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专题 15 一次函数中的存在性问题
目录
题型一 等腰三角形存在性问题
题型二 等腰直角三角形存在性问题
题型三 45°角的存在性问题
题型四 直角三角形存在性问题
题型五 全等三角形存在性问题题型一 等腰三角形存在性问题
1．如图，一次函数的图象经过点 ， ．以线段 为边在第一象限内作等腰直角三角形 ，
．若第二象限内有一点 ，且 的面积与 的面积相等．
（1）求直线 的函数表达式．
（2）求 的值．
（3）在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在．请说
明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线 向下平移1个单位后，得到直线 ， 交 轴于点 ，
点 是直线 上一动点，过点 作 轴交 于点
（1）求出点 的坐标；
（2）连接 ，当 为以 为底边的等腰三角形时，求点 和点 的坐标；
（3）点 为 的中点，连接 、 ，若点 在 轴的左侧， 为直线 上一动点，当 与
全等时，求点 的坐标．3．如图，直线 分别与 轴、 轴交于 、 两点，直线 交直线 于点 ，点 为 轴
上一动点．
（1）求点 坐标；
（2）当直线 平分 的面积时，直线 与 轴交于点 ，求线段 的长；
（3）若 是等腰三角形，直接写出点 的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ，连接 ， ， ，直线 与 轴，
轴分别交于点 ， ．
（1）填空：直线 的解析式为 ；
（2）若 与 的面积相等，求符合条件的点 的坐标；
（3）当 为等腰三角形时，请直接写出符合条件的点 的坐标．5．如图1，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，长方形 的顶点 、 分别在 轴与 轴上，已知
， ．点 为 轴上一点，其坐标为 ，点 从点 出发以每秒2个单位的速度沿线段
的方向运动，当点 与点 重合时停止运动，运动时间为 秒．
（1）当点 经过点 时，求直线 的函数解析式；
（2）①求 的面积 关于 的函数解析式；
②如图2，把长方形沿着 折叠，点 的对应点 恰好落在 边上，求点 的坐标．
（3）点 在运动过程中是否存在使 为等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说
明理由．
6．如图，直线 与 轴 轴分别交于 、 两点在 轴上有一点 ， 是 上一点．
（1）点 的坐标： ；点 的坐标 ；
（2）若 ，求直线 的表达式；
（3）在（2）的条件下， 轴上是否存在点 ，使得 是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的
点 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图①，在平面直角坐标系中， 的边 在 轴上，点 坐标为 ，点 在第一象限，
， ． 为射线 上一点，过 作直线 轴交 于 ，交射线 于 ．
（1）求 点坐标；
（2）当 为线段 中点时，在直线 上找点 ，当 为等腰三角形，请直接写出 点坐标；
（3）如图②， 为 中点，当 时，求 点坐标．
题型二 等腰直角三角形存在性问题
8．已知一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且 的面积为4，函数值 随自
变量 的值增大而减小．
（1）求直线 的表达式，并画出函数图象；
（2）以线段 为底边在第一象限作等腰直角三角形 ，求点 的坐标．9．如图，已知长方形 的顶点 在坐标原点， 、 分别在 、 轴的正半轴上，点 的坐标为
，直线 分别边 、 轴交于 、 两点．连接 ，与直线 交于点 ．
（1）求 所在的直线的解析式；
（2）在直线 上找一点 ，使 的面积等于 的面积，请求出点 的坐标；
（3）已知点 在第一象限，且是直线 上的点，点 是边 上一点，若 是等腰直角三角形，求
点 的坐标．10．在直角坐标平面中，任意线段的中点坐标可以用这条线段的两个端点的坐标来表示，若平面内点 ，
，点 ， ，则线段 的中点坐标可以表示为 ， ，如图，直线 与 轴
交于 点，与 轴交于 点，点 是线段 的中点．
（1）求点 的坐标．
（2）点 在 轴上，且 ，求直线 的表达式．
（3）在平面直角坐标系内，直线 下方是否存在一点 ，使得 是等腰直角三角形，若存在，请直
接写出点 的坐标，不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点 ， ，交 轴于点 ；
（1）求直线 的关系式；
（2）求 的面积；
（3）作等腰直角三角形 ，使 ，求出点 的坐标．12．在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 两点， ，
直线 经过点 ，与 轴、 轴和线段 分别交于点 、 、 三点．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图①：若 ，求点 的坐标和 的面积；
（3）如图②：在坐标轴上是否存在点 ，使 是以 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写
出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
题型三 45°角的存在性问题
13．（1）如图1，在四边形 中， ，点 是边 上一点， ， ，连
接 、 ，求证 是等腰直角三角形．
（2）如图2，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 交 轴于点 ，且
，则点 的坐标为 ．14．如图1，直线 的解析式为 ， 点坐标为 ， 点关于直线 的对称点 点在直线
上．
（1）求直线 、 的解析式．
（2）如图2，若 交 于点 ，在线段 上是否存在一点 ，使 与 的面积相等，若存
在求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，过点 的直线 ，当它与直线 夹角等于 时，求出相应 的值．
15．已知一次函数 ．
（1）该函数图象一定经过定点 ，求 点坐标；
（2）该函数经过点 ，①若点 为 轴上一点， ，求 点坐标；
