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专题 15 一元二次方程的根与系数的关系(重难题型)
1．已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是（
）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
【答案】D
【分析】
先根据已知可得 ， ，a+b=3，然后再对
变形，最后代入求解即可．
【详解】
解：∵已知 ， 是方程 的两根
∴ ， ，a+b=3
∴ =0+5+30+1=36．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵
活变形成为解答本题的关键．
2．已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得 ， ，再代入通
分计算即可求解．
【详解】
∵方程 的两根分别为 ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ = = = = =-1
．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及
根与系数的关系是解决问题的关键．
3．定义新运算“ ”：对于任意实数a，b，都有 ，例如
．若 （k为实数）是关于x的方程，则它的
根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】
根据新定义，得 ，转化成一元二次方程，利用根的判别式判断即
可．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ 变形为 ，
∴ ＝
△
＝ ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，
故选C．
【点睛】
本题考查了新定义问题，一元二次方程根的判别式，准确理解新定义，灵活运用根的判别
式是解题的关键．
4．已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个根，若 、 、5为等腰
三角形的边长，则 的值为（ ）
A．－4 B．8 C．－4或－8 D．4或－8
【答案】C
【分析】
利用根与系数的关系可求出a+b＝6，结合等腰三角形的性质可得出a＝b＝3或a，b两数
分别为1，5，再利用两根之积等于﹣n+1，即可求出n值．
【详解】
解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两根，
∴a+b＝6，ab=﹣n+1，
又∵等腰三角形边长分别为a，b，5，
∴a＝b＝3或a，b两数分别为1，5．
当a＝b＝3时，﹣n+1＝3×3，解得：n＝﹣8；
当a，b两数分别为1，5时，﹣n+1＝1×5，解得：n＝﹣4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，利用根与系数的关
系结合等腰三角形的性质，求出a，b的值是解题的关键．
5．若x ，x 是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x x 的值是（ ）
1 2 1 2
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
直接根据根与系数的关系解答即可．
【详解】
解：∵x 、x 是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，
1 2
∴x x =-3．
1 2故选B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x +x =-
1 2 1 2
，x •x = ．
1 2
6．关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为 ，且
， ，则m的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】B
【分析】
根据方程有两个实数根列判别式求出m的取值范围，再根据 ， 列式求
出m的取值范围，即可得到答案．
【详解】
解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 且 ．
故选：B．
【点睛】
此题考查根据一元二次方程根的情况求字母的取值范围，一元二次方程根与系数的关系，正确掌握根的判别式的三种情况及根与系数的计算公式是解题的关键．
7．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是（ ）
A．0 B．2020 C．4040 D．4042
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a+b=-1，ab=-2021，将其代入a2+b2+a+b =
（a+b）2+（a+b）-2ab中即可求出结论．
【详解】
解：∵a，b是方程x2+x-2020=0的两个实数根，
∴a+b=-1，ab=-2021
∴a2+b2+a+b =（a+b）2+（a+b）-2ab=1-1+4042=4042．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系找出a+b=-1，ab=-2021是
解题的关键．
8．已知 ， 是方程2 +2x-3=0的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】
利用一元二次方程根与系数关系定理，具体化后，进行等量变形，代入化简即可．
【详解】
∵ ， 是方程2 +2x-3=0的两个根，
∴ ＋ = -1
∴ = - -1，
且2 +2 -3=0，∴ ( +1)= ，
代入要求的式子中,得:
-
= -
= -
=
= .
