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专题 15 一元一次方程的应用 2(数字,几何,和差倍分,电水费,
比例分配,日历,古代)
考点一 用一元一次方程解决数字问题 考点二 用一元一次方程解决几何问题
考点三 用一元一次方程解决和差倍分问题 考点四 用一元一次方程解决电费和水电问题
考点五 用一元一次方程解决比例分配问题 考点六 用一元一次方程解决日历问题
考点七 用一元一次方程解决古代问题
考点一 用一元一次方程解决数字问题
例题：（2022·福建·上杭县第三中学七年级期末）在一个的方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角
线上的三个数之和相等，得到的方格图称为一个三阶幻方．
(1)请在图1中，将﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5这9个数填上，使它构成一个三阶幻方．
(2)请在图2、图3中，分别填上合适的数，使每个图构成一个三阶幻方．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据9个数的和 ，得出每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为3，把中间数l
放在中间位置，然后大数凑小数填表即可；
（2）图2根据对角线上的三个数求出和，然后计算剩余各数即可，图3先根据和相等求出中间数，然后计
算出各数即可．
（1）
解：填表如下：（答案不唯一）（2）
解：∵4＋3＋2＝9，
∴9﹣4﹣6＝﹣1，9﹣6﹣2＝1，9﹣7﹣2＝0，9﹣1﹣3＝5，
故补全图2如下所示：
设图3最下面一行中间数为m，则﹣3＋1＝4＋m，
解得m＝﹣6，
设图3中第一行最后一个数为n，则﹣6＋1＝﹣3＋n，
解得n＝﹣2，
∵4＋1﹣2＝3，
∴3﹣（4﹣3）＝2，3﹣（1﹣6）＝8，3﹣2﹣1＝0，3﹣（0﹣2）＝5，
故补全图3如下所示：
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·湖北荆门·七年级期中）观察下列三行数：
(1)每行的第9个数分别为 ， ， ．
(2)如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数左上角数记为x，求这六个数
的和（结果用含x式子表示并化简）．
(3)第三行是否存在连续的三个数的和为381，若存在，求这三个数，若不存在，请说明理由？【答案】(1)（－2）9，(-2)9+2，-(-2)9－1
(2)－x+2
(3)存在，127，－257，511
【分析】（1）找出每行数的规律，然后问题可求解；
（2）由题意易得另五个数分别为－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，然后问题可求解；
（3）设这三个数分别为：－x－1，2x－1，－4x－1，然后可得－x－1+2x－1－4x－1＝381，进而问题可求
解．
（1）
解：第①行的有理数分别是－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，…，
故第n个数为（－2）n（n是正整数），第9个数为（－2）9，
第②行的数等于第①行相应的数加2，即第n的数为（－2）n+2（n是正整数），第9个数为(-2)9+2，
第③行的数等于第①行相应的数的相反数减去1，即第n个数是－（－2）n－1（n是正整数），第9个数
为-(-2)9－1，
（2）
解：∵左上角数记为x，
∴另五个数分别为：－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，
∴x－2x+x+2－2x+2－x－1+2x－1＝－x+2；
（3）
解：设这三个数分别为：－x－1，2x－1，－4x－1，
由题意可得：－x－1+2x－1－4x－1＝381，
∴x＝－128，
∴这三个数分别为127，－257，511．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及数字规律问题，解题的关键是得到每行数字的规律．
2．（2022·福建泉州·七年级阶段练习）如图，将连续的奇数1，3，5，7， 按图1中的方式排成一个数表，
用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数 如图 分别用a，b，c，d，x表示．(1)用含x的式子分别表示数a= ，b= ，c= ，d= ．
(2)设 ，判断M的值能否等于2000，请说明理由．
【答案】(1) ， ， ，
(2) 的值不能等于2000，见解析
【分析】（1）根据图形即可得出a、b、c、d与x之间的关系；
（2）根据M=5x，代入2000求出x的值，根据x的奇偶性即可得出M的值不能等于2000．
（1）
解：根据数的排列结合十字框的框法，即可得出：
， ， ， ；
故答案为： ， ， ， ；
（2）
解：∵a+d=x 12+x+12=2x，b+c=x 2+x+2=2x，
∴a+b+c+d=4x，
，
当5x=2000时，x=400（不合题意，舍弃)，
的值不能等于2000；
