文档内容
专题 23 几何法求空间角与距离
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
立体几何近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年全国乙（文科），第16题,5分 已知三棱锥外接求半径，求线段长
1、证明线面平行；
2023年全国乙（文科），第19题,12分
2、求三棱锥的体积；
2023年全国乙（理科），第3题,5分
通过三视图求几何体的表面积
2023年全国乙（文科），第3题,5分
2023年全国乙（理科），第8题,5分 圆锥体积相关计算
证明面面垂直，由二面角求线段长，从而求线
2023年全国乙（理科），第9题,5分
面角的正切值
1、证明线面平行；
2023年全国乙（理科），第19题,12分 2、证明面面垂直；
3、求二面角
2023年全国甲（文科），第10题,5分 证明线面垂直，求三棱锥的体积
2023年全国甲（文科），第16题,5分 正方体的外接球、棱切球问题
1、证明面面垂直；
2023年全国甲（文科），第18题,12分
2、求四棱锥的高
余弦定理解三
2023年全国甲（理科），第11题,5分 四棱锥表面积有关计算
角形
2023年全国甲（理科），第15题,5分 正方体的棱切球问题
1、已知点面距，证明线面垂直，从而得到线
2023年全国甲（理科），第18题,12分 线相等；
2、已知平行线间的距离，求线面角的正弦值
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节为高考必考知识点，选填题、解答题均有出现；2.考查点、线、面之间的距离；
3.考查异面直线所成角、线面角、面面角、二面角.
【备考策略】1.会用空间直角坐标系刻画点的位置,掌握空间中两点间的距离公式.
2.了解空间向量基本定理及其意义,理解空间向量的坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积运算.
4.能用向量方法判断或证明点、线、面之间的位置关系.
5.能用向量方法解决空间中的距离问题.
6.能用向量方法求解空间中的角度问题.
【命题预测】1.考查点、线、面之间的距离；
2.考查异面直线所成角、线面角、面面角、二面角.
知识讲解
一、距离
1、点与面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段叫作这个点到该平面的 ,垂线段的长度
叫作这个点到该平面的 .
2、直线与平面的距离
一条直线与一个平面平行时,这条直线上 到这个平面的距离,叫作这条直线到这个平面的距离.
3、平面与平面的距离
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的 到另一个平面的距离都 ,我们把它叫作这
两个平行平面间的距离.
1.点到平面的距离的常见解法
(1)定义法:找到(或作出)表示距离的线段,根据线段(所求距离)所在三角形求解.
(2)等积法:利用同一个三棱锥的体积相等求解.
(3)转化法:将点面之间的距离转化为线面之间(或面面之间)的距离求解.
2.线到平面的距离,平面与平面的距离问题都是转化为点到平面的距离求解.
二、异面直线所成的角
1.异面直线
过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.
2.异面直线所成的角
过空间任一点 分别作异面直线 与 的平行线 与 ,那么直线 与 所成的 叫作异面
直线 与 所成的角.
3.范围: .求异面直线所成角的步骤
一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.二证:证明所作的角是异面直线所成的角.三求:解三角
形,求出所作的角.
常用平移法来作异面直线所成的角:①利用图中已有的平行线平移;②利用特殊点(线段的端点或中点)作
平行线平移;③补形平移.由于异面直线所成的角 的取值范围是 ,故若所作的角为钝角,则其补
角为异面直线所成的角.
三、直线和平面所成的角
1.平面的一条斜线和它在 所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角.
2.当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为 .
3.范围: .
线面角的几何法解题步骤:
1.找直线上一点 作平面 的垂线;
2.连接垂足与斜足,得线面角;
3.解直角三角形,得到线面角.
四、二面角的有关概念
1.二面角:从一条直线出发的 所组成的图形叫作二面角.
2.二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作 的两条射线,则这两
条射线所成的角叫作二面角的平面角.
3.范围: .