故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，方程根的定义，熟练运用定理，定义，用
某根表示另一根后变形化简是解题的关键．
9．已知关于 的方程 的根为 ， ，则 的值是（ ）
A．-10 B．-7 C．-14 D．-2
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b，c的值即可得到结论．
【详解】
解：∵关于 的方程 的根为 ， ，
∴∴ ，即b=-2，c=-12
∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x ，x ，则
1 2
x +x =- ，x •x = ．
1 2 1 2
10．设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】C
【分析】
由一元二次方程根与系数的关系，得到 ，然后求出 ，然后代入计
算，即可得到答案．
【详解】
解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确
的进行解题．11．设a、b是方程x2＋x－2021＝0的两个实数根，则a2+ab＋2a＋b的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．-1 D．-2
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a=2021、a+b=-1、ab=-2021，将其代入
则a2+b2+a+b中即可求出结论．
【详解】
解：∵a、b是方程x2＋x－2021＝0的两个实数根，
∴a2+a=2021、a+b=-1、ab=-2021，
∴a2+ab＋2a＋b= a2+ a+ab＋a＋b=2021-2021-1=-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的
关系找出a2+a=2021、a+b=-1、ab=-2021是解题的关键．
12．已知 ， 是一元二次方程 两个根，则 的值为（ ）
A． B． ． C． D．
【答案】A
【分析】
根据根与系数的关系 ， ，在原方程中找到一元二次方程的系数 a、
b、c就可以求出 的值即可．
【详解】
解：∵ ， 是一元二次方程 两个根，
∴由根与系数的关系得， ， ，
∴ ，
故选：A．【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键．
13．已知关于 的一元二次方程 ，当 时，该方程解的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根 B．没实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
【答案】A
【分析】
计算根的判别式，根据k的范围，判断判别式的属性，根据性质求解即可．
【详解】
解：∵一元二次方程 ，
∴△= =16+4k，
∵ ，
∴ ，
∴16+4k＞0，
∴△＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记公式，并根据字母范围确定判别式的属性是解
题的关键．
14．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x ，x ，则x 2+3x +x x +1的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【分析】
根据方程的根及根与系数的关系得到x 2﹣3x +1＝0，x +x =3，x x =1，将其代入代数式计算
1 1 1 2 1 2
即可．
【详解】解：由题意得x 2﹣3x +1＝0，x +x =3，x x =1，
1 1 1 2 1 2
∴x 2+1=3x ，
1 1
∴x 2+3x +x x +1
1 2 1 2
=3x +3x +x x
1 2 1 2
=3（x +x ）+ x x
1 2 1 2
=
=10，
故选：A．
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，根与系数的关系式，求代数式的值，正确掌握根与系数的关
系是解题的关键．
15．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】B
【分析】
利用判别式大于零和二次项系数不为零求解即可．
【详解】
∵方程 有两个不相等的实数根，
∴m≠0，且 ＞0，
△
∴m≠0，且 ＞0，
∴ 且 ，
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练运用判别式并保证二次项系数不能为零是解题
的关键．16．如果方程 的两个根为 ， ，那么 的值为（ ）
A．7 B．6 C． D．0
【答案】A
【分析】
将 代入方程 ，即可得 ，即可推出
，再由韦达定理即可求出结果．
【详解】
将 代入方程 得： ，即
∴ ．
∵ 、 是方程的两个根，
∴ ， ．
∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值．熟知韦达定理公式是解答本题的
关键．
17．一元二次方程 的两根为 、 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】
解：由一元二次方程根与系数的关系得：= = =-2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记 = ， ．
18．关于x的方程 （a为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（
）
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根一个负根 D．无实数根
【答案】C
【分析】
先将方程整理为一般形式，计算 ，得到方程有两个不相等的实数根，再根据两根之
积为负数即可求解．
【详解】
解：整理关于x的方程 得
，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴方程了两个根一正一负．
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知两个知识点是解题关键，注
意在讨论一元二次方程根与系数的关系时首先要注意确保方程有实根．19．已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x ，x ，且 ，则k的值为（
1 2
）
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】
根据根与系数关系列出方程求解即可．
【详解】
解：由题意知，x +x ＝﹣k，x •x ＝2．
1 2 1 2
则由 得，
，即 ．
解得k＝4．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常
使用的解题方法．
20．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意一次项系数为0且 ＞0判断即可．
【详解】 △
解：A、x-1=0是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意；
B、∵方程两根互为相反数和为0，一次项的系数为1，故选项不合题意；
C、∵△=0-4×1×（-1）=4＞0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；