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键掌握所学的知识，正确的进行解题．
考点二 用一元一次方程解决几何问题
例题：（2022·内蒙古鄂尔多斯·七年级阶段练习）如图，长方形 中， ， ，点 从
出发，以 的速度沿 运动，最终到达点 ，在点 运动了3秒后点 开始以 的速度
从 运动到 ，在运动过程中，设点 的运动时间为 ，则当 的面积为 时， 的值为（ ）A．2或 B．2或 C．2或4 D．2或
【答案】A
【分析】分两种情况：①点 在 上时，点 在 处，根据三角形面积公式求解即可得到； ②点 在
上时，求出AQ，再根据速度路程求出t．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ，
分两种情况：
①点 在 上时，点 在 处，如图1所示：
的面积为 ，
，
解得： ；
②点 在 上时，如图2所示：
的面积为 ，
，
解得： ，，
解得： ；
综上所述，当 的面积为 时， 的值为2或 ；
故选：
【点睛】此题考查了动点面积问题，解题的关键是根据题意分情况讨论解答．
【变式训练】
1．（2022·浙江丽水·七年级期末）长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若AB＝10,则AD的长
为（ ）
A．13 B．11 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设最小正方形的边长为x，则第二大的正方形的边长为3x，解方程即可得到答案．
【详解】解：设最小正方形的边长为x，则第二大的正方形的边长为3x，根据题意得，
3×3x+x=10，
解得： ，
∴ ；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据图形找出等量关系列一元一次方程求解．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的
正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为__平方厘米．
【答案】143【分析】根据题意，结合图形，各个正方形的边长从大到小依次相差1，设这6个正方形中最大的一个边
长为x，将各个正方形的边长表示出来，根据长方形的两条对边长相等，列出方程求解即可．
【详解】解：设这6个正方形中最大的一个边长为x，
∵图中最小正方形边长是1，
∴其余的正方形边长分别为x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣3，
∴x+x﹣1＝2（x﹣3）+x﹣2，
∴x＝7，
∴长方形的长为x+x﹣1＝13，宽为x+x﹣3＝11，面积为13×11＝143平方厘米．
故答案为：143．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，结合图形找出等量关系列出方程求解是解题的关键．
考点三 用一元一次方程解决和差倍分问题
例题：（2022·黑龙江·大庆市第四十四中学校期末）淘气和笑笑两人共有155元，如果淘气用去自己的 ，
笑笑用去自己的 ，两人剩下的钱一样多，则淘气原来有_______元．
【答案】75
【分析】设淘气原来有 元，则笑笑有 元，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：淘气原来有 元，则笑笑有 元，根据题意得，
．
解得 ．
故答案为：75．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·七年级专题练习）某校组织学生种花，三个年级共种植909盆，初二年级种植的数量比初
一年级的2倍少3盆，初三年级种植的数量比初二年级多25盆．初一，初二，初三年级各种植多少盆花？
【答案】初一，初二，初三年级各种植178盆，353盆，378盆花．
【分析】设初一年级种植x盆，则初二年级种植（2x 3）盆，初三年级种植（2x 3+25）盆，根据“三个
年级共种植909盆”列出方程并解答．【详解】解：设初一年级种植 盆花，依题意，得
，
解得： ．
则 ， ．
答：初一，初二，初三年级各种植178盆，353盆，378盆花．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的
未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关
的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
2．（2020·黑龙江·哈尔滨德强学校阶段练习）有一组互相咬合的齿轮.
(1)小齿轮有28个齿，是大齿轮的 ，大齿轮有多少个齿?
(2)大齿轮每分钟转80周，比小齿轮每分钟转的周数少 ，小齿轮每分钟转多少周?
【答案】(1)大齿轮有140个齿
(2)小齿轮每分钟转400周
【分析】（1）设大齿轮有 个齿，根据占比关系列一元一次方程 ，解方程即可；
（2）设小齿轮每分钟转 周，根据占比关系列出一元一次方程 ，解方程即可．
（1）
解：设大齿轮有 个齿，则
解得
答：大齿轮有140个齿.
（2）解：设小齿轮每分钟转 周，则
解得
答：小齿轮每分钟转400周.
