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专题 15 二元一次方程组的实际应用（综合题）
易错点拨
知识点01：常见的一些等量关系
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量× 较大量＝ ＋多余量，总量＝倍数×
2.增收节支问题：
（1）增长（递减）率公式：
原来的量×（1+ ）=后来的量； 原来的量×（1-递减率）= ；
（2）利润公式：
利润=总收入- ；利润＝售价－成本(或进价)＝成本×
；标价＝成本(或进价)×(1＋ )
（3）银行利率公式：
利息=本金×利率× .
本息和（本利和）＝本金＋ ＝ ＋本金×利率×期数＝本金×(1＋
) .
年利率＝ ×12.
月利率＝年利率× .
细节剖析： 增收节支问题常常借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系，这种方法清晰明了，能够充分突
出解题过程．
3.行程问题：
速度×时间=路程.
顺水速度= .
逆水速度=
4.数字问题：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两
位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为
知识点02：实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成 的重要方法，它的关键是把
联系起来，找出题目中的 ．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程
必须满足：①方程两边表示的是 ：②同类量的 要统一；③ 要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个 ；
列：列出方程组（分析题意，找出两个 ，根据 列出方程组）；
解：解方程组，求出 ；
验：检验求得的值是否 实际情形；
答：写出答案．
细节剖析：（1）解实际应用问题必须写 “ ” ，而且在写答案前要根据 ，检查
求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2） 两步，都要写清 ；
（3）一般来说，设 就应该列出几个方程并组成方程组.
易错题专训
一．选择题
1．（2022•义乌市模拟）某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8
件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（ ）
A．95元，180元 B．155元，200元
C．100元，120元 D．150元，125元
2．（2021秋•福田区校级期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的
大长方形，则每个小长方形的周长是（ ）
A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米
3．（2022春•婺城区期末）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图
1，图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 ，在图2所示的算筹图中有一个图
形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A．| B．|| C．||| D．||||
4．（2020秋•项城市期末）如图，利用两块相同的长方体木块（阴影部分）测量一件长方体物品的高度，
首先按左图方式放置，再按右图方式放置，测量的数据如图，则长方体物品的高度是（ ）
A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
5．（2020秋•项城市期末）小明步行速度为5千米/时，骑车速度为15千米/时．如果小明先骑车2小时，
然后步行3小时，那么他的平均速度是（ ）
A．5千米/时 B．9千米/时 C．10千米/时 D．15千米/时
6．（2020•绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶 210km，它们各自单独行驶并返回的最
远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙
车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远
可距离A地（ ）
A．120km B．140km C．160km D．180km
二．填空题
7．（2022春•开州区月考）重阳佳节来临之际，某糕点店对桂圆味，核桃味、绿豆味重阳糕（分别记为A、B、C）进行混装，推出了甲、乙两种盒装重阳糕，盒装重阳糕的成本是盒中所有A、B、C的成本与
盒装包装成本之和，每盒甲装有6个A，2个B，2个C，每盒乙装有2个A，4个B，4个C，每盒甲中所
有A、B、C的成本之和是1个A成本的15倍，每盒乙的盒装包装成本是每盒甲的盒装包装成本的 倍．
每盒乙的利润率为20%，每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%．当该店销售这两种盒装重阳糕的总销售
额为31000元，总利润率为24%时，销售甲种盒装重阳糕的总利润是 元．
8．（2021•邵阳）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？
意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问
有多少人，物品的价值是多少？
该问题中物品的价值是 钱．
9．（2021•绍兴）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人 7两，
还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有 两．
10．（2020秋•黄岛区期末）如图，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长
为1，则这个长方形的面积为 ．
11．（2018秋•海曙区期末）如图，两个正方形的边长分别为 4，3，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞
b），则a﹣b等于 ．
12．（2021春•奉化区校级期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大时，你
刚1岁；你到我这么大时，我已37岁了”．那么老师现在的年龄是 岁．三．解答题
13．（2021秋•砚山县期末）疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”，用19000元
购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，25元/盒．
（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够
使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局
的要求？
14．（2022•历下区模拟）某厂计划生产A，B两种产品若干件，已知两种产品的成本价和销售价如表：
类别 A种产品 B种产品
价格
成本价 400 300
（元/件）
销售价 560 450
（元/件）
（1）第一次工厂用220000元资金生产了A，B两种产品共600件，求两种产品各生产多少件？
（2）第二次工厂生产时，工厂规定A种产品生产数量不得超过B种产品生产数量的一半．工厂计划生
产两种产品共3000件，应如何设计生产方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
15．（2022•高唐县二模）在期末一节复习课上，八年（一）班的数学老师要求同学们列二元一次方程组
解下列问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建3000m的村路，甲队每天修建
150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．
（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程，等号后面忘记写数据，得到了一个不完
整的二元一次方程组 ，张红列出的这个不完整的方程组中未知数p表示的是 ，
未知数q表示的是 ；张红所列出正确的方程组应该是 ；
（2）李芳同学的思路是想设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路．下面请你按照李芳的
思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？
16．（2022春•龙凤区期末）某景点的门票价格如下表：
购票人数（人） 1～50 51～99 100以上（含100）
门票单价（元） 48 45 42
（1）某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人
且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付4737元，两个班各有多少名学生？
（2）该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超
过50人，但不超过80人．若两个年级分别购票，总计支付门票费 4914元；若合在一起作为一个团体
购票，总计支付门票费4452元，问八年级、九年级各报名多少人？
17．（2022•渠县二模）为了保护环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有
A、B两种型号，其中每台的价格，年省油量如表：
A B
价格（万元/台） a b节省的油量（万升/年•台） 2.4 2
经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元
（1）请求出a和b的值；
（2）若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元？
18．（2022春•武冈市期末）某景点的门票价格规定如表
购票人数 1﹣50人 51﹣100人 100人以上
每人门票价 12元 10元 8元
某校八年（1）（2）两班共102人去游览该景点，其中（1）班不足50人，（2）班多于50人，如果两
班都以班为单位分别购票，则一共付款1118元
（1）两班各有多少名学生？
（2）如果你是学校负责人，你将如何购票？你的购票方法可节省多少钱？
19．（2021•任城区校级三模）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，某校欲购置规格分
别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲和1瓶乙免洗手毒液需要55元，
购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元．
（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价；
（2）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容
量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗 20ml，请问如何分能
使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．20．（2022•澄迈县模拟）有两块试验田，原来可产花生470千克，改用良种后共产花生532千克，已知第
一块田的产量比原来增加16%，第二块田的产量比原来增加10%，问这两块试验田改用良种后，各增产
花生多少千克？
