专题15一次函数中的存在性问题（解析版）-重难点突破2021-2022学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练

专题 15 一次函数中的存在性问题 目录 题型一 等腰三角形存在性问题 题型二 等腰直角三角形存在性问题 题型三 45°角的存在性问题 题型四 直角三角形存在性问题 题型五 全等三角形存在性问题题型一 等腰三角形存在性问题 1．如图，一次函数的图象经过点 ， ．以线段 为边在第一象限内作等腰直角三角形 ， ．若第二象限内有一点 ，且 的面积与 的面积相等． （1）求直线 的函数表达式． （2）求 的值． （3）在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在．请说 明理由． 【解答】解：（1）设直线 的解析式为 ， 将点 ， 代入解析式， 得 ，解得 ， 直线 的解析式为 ； （2）如图，过点 作 轴交于点 ， ， ， ， ， 等腰直角三角形 ， ， 由勾股定理可得 ， ，， ， ， 的面积与 的面积相等， ， ； （3）①当 时，过 点作 轴交于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形 边 的中点， ， ； ②当 时， ， ，或 ； ③当 时，作 的垂线平分线 ，分别交 、 轴于点 、 ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ； 综上所述： 为等腰三角形时， 点的坐标为 或 或 ， 或 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线 向下平移1个单位后，得到直线 ， 交 轴于点 ， 点 是直线 上一动点，过点 作 轴交 于点 （1）求出点 的坐标；（2）连接 ，当 为以 为底边的等腰三角形时，求点 和点 的坐标； （3）点 为 的中点，连接 、 ，若点 在 轴的左侧， 为直线 上一动点，当 与 全等时，求点 的坐标． 【解答】解：（1） 直线 向下平移1个单位后，得到直线 ， 直线 的解析式为 ， 交 轴于点 ， ； （2）当 为以 为底边的等腰三角形时， ， 点 是直线 上一动点， 设点 ， 过点 作 轴交 于点 ，， ， ， ； （3） 点 为 的中点， ， ， 设 ， ，则 ， ， ， ， ， 与 全等， ①当 时， 有 ， ， ， ， ， 或 ， 或 ； ②当 时， 有 ， ，， ， ， 点 在 轴的左侧， ， 此时 不存在； 综上所述， 或 ． 3．如图，直线 分别与 轴、 轴交于 、 两点，直线 交直线 于点 ，点 为 轴 上一动点． （1）求点 坐标； （2）当直线 平分 的面积时，直线 与 轴交于点 ，求线段 的长； （3）若 是等腰三角形，直接写出点 的坐标． 【解答】解：（1） 直线 交直线 于点 ， 联立方程组 ， 解得： ， ； （2）如图，直线 分别与 轴、 轴交于 、 两点， 令 ，则 ，解得 ， 令 ，则 ， ， ， ， 点 为 轴上一动点．直线 平分 的面积， 设 ，则 ， ，即 ， ，即 ， ， 设直线 的解析式为 ， 由题意可得： ， 解得： ， 直线 的解析式为 ， ， ，轴 轴，即 ， 又 ， ， ； （3） ， ， 是等腰三角形， 此题有三种情形： ①当 时，如图①，则 ， 或 ， ； ②当 时，过点 作 （或 轴）于点 ，如图②， 则 ，即 ， ； ③当 时（即作 的中垂线交 轴于点 ，如图③， 又 直线 与 轴夹角 ， ， ，即 轴， ， ； 综上所述， ， 或 ， 或 或 ．4．如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ，连接 ， ， ，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ． （1）填空：直线 的解析式为 ； （2）若 与 的面积相等，求符合条件的点 的坐标； （3）当 为等腰三角形时，请直接写出符合条件的点 的坐标． 【解答】解：（1）设直线 的表达式为 ， 则 ，解得 ， 故直线 的表达式为 ，故答案为： ； （2）延长 交 轴于点 ， 由点 、 的坐标，同理可得，直线 的表达式为 ， 故点 ，则 ， 则 的面积 ， 而 的面积 的面积 ， 解得 ， 故点 ； （3）设点 ， 由点 、 、 的坐标得： ， ， ， 当 时，则 ，解得 ； 当 时，则 ，解得 或1， 当 时，则 ，无解； 综上，点 的坐标为 或 或 ． 5．如图1，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，长方形 的顶点 、 分别在 轴与 轴上，已知， ．点 为 轴上一点，其坐标为 ，点 从点 出发以每秒2个单位的速度沿线段 的方向运动，当点 与点 重合时停止运动，运动时间为 秒． （1）当点 经过点 时，求直线 的函数解析式； （2）①求 的面积 关于 的函数解析式； ②如图2，把长方形沿着 折叠，点 的对应点 恰好落在 边上，求点 的坐标． （3）点 在运动过程中是否存在使 为等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说 明理由． 【解答】解：（1） ， ，四边形 为长方形， ． 设此时直线 解析式为 ， 把 ， 分别代入，得 ， 解得 则此时直线 解析式为 ； （2）①当点 在线段 上时， ，高为6， ； 当点 在线段 上时， ，高为 ， ；②设 ，则 ，如图2， ， ， ， ， ， ，解得 则此时点 的坐标是 ， ； （3）存在，理由为： 因为 ，所以满足条件的点 上． 若 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3， ①当 ， 在 中， ， ， 根据勾股定理得： ， ，即 ； ②当 时，此时 ； ③当 时， 在 中， ， 根据勾股定理得： ， ，即 ， ， 综上，满足题意的 坐标为 或 ， 或 ．6．如图，直线 与 轴 轴分别交于 、 两点在 轴上有一点 ， 是 上一点． （1）点 的坐标： ；点 的坐标 ； （2）若 ，求直线 的表达式； （3）在（2）的条件下， 轴上是否存在点 ，使得 是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的 点 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令 ，由 ，得 ， ； 当 时， ， ． 