D、∵△=0-4×1×1=-4＜0，故此选项不合题意．
故选：C．【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x ，x ，
1 2
则x +x =- ，x •x = ，也考查了一元二次方程的根的判别式．
1 2 1 2
21．已知a，b是一元二次方程 的两个根，则 的值是（
）
A．81 B．61 C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意将a，b代入方程得a2−2 a =10，b2−2b=10，由根与系数的关系得a+b=2，然后将
上述等式变形代入所求的代数式中便可求解．
【详解】
∵a，b是一元二次方程x2−2x=10的两个根，
∴a2−2 a =10，b2−2b=10，a+b=2，
∴ ， ，
∴
，
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，利用了整体代换的思想，属于常考题型．
22．若 是方程 的两个实数根，则代数式 的值等于(
)
A．2020 B．2019 C．2029 D．2028
【答案】D
【分析】先根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出 ， ，代
入原式计算即可．
【详解】
解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ，
即 ，
由根与系数之间关系可知 ，
∴
=
=2020+
=2020+8
=2028．
所以选项D正确．
故答案为：D
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数之间的关系，本题解题的关键是将
进行等量变形，并代入求解．
23．已知关于x的方程 的两个根互为相反数，则a的值是
（ ）
A．5 B．-3 C．5或-3 D．1
【答案】B
【分析】
利用根与系数的关系得出 ，进而求出即可，注意一元二次方程根的情况确定方法．【详解】
解：∵关于x的方程 的两个根互为相反数，
∴ ，
即： ，
解得： 或 ，
∵关于 的方程为 ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ 不合题意舍去，
故 ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系以及根的判别式的应用，此题容易忽略根的判别式的应用．
24．设m、n是一元二次方程 的两个根，则 （ ）
A． B．1 C． D．17
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的根的定义、根与系数的关系即可得．
【详解】
由一元二次方程的根的定义得： ，即 ，
由一元二次方程的根与系数的关系得： ，
则 ，，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系
数的关系是解题关键．
25．等腰三角形的一边长是 ，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则
的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】
分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根
与系数的关系得两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x＝3
为方程的解，把x＝3代入方程可计算出k的值即可．
【详解】
解：①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2−4k＝0，解得k＝4，
此时，两腰的和=x +x =4>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4；
1 2
②当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9−12＋k＝0，解得k＝
3；
综上，k的值为3或4，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解以及根与系数的关系等腰三角形的性
质和三角形的三边关系，注意解得k的值之后要看三边能否组成三角形．
26．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣2n+2015的值是（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出m2+2m＝1，m+n＝﹣2，将其代入m2﹣
2n+2015＝（m2+2m）﹣2（m+n）+2015中即可求出结论．
【详解】
解：∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2+2m＝1，m+n＝﹣2，
∴m2﹣2n+2015＝（m2+2m）﹣2（m+n）+2015＝1+4+2015＝2020．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，将要求的代数式合理变形是解题的关键．
27．如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另
一个根大 ，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于 的方程 是
常数， 是“邻根方程”，令 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据“邻根方程”的定义求出 ，代入 进行配方求出最大值即可．
【详解】
解：设 、 是方程 是常数， 的两根，
解得， ，
∵原方程是“邻根方程”
∴ 或∴当a=2时，t有最大值，最大值为4．
故选C.
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根
方程”的定义，本题属于中等题型．
28．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
分别计算出每个方程的判别式即可判断．
【详解】
A、∵△=4-4×1×0=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、∵△=16-4×1×（-1）=20＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、∵△=25-4×3×2=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、∵△=16-4×2×3=-8＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
29．已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根且 ，则的值为（ ）．
A．0或1 B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】
根据韦达定理，可得出 ， ，再根据 得出一个关于
m的一元一次方程，解方程即可得出m的值.
【详解】
∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵
∴m=0．
故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，得出 ， 的值是解题的关键.
