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专题10 巧用旋转进行计算
解答题技巧
将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后
的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公
共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位
置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要
的条件。旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。
典例分析
【考点1 利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】
【典例1】（2021九上·番禺期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点
A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），
连接CC′．若∠CC′B′＝20°，则∠B的大小是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】B
【解答】解：∵将ΔABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB'C'，
∴AC=AC，∠CAC=90°，∠B=∠ABC，
∴∠ACC=45°，
∴∠ABC=∠ACC+∠CCB=45°+20°=65°，
∴∠B=∠ABC=65°，
故答案为：B
【变式1-1】（2021九上·上高月考）如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转70°，得到△COD，若∠COD=40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】C
【解答】解：∵将△AOB绕着点O顺时针旋转70°，得到△COD，
∴∠BOD=70°，
∵∠COD=40°，
∴∠BOC=∠BOD－∠COD=70°－40°=30°．
故答案为：C
【变式1-2】（2021九上·南充期末）如图，在 △ABC 中， ∠ACB=90° ，
∠A=30° ，将 △ABC 绕点C逆时针旋转90°得到 △DEC ，则 ∠AED 的度数为
（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【解答】解：由旋转的性质可得：∠A=∠D=30°，∠ACB=∠DCE=90° ，
∴∠AED=∠D+∠DCE=120° ；
故答案为：B.
【变式1-3】（2021九上·澄海期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到
△ABC．若点B刚好落在BC边上，且AB=CB'，若∠C=20°，则△ABC旋转的角度为
（ ）A．60° B．80° C．100° D．120°
【答案】C
【解答】解：∵AB=CB'，
∴∠B'AC=∠C，
由旋转前后对应线段相等可知：AB’=AB，
∴∠B=∠AB’B，
由三角形外角定理可知：∠AB’B=∠B’AC+∠C=2∠C=40°，
∴∠B=∠AB’B=40°，
∴△ABC旋转的角度为∠BAB’=180°-∠B-∠AB’B=180°-40°-40°=100°，
故答案为：C．
【变式1-4】（2021九上·庐江期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将
△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（
）
A．65 B．75 C．85 D．130
【答案】C
【解答】∵DE∥AB，
∴∠DAB＝180°－∠D，
∵∠D=∠B=180°－20°－65°=95°，
∴∠DAB=180°－95°=85°，∴n=85°，
故答案为：C．
【典例2】（2021九上·道里期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC=30°，AC
＝√3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，连接BB'，则BB'的长度是（
）
A．1 B．3 C．√3 D．2√3
【答案】D
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC=30°，AC＝√3，
∴∠BAC=90°－∠ABC=60°，AB=2AC=2√3，
∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，
∴∠BAB'=∠BAC=60°，AB=AB'，
∴△ABB'是等边三角形，
∴BB'=AB=2√3，
故答案为：D．
【变式2-1】（2021九上·香坊期末）如图，将RtΔABC绕点A按顺时针旋转一定角度得
到RtΔADE，点B的对应点点D恰好落在边BC上，若AC=2√3，∠ABC=60°，则
CD的长为（ ）
A．3 B．2 C．√3 D．1
【答案】B【解答】解：∵AC=2√3，∠ABC=60°，∠BAC＝90°
∴∠C=90°-∠ABC=30°
∴BC＝2AB
∵BC2=AC2+AB2
∴AB＝2，BC＝2AB＝4，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，
∴AD＝AB，且∠B＝60°
∴△ADB是等边三角形
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝BC−BD＝4−2＝2
故答案为：B．
【变式2-2】（2021秋•韶关期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若
AB＝3cm，则BE等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴AB＝AE＝3cm，∠BAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE＝3cm，
故选：B
【变式2-3】（2021秋•邓州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC
＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，连结
BB'，则△A'BB'的周长为（ ）A． B．1+ C．2+ D．3+
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，
∴BC＝ AC＝ ，AB＝2AC＝2，
