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专题 15 反比例函数的定义
考点一 用反比例函数描述数量关系 考点二 根据定义判断是否是反比例函数
考点三 根据反比例函数的定义求参数 考点四 求反比例函数值
考点五 由反比例函数求自变量
考点一 用反比例函数描述数量关系
例题：（2022·江苏淮安·八年级期末）矩形的面积为20平方米，它的长y米，宽x米之间的函数表达式是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等量关系“长=矩形的面积 宽”，把相关数值代入即可求解．
【详解】解；由题意得：
．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的面积的灵活应用，关键是找到所求量的等量关系．
【变式训练】
1．（2022·浙江·九年级专题练习）如果等腰三角形的面积为6，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的
函数关系式为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】A
【分析】利用三角形面积公式得出 ，进而得出答案．
【详解】解： 等腰三角形的面积为6，底边长为 ，底边上的高为 ，
，与 的函数关系式为： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，解题的关键是根据已知得出 ．
2．（2022·湖北恩施·一模）如图的电路图中，用电器的电阻 是可调节的，其范围为 ，已知电
压 ，下列描述中错误的是（ ）
A． 与 成反比例： B． 与 成反比例：
C．电阻 越大，功率 越小 D．用电器的功率 的范围为
【答案】A
【分析】根据功率 判断即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴A选项错误
故选：A．
【点睛】本题考查物理的电功率公式，熟记物理公式 是解题的关键．
3．（2022·江苏南京·八年级期末）小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与
录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为 ______（ ）．
【答案】
【分析】根据录入的时间＝录入总量÷录入速度即可得出函数关系式．
【详解】解：由录入的时间＝录入总量÷录入速度，可得t （v＞0）．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，比较简单，解答本题的关键是掌握关系式录入的
时间＝录入总量÷录入速度．
考点二 根据定义判断是否是反比例函数
例题：（2022·浙江温州·八年级阶段练习）下列函数属于反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的定义，逐项判断即可．
【详解】解：A． 是一次函数，不符合题意，故本选项错误；
B． 是反比例函数，符合题意，故本选项正确；
C． 不是反比例函数，不符合题意，故本选项错误；
D． 是正比例函数，不符合题意，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义．
【变式训练】
1．（2021·广西·梧州市第十中学九年级阶段练习）在下列表达式中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
① ；②y=3－6x；③ ；④ （m是常数，m≠0）．
A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①③
【答案】D
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是 （k≠0），也可化为xy＝k（k≠0），据此即
可作出判断．
【详解】解：① 符合xy＝k（k≠0），故为反比例函数，故本选项正确；②y＝3﹣6x不符合反比例函数的定义，不是反比例函数，故本选项错误；
③ 符合 （k≠0），是反比例函数，故本选项正确；
④ （m是常数，m≠0）没有自变量，不是反比例函数，故本选项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，理解反比例函数的不同表达式是解题的关键．
2．（2021·全国·九年级专题练习）函数① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
；⑦ 和⑧ 中，是y关于x的反比例函数的有：__________（填序号）．
【答案】②③⑧
【分析】根据反比例函数的定义：形如 的函数，由此可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
函数① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ 和⑧ 中，
是y关于x的反比例函数的有②③⑧；
故答案为②③⑧．
【点睛】本题主要考查反比例函数的概念，熟练掌握反比例函数的概念是解题的关键．
3．（2021·全国·九年级专题练习）下列函数，① ②. ③ ④. ⑤
⑥ ；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________．
【答案】④⑥．
【分析】根据反比例函数的定义依次判断后即可解答.
【详解】①x（y+2）=1，可化为y= ，不是反比例函数；
② ，y与（x+1）成反比例关系；
③ 是y关于x2的反比例函数；
④ 符合反比例函数的定义，是反比例函数；⑤ 是正比例函数；
⑥ 符合反比例函数的定义，是反比例函数；
故答案为④⑥．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解决问题的关键.