②若点 为该函数上一点，且 ，求 点坐标；16．在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴， 轴于 ， ，且满足 ．
（1）求 ， 的值；
（2）点 在直线 的右侧，且 ．
①若点 在 轴上（图 ，求点 的坐标；
②若 为直角三角形，求 点的坐标．
17．【模型建立】如图1，等腰直角三角形 中 ， ，直线 经过点 ，过点 作
于点 ，过点 作 于点 ，易证明 （无需证明），我们将这个模型称为
“ 形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
【模型运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰 ， ， ， 与 轴交
点 ，点 的坐标为 ， 点的坐标为 ，求 ， 两点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线 函数关系式为： ，它交 轴于点 ，交 轴于点 ，
在 轴上是否存在点 ，使直线 与直线 的夹角为 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．【模型拓展】（3）如图4，在 中， ， ， ，点 在 上，点 在 上，
，分别连接 ， 交于 点．若 ，请直接写出 的长．
题型四 直角三角形存在性问题
18．如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， ，与函数
的图象交于点 ．
（1）求 和 的值；
（2）函数 的图象与 轴交于点 ，点 从点 出发沿 方向，以每秒2个单位长度匀速运动
到点 （到 停止运动）．设点 的运动时间为 秒．
①当 的面积为12时，求 的值；
②在点 运动过程中，是否存在 的值，使 为直角三角形？若存在，直接写出 的值；若不存在，请
说明理由．
19．如图1，在平面直角坐标系中，点 坐标为 ，点 的坐标为 ．
（1）求线段 的长；
（2）点 是坐标轴上的一个点，若以 为直角边构造直角三角形 ，请求出满足条件的所有点的坐标；
（3）如图2，以点 为直角顶点作 ，射线 交 轴的负半轴与点 ，射线 交 轴的负半
轴与点 ，当 绕点 旋转时， 的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，
直接写出它的变化范围（不要求写解题过程）．
20．如图，在 中，以 为原点构建直角坐标系，点 在 轴上， 与 轴交于点 ，已知
， ．
（1）求直线 的解析式；
（2）求点 的坐标；
（3）在 轴上是否存在点 ，使得 是直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
21．如图，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，两直线交于点
，根据图中的信息解答下列问题：
（1）不等式 的解集是 ，不等式组 的解集是 ；
（2）求点 的坐标；
（3）若过点 的直线与 轴交于点 ，当以 、 、 为顶点的三角形是直角三角形时，求直线 的
解析式．22．如图，在平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线 相交于点 动点 沿路线
运动．
（1）求直线 的解析式；
（2）当 的面积是 的面积的 时，求出这时点 的坐标；
（3）是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， ，与函数
的图象交于点 ．
（1）求 和 的值；
（2）函数 的图象与 轴交于点 ，点 从点 出发沿 方向，以每秒2个单位长度匀速运动
到点 （到 停止运动）．设点 的运动时间为 秒．
①当 的面积为12时，求 的值；②在点 运动过程中，是否存在 的值，使 为直角三角形？若存在，直接写出 的值；若不存在，请
说明理由．
24．已知，如图1，在平面直角坐标系 中，矩形 的边 在 轴的正半轴上， 在 轴的正半
轴上， ， ，过原点 作 的平分线交 于点 ，连接 ，过点 作 ，交
于点 ．
（1）求经过点 、 的直线解析式；
（2）将 绕点 按顺时针方向旋转后，角的一边与 轴的正半轴交于点 ，另一边与线段 交于
点 ，使得 ，请求出此时 的长度．
（3）对于（2）中的点 ，在直线 上是否存在点 ，使得点 与点 、 构成的 是直角三角形？
若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五 全等三角形存在性问题
25．如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 、 ，线段 的中点为 ．将
沿直线 折叠，使点 与点 重合，直线 与 轴交于点 ．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求点 的坐标；
（3）在坐标平面内存在点 （除点 外），使得以 、 、 为顶点的三角形与 全等，请直接写
出点 的坐标．26．如图，一次函数 的图象与 轴和 轴分别交于点 和 ，再将 沿直线 对折，使
点 与点 重合、直线 与 轴交于点 ，与 交于点 ．
（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）求 的长度；
（3）在坐标平面内，是否存在点 （除点 外），使得 与 全等？若存在，请求出所有符合
条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图①，已知直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，以 、 为边在第一象限内作长方
形 ．
（1）求点 、 的坐标；
（2）将 对折，使得点 与点 重合，折痕交 于点 ，求直线 的解析式（图② ；
（3）在坐标平面内，是否存在点 （除点 外），使得 与 全等？若存在，请求出所有符合
条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
28．在平面直角坐标系中，已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．（1）求直线 的表达式；
（2）若点 的坐标为 ，且 ，求 的值；
（3）若点 的坐标为 ，在射线 上有两点 ， ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与
全等，求点 的坐标．