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，
∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BAB′，
∵CA＝CA′，∠A＝60°，
∴△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，AA′＝AC＝1，
∴A′B＝1，
∴∠BCB′＝60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴BB′＝CB＝ ，
∴△A'BB'的周长为A′B+AB′+BB′＝2+1+ ＝3+ ，
故选：D．
【典例3】（2021秋•岳池县期末）如图，点 O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝
150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；
（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．【答案】（1）∠ODC＝60° （2）AD⊥OD （3）
【解答】解：（1）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，
∴∠ACD+∠ACO＝∠BCO+∠ACO，即∠DCO＝∠ACB，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠DCO＝60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠ODC＝60°；
（2）AD与OD的位置关系是：AD⊥OD，理由如下：
由（1）知∠ODC＝60°，
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，
∴AD⊥OD；
（3）由旋转的性质得，AD＝OB＝2，
∵△OCD为等边三角形，
∴OD＝OC＝3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝ ＝ ＝ ．
【变式3-1】（2021九上·中山期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着
点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接
AF．（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，
∴∠ABC=50°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，
1
∴∠BAF=∠BFA= （180°-50°）=65°
2
（2）解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE=BC=6，EF=AC=8，
∴AE=AB-BE=10-6=4，
∴AF=√AE2+EF2=√42+82=4√5．
【变式3-2】（2021九上·谷城期中）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB
＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的
距离及∠APB的度数．
【答案】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，
∴AP′=AP，∠P′AP=∠BAC=60°，BP′=CP=10，∴△AP′P为等边三角形，
∴P′P=AP=6，∠APP′=60°，
在△PBP′中，PP′=6，BP′=10，PB=8，
∵62+82=102，
∴P′P2+PB2=P′B2，
∴∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°．
故答案为6，150．
【考点2 利用旋转计算面积】
【典例4】（2021九上·鄞州月考）如图，在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆
时针方向旋转30°后得到△ABC ，则阴影部分的面积为 .
1 1
【答案】4
【解答】解：∵在△ABC中，AB=4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到
△ABC ，∴△ABC≌△A BC ，
1 1 1 1
∴AB=AB=4，
1
∴△A BA是等腰三角形，∠ABA=30°，
1 1
1
∴S = ×4×2=4.
ΔA 1 BA 2
又∵S = S + S ﹣S ， S =S ，
阴影 ΔA BA ΔA BC △ABC ΔA BC △ABC
1 1 1 1 1
∴S = S =4.
阴影 ΔA BA
1
故答案为：4.
【变式4-1】（2022•瑞金市模拟）如图，将边长为 的正方形绕点B逆时针旋转30°，那
么图中阴影部分的面积为（ ）A．3 B． C． D．
【解答】解：设C'D'与AD交于M，连接BM，如图：
∵边长为 的正方形绕点B逆时针旋转30°，
∴AB＝BC'，∠A＝∠C'＝90°，∠CBC'＝30°，
∵BM＝BM，
∴△ABM≌△C'BM（HL），
∴∠ABM＝∠C'BM＝30°，
在Rt△ABM中，
AM＝ ＝1，
∴S△ABM ＝ AB•AM＝ ＝S△BC'M ，
∴S阴影 ＝（ ）2﹣S△ABM ﹣S△BC'M ＝3﹣ ，
故选：C．
【变式4-2】（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝
30°，BC＝2．将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转到点 D 落在 AB 边上，此时得到
△EDC，斜边DE交AC边于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）A．3 B．1 C． D．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴∠B＝60°，AC＝ BC＝2× ＝2 ，AB＝2BC＝4，
∵△EDC是△ABC旋转而成，
∴BC＝CD＝ AB＝2，
∵∠B＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD＝60°，
∴∠DCF＝30°，∠DFC＝90°，即DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵BD＝ AB＝2，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF＝ BC＝ ×2＝1，CF＝ AC＝ ×2 ＝ ，
∴S阴影 ＝ DF×CF＝ ×1× ＝ ，
故选：D．