故答案为： ； ． （2）如图1，作直线 ，射直线 的函数表达式为 ， ， ， 是 上一点， ； 把 、 代入 得， ， 直线 的表达式为 ． （3）存在，如图2， ，则 垂直平分 ， ， ；如图3， ，点 与点 在直线 的同侧， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图4， ，点 与点 在直线 的异侧， ， ， ， ； 如图5， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ． 综上所述，点 的坐标为 或 ， 或 ， 或 ．7．如图①，在平面直角坐标系中， 的边 在 轴上，点 坐标为 ，点 在第一象限， ， ． 为射线 上一点，过 作直线 轴交 于 ，交射线 于 ．（1）求 点坐标； （2）当 为线段 中点时，在直线 上找点 ，当 为等腰三角形，请直接写出 点坐标； （3）如图②， 为 中点，当 时，求 点坐标． 【解答】解：（1）如图①，过点 作 于 ， ， ， ， ， ， ， ； （2） ， ， 点 是 中点， ， ， ， 设 ， ， ， ， ，为等腰三角形， ① ， ， 或 ， 或 ， ② ， ， ， ③ ， ， （舍 或 ， ， 即：满足条件的点 或 或 或 ； （3）如图 由（1）知， ， 直线 的解析式为 ， ， 直线 的解析式为 ， 点 是 中点， ，设点 ， ， ， ， ， ， 或 ， 或 ． 题型二 等腰直角三角形存在性问题 8．已知一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且 的面积为4，函数值 随自 变量 的值增大而减小． （1）求直线 的表达式，并画出函数图象；（2）以线段 为底边在第一象限作等腰直角三角形 ，求点 的坐标． 【解答】解：（1）令 ，则 ， 一次函数与 轴交点 ， ， ， ， ， 函数值 随自变量 的值增大而减小， ， 将 代入到一次函数解析式中得， ， 直线 的表达式为 ，函数图象如图1； （2）如图2，线段 为底边在第一象限作等腰直角三角形 ， 过 作 轴于 ，过 作 轴于 ， ，四边形 为矩形， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， 矩形 为正方形， ， ， ， ．9．如图，已知长方形 的顶点 在坐标原点， 、 分别在 、 轴的正半轴上，点 的坐标为 ，直线 分别边 、 轴交于 、 两点．连接 ，与直线 交于点 ． （1）求 所在的直线的解析式； （2）在直线 上找一点 ，使 的面积等于 的面积，请求出点 的坐标； （3）已知点 在第一象限，且是直线 上的点，点 是边 上一点，若 是等腰直角三角形，求 点 的坐标． 【解答】解：（1） 长方形 ，点 的坐标为 ， ， ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． 设直线 的解析式为： ， 将 、 代入得： ， 解得： ， ． （2）将直线 和 联立成方程组得： ， 解得： ， 点 的坐标是： ． 将 代入直线 得： ． 点 的坐标为 ． ， ， ， 将 代入直线 得： ， 解得： ， 点 的坐标为 ，点 在直线 上， 设点 的坐标为 ， 当点 在 上方时， ， 解得： ， ， 点 的坐标为 ， 当点 在 下方时， ， 解得： ， ， 点 的坐标为 ， 综上所述点 的坐标为 或 ． （3）①当 ， 时，如图①， 过点 、 作 轴的垂线，垂足为 、 ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ，， ， ， 设 ， 点坐标为 ， ， 解得： ， 点 在边 上， ， ，不会题意，舍去． ②当 ， 时，如图②，设 ， 过点 作 ，交 的延长线于点 ， 则 ， ， ， ， ， 在 和 中， ABPPNM  APBPMN  PAPB ， PABMPN， ABPN 5，PBMN 4m， NC m5，P到 y 轴的距离为54m9m， (9m,m5) 点M 的坐标为 ， 点M 在直线l上， 2(9m)3m5 ，10 m 解得： 3 ， 17 25 ( , ) 点M 的坐标为 3 3 ．③当AMP90，MAMP时，如图③， 过点M 作 NM  y 轴，垂足为点N，延长NM 交直线CB于点 Q ， MNAMQP90 则 ， QMPQPM 90 ，  AMP90， AMN QMP90 ， QPM NMA ， 在AMN 和 MPQ 中， QPM NMA  PQM MNA  MPMA ， AMN MPQ ， NM PQ MQ AN ， ， NM PQm 设 ， 当点M 在AP上方时， QM  AN 5m ， ON 5m49m， (m,9m) 点M 的坐标为 ， 2m39m， 解得：m4，(4,5) 点M 的坐标为 ． 当点M 在AP下方时， QM  AN 5m ， ON 4(5m)m1 ， (m,m1) 点M 的坐标为 ， 2m3m1， 解得：m2， (2,1) 点M 的坐标为 ． 17 25 ( , ) 综上所述点M 的坐标为 3 3 、 (4,5) 或 (2,1) ．M(x 10．在直角坐标平面中，任意线段的中点坐标可以用这条线段的两个端点的坐标来表示，若平面内点 1， x x y  y 1 ( 1 2 1 2) y x2 y 1 ) ，点 N(x 2， y 2 ) ，则线段MN 的中点坐标可以表示为 2 ， 2 ，如图，直线 2 与x轴 交于A点，与 y 轴交于B点，点C是线段AB的中点． （1）求点C的坐标． （2）点D在 y 轴上，且CD AB，求直线CD的表达式． （3）在平面直角坐标系内，直线 AB下方是否存在一点E，使得ABE是等腰直角三角形，若存在，请直 接写出点E的坐标，不存在，请说明理由．