考点三 根据反比例函数的定义求参数
例题：（2021·河南·漯河市第三中学九年级阶段练习）若函数 是反比例函数，则m的值为
_____．
【答案】0
【分析】根据反比例函数的定义进行计算即可．
【详解】解：由题意得：
且m+1≠0，
∴m＝0或m＝-1且m≠﹣1，
∴m＝0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义：y=kx-1（k≠0）的形式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校九年级期末）已知函数 是关于 的反比例函数，则实数
的值是________．
【答案】2
【分析】根据反比函数的定义得出 且 ，计算即可得出结论．
【详解】解：∵函数 是关于 的反比例函数，
∴ 且 ，
∴m＝2或﹣2，且 ，
∴m＝2．故答案为：2
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反
比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为 （k为常数，k≠0）或 （k为常数，
k≠0）．
2．（2021·甘肃·古浪县第六中学九年级阶段练习）已知反比例函数 ，则m=_____，函数的
表达式是_____．
【答案】 ﹣1 y
【分析】根据反比例函数的定义．即y （k≠0），只需令m2﹣2＝﹣1、m﹣1≠0即可．
【详解】解：依题意有m2﹣2＝﹣1且（m﹣1）≠0，所以m＝﹣1函数的表达式是y ．
故答案为：﹣1，y ．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 （k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
3．（2021·全国·九年级专题练习）当 ________时，函数 是反比例函数．
【答案】0
【分析】根据反比例函数的定义即可求得结果，注意反比例系数 k≠0．
【详解】解：由题意得：
，
解得：m=0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查反比例函数的定义和性质，解题关键是掌握反比例函数 （k≠0）的形式．
考点四 求反比例函数值
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级阶段练习）已知反比例函数 ，当x=1时，y=__________．
【答案】－6
【分析】把x=1代入此反比例函数的解析式 ，求出y的对应值即可．
【详解】解：把x=1代入 得， ，
故答案为：-6
【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，即形如y= （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．
【变式训练】
1．（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）反比例函数 的图象一定经过点（2，____）．
【答案】3
【分析】将 代入解析式即可求解．
【详解】将 代入 ，得 ，
∴反比例函数 的图象一定经过点 ，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，理解点的横坐标对应自变量的值是解题的关键．
2．（2021·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）点(3，m)在双曲线 ，则m=______
【答案】－4
【分析】把点(3，m)代入 即可求解．
【详解】把点(3，m)代入 得m=
故答案为：－4．
【点睛】此题主要考查反比例函数上的点，解题的关键是熟知坐标与函数的关系．
3．（2021·黑龙江·肇东市第七中学校九年级阶段练习）在反比例函数 中，当x＝1时，y的值为
______．
【答案】【分析】把x=1代入函数解析式，即可求出y．
【详解】解：当x=1时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，能理解函数图象上点的坐标特征
是解此题的关键．
考点五 由反比例函数求自变量
例题：（2022·江苏·赣榆汇文双语学校八年级阶段练习）若点A(t，2)在反比例函数 的图象上，则t
的值为_____．
【答案】 ##-0.5
【分析】将点A坐标代入反比例函数解析式，即可求出t的值．
【详解】将点A(t，2)代入 ，得： ，
解得： ．
经检验 符合题意．
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征．掌握函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关
键．
【变式训练】
1．（2022·江苏常州·八年级期末）若反比例函数y＝ 经过（a，－2），则a＝________．
【答案】
【分析】将 代入反比例函数解析式即可求解．
【详解】解：由题意 ，
∴ ，
故答案为：3．【点睛】本题考查了反比例函数图象及其定义，解题关键是牢记反比例函数图象上的点的横纵坐标分别对
应解析式中的自变量与函数值．
2．（2022·湖南邵阳·九年级期末）已知反比例函数 的图像经过点P（a-1，2），则a=______．
【答案】﹣3
【分析】直接将点P 代入 求出a即可．
【详解】∵反比例函数 的图象经过点P ，
∴直接将点P 代入 ，则2-2a=8，解得a=－3．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数知识和计算准确性是解决本
题的关键，难度较小．