30．一元二次方程 根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个正根
C．有一个正根，一个负根 D．有两个负根
【答案】B
【分析】
先直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况，再根据根与系数的关系判
断根的正负性即可得到答案；
【详解】解：一元二次方程 的判别式为：
，
∴方程有两个实数根，
设两个实数根为： ，
根据根于系数的关系得到： ， ，
故 均为正数，
因此方程有两个正根，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac以及根与系数的关
系 ， ，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
31．若一元二次方程 的两个根分别为 ，则 的值为（
）
A．-4 B．-2 C．0 D．1
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根的情况可得 ， ，代入求解即可．
【详解】
∵一元二次方程 的两个根分别为
∴ ，
∴
故答案为：B．【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的问题，掌握一元二次方程根与系数的关系、韦达定理
是解题的关键．
32．设 ， 是方程 的两根，则 的值是
（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4000000
【答案】D
【分析】
由已知方程的系数可得两根的关系（根据韦达定理或者叫根与系数的关系），再将所求代
数式变形可求得代数式结果.
【详解】
解：
∵ ， 是方程 的两个实数根
∴
∴
故选D.
【点睛】
（1）将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.
（2）二次函数为 的两个不同实数根： ， 满足
.
33．关于x的一元二次方程 的两实数根分别为 、 ，且 ，
则m的值为（ ）A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系得到x +x =4，代入代数式计算即可．
1 2
【详解】
解：∵x +x =4，
1 2
∴x +3x =x +x +2x =4+2x =5，
1 2 1 2 2 2
∴x = ，
2
把x = 代入x2-4x+m=0得：（ ）2-4× +m=0，
2
解得：m= ，
故选A．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与
系数的关系为：x +x =- ，x •x = 是解题的关键．
1 2 1 2
34．已知 ， 是方程 的两个实数根，则 的值是( )
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】A
【分析】
根据题意可知b=3-b2，a+b=-1，ab=-3，所求式子化为a2-b+2019=a2-3+b2+2019=（a+b）2-
2ab+2016即可求解.
【详解】
， 是方程 的两个实数根，∴ ， ， ，
∴ ；
故选A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入
是解题的关键．
35．关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，
，则k的值（ ）
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
【答案】D
【分析】
将 化简可得， ，
利用韦达定理， ，解得，k＝±2，由题意可知△＞0，
可得k＝2符合题意.
【详解】
解：由韦达定理，得：
＝k－1， ,
由 ，得：
，
即 ，
所以， ,
化简，得： ，
解得：k＝±2，因为关于x的一元二次方程 有两个实数根，
所以，△＝ ＝ 〉0，
k＝－2不符合，
所以，k＝2
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
36．已知关于 的一元二次方程 有两个不等的实数根 ， ．
若 ，则 的值为______．
【答案】2
【分析】
根据根的判别式先求出“△”的值，再根据根与系数的关系得出x +x =2（m+2），x •x =
1 2 1 2
，变形后代入，即可求出答案．
【详解】
解：∵ ，且 ，
∴ ，且 ，
∵ 是方程 有两个实数根，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，即 ，
整理得： ，
解得： ．
∵ ，且 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识点，能熟
记知识点的内容是解此题的关键．
37．若方程 的一个根是3，那么另一个根是_______
【答案】2
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系直接计算即可
【详解】
解：∵ ，
∴
∵方程 的一个根是3
∴
故答案为：2
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，正确使用 是关键38．已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是
__________．
【答案】9
【分析】
可表示为 ，由根与系数的关系即可求得结果．
【详解】
根据根与系数的关系得： ，
∴ =
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是把 用两根和与两根的积
的代数式表示出来．
39．设 是关于x的方程 的两个根，且 ，则 _______．
【答案】2
【分析】
先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k
的值即可．
【详解】