1 y x2 【解答】解：（1）直线 2 与x轴交于A点，与 y 轴交于B点， A(4,0) B(0,2) ， ， 40 02 C( ) 2 ， 2 ， C(2,1) ； （2）如图， A(4,0) B(0,2)  ， ， OA4，OB2， 在RtOAB中，AB OA2 OB2 2 5， 点C是线段AB的中点， BC  5，  CD AB，DCB90， DCBAOB90，  DBC ABO， DBC∽ABO， BD BC BD 5  BD   BA BO ，即 2 5 2 ， BD5，  OB2， OD3， (0,3) 点D的坐标为 ， 设直线CD的表达式为 ykx3 ，将 C(2,1) 代入得：2k31，解得：k 2， 直线CD的表达式为 y2x3 ； （3）分别过点A，点B作AB的垂线，在直线AB下方截取 AE 1  AB ， BE 2  AB ，连接 BE 1， AE 2交于 E 3， AE  AB BE  AB AE  AB BE  AB  1 ， 2 ， 1 ， 2 ， ABE ABE 1、 2是等腰直角三角形， ABE BAE 45 1 2 ，AE BE AE B90 3 3， 3 ， ABE 3是等腰直角三角形， 过点 E 1， E 2作 E 1 M x 轴于M ， E 2 N  y 轴于N，  1390，2390， 12， AE  AB AME AOB90  1 ， 1 ， AME BOA(AAS) 1 ， ME 1 OA4 ，AM OB2， OM 2， E (2,4) 点 1的坐标 ， E (2,2) 同理点 2的坐标 ， A(4,0)  ， 42 20 ( ) 点 E 3的坐标 2 ， 2 ，即 E 3 (1,1) ， (2,4) (2,2) (1,1) 综上，点E的坐标为 或 或 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点 A(2,3) ， B(4,0) ，交 y 轴于点C； （1）求直线AB的关系式； （2）求OBC 的面积； （3）作等腰直角三角形PBC ，使PC BC，求出点P的坐标．ykxb 【解答】解：（1）设直线AB解析式为 ， A(2,3) B(4,0) 直线AB经过点 ， ， 32kb  04kb ，  1 k   2   b2 ， 1 y x2 直线AB的解析式： 2 ； （2）直线AB交 y 轴于点C， C(0,2) 点 ， OC 2， B(4,0)  ， OB4， 1 S  244 OBC 2 ； PE y （3）如图，当点P在直线AB下方时，过点P作 轴于E，PEC PCB90， PCEBCO90PCECPE， CPE BCO， 又 PC BC ，BOC PEC 90， PCE CBO(AAS) ， BOCE4，OC PE2， OE 2， P(2,2) 点 ， 当点P在直线AB上方时，同理可得：OC PE2，EC OB4， OE6， P(2,6) 点 ， P(2,6) (2,2) 综上所述：点 或 ． 12．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1 :yk 1 x2 3 与x轴、 y 轴分别交于点A、B两点，OA 3OB， 直线 l 2 :yk 2 xb 经过点 C(1, 3) ，与x轴、 y 轴和线段AB分别交于点E、F 、D三点． l （1）求直线 1的解析式； （2）如图①：若EC ED，求点D的坐标和BFD的面积； （3）如图②：在坐标轴上是否存在点P，使PCD是以CD为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写 出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线 yk 1 x2 3 与 y 轴B点， B(0 2 3) ， ， OB2 3，  OA 3OB6， A(6,0) ， 3 k  把 A(6,0) 代入 yk 1 x2 3 得到， 1 3 ， 3 y x2 3 直线 l 1的解析式为 3 ． （2）如图1中，作CM OA于M ，DN CA于N．  CME DNE 90，MEC NED，EC DE ， CMEDNE(AAS) ， CM DNC(1, 3)  ， CM DN  3， 3 3 x2 3 当 y 3 时， 3 ， 解得x3， D(3, 3) ，  k b 3 2  把 C(1, 3) ， D(3, 3) 代入 yk 2 xb ，得到 3k 2 b 3 ，  k  3 2  解得 b2 3 ， 直线CD的解析式为 y 3x2 3 ， F(0,2 3) ， 1 S  4 336 3 BFD 2 ． （3）①如图③1中，当PC PD，CPD90时，作DM OB于M ， CN  y 轴于N．设 P(0,m) ．  DMPCNPCPD90， CPN PCN 90，CPN DPM 90， PCN DPM ，  PDPC ，DMPNPC(AAS) ， CN PM 1，PN DM m 3， D(m 3 m1) ， ， 3 3 y x2 3 m1 (m 3)2 3 把D点坐标代入 3 ，得到： 3 ， 解得m4 36， P(0 4 36) ， ． ②如图③2中，当PC PC，CPD90时，作DM OA于M ，CN OA于N．设 P(n,0) ． 同法可证：DMPPNC， PM CN  3，DM PN n1， D(n 3 n1) ， ， 3 3 y x2 3 n1 (n 3)2 3 把D点坐标代入 3 ，得到： 3 ， 解得n2 3 P(2 3 0) ， ． ③如图③3中，当点P在x则的负半轴上时，作DM OA于M ，CN OA于N．设 P(n,0) ．3 3 y x2 3 1n (n 31)2 3 同法可得 D( 3n1 ， 1n) ，把D点坐标代入 3 ，得到： 3 ， 15 3 n 解得 2 ， 15 3 P( 2 ， 0) ，此时点D在第二象限，不符合题意舍弃． (0 4 36) (2 3 0) 综上所述，满足条件的点P坐标为 ， 或 ， ． 题型三 45°角的存在性问题 13．（1）如图1，在四边形ABCD中，BC 90，点E是边BC上一点，ABEC ，BE CD，连 接AE、DE ，求证AED是等腰直角三角形． （2）如图2，一次函数 y2x2 的图象与 y 轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC 交x轴于点D，且 CAB45，则点D的坐标为 (6,0) ． 【解答】（1）证明：在ABE和ECD中，ABCE  BC 90  BE CD ， ABEECD (SAS) ， AE DE，AEBEDC， 在RtEDC中，C 90， EDCDEC 90． AEBDEC 90．  AEBDECAED180， AED90． AED是等腰直角三角形； （2）解：如图2，过点B作BE  AB，交AD于点E，过点E作EF OD，交OD于点F ， 把x0代入 y2x2 中，得 y2 ， (0,2) 点A的坐标为 ， OA2， 把 y0 代入 y2x2 ，得2x20，解得x1， (1,0) 点B的坐标为 ， OB1，  AOOB，EF BD， AOBBFE 90，  ABBE ， ABE90，BAE 45，ABBE ，ABOEBF 90， 又 ABOOAB90， OABEBF ， 在AOB和BFE中， OABEBF  AOBBFE  ABBE ， AOBBFE(AAS) ， BF OA2，EF OB1， OF 3， (3,1) 点E的坐标为 ， 设直线AC 的解析式为 ykxb ， 3kb1  b2 由题意可得 ，  1 k   3 解得  b2 ， 1 y x2 直线AC 的解析式为 3 ， 令 y0 ，解得x6， D(6,0) ． 