【点睛】本题考查了和差倍分的一元一次方程应用问题，清楚倍数关系，并正确列方程、解方程是解题关
键.
考点四 用一元一次方程解决电费和水电问题
例题：（2022·安徽·萧县城北初级中学七年级期中）我市为了提倡节约，用水 吨，自来水收费实行阶梯水
价 元，收费标准如下表所示：
月用水量 吨 不超过12吨的部分 超过12吨的部分
收费标准（元/吨） 2.00 3.00
(1)若用水量达到8吨，则需要交水费______元；若用水量达到14吨，则需要交水费______元．
(2)用户5月份交水费54元，则用水为多少吨？
【答案】(1)16，30
(2)22吨
【分析】（1）按照单价×总量=总价计算即可，超过12吨的部分则分两段计算即可；
（2）设5月份用水x吨，显然用水量超过了12吨，根据等量关系：12吨的水费＋超过12吨的水费=5月份
的水费，列出方程，解方程即可．
（1）
用水量达到8吨，则需要交水费：8×2.00=16（元）；
用水量达到14吨，则需要交水费：12×2.00＋(14-12)×3.00=24＋6=30（元）；
故答案为：16，30
（2）
设5月份用水x吨，由于54元>12×2=24（元），表明5月份用水量超过了12吨，
由题意得：12×2＋(x－12)×3=54，
解得：x=22，
即5月份用水22吨．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：分段计费问题，弄懂题意，找到等量关系并正确列出方程是解
题的关键．
【变式训练】1．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学期中）电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方式计算电费，
每月用电不超过100kw·h时，按每千瓦时a元计算；每月用电超过100kw·h时，其中100kw·h仍按原价收费，
超过部分按每千瓦时b元计算（a10时当月所付水费金额为 元.（用含x的式子表示）
(2)如果某户居民在某月所交水费为42.5元，那么这个月这户居民共用多少立方米的水？
【答案】(1) ，
(2)这个月这户居民共用15立方米的水
【分析】（1）当 时，当月所付水费等于每立方米按2元收费的基本水费与每立方米按 元收取
的污水处理费之和；当 时，当月所付水费等于10立方米按2元收费，超过10立方米部分每立方米
按3元收费的基本水费与每立方米按 元收取的污水处理费之和；
（2）设这个月这户居民共用 立方米的水，先判断出 ，再根据每月水费的收取规定建立方程，解方
程即可得．
（1）
解：由题意得：当 时，当月所付水费金额为 （元），
当 时，当月所付水费金额为 （元），
故答案为： ， ．
（2）
解：设这个月这户居民共用 立方米的水，
因为 ，
所以 ，
由题意得： ，
即 ，
解得 ，
答：这个月这户居民共用15立方米的水．
【点睛】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，理解每月水费的收取规定，正确建立方程是解题关
键．
考点五 用一元一次方程解决比例分配问题
例题：（2022·湖北襄阳·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）的
销售瓶数的比为2：5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装_______大瓶．【答案】20000
【分析】设每份为x瓶，则大瓶销售了2x瓶，小瓶销售了5x瓶，根据大小消毒液的总重量为22.5吨
=22500000克建立方程求出其解即可．
【详解】解：设每份为x瓶，则大瓶销售了2x瓶，小瓶销售了5x瓶，根据题意得：
2x×500+5x×250=22500000，
解得x=10000，
所以大瓶销售了：2×10000=20000瓶，
故答案是：20000．
【点睛】本题考查了运用比例问题的设每份为未知数的方法建立方程求解的运用，一元一次方程的解法的
运用，解答时运用设间接未知数降低解题难度是关键．
【变式训练】
1．（2022·山东滨州·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产
品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品
中有______瓶大瓶产品．
【答案】20000
【分析】设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根据题意列方程求出x，则可知大瓶的数量
【详解】换算单位：22.5t=22.5×1000×1000g
设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，
根据题意列方程，得
500·2x+250·5x=22.5×1000×1000，
解得x=10000
2x=20000
∴大瓶有20000瓶．
故答案为：20000
【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题，一般情况下题目中出现比值问题，通常设每份为x，掌握
以上方法是解题的关键．
2．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地
形，决定在该村种植A、B、C三种经济作物增加收入，经过一段时间，该村已种植的A、B、C三种经济
作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，为了进一步提高该村的经济收入，将在该村余