解：由根与系数的关系可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ;
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元
二次方程 ，其两根之和为 ，两根之积为 ．
40．已知 、 是方程 的两个实数根，则代数式
______．
【答案】
【分析】
利用韦达定理可得出 ， ，再通过代入移项
可得到 ，分别代入 运算即可．
【详解】
解：∵ ， 和 是方程的两个根
∴ ， ，
∴
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了韦达定理，代数式的运算，熟练掌握韦达定理公式是解题的关键．
41．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．【答案】（1） ；（2）1
【分析】
（1）直接利用根的判别式即可求解；
（2）根据韦达定理可得 ， ，得到 ，根据两个
根和m都是整数，进行分类讨论即可求解．
【详解】
解：（1）∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ；
（2）设该方程的两个根为 、 ，
∵该方程的两个根都是符号相同的整数，
∴ ， ，
∴ ，
∴m的值为1或2，
当 时，方程两个根为 、 ；
当 时，方程两个根 与 不是整数；
∴m的值为1．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键．
42．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， ．（1）求 的取值范围：
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）k>3；（2）8
【分析】
（1）根据一元二次方程有两个不相等实数根则判别式为正，即可得出关于k的一元一次不
等式，解不等式即可求得k的取值范围；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系，把 表示为两根的和与两根
的积的代数式，得到关于k的方程，解方程即可求得k．
【详解】
（1）由题意，得：
解不等式，得：k>3
即当k>3时，方程有两个不相等的实数根
（2）由一元二次方程根与系数的关系，得： ，
∵ ，
∴
解得： ，
由（1）知，方程有两个不相等的实数解，则k>3，故k=-2不合题意，舍去
所以k=8
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，（2）问中有两个k的值，要注意
验证，也就是说千万不要忽略方程有实数解这个前提．
43．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋4－k＝0有两个不相等的实数根x ，x ．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）若x 3x ＋x x 3＝－48，求k的值．
1 2 1 2
【答案】（1）k＞3；（2）k=8．
【分析】（1）令根的判别式大于0求解即可；
（2）变形后利用根与系数的关系求解即可．
【详解】
解：（1）依题意可知： ＞0，
即（-2）2-4（4-k）＞0，△
∴k＞3；
（2）依题意可知：x +x =2，x x =4-k，
1 2 1 2
∵x 3x ＋x x 3＝－48，
1 2 1 2
∴x x [（x +x ）2-2x x ]=－48，
1 2 1 2 1 2
整理得：k2－6k－16=0，
∴k =8，k =－2，
1 2
又∵k＞3，
∴k =－2舍去只取k=8，
2
∴k的值8．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的
判别式，以及根与系数的关系是解答本题的关键．
44．关于 的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围：
（2）是否存在实数 ，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出 的值；若
不存在，说明理由．
【答案】（1） 且 ；（2）不存在，理由见解析
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）由题知，方程有两个不等实数根，所以，，
解得 且 ，
所以 的取值范围是 且 ；
（2）设方程的两个实数根为 ， ，且倒数和等于1，
即 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
解得： ，
经检验 是方程的根，
由（1）知 的取值范围是： 且 ，则 不符合题意，
所以不存在这样的 值使方程的两个实数根的倒数和等于1．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的
1 2
两根时， ， ．45．已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）是否存在实数 ，使得等式 成立?如果存在，求出 的值；如果不存
在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在满足条件的 ．
【分析】
（1）根据方程的系数，结合一元二次方程根的情况，得到根的判别式，转化为解关于
的一元一次不等式，即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，得到关于 的方程，解之即可．
【详解】
（1）依题意得： ，
，解得 ．
（2）依题意得： ，
，即 ，
，解得 ， ，
又 ，
存在满足条件的 ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，涉及一元一次不等式、
一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
