ ，n＝ ，
∴mn＝ ，故A正确.故答案为：A.
【思路引导】由对称性可得函数l 的解析式为 ，联立 可得方程kx−2kx＋k＝0，设点
2 2 2 2 1
A的横坐标为m，点B的横坐标为n，则m和n是kx−2kx＋k＝0的两根，由根与系数的关系可得出m＋
2 2 2 1
n＝2①，mn＝ ，由点A是OB的中点可得2m＝n②，联立①②可求出m、n的值，从而求出结论.
10．（2分）（2021·朝阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 的顶点A、
B、C的坐标分别为（3，0）、（0，1）、（3，3）．点P在折线 上，连结 ，交函数
的图象于点Q．若 ，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：①当点P在线段OB上时，过C作CH⊥ 轴于H，过Q作QN∥ 轴交CH于N，
交CB于M，∵QN∥PH，CQ=2PQ，
∴ ， ，
∵C （3，3），
∴ ，
∴ ，则 ，
设直线CB的解析式为： ，
∵B （0，1）、C （3，3），
∴ ，解得： ，
∴直线CB的解析式为： ，
当 时， ，
∴M （1， ），Q （1， ），
∴MQ= ，
∵BP= ，
∵ ，∴ ，
解得： ；
②当点P在线段OA上时，过Q作QE⊥ 于E，
∵A （3，0）、C （3，3），
∴ ⊥ 轴， ，
∴QE∥PA，CQ=2PQ，
CQE CPA，
△ △
∴ ，
∴CE=2，PA= QE，
∴AE=1，E （3，1），
QE= ，
PA= （ ），
∵ ，
∴ ，
解得： ；综上，k的取值范围是： ；
故答案为：A．
【思路引导】分①当点P在线段OB上时，②当点P在线段OA上时连着情况讨论，利用相似三角形判定
和性质求解即可。
二．填空题（共10小题，满分22分）
11．（2分）（2022·东营）如图， 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例
函数 的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为 ．
【答案】
【完整解答】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，则∠ACO=∠ODB=90°，
由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，
∴点A的坐标为（-b，a），
∵点B在反比例函数 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴经过点A的反比例函数表达式为 ，
故答案为： ．
【思路引导】过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，先利用“AAS”证明△ACO≌△ODB可得
AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，点A的坐标为（-b，a），将点A的坐标代入解析式可得 ，即可得到解析式。
12．（2分）（2022·梧州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数
的图象交于点 .当 时，x的取值范围是 .
【答案】-2＜x＜0或x＞4
【完整解答】解：∵反比例函数 的图象经过A（-2，2），
∴m=-2×2=-4，
∴ ，
又反比例函数 的图象经过B（n，-1），
∴n=4，
∴B（4，-1），
观察图象可知：当 时，图中一次函数的函数值小于反比例函数的函数值，则x的取值范围为：-2
＜x＜0或x＞4.
故答案为：-2＜x＜0或x＞4.
【思路引导】将A（-2，2）代入y= 中求出m的值，可得反比例函数的解析式，将y=-1代入求出n的
2
值，可得点B的坐标，然后根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即
可.13．（2分）（2022·黔东南）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的斜边 轴于点
，直角顶点 在 轴上，双曲线 经过 边的中点 ，若 ，则 .
【答案】
【完整解答】∵ 是等腰直角三角形， 轴.
∴ ； .
∴ 是等腰直角三角形.
∴ .
故： ， .
.
将D点坐标代入反比例函数解析式.
.故答案为： .
【思路引导】利用等腰直角三角形的性质及解直角三角形可求出AB的长，同时可求出BO和AO的长，可
得到点A，C，D的坐标；然后将点D的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值.
14．（2分）（2022·威海）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），
点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点C，则k的值为 ．
【答案】24
【完整解答】解：如图所示，过点C作CE⊥y轴，
∵点B（0，4），A（2，0），
∴OB=4，OA=2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBA=90°，AB=BC，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
∵∠CEB=∠BOA=90°，
∴ ，∴OA=BE=2，OB=CE=4，
∴OE=OB+BE=6，
∴C（4，6），
将点C代入反比例函数解析式可得：
k=24，
故答案为：24．
【思路引导】过点C作CE⊥y轴，先证明 可得OA=BE=2，OB=CE=4，再利用线段的和差
求出OE的长，即可得到点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例解析式即可得到答案。
15．（2分）（2022·随州）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于点A，B，与
反比例函数 的图象在第一象限交于点C，若 ，则k的值为 .