【变式4-3】（2021秋•南丹县期末）如图，边长相等的两个正方形 ABCD和OEFG，若将
正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转120°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（ ）
A．不变 B．先增大再减小
C．先减小再增大 D．不断增大
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OEFG是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝∠MON＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，
∴∠BOM＝∠CON，
在△BOM和△CON中，
，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴S△BOM ＝S△CON ，
∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积为S△BOC ＝ S正方形ABCD ，
故选：A
【考点3 坐标系中图形旋转的规律】
【典例5】（2021秋•阳东区期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆
时针旋转45°后得到正方形OA B C ，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形
1 1 1
OA B C ，如果点A的坐标为（1，0），那么点B 的坐标为（ ）
2020 2020 2020 2020
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．
【答案】C【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB＝ ，
由旋转得：OB＝OB ＝OB ＝OB ＝…＝ ，
1 2 3
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA B C ，
1 1 1
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB ＝∠B OB ＝…＝
1 1 2
45°，
∴B （0， ），B （﹣1，1），B （﹣ ，0），B （﹣1，﹣1），…，
1 2 3 4
发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，
∴点B 的坐标为（﹣1，﹣1）
2020
故选：C．
【变式5-1】（2021九上·惠来月考）如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在
坐标轴上，且B(2，0)，以AB为边构造菱形ABEF．将菱形ABEF与正方形ABCD组
成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2020次旋转结束时，点F 的坐标
2020
为（ ）A．(−2，2√2) B．(−2，−2√2) C．(2√2，−2) D．(−2√2，−2)
【答案】D
【解答】∵点B的坐标为(2，0)，
∴OB=2，
由正方形的性质，得OA=2，
∴AB=√22+22=2√2，
∵四边形ABEF为菱形，
∴AF=AB=2√2，
∴F(2√2，2)，
由题，可知旋转为每8次一个循环，2020÷8=252⋯4，
∴第2020次旋转结束时，点F 与点F关于原点对称，
2020
∴F (−2√2，−2)，
2020
故答案为：D．
【变式5-2】（2021•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1的正方形OABC绕
点O顺时针旋转45°后得到正方形OA B C ，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正
1 1 1
方形OA B C ，那么点A 的坐标是（ ）
2019 2019 2019 2019
A．（ ，﹣ ） B．（1，0） C．（﹣ ，﹣ ） D．（0，﹣1）
【答案】A
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A（0，1），
∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA B C ，
1 1 1
∴A （ ， ），A （1，0），A （ ，﹣ ），…，
1 2 3
发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3，∴点A 的坐标为（ ，﹣ ）
2019
故选：A．
【变式5-3】（2021秋•郧阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针
旋转到△AB C 的位置，点B、O分别落在点B 、C 处，点B 在x轴上，再将△AB C
1 1 1 1 1 1 1
绕点B 顺时针旋转到△A B C 的位置，点C 在x轴上，将△A B C 绕点C 顺时针旋转
1 1 1 2 2 1 1 2 2
到△A B C 的位置，点A 在x轴上，依次进行下去…，若点A（3，0），B（0，4），
2 2 2 2
则点B 的横坐标为（ ）
2021
A．12120 B．12128 C．12123 D．12125
【答案】B
【解答】解：∵点A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝ ＝5，
∴OA+AB +B C ＝3+5+4＝12，
1 1 2
观察图象可知，点B 的纵坐标为4，
2020
∵2020÷2＝1010，
∴点B 的横坐标为1010×12＝12120，
2020
12120+3+5＝12128
∴点B 的坐标为（12128，0）．
2021
故选：B．夯实基础
1．（2021九上·海曙期末）如图， 在 △ABC 中， ∠BAC=75∘ ， 以点 A 为旋转
中心， 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转得到 △ADE ， 点 B、C 的对应点分别为
D、E ， 连接 CE ， 若 CE//AB ， 则 ∠CAE 的值是( )
A．25∘ B．30∘ C．35∘ D．45∘
【答案】B
【解答】解：∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE=75°；
∵ 以点 A 为旋转中心， 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转得到 △ADE ，
∴AE=AC，
∴∠AEC=∠ECA=75°；
∴∠CAE=180°-2×75°=30°.