46．关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x ，x 满足（x ﹣1）（x ﹣1）＝6，求k的值．
1 2 1 2【答案】(1)k≤1．(2)k的值是﹣4．
【分析】
(1)由方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结
论．
(2)根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x +x ＝﹣2（k﹣1），x x ＝k2﹣1，再将它
1 2 1 2
们代入（x ﹣1）（x ﹣1）＝6，即可求出k的值．
1 2
【详解】
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，
∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8≥0，
解得：k≤1．
∴k的取值范围为：k≤1．
(2)由根与系数关系得：x +x ＝﹣2（k﹣1），x x ＝k2﹣1，
1 2 1 2
所以（x ﹣1）（x ﹣1）＝x x ﹣（x +x ）+1＝k2﹣1+2（k﹣1）+1＝6．
1 2 1 2 1 2
解得k ＝2（舍去）或k ＝﹣4．
1 2
故k的值是﹣4．
【点睛】
此题主要考查了根与系数的关系，解题关键是熟练运用根与系数关系列出方程或不等式．
47．关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若 ， 是该方程的两根，且满足两根的平方和等于3，求m的值．
【答案】（1）见解析；（2） 或
【分析】
（1）根据跟的判别式 时一元二次方程有两个不相等的实根证明即可；
（2）由已知可得 ，将其变形为 ，再根据韦达定理即可得
到关于 一元二次方程，则可解得 的值．
【详解】解：（1）由题：
= ，
，
方程总有两个不相等的实根；
（2）由题知 ，
由韦达定理： ， ，
，
，
解得： ， ，
故 或 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系；掌握好关于一元二次方程的基础
知识，能将 正确变形是解决本题的关键．
48．已知 是方程 的两根，求：
（1）（x +3）（x +3）的值；
1 2
（2） 的值．
【答案】（1）23；（2）2．
【分析】
（1）由根与系数的关系，得到x +x =4，x •x =2，然后把式子进行化简，即可得到答案；
1 2 1 2
（2）由根与系数的关系，把式子进行化简，即可得到答案；【详解】
解：∵ 是方程 的两根，
∴ ， ，
（1） ；
（2） ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是正确求出x +x =4，x •x =2，从而
1 2 1 2
进行解题．
49．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，求 的取值范围；
（2）若方程有一根为1，求 的值并求出方程的另一根．
【答案】（1） ；（2） ；方程另一个根为2
【分析】
（1）根据根的判别式大于0时方程有两个不相等的实根建立不等式即可得解；
（2）将 代入原方程解出m的值，再将m的值代入原方程即可得解．
【详解】
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ．
（2）∵方程有一根为1，
∴将 代入原方程中，得，
解这个方程，得 ．
把 代入原方程中，得 ，
解得 ， ．
即方程的另一根为2．
【点睛】
本题考查了通过根的判别式确定一元二次方程解的情况、一元二次方程解的特征；解决本
题关键在于掌握好一元二次方程根的判别式
50．已知关于x的一元二次方程 有实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为 、 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）3＜ ．
【分析】
（1）由一元二次方程 有实数根，得到 ≥0即 ≥0，
△
解不等式即可；
（2）先利用根与系数关系定理，得 + =6， =2m+1，代入 ，求
得m的一个范围，最后联立根的判别式确定范围即可．
【详解】
（1）∵一元二次方程 有实数根，
∴△≥0即 ≥0，
∴9-2m-1≥0，
解得：（2）∵一元二次方程 的两个实数根为 、 ，
∴ + =6， =2m+1，
∵ ，
∴6+2（2m+1）＞20，
解得m＞3，
∵ ，
∴ 的取值范围是3＜ ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数关系定理，结合具体方程将
根与系数关系定理具体化，整体代入计算是解题的关键．
51．已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：对于任意实数a，方程恒有两个实数根
（2）设 ， 是该方程的两个根，若 ，求a的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）证明一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac＞0即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把|x |+|x |=4变形
1 2
成与两根之和与两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得a的值．
【详解】
（1）∵ ，
∴ ，
∴对于任意实数a，方程恒有两个实数根．
（2）由韦达定理得：∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】
（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
②△=0⇔方程有两个相等的实数根；
③△＜0⇔方程没有实数根．
（2）一元二次方程根与系数的关系：
