文档内容
专题 15 二元一次方程实际应用的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、方案选择问题
类型二、销售利润问题
类型三、行程问题
类型四、工程问题
类型三、分配问题
压轴专练
类型一、方案选择问题
例1．一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车
型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 6 9 10
汽车运费（元/辆） 500 600 600
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三
种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？
(3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．
变式1-1．某运输公司现有190吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表：
A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨）
第一
12 8 360
次
第二
18 12 ■
次
(1)表格中被污渍盖住的数是______．
(2)第三次运输安排了5辆A货车，4辆B货车，运输物资共160吨．请问A、B两种货车每辆每次分别可以
运送物资多少吨？
(3)请你通过计算说明所有可行的运输方案．
变式1-2．在技术和政策的推动下，越来越多的市民选择购买新能源汽车．请根据下表信息，回答下列问
题．
问题背景
某汽车4S店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A，B两款新能源汽车若干辆，且分别在进价的
基础上提价3万元和2万元作为定价售卖．
素材一 从厂家购进3辆A款新能源汽车与购进4辆B款新能源汽车的费用相同．
素材二 从厂家购进4辆A款新能源汽车和3辆B款新能源汽车共需125万元．
问题解决
任务一 求A，B两款新能源汽车每辆的进价；
任务二 要使这240万元正好用完（两种都要购买），请你设计出所有的购进方案；
在任务二的基础上，将购进的A，B两款新能源汽车按对应定价全部售出并获利最多，应选择哪
任务三
个购进方案？
类型二、销售利润问题
例2．寒假期间，某校教师带领学生前去教育基地研学，入住宾馆收费标准如下表．普通间（元/人/天）
三人
50
间
双人
70
间
单人
100
间
宾馆规定：未成年人团体入住一律五折优惠，成人不优惠．
已知此次研学共教师1人，学生100人，其中，教师选择单人间，学生选择三人间和双人，并且每个客房
都正好住满．
(1)若一天的住宿费为3000元，求选择三人间、双人间客房的间数；
(2)设三人间共住了 人，一天一共花去住宿费用 元，写出 与 的函数关系式及自变量的取值范围；
(3)小明是个聪明的孩子，他认为如果合理分配住宿方式，还可以更省钱，你认为正确吗？如果不正确，请
说明理由；如果正确，请你求出一天住宿的最少费用．
变式2-1．本学期青少年宫在学校开设了多项特色课程，丰富了学生的校园生活．期末时，青少年宫计划
购买A，B两款盲盒作为礼物送给参加剪纸班的47名学生．这两款盲盒的销售信息如表三：
表三盲盒种类 单价（元／个） 优惠方案
A款盲盒 20 优惠方案一：A款盲盒满30份及以上打八五折
优惠方案二：B款盲盒满18份及以上打八折
优惠方案三：总费用满800元立减100元
B款盲盒 15
（备注：方案三不与方案一、方案二叠加使用）|
目前47名学生都参与了选择盲盒意向调查，每人只能在A，B两款中选一款，其中30人已作明确选择，剩
余17人可以接受任意一款．若按这30人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540元．
(1)在已作明确选择的30名学生里，选A款和B款盲盒的分别有多少人？
(2)若剩余17人中选择A款盲盒有 人，购买这两款盲盒的总费用为 元，求 的最小值．
变式2-2．新年将至，小宏记录了他家连续两天购买 两种年货（两次购买年货时单价不变）的名目：
第一天购买5个A种年货和4个B种年货共 元；第二天购买3个A种年货和2个B种年货共 元．
(1)小宏的爸爸看了后，说他的记录错误，请帮他说明错误理由；
(2)原来，小宏把第一天的费用 元写成了 元，修正后求出每个A种年货单价 元，每个 种年货单
价 元，小宏一家决定再次购买 两种年货共 个，设总费用 元，且总费用低于 元但不少于
元，请问有几种购买方案？并请求出花费最高的购买方案．
类型三、行程问题
例3．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共
同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器
人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要
27秒．
(1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？(2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A
型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次
接力任务的时间可能是多少秒？
变式3-1．如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路 ，另一条是外环公路 ，
这两条公路围成四边形 ，其中 且外环公路比市区公路长 ．在上班高峰时，甲、乙两
人驾车从A地出发去B地，甲沿市区公路行驶，汽车平均速度是 ；乙沿外环公路行驶，汽车平均
速度是 ，结果乙比甲早到 ．求市区公路和外环公路的长．
小红看到题目后，想到用方程组解决问题：
第一步：设市区公路长为 ，外环公路的长 ．
第二步：利用列表法进行分析：
公路 速度 时间 路程
市区公路 40 a x
外环公路 80 b y
第三步：列方程组；
第四步：解方程组；
第五步：检验并作答．问题解决：
(1)请用含x，y的代数式分别表示a、b．则 ________， ________；
(2)请按小红的思路求市区公路和外环公路的长．
(3)小红调查了市区公路 的限速及非上班高峰的平均车速为 ，如果外环公路平均车速保持
不变，所以她说无论哪个时段走外环公路用时都比走市区公路用时短，你同意她的说法吗，通过计
算进行说理．
变式3-2．小宜和小兴两人相约爬太华山锻炼身体，山顶距太华山山脚下出发地 米，早上 小宜从
出发地爬到半山腰休息了5分钟，然后加速继续往上爬；小兴因有事耽搁，早上 才开始从同一出发地
开始爬，为了追赶小宜，小兴开始爬山的速度是小宜休息前速度的 倍，但爬到半山腰体力不支，于是减
速爬到山顶，两人距出发地路程y（米）与小宜登山的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．（注：小
宜、小兴每一段的爬行均视为匀速）
(1)小宜休息前登山的速度为__________米/分钟，小兴减速前登山的速度__________米/分钟；小兴减速后
登山的速度为__________米/分钟；
(2)求a的值，并说明点A所表示的实际意义；
(3)若小宜不想晚于小兴到达山顶，则他加速后的速度至少应提高多少米/分钟．
类型四、工程问题
例4．某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段300米长的河道的整
治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治30米，共用时
13天．问河道整治任务完成后，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道 米，乙工程队整治河道 米．根据题意，得
②小华：设河道整治任务完成后， 表示_____， 表示_____．
根据题意，可列方程组
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
(2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
变式4-1．某文物考古研究院用 复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒
和芋头酒，需要的原材料与出酒率（ ）如下表：
出酒
类别 原材料
率
粮食 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸
30%
酒 馏水
芋头
芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20%
酒
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，
且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．
(1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
(2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为
，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
变式4-2．东阳江是东阳的母亲河．为打造东阳江风光带，现有一段长 米的河道整治任务，原计划由
两个工程队先后接力完成，共用时 天．已知 工程队每天整治 米， 工程队每天整治 米，根
据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下尚不完整的方程组：
甲：乙：
(1)根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义．
甲：未知数 分别表示______．
乙：未知数 分别表示______．
(2)补全甲、乙两名同学所列的方程组．
(3)若 工程队完成原计划河道整治任务后， 工程队接到通知需提前 天完成剩余的整治任务，问 工程
队现在每天需整治多少米河道？
类型五、分配问题
例5．工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两
种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
正方形纸板 长方形纸板
次数
（张） （张）
第一
560 940
次
第二
420 1002
次
(1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录：
①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由；