3．（2022·云南文山·九年级期末）若点(m，-2)在反比例函数 的函数图象上，则m的值为
______________．
【答案】-2
【分析】将点(m，-2)代入 中，解出m即可．
【详解】将点(m，-2)代入 中，得： ，
解得： ．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．掌握函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．
一、选择题
1．（2022·湖南·新化县东方文武学校九年级期末）下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义：形如 的函数，叫做反比例函数；其中分母不能是多项式，
只能是 的一次单项式，即可．
【详解】A． ，分母是多项式，不满足反比例函数的定义，故不合题意；
B． ，分母是 的二次单项式，不满足 ；
C． ，满足反比例函数的定义，故符合题意；
D． ，是正比例函数，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握反比例函数的定义和解析式．
2．（2022·浙江丽水·八年级期末）反比例函数 的图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用代入法，把坐标一一代入反比例函数解析式，即可得出结果．
【详解】解：A．把 代入反比例函数，可得： ，故该选项不符合题意；
B．把 代入反比例函数，可得： ，故该选项符合题意；
C．把 代入反比例函数，可得： ，故该选项不符合题意；
D．把 代入反比例函数，可得： ，故该选项不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查了反比例函数的定义及解析式，解本题的关键在充分利用反比例函数解析式进行分析．
3．（2022·湖南·九年级单元测试）如果反比例函数 的图象经过点 ，则 （ ）
A．18 B． C．16 D．
【答案】D【分析】直接把点 代入反比例函数的解析式，即可求出k的值．
【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ；
故选：D．
【点睛】本题考核反比例函数的解析式，解题的关键是运用反比例函数的性质求参数．
4．（2022·江西吉安·九年级期末）点 ， 是反比例函数 的图象上两点，则mn的值
为（ ）
A．2 B．-3 C．6 D．-6
【答案】D
【分析】将 ， 代入 中，即可求出m、n的值，再相乘即可．
【详解】解：将 ， 代入 中，得：
， ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，代数式求值．掌握反比例函数图象上点的坐标满足其
解析式是解题关键．
5．（2022·湖南·九年级单元测试）已知函数 是关于 的反比例函数，则 的值为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的定义确定m的值即可．
【详解】解：∵函数 是反比例函数，
∴ ，解得： ；
故选：B
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是根据反比例函数的定义确定m的值，难度不大．
二、填空题
6．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知反比例函数 的图象经过点 ，则a的值为___________．
【答案】
【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可．
【详解】解：把点 代入 得：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函
数解析式是解题关键．
7．（2022·福建漳州·二模）若函数 的图象经过点 ，则m的值是____________．
【答案】3
【分析】把点 代入函数 中，求出m的值即可．
【详解】解：把 ， 代入函数 中，得 ．
故答案为：3．
【点睛】本题借助反比例函数考查了函数解析式与函数图像上的点的对应关系：函数图像上的任意一点的
坐标都满足该函数所对应的的解析式；反之，以函数解析式所确定的x、y的任意一组对应值为坐标的点都
在该函数图像上．这里在把点的坐标代入函数解析式时须注意：点的横坐标对应自变量x，纵坐标对应函
数值y．
8．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）已知反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为__________．
【答案】5
【分析】把点的坐标代入函数解析式得出方程，求出方程的解即可．【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点(1，2)，
∴将(1，2)代入得：k−3=2，
解得：k=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能根据已知得出关于k的方程是解此题的关键．
9．（2021·湖南·娄底一中九年级期中）当 ______时，函数 是反比例函数．
【答案】1
【分析】根据反比例函数的定义，可得 ，且 ，解出即可．
【详解】解：∵函数 是反比例函数，
∴ ，且 ，
解得： ，
∴当 时，函数 是反比例函数．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握形如 的形式的表达式称 是 的反
比例函数是解题的关键．