14．如图1，直线 AB的解析式为 ykx6 ，D点坐标为 (8,0) ，O点关于直线 AB的对称点C点在直线 AD上． （1）求直线AD、AB的解析式． （2）如图2，若OC 交AB于点E，在线段AD上是否存在一点F ，使ABC 与AEF的面积相等，若存 在求出F 点坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图3，过点D的直线 l:ymxb ，当它与直线AB夹角等于45时，求出相应m的值．ykx6 【解答】解：（1） ， A(0,6) ， OA6， D(8,0)  ， OD8， 3 y x6 直线AD的解析式为 4 ， 在RtABD中，AD10，  O点、点C关于直线AB对称， 设OBBC a，OA AC 6，CD4， BD8a， 在RtBCD中， a2 42 (8a)2 ， a3， B(3,0) ， y2x6 直线AB的解析式为 ； （2） C 点在直线AD上， 3 C(x, x6) 设 4 ，  OE  AB，OAOB，OABCOB， 3  x6 4 3   x 6 ， 24 x 5 ， 24 12 C( ) 5 ， 5 ， 1 y x 直线OC 的解析式为 2 ，  ABC与AEF的面积相等， BEC与ECF 的面积相等， BF //OC ， 1 y xn 设直线BF 的解析式为 2 ， B(3,0)  在直线BF 上， 3 b 2， 1 3 y x 直线BF 的解析式为 2 2 ， 1 3 3 x  x6 联立2 2 4 ， x6， 3 F(6, ) 2 ； （3）设直线DE 、DF 与直线AB夹角等于45， DEF 为等腰直角三角形， 作EM DM 于M ，FN DN于N， DEM FDN(AAS) ， EM DN ，DM FN ， 直线l 经过 D(8,0) ， b8m，设 E(t,2t6) ，则EM DN 8t，DM FN 2t6， F(22t,t8) ，  F 点在直线AB上， t82(22t)6 ， t 2， E(2,2) F(6,6) ， ， 1 m 当直线l经过E点时，2m8m2，解得 3， 当直线l经过F 点时，6m8m6，解得m3， 1  m3或 3． ykx13k(k 0) 15．已知一次函数 ． （1）该函数图象一定经过定点A，求A点坐标； B(6,0) （2）该函数经过点 ，①若点C为 y 轴上一点， S ABC 6 ，求C点坐标； ②若点P为该函数上一点，且OPA45，求P点坐标； ykx13k (x3)k1 【解答】解：（1） ， x3时， y1 ， A(3,1) ． B(6,0) ykx13k （2）①把点 代入 ，得： 1 k  6k13k 0，解得： 3， 1 y x2 直线解析式为： 3 ， 当x0时， y2 ， y (0,2) 直线与 轴的交点D为 ， C(0,a) CD|a2| 设点 ，则 ， S S S 6  ABC BCD ACD ， 1 1 |a2|6 |a2|36  2 2 ， a 2 a 6 解得： 1 ， 2 ， C (0,6) C (0,2) 1 ， 2 ， ②过点O作OH 垂直BD于点H ， B(6,0) D(0,2)  ， ， OB6，OD2，BD2 10 ， 1 1 S  OBOD BDOH  BOD 2 2 ，1 1 26 2 10OH  2 2 ， 3 10 OH  解得： 5 ，  OPA45， OPH 为等腰直角三角形， 6 5 OP 2OH  5 ， 1 P(n, n2) 设点 3 ， 1 6 5 OP n2 ( n2)2  3 5 ， 6 12 n  n  解得： 1 5 ， 2 5 ， 6 1 12 n n2 当 5 时，3 5 ， 12 1 6 n n2 当 5 时，3 5， A(3,1)  ， 此时，点P在点A的下方，OPA135，不符合题意， 6 12 P(  ) 5 ， 5 ．16．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴， y 轴于 A(a,0) ， B(0,b) ，且满足 a2b2 8b160． （1）求a，b的值； （2）点P在直线AB的右侧，且APB45． ①若点P在x轴上（图 1) ，求点P的坐标； ②若ABP为直角三角形，求P点的坐标． 【解答】解：（1） a2b2 8b160， a2(b4)2 0  ， a2，b4； （2）①如图1中，  APB45，POB90， OPOB4， P(4,0) ．(4,0) 故答案为 ． ② a2，b4 OA2OB4 又 ABP为直角三角形，APB45 只有两种情况，ABP90或BAP90 ①如图2中，若ABP90，过点P作PC OB，垂足为C． PCBBOA90， 又 APB45， BAPAPB45， BABP， 又 ABOOBPOBPBPC 90， ABOBPC ， ABOBPC(AAS) ， PC OB4，BC OA2， OC OBBC 422， P(4,2) ． ②如图3中，若BAP90，过点P作PDOA，垂足为D．PDAAOB90， 又 APB45， ABPAPB45， AP AB， 又 BADDAP90， DPADAP90， BADDPA， BAOAPD(AAS) ， PDOA2，ADOB4， OD ADOA422， P(2,2) ． (4,2) (2,2) 综上述，P点坐标为 ， ． 17．【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过点A作 ADED于点D，过点B作BE ED于点E，易证明BEC CDA（无需证明），我们将这个模型称为 “K 形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰RtACB，ACB90，AC BC ，AB与 y 轴交 点D，点C的坐标为 (0,2) ，A点的坐标为 (4,0) ，求B，D两点坐标；（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l函数关系式为： y4x4 ，它交 y 轴于点A，交x轴于点C， 在x轴上是否存在点B，使直线AB与直线l的夹角为45？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明 理由． 【模型拓展】（3）如图4，在RtABC中，C 90，AC 6，BC 8，点D在AC 上，点E在BC上， CD2，分别连接BD，AE交于F 点．