②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？
(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为 ，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值；
(3)拓展延伸：现在仓库里有 张正方形纸板和 张长方形纸板，如果这些纸板做出的竖式纸盒为 与横式
纸盒个数为 ，恰好使库存的纸板用完，则用 的代数式表示 的值．
变式5-1．某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒．
(1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数；
(2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒
与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？
(3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了
多少个？请直接写出结论．
变式5-2．中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落
霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座
新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，
还有6人没有座位．
(1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数．
(2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各
需多少辆？变式5-3．春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批
圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均
每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个．
(1)该工厂有男工、女工各多少名？
(2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那
么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？
1．新考向 根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案．
素材1：为了迎接杭州亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售
价比一套明信片的售价高20元．
素材2：小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣，共花费130元．
素材3：已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣
进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干（允许只购买一种商品），本次交易商家一共获得600元的销售额．
问题解决：
任务1：假设明信片的售价为x元/套，吉祥物钥匙扣的售价为y元/个，则 ______（用含x的代数式表
示）；
任务2：基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价；
任务3：【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在
这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．
2．某商店分两次购进A、B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第
二次购进A、B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30%、20%．
购进的台数
购进所需要的费用（元）
A型 B型
第一次 10 20 3000
第二次 15 10 4500
(1)求第一次购进A、B型两种台灯每台进价分别是多少元？
(2)A、B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的
台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①A型台灯的售价为________元，B型台灯的售价为________元；
②若按照第二次购进A、B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为500元，求有哪几种购进方案？
3．综合与实践：清江蜜桔产自湖南省资兴市清江镇，清江镇位于资兴市东江湖 级景区内，以果实大小
适中、色泽鲜艳、酸甜适度、口感浓郁细嫩无渣为特色，该地方的蜜桔是全国蜜桔当中的高档蜜桔．请阅
读以下材料，完成学习任务：
材料一：清江镇某批发市场计划运输一批蜜桔到城区出售，现有 ， 两种型号的货
车，已知用2辆 型车和1辆 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆 型车和2辆
型车载满货物一次可运货11吨．
材料二： 型车每辆需租金100元/次， 型车每辆需租金120元/次．
请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成2个任务：
(1)1辆 型车和1辆 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若该批发市场现有34吨蜜桔，计划同时租用 型车 辆， 型车 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满
货物．请你帮该批发市场设计租车方案，选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
4．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果 名熟练分拣员和 名
新手分拣员一天能分拣 件包裹； 名熟练分拣员和 名新手分拣员一天能分拣 件包裹．
(1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？
(2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在 小时内送完所有包裹；若将速度
提高 千米 小时，行驶 小时后，还剩 千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？
5．某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、
乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．
(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得
小华同学：设整治任务完成后，m表示______，n表示______；
得
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
(2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程）
6．某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A
型和4台B型打印机的利润和为720元．
(1)求每台A型和B型打印机的销售利润：
(2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，
设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各
多少台，才能使销售总利润最大？
(3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元 ，但限定商
店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印
机总利润最大的进货方案．7．某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.已知购进4件A礼品和12件B礼品共
需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元.
(1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价.
(2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件.
①求n与m之间的关系式；
②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件.已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为
35元.设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值.
8．某商店出售普通练习本和精装练习本， 本普通练习本和 本精装练习本销售总额为 元；
本普通练习本和 本精装练习本销售总额为 元．
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
(2)该商店计划再次购进 本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的 倍，已知普通练习本
的进价为 元/个，精装练习本的进价为 元/个，设购买普通练习本 个，获得的利润为 元；
①求 关于 的函数关系式
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
9．某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，4只“冰墩墩”
和5只“雪容融”的进价共计1000元；2只“冰墩墩”和6只“雪容融”的进价共计780元．(1)“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元？
(2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），专卖店共
有几种采购方案？请写出具体的购买方案；
(3)若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2）的条件下，请选
出利润最大的采购方案，并求出最大利润．