下土地上继续种植这三种经济作物，经测算需将余下土地面积的 种植C经济作物，则C的种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的 ，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了 ，则该村还需种植A、
B两种经济作物的面积之比是__________．
【答案】2:3
【分析】设该村已种植A经济作物面积3m，种植A经济作物单位面积产值为n，根据三种经济作物的面积
之比以及单位面积产值之比可得该村已种植B经济作物面积2m，已种植C经济作物面积4m，种植B经济
作物单位面积产值为2n，种植C经济作物单位面积产值为2n，设余下的面积为z，增加种植C经济作物
，可列方程 ，可得z=3m，设该村还需种植A种经济作物的面积a，还需
种植B两种经济作物的面积 ，利用A、B、C三种经济作物的总产值提高了 ，列方程
，解方程即可．
【详解】解：设该村已种植A经济作物面积3m，种植A经济作物单位面积产值为n，
∵该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，
∴该村已种植B经济作物面积2m，已种植C经济作物面积4m，种植B经济作物单位面积产值为2n，种植
C经济作物单位面积产值为2n，
设余下的面积为z，
∴增加种植C经济作物 ，
∴ ，
解得z=3m，
设该村还需种植A种经济作物的面积a，还需种植B两种经济作物的面积3m-a- ，
A作物面积： ，B作物面积： ，C作物面积： ，
A、B、C三种经济作物的总产值为 ，
=
= ，
A、B、C三种经济作物的原总产值= ，∴ ，
解得 ， ，
该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是 ，
故答案为：2:3．
【点睛】本题考查代数式表示数，代数式在生活中运用，利用一元一次方程，仔细阅读抓住等量关系C的
种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的 ，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了 ，列方程
解决问题是关键．
考点六 用一元一次方程解决日历问题
例题：（2022·黑龙江·大庆市庆新中学期末）在日历中一个竖框圈出三个日期，它们的和是48，那么最大
的一天是________号．
【答案】23
【分析】设中间一天的日期，根据上下日期的差为7表示出另外两天的日期，再由它们的和为48列出方程，
解之可得．
【详解】解：设中间一天的日期为x，则另外两天的日期为x﹣7，x＋7，
根据题意，得：x﹣7＋x＋x＋7＝48，
解得：x＝16，
∴x＋7＝16＋7＝23，
∴日期最大的一天23号，
故答案为：23．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到蕴含的相等关系，并据此列出
方程．
【变式训练】
1．（2021·新疆·乌鲁木齐市第70中七年级阶段练习）如图是2021年6月份的月历表，请仔细观察后，如
果发现用正方形框框住16个数字的和为224．试求出这16个数字中最大的数字_______．【答案】26
【分析】根据题意，可以设这16个数中左上角最小的数为x，列出方程，即可求得最大的那个数．
【详解】解：设这16个数中左上角最小的数为x，则这16个数字的和为：
，
即 ，解得
∴ ，即其中最大的数为26
故答案为：26
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的实际运用，找好等量关系，正确列出方程是解题关键．
2．（2021·河北·原竞秀学校七年级期中）将连续的偶数2，4，6，8…，排成如表：
(1)十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
(2)这个关系对其它这样的十字框成立吗？请说明理由．
(3)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2020吗？如能，写出这五个
数，如不能，说明理由．
【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍
(2)成立，理由见解析
(3)能，这五个数分别为
【分析】（1）将方框中的5个数相加，看结果与中间的数的关系即可；（2）设中间的数为 ，则十字框中的其他四个数分别为 ，再将这个五个数求和即可
得；
（3）设中间的数为 ，则十字框中的其他四个数分别为 ，令五个数的和等于2020，
解方程可得 的值，然后看有没有存在的可能即可．
（1）
解：十字框中的五个数的和为 ，
，
十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍．
（2）
解：成立，理由如下：
设中间的数为 ，则十字框中的其他四个数分别为 ，
十字框中的五个数的和为 ，
即（1）中的关系仍成立．
（3）
解：设中间的数为 ，则十字框中的其他四个数分别为 ，
令十字框中的五个数的和 ，
解得 ，
所以这五个数分别为 ，且能被框在一个十字框中．
【点睛】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用，找到各个数之间的关系并列出方程是解决此
题的关键．
考点七 用一元一次方程解决古代问题
例题：（2022·河南安阳·七年级期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度
之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还
余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问绳子、长木各长多少尺？请你算一算．
【答案】绳子、长木分别是6.5米和11米．