若BFE 45，请直接写出CE 的长． BE y 【解答】解：（1）如图1，过点B作 轴于E， 点C的坐标为 (0,2) ，A点的坐标为 (4,0) ， OC 2，OA4， 等腰RtACB，ACB90，AC BC ， 又 BE  y 轴， y 轴 x轴， BEC AOC ACB90， BCEACO90，BCECBE90， ACOCBE， 在CEB和AOC 中，BEC AOC  CBEACO  BC  AC ， CEBAOC(AAS) ， BE OC 2，CE  AO4， OECEOC 422， B(2,2) ， ykxb(k 0) 设直线AB的解析式为 ， A(4,0) B(2,2)  ， ， 4kb0  2kb2 ，  1 k    3  4 b  3 ， 1 4 y x 直线AB的解析式为 3 3， y  AB与 轴交点D， 4 D(0, ) 3 ； （2）存在符合条件的点B．理由如下： ①点B在x负半轴上，如图2， 过点C作CD AC，交AB于点D，过点D作DE x轴于点E，  BAC 45，ACD90， CACD，  DEC ACDACO90， BCDACO90，BCDCDE 90， ACOCDE ， CEDAOC(AAS) ，DEOC 1，CE  AO4， OE 5， D(5,1) ， 设直线AD的解析式为 yk 1 xb 1 (k 1 0) ， A(0,4) D(5,1)  ， ， b 4 1  5k 1 b 1 1 ，  3 k   1 5 解得：  b 1 4 ， 3 y x4 直线AD的解析式为 5 ， 20 B( 0) 3 ， ； ②点B在x正半轴上，如图3， 过点C作CD AC交AD于点D，过点D作DE x轴于点E，  BAC 45，ACD90， CACD，  DEC ACDAOC 90， BCDACO90，BCDCDE 90， ACOCDE ， CEDAOC(AAS) ， DEOC 1，CE  AO4， OE 3， D(3,1) ， 设直线AD的解析式为 yk 2 xb 2 (k 2 0) ， A(0,4) D(3,1)  ， ，b 4 2  3k 2 b 2 1 ，  5 k   2 3 解得：  b 2 4 ， 5 y x4 直线AD的解析式为 3 ， 12 B( 5 ， 0) ； 20 12 B( ( 综上所述， 3 ， 0) 或 5 ， 0) ； （3）如图4，过点E作EG//BD，过点A作AH EG 于G 交x轴于H ， 在 y 轴负半轴上截取CN CD2，过点N作 MN  y 轴交AH 的延长线于M ， 则ANM AGE EGH BCD90，  AN  ACCN 628，BC 8， AN BC ，  EG//BD， DBC GEH ，AEGBFE 45，  GEH EHG90，MAN EHG90， MAN GEH DBC， 在MAN 和DBC 中， MAN DBC  AN BC  ANM BCD ， MAN DBC(ASA) ， MN CD2， M(2,2) ， 设直线AM 解析式为 yk 3 xb 3 (k 3 0) ， A(0,6) M(2,2)  ， ，b 6 3  2k 3 b 3 2 ， k 4 3  解得：b 3 6 ， y4x6 直线AM 解析式为 ， 令 y0 ，得4x60， 3 x 解得： 2 ， 3 H( 2， 0) ， 3 CH  2， 3 3 17 AH  AC2 CH2  62 ( )2  在RtACH中， 2 2 ， 3 EH m 设 E(m,0) ，则 2 ， 1 1 EHAC  AHEG  2 2 ， 3 (m )6 EHAC 2 4 17 3 EG   (m ) AH 3 17 17 2 2 ，  AEG45，AGE 90， AGE 是等腰直角三角形， 4 17 3 AE  2EG 2 (m ) 17 2 ， 在RtACE中，AE2  AC2 CE2 ， 4 17 3 [ 2 (m )]2 62 m2 17 2 ， 18 m  解得： m 1 10 （舍去）， 2 5 ，18 E( 0) 5 ， ， 18 OE 5 ．题型四 直角三角形存在性问题 18．如图，在平面直角坐标系中，函数 yx2 的图象与 x轴， y 轴分别交于点 A， B，与函数 1 y xb 3 的图象交于点 C(2,m) ． （1）求m和b的值； 1 y xb （2）函数 3 的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动 到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当ACE 的面积为12时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t 的值，使ACE 为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在， 请说明理由． C(2,m) yx2 【解答】解：（1）点 在直线 上， m(2)2224 ， C(2,4) 点 ， 1 y xb 函数 3 的图象过点 C(2,4) ，1 14 4 (2)b b 3 ，得 3 ， 14 即m的值是4，b的值是 3 ； （2）①函数 yx2 的图象与x轴， y 轴分别交于点A，B， A(2,0) B(0,2) 点 ，点 ， 1 14 y x 函数 3 3 的图象与x轴交于点D， (14,0) 点D的坐标为 ， AD16，  ACE的面积为12， (162t)4 12  2 ， 解得，t5． 即当ACE 的面积为12时，t的值是5； ②当t4或t6时，ACE 是直角三角形， 理由：当ACE 90时，AC CE， A(2,0) B(0,2) C(2,4) D(14,0) 点 ，点 ，点 ，点 ， OAOB，AC 4 2 ， BAO45， CAE45， CEA45， CACE 4 2 ， AE8，  AE 162t， 8162t， 解得，t4； 当CEA90时， AC 4 2，CAE 45， AE4，  AE 162t， 4162t， 解得，t6； 由上可得，当t4或t6时，ACE 是直角三角形． (4,4) (2,0) 19．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为 ，点B的坐标为 ． （1）求线段AB的长； （2）点M 是坐标轴上的一个点，若以AB为直角边构造直角三角形ABM ，请求出满足条件的所有点M 的坐标； （3）如图2，以点A为直角顶点作CAD90，射线AC 交x轴的负半轴与点C，射线AD交 y 轴的负半 轴与点D，当CAD绕点A旋转时，OCOD的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化， 直接写出它的变化范围（不要求写解题过程）． 