故答案为：B.
2．（2021九上·虎林期末）如图，在Rt△ABC中，
∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到
Rt△ABC，使点C落在AB边上，连接BB，则BB的长度是（ ）
A．1cm B．2cm C．√3cm D．
2√3cm【答案】B
【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm，
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴AB=2AC=2cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋转的性质可知：∠CAB=∠BAB'=60∘，且AB=AB'，
∴ΔBAB'为等边三角形，
∴BB'=AB=2．
故答案为：B．
3．（2022春•泗县期中）如图所示，△ABC为直角三角形，BC为斜边，将△ABP绕点A
逆时针旋转后，能与△ACP'重合．如果AP＝3，那么PP'的长等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°，
∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，
∴AP＝AP′，AB＝AC，∠PAP′＝∠BAC＝90°，
∴△APP′为等腰直角三角形，
∴PP′＝ AP＝3 ，
故选：A．
4．（2021秋•甘井子区期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，将
△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，若直线A'C'经过点A，则CC'的长为（ ）A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，
∴BA＝BA'，BC＝BC'，∠BAC＝∠BA'C'，
∵∠BAC＝60°，
∴∠A'＝60°，
∴△ABA'是等边三角形，
∴∠ABA'＝60°，
∴∠CBC'＝∠ABA'＝60°，
∴△BCC'是等边三角形，
∴CC'＝BC，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝2，
∴BC＝ ，
∴CC'＝BC＝ ，
故选：C
5（2022·呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到
△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则
∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（ ）1 1 3 3
A．90°+ α B．90°− α C．180°− α D． α
2 2 2 2
【答案】C
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，且∠BCD=α
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
180°−α α
∴∠B=∠BDC= =90°− ，
2 2
α α
∴∠A=∠E=90°−∠B=90°−90°+ = ，
2 2
α
∴∠A=∠E= ，
2
α 3
∴∠EFC=180°−∠ACE−∠E=180°−α− =180°− α，
2 2
故答案为：C．
6．（2021九上·富裕期末）如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝
3√2，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．105° D．55°
【答案】C
【解答】解：连接DE，如图：∵ΔABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°
∴∠BAD+∠CAD=60°
由旋转可得，ΔBAD≅ΔCAE
∴∠CAE=∠BAD，AD=AE=3，CE=BD=3
∴∠CAE+∠CAD=60°，即∠DAE=60°
∴ΔDAE是等边三角形，
∴DE=AD=3，∠ADE=60°
∵DE＝3，CE＝3，CD＝3√2，
∴DE2=9，CE2=9，CD2=18
∴DE2+CE2=CD2
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=60°+45°=105°
故答案为：C
7．（2022·益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A
点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，
④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解答】解：∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正确；
∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°，
∴∠B′AC＝∠BAB′−∠CAB＝50°-20°=30°，
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC，
∴AC∥C′B′．故②正确；
在△BAB′中，
∵AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
1
∴∠AB′B＝∠ABB′＝ （180°−50°）＝65°，
2
∴∠BB′C′＝∠AB′B＋∠AB′C′＝65°＋30°＝95°，
∴C′B′与BB′不垂直．故③错误；
在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
1
∴∠ACC′＝ （180°−50°）＝65°，
2
∴∠ABB′＝∠ACC′，故④正确.
∴正确结论的序号为：①②④.
故答案为：B.