找二面角常常采用垂线法:
第一步,找到两个面的交线;
第二步,从一个平面内找一点,向另一个平面作垂线;
第三步,从垂足再向交线作垂线,连线构造,得二面角的平面角或是补角;
第四步,解三角形,得二面角的大小.
五、平面与平面所成角
1.两个平面所成角.
2.范围: .
考点一、几何法求两点间的距离1．（2023年甘肃省模拟数学试题）在矩形ABCD中， ， ，沿对角线AC将矩形折成一个直
二面角 ，则点B与点D之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年江苏省模拟数学试题）已知矩形 ， ， ，沿对角线 将 折起，若
二面角 的大小为 ，则 ， 两点之间的距离为 .
3．（2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ））已知二面角 为 ，动点
P、Q分别在面 、 内，P到 的距离为 ，Q到 的距离为 ，则P、Q两点之间距离的最小值为
（ ）
A．1 B．2 C． D．4
1．（2023-2024学年湖北省新高考联盟联考数学试题）二面角 中， ， ， ，
且 ， ，垂足分别为A、C， ， ， ，已知异面直线 与 所成
角为 ，则 （ ）
A． B． C． 或5 D． 或
2．（2023年江苏省模拟考试数学试题）将边长为 的正三角形 沿 边上的高线 折成 的二面
角，则点 到 边的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上，若P为动点，Q为动点，则PQ的最小值为 .
考点二、几何法求点到平面的距离
1．在三棱锥 中， 底面 ，则点 到平面 的距
离是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年四川省模拟考试数学试题）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形； 为 的中
点．若 ， ， ，当三棱锥 的体积取到最大值时，点 到平面 的距离为
．1．（2023上海市模拟考试数学试题）在棱长为4的正方体 中，点 到平面 的距离
为 .
2．（2023年黑龙江省模拟考试数学试题）在直三棱柱 中， ， ，则
点A到平面 的距离为 ．
3．（2019年全国统一高考数学试题（文科）（新课标Ⅰ））如图，直四棱柱ABCD–ABC D 的底面是菱
1 1 1 1
形，AA =4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB ，AD的中点.
1 1 1
（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求点C到平面C DE的距离．
1
考点三、几何法求直线到平面的距离
1．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（大纲卷））已知正四棱柱ABCD- AB C D 中 ，
1 1 1 1
AB=2，CC = E为CC 的中点，则直线AC 与平面BED的距离为
1 1 1
A．2 B． C． D．1
2．如图，在长方体 中， ， ， .(1)求直线 与平面 所成的角的大小；
(2)求直线 到平面 的距离.
3．如图，在梯形ABCD中， ， ， ， 平面ABCD，且 ，
点F在AD上，且 ．
(1)求点A到平面PCF的距离；
(2)求AD到平面PBC的距离．
1．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷））如图，在长方体ABCD-A B C D 中，
1 1 1 1
AB=2,AD=1,A A=1，证明直线BC 平行于平面DA C，并求直线BC 到平面DAC的距离.
1 1 1 1 1
2．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ，平面 平面 ， ，，PD的中点为F.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 到面 的距离.
3．（2023年北京市模拟数学（A卷）试题）如图，已知直三棱柱 ， ， ，
，点 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 的距离.
考点四、几何法求平面与平面间的距离
1．直四棱柱 中，底面 为正方形，边长为 ，侧棱 ， 分别为
的中点， 分别是 的中点．(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．
2．如图在直三棱柱 中， ， ， ，E是 上的一点，且 ，
D、F、G分别是 、 、 的中点，EF与 相交于H．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求平面EGF与平面 的距离．
3．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别为 ， ， 的中点，点 在
棱 上，且 ， ， .
(1)求证： 平面 ；(2)求证：平面 平面 ；
(3)求平面 与平面 的距离.
1．如图，棱长为2的正方体ABCD –ABC D 中，E，F分别是棱AA，CC 的中点，过E作平面 ，使得
1 1 1 1 1 1
//平面BDF.
(1)作出 截正方体ABCD - ABC D 所得的截面，写出作图过程并说明理由；
1 1 1 1
(2)求平面 与平面 的距离.