【解答】解：（1）如答图1，过点A作AH x轴于H ， A(4,4)  ， H(4,0) AH 4， ， B(2,0)  ， BH 6， 在RtAHB中，根据勾股定理得，AB AH2 BH2  42 62 2 13；（2）如答图2，当点M 在x轴上时，设点 M(m,0) ， A(4,4) B(2,0) 点 ， ， AM2 (m4)2 42 ，BM2m， 由（1）知，AB2 13 ，  ABM是以AB为直角边的直角三角形， AM2  AB2 BM2， (m4)2 42 (2 13)2 (2m)2 ， 20 m 3 ， 20 M( 0) 3 ， ， 当点M 在 y 轴上时，设 M(0,n) ， A(4,4) B(2,0) 点 ， ， AM2 (n4)2 42 ，BM2 22 n2 ， 由（1）知，AB2 13 ，  ABM 是以AB为直角边的直角三角形， 当BAM 90时，AM2  AB2 BM2， (n4)2 42 (2 13)2 22 n2 ， n10， M(0,10) ， 当ABM90时，AM2 BM2  AB2， (n4)2 42 22 n2 (2 13)2 ， n3，M(0,3) ， 20 M( 即满足条件的点 3 ， 0) 或 (0,10) 或 (0,3) ； （3）OCOD的值不发生变化，理由： 过点A作AH x轴于H ，则AH 4，AG4， H(4,0) ， G(0,4) ， OH 4，OG4，  CADHAG90， CAH DAG， AHC AGD(ASA) ， CH DG， OCODOH CH (DGOG)OH CH DGOGOH OG8 ， 即OCOD的值不变，定值为8．20．如图，在ABO中，以O为原点构建直角坐标系，点B在x轴上， AB与 y 轴交于点 C(0,3) ，已知 OB4， S AOB 8 ． （1）求直线AB的解析式； （2）求点A的坐标； （3）在x轴上是否存在点D，使得ABD是直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明 理由．B(4,0) C(0,3) 【解答】解：（1）由条件可得： ， ，  3 k  04kb  4  设直线AB的解析式为： ykxb ，则b3 ，解得：  b3 ， 3 y x3 直线AB的解析式为： 4 ； 1 S  4y8 （2）设点 A(x,y) ，则 AOB 2 ，解得： y4 ， 4 ( ,4) 点A的坐标为 3 ； （3）存在，理由如下： 4 400 AB2 (4 )2 42  设点D为 (m,0) ， 3 9 ， 4 8 160 AD2 (m )2 42 m2  m BD2 (4m)2 m2 8m16 ， 3 3 9 ， 由题意可得ABD是直角三角形需分两种情况讨论： 4 ( ,0) ①ADB90，此时点D的坐标为 3 ； ②BAD90，AB2  AD2 BD2， 400 8 160 13 m2  m m2 8m16 m 即 9 3 9 ，解得： 3 ， 13 ( ,0) 此时点D的坐标为 3 ； 4 13 ( ,0) ( ,0) 综上所述，存在满足条件的点D的坐标为 3 或 3 ． 1 AC:y xn 21．如图，直线 2 交 y 轴于点 C(0,1) ，直线 BD:yxm 交x轴于点 B(4,0) ，两直线交于点 P，根据图中的信息解答下列问题： 1  xn1 1 2 （1）不等式2 xn1 的解集是 x0 ，不等式组  xm� 0 的解集是 ； （2）求点P的坐标；（3）若过点P的直线与x轴交于点E，当以A、P、E为顶点的三角形是直角三角形时，求直线PE 的解 析式． 1 AC:y xn 【解答】解：（1）直线 2 交 y 轴于点 C(0,1) ， 1 xn1 不等式2 的解集是x0， 1 AC:y xn 直线 2 交 y 轴于点 C(0,1) ， 1 xn1 不等式2 的解解为x0， 直线 BD:yxm 交x轴于点 B(4,0) ， 不等式 xm�0 的解集为 x�4 ， 1  xn1 2 不等式组  xm� 0 的解集是 0 x�4 ， 故答案为：x0； 0 x�4 ； 1 y xn （2）直线 2 交 y 轴于点 C(0,1) ， 1 0n1  2 ，则n1， 1 y x1  2 ， 直线 yxm 交x轴于点 B(4,0) ， 04m，则m4， yx4 ， 1 y x1  2 x2  解方程组  yx4 ，得 y2 ， P(2,2) ； （3）如图，当AEP90时， PE  AE， E(2,0) ， 直线PE 为：x2， 当APE90时，AP2 PE2  AE2， E(a,0) 设点 ， 1 y x1 如图，直线AC 为 2 与x轴交于点A， A(2,0) ， 则AEa2， P(2,2) 由（2）知， ， AP2  AE2 PE2 20， PE2 (a2)2 4 ， 20(a2)2 4(a2)2 a3， E(3,0) ， 设直线PE的解析式为 ykxb ， 2kb2 k 2   则3kb0 ，解之： b6 直线PE的解析式为： y2x6 ．22．如图，在平面直角坐标系中，过点 A(0,6) 的直线 AB与直线OC 相交于点 C(2,4) 动点 P沿路线 OCB运动． （1）求直线AB的解析式； 1 （2）当OPB的面积是OBC 的面积的4 时，求出这时点P的坐标； （3）是否存在点P，使OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． (0,6) 【解答】解：（1）点A的坐标为 ， ykx6 设直线AB的解析式为 ， C(2,4) 点 在直线AB上， 2k64， k 1， yx6 直线AB的解析式为 ； yx6 （2）由（1）知，直线AB的解析式为 ， y0 令 ，x60， x6， B(6,0) ， 1 S  OBy 12 OBC 2 C ， 1  OPB的面积是OBC 的面积的4 ， 1 S  123 OPB 4 ， 设P的纵坐标为m， 1 S  OBm3m3 OPB 2 ， m1， C(2,4)  ， 直线OC 的解析式为 y2x ， 1 x 当点P在OC 上时， 2 ， 1 P( 1) 2 ， ， 当点P在BC上时，x615， P(5,1) ， 1 P( 1) (5,1) 即：点 2， 或 ； （3） OBP是直角三角形， OPB90， ①当点P在OC 上时，如图，过点C作CH x轴于H ， C(2,4)  ， CH 4，OC2 51 1 S  OBCH  OCBP OBC 2 2 ， OBCH 64 12 5 BP   OC 2 5 5 ， 由（2）知，直线OC 的解析式为 y2x ①， (m,2m) 设点P的坐标为 ， B(6,0)  ， 144 BP2 (m6)2 4m2  5 ， 6 m 5 6 12 P( ) 5 ， 5 ， ②当点P在BC上时，同①的方法， P(3,3) ， 6 12 ( ) (3,3) 即：点P的坐标为 5， 5 或 ． 