8.（2021九上·集贤期末）如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC绕点A按逆时针方
向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则旋转角为
度．
【答案】36
【解答】解：根据题意，可得∠BAB为旋转角，
∵AB′＝CB′
∴∠C=∠CAB=36°∴∠ABB=2∠C=72°
由旋转的性质可得：AB=AB
∴∠B=∠ABB=72°
∴∠BAB=36°
故答案为：36
9．（2022春•通道县期末）已知，正方形ABCD的边长是4，正方形OMNE（OM＞
AC）绕着正方形ABCD的对称中心O旋转，那么两正方形重叠部分的面积是 ．
【答案】4
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD和四边形OENM都是正方形，
∴OD＝OC，∠ODP＝∠OCF＝45°，∠DOC＝∠EOM＝90°，
∴∠DOP＝∠COF．
在△PDO和△FCO中，
，
∴△PDO≌△FCO（ASA），
∴两正方形重叠部分的面积是等于△DOC的面积，
即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的 ，
∵正方形的边长为4，
∴正方形的面积为16，
∴重叠部分面积不变为 ．故答案为：4．
10．（2022•新城区校级一模）如图，D是等边三角形ABC外一点，AD＝6，CD＝4，当
BD长最大时，△ABC的面积为 ．
【答案】19
【解答】解：如图1，以CD为边作等边△DCE，连接AE．
∵BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，
∵AE≤AD+DE，
当A、D、E三点共线时，AE＝AD+DE＝10，其值最大，
∴AE的最大值为10，
∴BD的最大值为10，
过点A作AF⊥BD于F，如下图，∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC＝∠E＝60°，
∴∠ADF＝60°，
∵AF⊥BD，
∴∠DAF＝30°，
∴DF＝ AD＝3，AF＝ DF＝3 ，
∴BF＝10﹣3＝7，
∴AB2＝AF2+BF2＝76，
∴△ABC的面积＝ AB2＝19 ，
故答案为：19
11.（2022春•高州市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋
转30°后得到△A BC ，则阴影部分面积为 ．
1 1
【答案】16
【解答】解：过A作AD⊥A B于D，如图：
1在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A BC ，
1 1
∴△ABC≌△A BC ，
1 1
∴A B＝AB＝8，
1
∴△A BA是等腰三角形，∠A BA＝30°，
1 1
∵AD⊥A B，
1
∴AD＝ AB＝4，
∴S△A1BA ＝ ×8×4＝16，
又∵S阴影 ＝S△A1BA +S△A1BC1 ﹣S△ABC ，且S△A1BC1 ＝S△ABC ，
∴S阴影 ＝S△A1BA ＝16，
故答案为：16．
12.（2021九上·互助期中）如图将 △ABC 绕点A逆时针旋转得到 △ADE ，点C和点
E是对应点，若 ∠CAE=90° ， AB=1 ，求BD的长．
【答案】解：由旋转的性质得： AB=AD=1 ， ∠BAD=∠CAE=90° ，
∴BD=√AB2+AD2=√2 ．
13．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，
连接DE.（1）求证：△BDE≌△BCE；
（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，
∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，
∵AB⊥EC，
∴∠ABC=90°，
∴∠DBE=∠CBE=30°，
在△BDE和△BCE中，
{
DB=CB
∵ ∠DBE=∠CBE ，
BE=BE
∴△BDE≌△BCE；
（2）解：四边形ABED为菱形；由（1）得△BDE≌△BCE，∵△BAD是由△BEC旋
转而得，∴△BAD≌△BEC，∴BA=BE，AD=EC=ED，又∵BE=CE，
∴四边形ABED为菱形
14.（涪陵期中）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将
△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．
【答案】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，
∴∠P′AP=∠BAC=60°，AP′=AP，BP′=CP=13，
∴△AP′P为等边三角形，∴PP′=AP=5，∠APP′=60°，
在△BPP′中，∵PP′=5，BP=12，BP′=13，
∴PP′2+BP2=BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°．
答：点P与点P′之间的距离为5，∠APB的度数为150°．
15．（2022春•渭滨区期末）如图，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝
3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
（1）求线段OD的长；
（2）求∠BDC的度数．
【解答】解：（1）∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO＝BD，
而∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴△OBD为等边三角形，
∴OD＝BO＝4；
（2）∵△BOD为等边三角形，