10．（2020·湖南·永州市零陵区宗元学校九年级阶段练习）给出的六个关系式：①x（y+1）；②y＝
；③y＝ ；④y＝﹣ ；⑤ ；⑥ ，其中y是x的反比例函数是_____．
【答案】④⑥
【分析】根据反比例函数的定义求解可得．
【详解】解：①x（y+1）不是函数，不符合题意；
②y＝ 是y关于x+2的反比例函数，不符合题意；
③y＝ 是y关于x2的反比例函数，不符合题意；④y＝﹣ ＝ ，是y关于x的反比例函数，符合题意；
⑤ 是y关于x的正比例函数，不符合题意；
⑥y＝ ＝ ，是y关于x的反比例函数，符合题意；
故答案为：④⑥．
【点睛】本题考查了正比例函数及反比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y=kx
（k≠0），反比例函数的一般形式是 （k≠0）．
三、解答题
11．（2021·全国·九年级课时练习）下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？
， ， ， ， ， ， ．
【答案】 ， ．
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y＝ （k≠0），可以判定函数的类型．
【详解】解：y＝4x不是反比例函数，
不是反比例函数，
是反比例函数，
y＝6x＋1不是反比例函数，
不是反比例函数，
不是反比例函数，
由xy＝123，可得：
，
所以xy＝123是反比例函数．综上：y是x的反比例函数的有： ， ，
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的形式为y＝ （k为常数，k≠0）
或y＝k （k为常数，k≠0）．
12．（2021·全国·九年级课时练习）用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：
（1）一个游泳池的容积为 ，游泳池注满水所用时间t（单位：h）随注水速度v（单位： ）的
变化而变化；
（2）某长方体的体积为 ，长方体的高h（单位： ）随底面积S（单位： ）的变化而变化；
（3）一个物体重 ，物体对地面的压强p（单位： ）随物体与地面的接触面积S（单位： ）的变
化而变化．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据游泳池的容积=游泳池注满水所用时间×注水速度解答即可；
（2）根据长方体的体积=长方体的底面积×高求解即可；
（3）根据物体对地面的压强=物体重量÷物体与地面的接触面积解答即可．
【详解】解：（1）根据vt=2000得：游泳池注满水所用时间 ；
（2）根据1000=Sh得：长方体的高 ；
（3）根据题意，物体对地面的压强 ．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解答的关键．
13．（2022·全国·九年级单元测试）已知y与x的函数解析式是y＝ ，
（1）求当x＝4时，函数y的值；
（2）求当y＝﹣2时，函数自变量x的值．
【答案】（1）－3；（2）x＝5
【分析】（1）把x＝4代入解析式，即可求得y的值；
（2）y＝−2代入解析式，即可求得自变量x的值．【详解】解：（1）当x＝4时，函数y＝ ；
（2）当y＝﹣2时，则﹣2＝ ，
解得x＝5．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象上点的坐标适合解析式是解题的关
键．
14．（2022·江苏·八年级专题练习）已知： ， 与 成正比例， 与 成反比例．当 时，
；当 时， ．求 与 的函数解析式．
【答案】y＝ （x+1）+
【分析】根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计
算即可得解
【详解】解：（1）设y＝k（x+1）（k≠0），y＝ （k≠0），
1 1 1 2 2
∴y＝k（x+1）+ ．
1
∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4，
∴ ，
∴ ，
∴y关于x的函数解析式是：y＝ （x+1）+ ；
【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，熟练准
确计算．
15．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，
面积为 ，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym．(1)直接写出y与x的函数关系式为______；
(2)现有两种方案 或 ，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长．
【答案】(1)
(2)22m
【分析】（1）)利用矩形的面积计算公式可得出xy= 60，变形后即可得出结论；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x = 5和x = 6时的y值，结合墙长11m即可得出应选
x = 6的设计方案，再将其代入2x + y中即可求出此栅栏的总长．
（1）
解：根据题意得： ，
∴y与x的函数关系式为： ，
故答案为： ；
（2）
解：当x= 5时， ，
∵ ，
∴不符合题意，舍去；
当x=6时， ，
∵ ，
∴符合题意，此栅栏总长为：
；
答：应选择x = 6的设计方案，此栅栏总长为22m．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数
关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x=5和x=6时的y值．