2．如图在直三棱柱 中， ， ， ，E是 上的一点，且 ，
D、F、G分别是 、 、 的中点， 与 相交于 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．3．如图所示的斜三棱柱 中， 是正方形，且点 在平面 上的射影恰是AB的中
点H，M是 的中点．
(1)判断HM与面 的关系，并证明你的结论；
(2)若 ， ，求斜三棱柱两底面间的距离．
考点五、几何法求异面直线所成角
1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体 中，P为 的中点，则直线 与
所成的角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））在正方体 中， 为棱
的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为（ ）A． B． C． D．
3．（2008年高考全国卷Ⅱ理科数学试题）已知正四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等， 是 的
中点，则 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
1．如图，在正方体 中， 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点，则异面直
线 与 所成的角等于（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
2．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））直三棱柱ABC－ABC 中，∠BCA
1 1 1
＝90°，M，N分别是AB，AC 的中点，BC＝CA＝CC ，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
1 1 1 1 1
A． B． C． D．
3．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）在长方体 中，已知 与平面 和平面
所成的角均为 ，则（ ）
A． B．AB与平面 所成的角为
C． D． 与平面 所成的角为
考点六、几何法求直线与平面所成角
1．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国大纲卷））已知正四棱柱 中，
，则CD与平面 所成角的正弦值等于
A． B． C． D．2．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷））如图在正方体 中，点
为线段 的中点. 设点 在线段 上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
3．如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形，且 ， ， ，
若二面角 为 ，则 与平面 所成角的正弦值为 ．
1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））已知正方体的棱长为1，每条棱所
在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷Ⅱ））已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2
倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）A． B． C． D．
3．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）文科数学）正方体ABCD- 中，B 与平
面AC 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
考点七、几何法求二面角
1．已知三棱锥 的三个侧面与底面全等，且 ， ，则以 为棱，以平面
与平面 为面的二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
3．如图，二面角 等于 ，A、 是棱l上两点，BD、AC分别在半平面 、 内， ，
，且 ，则CD的长等于 .
1．（2011年湖南省普通高等学校招生统一考试理科数学）已知点 分别在正方体 的
棱 、 上，且 ， ，侧面 与面 所成的二面角的正切值等于 .
2．（2002年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））若正四棱锥的底面边长为 ，体积
为 ，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 ．3．如图60°的二面角的棱上有 ， 两点，直线 ， 分别在二面角两个半平面内，且垂直于 ，
， ，则 ．
考点八、几何法求平面与平面所成角
1．如图，P为长方体 的对角线 上的一点，平面 平面 ，若 ，则
平面PAB与平面CAB夹角的正切值为 ．
2．（2023年新高考天津数学高考真题）三棱台 中，若 面
， 分别是 中点.(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
3．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，侧棱 底面 ， ，
是 的中点，作 交PB于点 .
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求证： 平面 ；
(3)求平面 与平面 的夹角的大小.1．如图，棱锥 的底面 是矩形， 平面 ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 和平面 夹角的余弦值的大小．
2．（2023届浙江省名校新高考研究联盟联考数学试题）如图，在四棱锥 中，已知 ，
， ， ， ， ， 为 中点， 为 中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 所成夹角的余弦值.
3．（2023届广东省模拟考试数学试题）如图，在四棱锥P-ABCD中， PAD是以AD为斜边的等腰直角三
△角形，
(1)求证： ；
(2)求平面PAB与平面ABCD交角的正弦值.
【基础过关】
1．（2023年云南省教育学业质量监测数学试题）如图，已知在矩形ABCD中， ， ，M为边
BC的中点，将 ， 分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面
MAD的距离为 ．
2．（2023-2024学年陕西省联考文科数学试题）在直三棱柱 中，侧面 为正方形，
， ， 分别为 和 的中点， .(1)证明： ；
(2)求 到平面 的距离.