23．如图，在平面直角坐标系中，函数 yx2 的图象与 x轴， y 轴分别交于点 A， B，与函数 1 y xb 3 的图象交于点 C(2,m) ．（1）求m和b的值； 1 y xb （2）函数 3 的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动 到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当ACE 的面积为12时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t 的值，使ACE 为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在， 请说明理由． C(2,m) yx2 【解答】解：（1）点 在直线 上， m(2)2224 ， C(2,4) 点 ， 1 y xb C(2,4) 函数 3 的图象过点 ， 1 14 4 (2)b b 3 ，得 3 ， 14 即m的值是4，b的值是 3 ； （2）①函数 yx2 的图象与x轴， y 轴分别交于点A，B， A(2,0) B(0,2) 点 ，点 ， 1 14 y x 函数 3 3 的图象与x轴交于点D， (14,0) 点D的坐标为 ， AD16， 由题意可得，DE 2t，则AE 162t ，yx2   1 14 x2 y x  由   3 3 ，得 y4 ， 则点C的坐标为 (2,4) ，  ACE的面积为12， (162t)4 12  2 ， 解得，t5 即当ACE 的面积为12时，t的值是5； ②当t4或t6时，ACE 是直角三角形， 理由：当ACE 90时，AC CE， A(2,0) B(0,2) C(2,4) D(14,0) 点 ，点 ，点 ，点 ， OAOB，AC 4 2 ， BAO45， CAE45， CEA45， CACE 4 2 ， AE8，  AE 162t， 8162t， 解得，t4； 当CEA90时，  AC 4 2，CAE 45， AE4，  AE 162t， 4162t， 解得，t6； 由上可得，当t4或t6时，ACE 是直角三角形．24．已知，如图1，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形OABC 的边OA在 y 轴的正半轴上，OC 在x轴的正半 轴上，OA2，OC 3，过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交 OA于点E． （1）求经过点E、D的直线解析式； （2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于 点G ，使得EF 2GO，请求出此时OG的长度． （3）对于（2）中的点G ，在直线ED上是否存在点P，使得点P与点D、G 构成的DPG是直角三角形？ 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1中， 四边形ABCO是矩形， OABB90，  AODDOC 45，OA AD2，DB1，  DE DC， EDC 90， ADEBDC 90，  BDCBCD90， ADE DCB，  OD平分AOC， AODDOC 45， ADOAOD45， AD AO， 又 OADDBC 90， ADE BCD(AAS) ， AE1BD， E(0,1) ， b1  设直线DE 的解析式为 ykxb ，则有2kb2 ，  1 k   2 解得  b1 1 y x1 直线DE 的解析式为 2 （2）如图2中，作DROC于R．易知ADERDG， AF RG，设OGm，则AF GR2m， EF 12m3m，  EF 2OG， 3m2m， m1， OG1． （3）如图3中， ①作GPBE于P，则PDG是直角三角形．  G(1,0) ，GPBE，直线PG 的解析式为 y2x2 ，  2 x  1   5 y x1   2 6 由  y2x2 ，解得   y 5 ， 2 6 P( ) 5 ，5 ． ②作PGDG交直线DE 于P，则DGP是直角三角形， 直线DG的解析式为 y2x2 ， 1 1 y x 直线GP的解析式为 2 2，  1 1  1 y x x    2 2  2   1 3 y x1 y 由  2 ，解得  4 ， 1 3 P( ) 2，4 ， 2 6 1 3 ( ) ( ) 综上所述，满足条件的点P坐标为 5，5 或 2，4 ． 题型五 全等三角形存在性问题 2 y xb 25．如图，一次函数 3 的图象与x轴、 y 轴分别交于点 A、B，线段 AB的中点为 D(3,2) ．将 AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C． （1）求此一次函数的解析式； （2）求点C的坐标； （3）在坐标平面内存在点P（除点C外），使得以A、D、P为顶点的三角形与ACD全等，请直接写 出点P的坐标．(a,0) (0,b) 【解答】解：（1）设A点坐标为 ，B点坐标为 ， D(3,2) 由线段AB的中点为 ，得 0a 0b 3 2 2 ， 2 ， 解得a6，b4． A(6,0) B(0,4) 即 ， ， 2 y x4 一次函数的解析式为 3 ． （2）如图1：连接BC，设OC x，则AC CB6x，  BOA90， OB2 OC2 CB2 ， 42 x2 (6x)2 ， 5 x 解得 3， 5 C( 0) 即 3， ； （3）①当ACDAPD时，设 P 1 (c,d) ， 由D是PC的中点，得 5 c 3 d 0 3 2 2 ， 2 ， 13 c 解得 3 ，d 4， 13 P( 即 1 3 ， 4) ；如图2: ， ②当ACD△ DP 2 A 时， 5 4 CE 3  做DE  AC与E， P 2 F  AC 与F 点，DE2， 3 3 ， 由CDE△ AP 2 F ， 4 AF CE  3， P 2 F DE 2 ， 4 14 OF 6  3 3 ， 14 P( 2 3 ， 2) ； ③当ACD△ DP 3 A 时，设 P 3 (e, f) A是线段 P 2 P 3的中点，得 14 e 3 f (2) 6 0 2 ， 2 ， 22 e f 2 解得 3 ， ， 22 P( 即 3 3 ， 2) ， 13 14 22 P( P( P( 综上所述： 1 3 ， 4) ； 2 3 ， 2) ； 3 3 ， 2) ． 