【答案】2
【完整解答】解：如图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H，
∵直线 与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴将y=0代入 ，得 ，将x=0代入 ，得y=1，∴A（ ，0），B（0，1），
∴OA= ，OB=1，
∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH，
∴△OAB∽△HAC，
∴
∵OA= ，OB=1， ，
∴
∴AH= ，CH=2，
∴OH=1，
∵点C在第一象限，
∴C（1，2），
∵点C在 上，
∴ .
故答案为：2.
【思路引导】过点C作CH⊥x轴，垂足为H，利用一次函数解析式，由x=0求出对应的y的值，由y=0求
出对应的x的值，可得到点A，B的坐标，由此可求出OA，OB的长；再证明△OAB∽△HAC，利用相似
三角形的对应边成比例可求出AH，CH，OH的长，可得到点C的坐标；然后将点C的坐标代入反比例函
数解析式求出k的值.
16．（2分）（2022·上思模拟）以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分別
在x、y轴的正半轴上，双曲线 的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上
一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点 处，且 ，若点 的坐
标为（2，4），则直线BF的解析式为 .【答案】
【完整解答】解：连接OD、OE，设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2.
∵CD＝BD，
∴S ＝ ＝ S ，
CDO 矩形ABCO
△
∵S ＝ ＝S ＝ S ，
AOE CDO 矩形ABCO
△ △
∴AE＝EB，
∵C′(2，4)，
∴AE＝EB＝4，
在Rt BEC′中，∵BC′2＝BE2+EC′2，
∴m2＝△42+(m﹣2)2，
∴m＝5，
∴E(5，4)，
∴B(5，8)，则BC＝5，
延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，
∴C′G＝2，CG＝4，
∴在Rt FGC′中，C′F2＝C′G2+FG2，即(4﹣FG)2＝22+FG2，
△∴FG＝ ，
∴OF＝4+ ＝ ，F(0， )
设直线BF的解析式为y=kx+b，则
{ 11
b=
2
8=5k+b
1
{ k=
2
解得
11
b=
2
∴
故答案为： .
【思路引导】连接OD、OE，设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2，由题意和反比例函数的k的几何意义可得
S ＝ = S ＝S ，于是AE=BE，在Rt BEC′中，用勾股定理可得关于m的方程，解方程求
CDO 矩形ABCD AOE
△ △
△
得m的值，可得B、E两点的坐标；延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，在Rt FGC′中，用勾股定理可得
关于FG的方程，解方程求得FG的值，则易得点F的坐标，设直线BF的解析△式为y=kx+b，用待定系数法
可求解.
17．（2分）（2022·上虞模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x +4的图象与两坐标轴的正半
轴分别交于点A，B，以AB为三角形一边作等边△ABC，顶点C在反比例函数y= 的图象上，则k=【答案】 或
【完整解答】解：设C（x， ），
∵一次函数y=-2x+4图象与坐标轴分别交于A、B两点，
∴A（0，4），B（2，0），
∴AC2=x2+（ -4）2，BC2=（x-2）2+ ，AB2=20，
∵等边△ABC，
∴AC2=BC2，
∴x2+（ -4）2=（x-2）2+ ，
整理得：4x- +12=0，
∴k= = ，
∴k2= ，
又∵BC2=AB2，∴BC2=（x-2）2+ =x2-4x+4+ =20，
整理得：x2-2x-11=0，
解得：x=1±2 ，
∴k= = 或k= = ，
整理，解得：k=8+5 或k=8-5 .
故答案为：8+5 或8-5 .
【思路引导】设C（x， ），先求得A（0，4），B（2，0），由两点间距离公式表示出AC2=x2+（
-4）2，BC2=（x-2）2+ ，AB2=20，再由等边三角形性质得AC2=BC2，BC2=AB2，从而得x2+（ -4）2=
（x-2）2+ ，整理得：4x- +12=0，即k= = ，从而得k2= ，再由BC2=
（x-2）2+ =x2-4x+4+ =20，整理得x2-2x-11=0，解得x后代入k= ，计算即可求得k值.
18．（2分）（2022·西安模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点B的坐标为（4，2），
OA，OC分别落在x轴和y轴上， 是矩形的对角线，将 绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到 与 相交于点F，反比例函数 图象经过点F，则k的值为 .
【答案】2
【完整解答】解：∵B的坐标为（4，2）
∴OA=4，OC= AB=2
将 绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到
∴∠DOE=∠AOB
∵∠OCF=∠OAB
∴△COF∽△AOB
∴ =
∴ =
∴CF=1
∴F的坐标为（1，2）
∵反比例函数 图象经过点F
∴k=2
故答案为：2.