3．（2023年上海市模拟考试数学试题）若正四棱柱 的底面边长为 ， 与底面
成 角，则 到底面 的距离为 .
4．若正四棱柱 的底面边长为1，直线 与底面 所成角的大小是 ，则 到底
面 的距离为 ．
5．在长方体 中，已知 ， ， 与平面ABCD所成角的大小是 ，那么平面
ABCD到平面 的距离是 ．
6．在长方体 中，E，F，G，H分别为 ， ， ， 的中点， ，则平面
ABCD与平面EFGH的距离为 .
7．用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体 的棱长为 ，则平面 与平面 间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成
角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为45°，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为
．
9．（2021年山东省春季高考数学真题）如下图，在四棱锥 中，底面 是正方形，平面
平面 ， ， ．
（1）求 与 所成角的余弦值；
（2）求证： ．
10．（2023年福建省模拟考试数学试题）在矩形ABCD中， ，沿AC将 折起，当二面角
为直二面角时，异面直线AB与CD所成角的余弦值为 .11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））在长方体 中，
， 与平面 所成的角为 ，则该长方体的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023年云南省质量检测数学试题）已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ， ，底面半径为2，
， 是底面圆周上两点，且 ，则二面角 的大小为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023年山东省模拟考试数学试题）长方体 中， ，则二面角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【能力提升】
1．（2023年重庆市模拟考试数学试题）在四面体 中， 平面 于点 ，点 到平面 的
距离为 ，点 为 的重心，二面角 的大小为 ，则
．
2．（2023年江苏省模拟考试数学试题）如图，将边长 的正方形 沿对角线BD折起，连接AC，
构成一四面体，使得 ，则点 到平面 的距离为 ．
3．如图，正四棱柱 的底面边长为2， ，E为 的中点，则 到平面EAC
的距离为 ．4．（2023年辽宁省模拟考试数学试题）如图，已知四棱锥 外接球O的体积为 ， ，侧
棱 与底面 垂直，四边形 为矩形，点M在球O的表面上运动.当四棱锥 体积的最
大时，点A到面 的距离为 .
5．（2023届江西省考前最后一卷（全国乙卷）数学（理）试题）如图，正三角形ABC中，D，E分别为
边AB，AC的中点，其中 ，把 沿着DE翻折至 的位置，得到四棱锥 ，则当
四棱锥 的体积最大时，四棱锥 外接球的球心到平面 的距离为 .
6．（2023届山东省高考适应性训练数学试题）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中
国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为
2，则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为（ ）A． B． C． D．
7．（2023届湖南省三模数学试题）已知平行六面体 的各棱长都为 ，
， 、 、 分别是棱 、 、 的中点，则（ ）
A． 平面
B．平面 平面
C．平面 与平面 间的距离为
D．直线 与平面 所成角的正弦值为
8．（2023届浙江省原创预测卷一（全国1卷））如图，在三棱锥 中，
，二面角 的平面角 ， ， ，则直
线 与直线 的所成最大角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知二面角 为 ， ， ， 为垂足， ， ， ，则异面直
线 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
10．已知正方体 ，则正确的有（ ）
①．直线 与 所成的角为 ②．直线 与 所成的角为
③．直线 与平面 所成的角为 ④．直线 与平面ABCD所成的角为
11．（2019年天津市高考数学（文科）试题） 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，
为等边三角形，平面 平面 ， ， ， ，
（Ⅰ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
12．（2023年四川省阶段性测文科数学试题）在 中， ， .若空间点 满足
，则直线 与平面 所成角的正切的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
13．（2023年河北省模拟考试数学试题）在三棱锥 中，底面 是边长为3的等边三角形，
， ，若此三棱锥外接球的表面积为 ，则二面角 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．14．（2023届广东省教学质量检测数学试题）如图，三棱柱 中，侧面 为矩形，
且 为 的中点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【真题感知】
1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 为等腰直角三角形，AB为斜边， 为等边三
角形，若二面角 为 ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，在三棱柱 中， 平面
．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，求四棱锥 的高．