1 y x4 26．如图，一次函数 2 的图象与x轴和 y 轴分别交于点A和B，再将AOB沿直线CD对折，使 点A与点B重合、直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D． (8,0) （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2）求OC 的长度； （3）在坐标平面内，是否存在点P（除点O外），使得ABO与ABP全等？若存在，请求出所有符合条 件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）令x0，则 y4 ， B(0,4) ， 1 0 x4 y0 令 ，则 2 ， x8， A(8,0) ， (8,0) (0,4) 故答案为： ， ； （2）设OC a， AC 8a， 由折叠知，BC  AC 8a， 在RtBOC中，OB4， 根据勾股定理得，BC2 OC2 OB2 ， (8a)2 a2 16 ， a3， 即：OC 3， P(m,n) （3）设 ，A(8,0) B(0,4)  ， ， AP2 (m8)2 n2 BP2 m2 (n4)2 ， ，  ABO与ABP， ①ABOABP， APOA，BPOB， (m8)2 n2 64 m2 (n4)2 16 ，  16 m   5 m0  32  n n0 （舍 ) 或  5 ， 16 32 P( ) 5 ， 5 ； ②ABOBAP， BPOA，APOB， (m8)2 n2 16 m2 (n4)2 64 ， ，  24 m   5 m8  12  n n4 或  5 ， 24 12 (  ) P(8,4) 或 5 ， 5 ， 16 32 24 12 ( ) (  ) P(8,4) 即：满足条件的点 或 5 ， 5 或 5 ， 5 ． 27．如图①，已知直线 y2x4 与x轴、 y 轴分别交于点A、C，以OA、OC 为边在第一象限内作长方 形OABC ． （1）求点A、C的坐标； （2）将ABC 对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图② ) ； （3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得APC 与ABC 全等？若存在，请求出所有符合 条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．A(2,0) C(0,4) 【解答】解：（1） ； （2分） （2）由折叠知：CD AD．设ADx，则CDx，BD4x， 5 x 根据题意得： (4x)2 22 x2 解得： 2 5 5 AD D(2, ) 此时， 2， 2 （2分） 5 5 D(2, ) 2k4 设直线CD为 ykx4 ，把 2 代入得2 （1分） 3 k  解得： 4 3 y x4 直线CD解析式为 4 （1分） （3）①当点P与点O重合时，APC CBA，此时 P(0,0) ②当点P在第一象限时，如图， 由APC CBA得ACPCAB， 则点P在直线CD上．过P作 PQ AD 于点 Q ， 在RtADP中， 5 5 3 AD PDBD4  2， 2 2 ，APBC 25 PQ3 由 ADPQDPAP 得：2 6 PQ  5 6 16 16 3 8 x 2  x y x4 y  P 5 5 ，把 5 代入 4 得 5 16 8 P( , ) 此时 5 5 （也可通过 RtAPQ 勾股定理求 AQ 长得到点P的纵坐标） ③当点P在第二象限时，如图 8 CQ 同理可求得： 5 8 12 OQ4   5 5 6 12 P( , ) 此时 5 5 综合得，满足条件的点P有三个， 16 8 6 12 P( , ) P( , ) 分别为： P 1 (0,0) ； 2 5 5 ； 3 5 5 ． (0,15) (20,0) 28．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．（1）求直线AB的表达式； （2）若点C的坐标为 (m,9) ，且 S ABC 30 ，求m的值； （3）若点D的坐标为 (12,0) ，在射线AB上有两点P， Q ，使得以O，P， Q 为顶点的三角形与OPD全 等，求点P的坐标． ykxb 【解答】解：（1）设直线AB的表达式为 ， A(0,15) B(20,0) 点 、 在直线AB上， b15  20kb0 ， 20k150， 3 k  4 ， 3 y x15 直线AB的表达为 4 ； （2）过 y 轴上的点 (0,9) 作x轴平行线，交AB于M ，如图：点C的坐标为 (m,9) ， 点M 的纵坐标为9， 3  x159 当 y9 时， 4 ，解得x8， M(8,9) ， CM |m8| ， S S  S ABC AMC BMC 1 1  CM ( y  y ) CM ( y  y ) 2 A M 2 M B 1  CM OA 2 15  |m8| 2 ， S 30  ABC ， 15 |m8|30  2 ， 解得m4或m12； （3）①当点P在线段AB上时， (i) Q 若点P在B， 之间，如图：  OA15，OB20， AB OA2 OB2 25 ， 设AOB中AB边上的高为h， 则ABhOAOB，h12，即hOD， 当 OQ AB 时， OQOD ， OQPODP90 ，OPOP，此时 OPQOPD ， PDOB ， x P 12 ， 3 y x156 当x12时， 4 ， P(12,6) ； (ii) Q 若点P在A， 之间，如图： PQOD12 OPQPOD POQOPD 当 ，且 时，有 ， OPQPOD  ， BPOB20， BP:AB20:254:5， 4 S  S POB 5 AOB ， 1 S  OBPH 作PH OB于H ，则 POB 2 ， 1 4 1 OBPH   OBOA  2 5 2 ， 4 4 PH  OA 1512 5 5 ， 3  x1512 当 y12 时， 4 ，解得x4，P(4,12) ； ②当点P在AB的延长线上时 (i) Q 若点 在B，P之间， PQOD OPQPOD POQOPD 当 ， 时， ， 作OM  AB于M ，PN OB于N，  OPQPOD ，且OMPONP，OPOP， OMPPNO(AAS) ， PN OM 12， y 12 P ， 3  x1512 当 y12 时， 4 ，解得x36， P(36,12) (ii) Q Q 若点 在BP的延长线上或BP的反向延长线上，都不存在满足条件的P， 两点； (12,6) (4,12) (36,12) 综上所述，满足条件的点P为 或 或 ．