【思路引导】由B的坐标，可得OA=4，OC= AB=2，证明△COF∽△AOB，可得 = ，据此求出CF=1，即得F（1，2），将点F坐标代入 中，即可求出k值.
19．（2分）（2022九下·衢州开学考）如图，点P是反比例函数 图象上的点，PA垂直x
轴于点A（－1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连结AB，已知AB= .
（1）（1分）k的值是 ；
（2）（1分）若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则a的取值范围是
.
【答案】（1）-4
（2）0＜a＜2或
【完整解答】（1）依题意，AO=1，OC=1，PA∥OB，
∴AB是Rt PAC斜边上的中线.
△
∵AB= ，
∴PC= .
∴在Rt PAC中，AC=2，AP= ，PC= ，
△
∴根据勾股定理，得： ，解得 .
∵ ，
∴ .
（2）分两种情况：①当点M在x轴下方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况：当∠MBA＝∠ABC时，点M是PC与双曲线的另
一个交点，由B（0，2），C（1，0）易得直线PC的解析式为 ，与 联立：
，解得： 或 （点P坐标，舍去），
∴当∠MBA＝∠ABC时，点M的坐标为（2，－2）.
∴当∠MBA＜∠ABC时，0＜a＜2.
②当点M在x轴上方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况：如图，将△ABC顺时针旋转至
EBA，延长BE交 于点 ，则 之间横坐标的值即为所求.过点E分
△
别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点F，G，设点E的坐标为（x，y），
由旋转的性质，得AE=AC=2，BE=BA= .
在Rt AEF中，由勾股定理，得 ，即 ①，
△
在Rt BEG中，由勾股定理，得 ，即 ②，
△
①-②，得 ，即 ③，
将③代入②，得 ，解得 或 （舍去），将 代入③得 .
∴点E的坐标为 .
设直线BE的解析式为 ，则 .
∴直线BE的解析式为 .
联立 .
∴ .
综上所述，a的取值范围是0＜a＜2或 .
【思路引导】（1）易求AB是Rt PAC斜边上的中线，可得PC=2AB= ，由A、C的坐标可得
△
AC=2，AP= ，PC= ，根据勾股定理得 ，据此求出k值即可；
（2）分两种情况：①当点M在x轴下方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况，易得直线PC的解析式为
，与 联立，求出x、y值即得点M（2，-2），即可求解：②当点M在x轴上方
时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况，如图，将△ABC顺时针旋转至△EBA，延长BE交 于点，则 之间横坐标的值即为所求.过点E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点
F，G，求出点E坐标，再求出直线BE的解析式，与 联立，解出x值，即可求解.
20．（4分）（2021九上·成都期末）如图，直线 与坐标轴交于A，B两点，交反比例
的图象于C，D两点，且 ，点E是直线AB上一点，连接OE，以OE为边在
OE右侧作直角三角形OEF， ， ，若边OF交反比例函数图象于点G，
，则k值为 ，点E的坐标是 .
【答案】8；
【完整解答】解：：直线 与坐标轴交于A，B两点，
，
设点C的坐标为（a，b），过点C作CM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，则
，CM=a，AM=5-b，又 ，AD=AC+CD
，
，
点D的坐标为（4a，4b-15），
点C、D在反比例 的图象上，
，
解得，b=4，
将b=4代入， 得，a=2
解得 .
连接BF.
∵∠OFE=∠ABO，
∴O、B、F、E四点共圆.
∵∠OEF=90°，OG=GF，
∴点G是圆心，OF是直径，
∴∠OBF=90°.
∵B （10，0），
∴点G的横坐标为5，当x=5时， ，
∴点G的坐标为 ，
∵OG=GF，∴点F的坐标为 .
设点E的坐标为
由勾股定理可得OE2+EF2=OF2
所以
解得， 或 （舍去），
∴点E的坐标为 .
故答案为：8， .
【思路引导】先求出A、B两点的坐标， 设点C的坐标为(a， b) ，过点C作CM⊥y轴于点M，过点D
作DN⊥y轴于点N，则△AMC∽△AND，根据相似三角形的性质列比例式，结合CD=3AC，把点D的坐
标表示出来，把C、D坐标代入反比例函数式，再联立求出a、b值；连接BF，求出O、B、F、E四点共
圆，则知点G是圆心，OF是直径，∠OBF-90°；再求出点G的坐标，从而求出点F的坐标，设出点E的坐
标，在Rt OEF中根据勾股定理建立方程求解，即可解答.