【分析】设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出
关于x的一元一次方程求解即可．
【详解】解：设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，根据题意得：x- （x+4.5）=1，解得：x=6.5
所以绳子长为6.5+4.5=11．
答：绳子、长木分别是6.5米和11米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·福建漳州·模拟预测）《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及
和减率分之，只云甲多丙三十六石，问：各该若干？”其大意为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三
人来分，甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少
白米？”设乙分得白米x石，则可列方程为（ ）
A． x＋x＋2x＝180 B．x＋2x＋3x＝180
C．（x＋18）＋x＋（x﹣36）＝180 D．（x＋18）＋x＋（x﹣18）＝180
【答案】D
【分析】设乙分得白米x石，得出甲、丙分得白米数，由甲、乙、丙三人分得之和为180石列出方程即可．
【详解】解：若设乙分得白米x石，
∵甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样，甲比丙多分三十六石，
∴甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数都是18石，
∴甲分得白米（x＋18）石，丙分得白米（x﹣18）石，
又∵甲、乙、丙三人来分这一百八十石，即甲、乙、丙三人分得之和为180石，
∴可得方程：（x＋18）＋x＋（x﹣18）＝180．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系来列方程是解题的关键．
2．（2022·福建泉州·七年级期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题：今有三人共车，二车
空：二人共车，九人步，问人几何？其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，剩余2辆车没人乘坐；
若每2人共乘一车，剩余9个人没有车可乘坐．问共有多少人？
【答案】39人
【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设共有x人，依题意得，解得
答：共有39人．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意找到等量关系是解本题的关键．
一、选择题
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级阶段练习）一个两位数，个位数字与十位数字的和为
9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9，则原两位数是（ ）
A．45 B．27 C．72 D．54
【答案】D
【分析】此题应先设个位数字为 ，十位数字为 ，再由“将个位数字与十位数字对调后所得的新数比
原数小9”得 ，即算出原来的两位数．
【详解】解：设个位数字为 ，十位数字为 ，
由题意得， ，
解得： ．
则原来的两位数为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解决此类题的关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）父亲和女儿的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现
在年龄的2倍的时候，女儿的年龄是父亲现在年龄的 ，则女儿现在的年龄足（ ）岁
A．24 B．26 C．28 D．30
【答案】C
【分析】设女儿现在的年龄是x岁，则父亲现在年龄是 ，根据父亲和女儿的年龄差不变即可列方程
求解．【详解】解：设女儿现在的年龄是x岁，则父亲现在年龄是 ，
解得 ，
即女儿现在的年龄是28岁，
故选：C
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列方程是解题的关键．
二、填空题
3．（2022·吉林·长春市第八十七中学九年级期中）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：
“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，
如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八
两”这个成语）．这个问题中共有 _____两银子．
【答案】46
【分析】根据题意利用人数不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出等
式即可．
【详解】解：设总共有x个人，根据题意得：
，
解得： ，
（两），
故答案为：46．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是利用人数不变找到等量关系列出方程，注意明代
时1斤＝16两．
4．（2022·河南·郑州外国语中学七年级阶段练习）一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、