∴∠BDO＝60°，OD＝4，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴CD＝AO＝3，
在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，
∵CD2+OD2＝32+42＝52＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°．
16.（2022春•永丰县期中）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B
按逆时针方向旋转110°，得到△DBE，连接AD，CE．
（1）求证：△ABD≌△CBE．
（2）求∠ACE的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转110°，
∴∠ABC＝∠DBE，∠ABD＝∠CBE，AB＝BC＝BD＝BE，
在△ABD与△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵∠ABD＝∠CBE＝110°，BA＝BC＝BD＝BE，
∴∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC＝35°．
∵AB＝BC，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝70°，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝105°．
能力提升
17．（2021九上·龙江期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点
A的坐标为（1，1），AA1⌢是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A1A2⌢是以点O
为圆心，OA 为半径的圆弧，A2A3⌢是以点C为圆心，CA 为半径的圆弧，A3A4⌢是
1 2
以点A为圆心，AA 为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的
3
曲线AA AAAA…称为正方形的“渐开线”，那么点A 的坐标是
1 2 3 4 5 2021．
【答案】（2021，0）
【解答】解：∵A点坐标为（1，1），且A 为A点绕B点顺时针旋转90°所得
1
∴A 点坐标为（2，0）
1
又∵A 为A 点绕O点顺时针旋转90°所得
2 1
∴A 点坐标为（0，-2）
2
又∵A 为A 点绕C点顺时针旋转90°所得
3 2
∴A 点坐标为（-3，1）
3
又∵A 为A 点绕A点顺时针旋转90°所得
4 3
∴A 点坐标为（1，5）
4
由此可得出规律：A 为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半
n
径为1、2、3、、n，每次增加1．
∵2021÷4=505…1
故A 为以点B为圆心，半径为2021的A 点顺时针旋转90°所得
2021 2020
故A 点坐标为（2021，0）．
2021
故答案为：（2021，0）．
18.（2021九上·黔西南期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转
√3
到△ABO 的位置，使点A的对应点A 落在直线y＝ x上，再将△ABO 绕点A 顺
1 1 1 3 1 1 1
√3
时针旋转到△ABQ 的位置，使点O 的对应点O 落在直线y＝ x上，依次进行下
1 1 2 1 2 3
去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（√3，1），则点A 的横坐标是
12
.【答案】9（√3+1）
【解答】解：根据将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△ABO 的位置可知：∠BA O＝
1 1 1 1 1 2 1 1
90°，
∴∠OAB＝90°，
当y＝1时，x＝√3，即AB＝√3，
∴∠AOB＝60°，
如图，延长AO 交x轴于E，则∠OEO ＝90°，
2 2 2
∴OO ＝2+√3+1＝3+√3，
2
3+√3
∴OE= ，
2 2
3
∴OE=√OO 2−O E2= （√3+1），
2 2 2
3
∴点A 的横坐标为 （√3+1），
2 2
同理可得：点A 的横坐标3（√3+1），
4
9
点A 的横坐标 （√3+1），
6 2
点A 的横坐标6（√3+1），
83
∴点A 的横坐标是 ×6（√3+1），即9（√3+1）.
12 2
故答案为：9（√3+1）.
19．（2021九上·新乡期末）如图，△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠ABC＝
90°，OA＝OB＝1，BC＝2√2，将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第
2021次旋转结束时，点C的坐标为 .
【答案】（3，-2）
【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
∵OA＝OB＝1，∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD=45°，
∴∠BCD=45°，
∴BD=CD，
∵BC＝2√2，
∴BD2+CD2=BC2=(2√2) 2 ，
∴BD=CD=2，∴OD=OB+BD=3，
∴点C(2，3)，
将△ABC绕点O顺时针旋转，第一次旋转90°后，点C（3，-2），
将△ABC绕点O顺时针旋转，第二次旋转90°后，点C（-2，-3），
将△ABC绕点O顺时针旋转，第三次旋转90°后，点C（-3，2），
将△ABC绕点O顺时针旋转，第四次旋转90°后，点C（2，3），
⋯⋯
由此发现，△ABC绕点O顺时针旋转四次一个循环，
∵2021÷4=55⋯⋯1 ，
∴第2021次旋转结束时，点C的坐标为（3，-2）.
故答案为：（3，-2）