三．解答题△（共8题，满分58分）
21．（6分）（2022·来安模拟）甲工程队新建公路，每名工人每天工作8小时，则甲工程队每天可完成
600米新建公路．乙工程队比甲工程队少10名工人，每名工人每天工作10小时，则乙工程队每天可完成
500米新建公路，假定甲、乙两工程队的每名工人每小时完成的工作量相同，求乙工程队的工人有多少名？
【答案】解：设乙工程队的工人有x名，由题意得
，
解得 ，经检验 是原分式方程的解，且符合题意．
答：乙工程队的工人有20名．
【思路引导】根据题意中工作量相同设方程，解出方程，检验得到答案22．（6分）（2022·三水模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点D为AB的中点．
一次函数y＝﹣3x+6的图象经过点C、D，反比例函数y＝ （x＞0），求k的值．
【答案】解：∵y＝﹣3x+6的图象经过点C、
当y=0时，解得x=2
∵四边形OABC为矩形，点D为AB的中点
∴点D的横坐标为1
把点D的横坐标代入y＝﹣3x+6得
y＝﹣3×1+6=3
∴B（2，3）
∴k=2×3=6
【思路引导】先求出C的坐标，再根据矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得出点D、点B的坐
标，代入一次函数即可求出k。
23．（8分）（2022·舟山九上月考）矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上
的一个动点(不与点B，C重合)，过点F的反比例函数 的图象与边AB交于点E(8，m)，AB＝
4．（1）（4分）如图1，若BE＝3AE．
①求反比例函数的表达式；
②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度．
（2）（4分）如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大
值．
【答案】（1）解：①∵BE＝3AE，AB＝4，
∴AE＝1，BE＝3，
∴E(8，1)，
∴k＝8×1＝8，
∴反比例函数表达式为y ；
②当y＝4时，x＝2，
∴F(2，4)，
∴CF＝2，
设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，
由勾股定理得，
，
解得x ，
∴OG ；
（2）解：∵点E、F在反比例函数 的图象上，
∴CF×4＝8m，
∴CF＝2m，
∴四边形OAEF的面积为8×4
=- +4m+16＝﹣ +20，∵0＜m＜4，
∴当m＝2时，四边形OAEF的面积最大为20．
【思路引导】（1）①利用BE=3AE，AB=4，可证得AB=4AE，可求出AE，BE的长，由此可得到点E的
坐标，将点E的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值，即可得到此函数解析式；②利用函数解析式
求出点F的坐标，可得到CF的长；利用折叠的性质，设OG＝x，可表示出CG，FG的长，利用勾股定理
可得到关于x的方程，解方程求出x的值即可.
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特点，可表示出CF的长，再表示出四边形OAEF的面积与m之间的
函数解析式，将其解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质及m的取值范围，可求出四边形OAEF的面
积的最值.
24．（8分）（2022·西宁）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 ，
点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作 轴于点 ．
（1）（4分）求反比例函数解析式；
（2）（4分）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的
坐标．
【答案】（1）解：∵正比例函数 与反比例函数 的图象交于点A把 代入
得 ∴ ∴ 把 代入反比例函数 得 ∴ ∴反比例函数的解析式是 ；
（2）解：由（1）知A（1，4），C（2，0），反比例函数解析式为 ，∵ ，B在反比例函数
图象上，∴B（2，2），令D（m，n），以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，当AB为
一条对角线时，则 ， 解得m=1，n=6，∴D（1，6）当AC为一条对角线时，
则 ， 解得m=1，n=2，∴D（1，2）当AD为一条对角线时，则 ，
解得m=3，n=-2，∴D（3，-2）（舍去）综上所述，点D的坐标是 或 ．
【思路引导】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分类讨论，列方程求解即可。
25．（8分）（2021·光明模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数y= ( x<0）的图象相交于A点，
1
与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0).当x<–1时，一次函数值大于反比例函数的值，当x>–1时，
一次函数值小于反比例函数值.