B表示的数分别是−10，7，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点 落在射线CB上，并且 ，则
C点表示的数是_______．
【答案】−2或−1## 或
【分析】设点 表示的数为 ，分两种情况：当点 落在线段CB上时，当点 落在线段CB的延长线上时，分别表示出点 表示的数，利用 ，建立方程计算即可．
【详解】解：设点 表示的数为 ，
当点 落在线段CB上时，
，点B表示的数是7，
点 表示的数为 ，
，点A表示的数是 ，
，
解得 ；
当点 落在线段CB的延长线上时，
，点B表示的数是7，
点 表示的数为 ，
，点A表示的数是 ，
，
解得 ；
综上，点C表示的数是 或 ．
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查了数轴及解一元一次方程，能够利用分类讨论的思想是解题的关键．
三、解答题
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级阶段练习）如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为
4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相
等，那么原正方形的面积是多少？
【答案】原正方形的面积为400平方厘米．
【分析】设正方形的边长为x厘米，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设原正方形边长为x厘米．则 ，
解得
则原正方形的面积 （平方厘米）
答：原正方形的面积为400平方厘米．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系．
6．（2022·四川省德阳市第二中学校七年级期中）观察某月的月历，回答下列问题．
(1)设十字框中间的数为 ，求带阴影的十字框中间的5个数的和是多少？
(2)在该月的日历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？如果不能，请说明理由；如果能，
请求出十字框中间的数．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据月历表述出上面的数字为 ，下面的数字为 ，左面的数字为 ，右面的数字
为 ，然后求和即可；
（2）由（1）中结果，代入求解，然后对比月历即可．
【详解】（1）解：设十字框中间的数为 ，由月历得，上面的数字为 ，下面的数字为 ，左面的
数字为 ，右面的数字为 ，
5个数字的和为： ，
5个数的和是 ；
∴（2）不能，理由如下：
由（1）得：5个数的和是 ，
，
∴解得： ，
由月历得，20在最右边，
不能用十字框框出5个数，使这5个数的和为100．
∴【点睛】题目主要考查整式的加减运算，理解题意，列出相应式子是解题关键．
7．（2022·广东广州·七年级期中）观察下列三行数：
①1，3，5，7，9，…
② ，…
③0，5，10，15，20，…
(1)第①行数中的第8个数是___________．
(2)取第①行、第②行中的第 个数，用含 的式子表示这两个数的和．
(3)如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，框住的六个数之和能否等于2022？如果能，请写
出这六个数，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)15
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）根据题意得： 由此发现规律，
即可求解；
（2）根据题意得到第②行第n个数为 ，第①行的第n个数为 ，从而得到 ，化
简即可；
（3）根据题意得：第③行的第n个数为 行第n个，再由第①行第n个，行 个分别为 ，
；第②行第n个，第 个分别为 ， ；第③行第n个，第 个分别为 ， ；
可得到 ，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：
∴第①行数中的第8个数是 ，
故答案为：15；
（2）解：根据题意得：第②行 ，
由此得到第②行第n个数为 ，
由（1）得：第①行的第n个数为 ，∴这两个数的和 ；
（3）解：不能，理由如下：
根据题意得：第③行的第n个数为 ，
第①行第n个，第 个分别为 ， ；
第②行第n个，第 个分别为 ， ；
第③行第n个，第 个分别为 ， ；
∴ ，即 ，
解得： ，
∵ 不是整数，
∴框住的六个数之和不可能为2022．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用以及数字类规律探索，明确题意，准确得到规律是解题的关
键．
8．（2022·安徽合肥·七年级期中）下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小正方形和
灰色小正方形）按某种规律组成的．
(1)根据规律，第4个图中共有___________个小正方形，其中灰色小正方形共有___________个．
(2)第 个图形中，白色小正方形共有___________个．（用含 的式子表示， 为正整数）
(3)白色小正方形可能比灰色小正方形正好多2024个吗？如果可能，求出 的值；如果不可能，请说明理由．
【答案】(1)36，8
(2)
(3)505，见解析
【分析】（1）根据前三个图观察规律解答即可；
（2）根据（1）中规律解答即可；
（3）根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵第1个图共有小正方形： 个，其中灰色小正方形有：个；
第2个图共有小正方形： 个，其中灰色小正方形有： 个；