（1）（4分） 求一次函数的解析式；
（2）（4分）设函数y= (x>0)的图象与y= (x<0)的图象关于y轴对称.在y= (x>0)的
2 1 2
图象上取一点P（P点的横坐标大于2)，过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P
点的坐标.【答案】（1）∵x＜-1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞-1时候，一次函数值小于反比例函数值．
∴A点的横坐标是-1，
∴A（-1，3），
设一次函数的解析式为y=kx+b，因直线过A、C，
则 ，
解之得 ，
∴一次函数的解析式为y=-x+2；
（2）∵y＝ 的图象与y＝－ (x<0)的图象关于y轴对称，
2 1
∴y= （x＞0），
2
∵B点是直线y=-x+2与y轴的交点，
∴B（0，2），
设p（n， ）n＞2，
S =S -S =2，
四边形BCQP 四边形OQPB OBC
△
∴ （2+ ）n- ×2×2=2，n= ，
∴P
【思路引导】（1）根据x<-1时，一次函数值大于反比例函数值，当x>-1时，一次函数值小于反比例函数
值得到点A的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求得B点的坐标后设出P点的坐标，利用题干的四边形的面积得到函数关系式求得点P的坐标即可。
26．（5分）（2017九下·绍兴期中）如图，直线AB交双曲线 于A，B两点，交x轴于点C，且
BC= AB，过点B作BM⊥x轴于点M，连结OA，若OM=3MC，S =8，则k的值为多少？
OAC
△
【答案】解：设B（a，b），
∵点B在函数y= 上，
∴ab=k，且OM=a，BM=b，
∵OM=3MC，
∴MC= a，
∴S = ab= k，S = × ab= ab= k，
BOM BMC
△ △∴S =S +S = k+ k= k，
BOC BOM BMC
△ △ △
∵BC= AB，不妨设点O到AC的距离为h，
则 = = = ，
∴S =2S = k，
AOB BOC
△ △
∴S =S +S = k+ k=2k，
AOC AOB BOC
△ △ △
∵S =8．
AOC
△
∴2k=8，
∴k=4
【思路引导】设B坐标为（a，b），将B坐标代入反比例解析式求出得到ab=k，确定出OM与BM的长，
根据OM=3MC，表示出MC长，进而表示出三角形BOM与三角形BMC的面积，两面积之和表示出三角
形BOC面积，由BC为AB的一半，不妨设点O到AC的距离为h，求出三角形BOC与三角形AOB面积
之比，确定出三角形AOC面积，利用反比例函数k的几何意义即可求出k的值．
27．（7分）（2022·济南）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点
，与y轴交于点B．（1）（3分）求a，k的值；
（2）（4分）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请
求出所有符合条件的点P坐标．
【答案】（1）解：将点 代入 ，得 ， ，
将点 代入 ，得 ，
反比例函数的解析式为 ．
（2）解：①如图，过A作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，交 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
②分两种情况：设 ， ．
ⅰ、如图，当四边形 为平行四边形时，
∵点 向下平移1个单位、向右平移 个单位得到点 ，
∴点 向下平移1个单位，向右平移 个单位得到点 ，
∴ ， ，
∴ ．
ⅱ、如图，当四边形 为平行四边形时，∵点 向上平移1个单位，向左平移 个单位得到点 ，
∴点 向上平移1个单位，向左平移 个单位得到点 ，
∴ ， ，
∴ ．
综上所述，符合条件的点 坐标是 和 ．
【思路引导】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①先求出 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可；
②分类讨论，结合平移的性质求解即可。
28．（10分）（2022·天桥模拟）如图，反比例函数 的图象经过线段 的端点
，线段 与x轴正半轴的夹角为 ，且 ．（1）（3分）求反比例函数和直线 的解析式；
（2）（3分）把线段 沿x轴正方向平移3个单位得到线段 ， 与上述反比例函数的图象相交
于点D，在y轴上是否存在点Q，使得 的值最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说
明理由；
（3）（4分）若P为函数 的图象上一动点，过点P作直线 轴于点M，直线l
与四边形 在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为n，且 ，当 时，求出n的
值．
【答案】（1）解：如下图，作 轴，
∵ ，
∴∴ ，
∴直线 关系式为
代入 中∴ ；
∴反比例函数表达式为
（2）解：如下图，作 轴，
∵ ，∴
∴ ，
∴设 代入 中，得 （舍去）
∴
设 ，得直线 解析式为： ，令 ，
∴
（3）解：在平行四边形 中，点P在反比例函数的图象上，点P的横坐标为n， ，
①如图1，
当点N在 上，即 时，
直线 的解折式为 ，则点 ，
由 ，得： （舍去）；
②如图2，
当点N在 上， 时，直线 的解析式为
由 ，解得： ．
∴n的值为 或 ．【思路引导】（1）作 轴，根据锐角三角函数值，求出m的值，得出点A的坐标，根据待定系数
法即可求解；
（2）设 代入 中，得a的值，得出点D的坐标，设 ，得直线 解析式，令
，得出点Q的坐标；
（3）在平行四边形 中， ，点P在反比例函数的图象上，点P的横坐标为
n，当点N在 上，即 时，得出直线 的解折式为 ，当点N在 上， 时，
得出直线 的解析式，由 ，解得n的值，即可得解。