第3个图共有小正方形： 个，其中灰色小正方形有： 个；
第4个图共有小正方形： 个，其中灰色小正方形有： 个；
故答案为：36；8．
（2）解：由（1）可知，第 个图形中，小正方形共有： 个，其中灰色小正方形有：
，
∴白色小正方形共有： 个．
故答案为： ．
（3）解：白色小正方形可能比灰色小正方形正好多2024个．
设第 个图形中，白色小正方形比灰色小正方形正好多2024个，
由题意得 ，
解得 ，
所以第505个图形中，白色小正方形比灰色小正方形正好多2024个．
【点睛】此题考查了图形变化类规律问题的解决能力，以及一元一次方程的应用，关键是能根据图案变化
观察、猜想、验证而得到此题蕴含的规律．
9．（2022·安徽合肥·七年级期中）下表为某市居民每月用水收费标准（单位：元/立方米），设用户用水量
为 立方米．
用水量/立方米 单价/（元/立方米）
超出30的部分
(1)某用户用水10立方米，共交水费29.8元，求 的值．
(2)在（1）的前提下，该用户10月份交水费109.4元，请问该用户用水多少立方米？
【答案】(1)2.98
(2)35立方米
【分析】（1）根据题意列出关于a的方程，解方程即可；
（2）先判断用水量超过30立方米，然后列出关于x方程，解方程即可．【详解】（1）解：由题意，得 ，解得 ．
答： 的值为2.98．
（2）解：∵用水30立方米时，水费为 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
答：该用户用水35立方米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据用水量与水费间的关系列出方程．
10．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学阶段练习）为节约用水，某市规定三口之家每月标准用水量为
15立方米，超过部分加价收费，假设不超过部分水费为1．5元/立方米，超过部分水费为3元/立方米．
(1)如果小明家6月份用水12立方米，则应缴水费多少元？
(2)如果小明家某月的用水为 立方米（ ），那么这个月应缴水费多少元？（用含m的代数式表示）
(3)如果小明家某月的用水为20立方米，，那么这个月应缴水费多少元．
【答案】(1) 元
(2) 元
(3) 元
【分析】（1）在标准用水范围内，用水量与单价的乘积即可求出答案；
（2）用水为 立方米（ ），一部分是标准用水量与单价的乘积，另一部分是超出的水量与超出的
单价的乘积，最后两部求和，即可求出答案；
（3）根据（2）中的代数式，把用水量代入计算，即可求出答案．
（1）
解：标准用水是 立方米，收费为1．5元/立方米，实际用水是 立方米，
∴ （元） ，
故答案是： 元．
（2）
解：用水为 立方米（ ），
∴ ，
故答案是： 元．
（3）解：根据（2）中的答案，可知 ，
∴应缴水费为： （元），
故答案是： 元．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际运用，根据实际情况分段讨论，掌握一元一次方程的分段讨论
是解题的关键．
11．（2022·浙江宁波·七年级期末）一家电信公司推出两种移动电话计费方法，如下表所示：
计费方法A 计费方法B
每月基本服务费（元/月） 58元 88元
每月免费通话时间（分） 150分 350分
超出后每分钟收费（元/分） 0.25元 0.20元
(1)若月通话时间是3小时，则使用计费方法A的用户话费为_______元，使用计费方法B的用户话费为
_______元；
(2)若月通话时间是x分钟（x>350），则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式
表示）
(3)当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？
【答案】(1)65.5；88
(2)按计费方法A的用户话费为（0.25x+20.5）元，按计费方法B的用户话费为（0.2x+18）元；
(3)270分钟
【分析】（1）利用使用计费方法A的用户话费=58+0.25×超过150分的时间，可求出使用计费方法A的用
户话费；由3小时=180分<350分，可得出使用计费方法B的用户话费为88元；
（2）利用按计费方法A的用户话费=58+0.25×超过150分的时间，即可用含x的代数式表示出按计费方法A
的用户话费；利用按计费方法B的用户话费=88+0.2×超过350分的时间，即可用含x的代数式表示出按计
费方法B的用户话费；
（3）设当通话时间为y分钟时，然后分150350两种情况考虑，根据按A、B两种计费方法所
需的用户话费相等，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
(1)
解：依题意得：使用计费方法A的用户话费为58+0.25×（60×3-150）=65.5元，
3小时=180分<350分，所以使用计费方法B的用户话费为88元．
故答案为：65.5；88
(2)解：依题意得：按计费方法A的用户话费为58+0.25（x-150）=（0.25x+20.5）元，
按计费方法B的用户话费为88+0.2（x-350）=（0.2x+18）元；
(3)
解：设当通话时间为y分钟时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等．若150350，
0.25x+20.5=0.2x+18，解得：y=-50（不合题意，舍去）．
答：当通话时间为270分钟时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，
列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（3）找准等量关系，正确列出
一元一次方程．
