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专题 10 平行四边形综合
知识网络
重难突破
知识点一 平行四边形性质及应用
1、平行四边形相关概念
（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用符号“ ”表示. 如图，平行四边
形 记作“ ”．
（2）几何语言：
∵ ,
∴四边形 是平行四边形2、平行四边形性质
平行四边形 性质 几何语言
∵四边形 是平行四边形
边 平行四边形的对边相等
∴ ，
∵四边形 是平行四边形
角 平行四边形的对角相等 ∴ ，
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
对角线 平行四边形的对角线互相平分
性质补充
（1）对称性：中心对称图形，对角线交点为对称中心；
（2）平行四边形的两条邻边之和等于周长的一半，每一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形，两
条对角线把平行四边形分成4个面积相等的三角形，且相对的两个三角形全等；
（3）过对角线中点的任意一条直线都把平行四边形的面积分成相等的两部分.
典例1
（2020•河池）如图，在 中， 平分 ，交 于点 ， ， ， ．则
的长是
A． B． C． D．
【解答】解： 平分 ，，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，
，
，
， ，
在 中， ，即 ，
，
， ，
在 中， ．
故选： ．
典例2
（2021春•济南期中）如图，在 中， ， ，点 在 边上，以 、 为边作平
行四边形 ，则 的度数为 ．
【解答】解：在 中， ， ，
，
四边形 是平行四边形，
．
故答案为： ．
知识点二 平行四边形的判定
平行四边形的判定定理及几何语言叙述
如图，判定定理 几何语言
两组对边分别平行的四边形是 ∵ ，
平行四边形（定义） ∴四边形 是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是 ∵ ，
平行四边形 ∴四边形 是平行四边形
，
四边形 是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形
或
是平行四边形
，
四边形 是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平
行四边形 四边形 是平行四边形
典例1
（2020春•历下区期末）下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是
A．两组对边分别平行
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分
D．一组对边平行，另一组对边相等
【解答】解： 、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
、四边形可能是等腰梯形，本选项符合题意；
故选： ．
典例2
（2020春•龙岗区期末）如图，已知点 ， 分别是平行四边形 的边 ， 的中点．求证：四边形 为平行四边形．
【解答】证明： 四边形 为平行四边形
， ，
点 、 分别是平行四边形 的边 、 的中点，
，
， ，
四边形 为平行四边形．
知识点三 平行四边形判定性质综合
1、平行四边形性质
（1）边：对边平行且相等
（2）角：对角相等、邻角互补
（3）对角线：互相平分
2、平行四边形判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形
注意：
1、平行四边形判定的选择
（1）已知一组对边平行，可选择①另一组对边平行（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
②这组对边相等（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
（2）已知一组对边相等，可选择①另一组对边相等（两组对边相等的四边形是平行四边形）
②这组对边平行（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
（3）已知对角线互相平分，可直接选择对角线互相平分的四边形是平行四边形.2、性质与判定之间的联系
由某一四边形为平行四边形这一条件，得到边、角或对角线的关系，这是平行四边形的性质；反之，由边、
角或对角线的关系，得到某一四边形为平行四边形，这是平行线的判定.
3、两条平行线间的距离
如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.
注意：
（1）两条平行线间的距离是指垂线段的长度，是正值；
（2）夹在两平行线间的平行线段相等；
（3）两条平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.
典例1
如图，四边形 是平行四边形，以点 为圆心、 的长为半径画弧交 于点 ，再分别以点 ，
为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，连接 ．下列结论
中不一定成立的是
A． B． C． 平分 D．
【解答】解：由尺规作图可知： ， 平分 ，
，
四边形 是平行四边形，
，
．
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，，
四边形 是菱形，
平分 ， ， ，故选项 、 正确，
，
，故选项 正确；
故选： ．
典例2
（2021春•深圳校级期中）如图，平行四边形 中， 是它的一条对角线过 ， 两点作 ，
，垂足分别为 ， ，延长 ， 分别交 ， 于 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）已知 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 四边形 是平行四边形，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
在 和 中，
，
，
，在 中，由勾股定理得： ．
巩固训练
一、单选题（共6小题）
1．（2020•深圳模拟）如图，点 是直线 外一点，在 上取两点 ， ，分别以 ， 为圆心， ，
长为半径画弧，两弧相交于点 ，分别连接 ， ， ，则四边形 的
A．四条边相等 B．四个角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【解答】解： 分别以 、 为圆心， 、 长为半径画弧，两弧交于点 ，
，
四边形 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
平行四边形 的对角线互相平分，
故选： ．
2．（2020春•龙岗区期末）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ，已知 ，则
添加下列结论中的一个条件后，仍不能判定四边形 是平行四边形的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，
，在 和 中， ，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形；选项 不符合题意；
、 ， ，
不能判定四边形 是平行四边形，选项 符合题意；
、 ， ，
四边形 是平行四边形；选项 不符合题意；
、 ， ，
四边形 是平行四边形；选项 不符合题意；
故选： ．
3．（2021春•济南期中）若平行四边形的一组邻边的长分别为5和8，则该平行四边形的周长为
A．13 B．16 C．22 D．26
【解答】解：平行四边形的周长 ，
故选： ．
4．（2021春•济南期中）如图， 的对角线 ， 交于点 ， ， ， ，
那么 的长为
A． B． C．3 D．4
【解答】解： ， ， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
故选： ．
5．（2020春•罗湖区校级期中）如图，平行四边形 的对角线 与 相交于点 ， ，垂足为 ， ， ， ，则点 到 的距离为
A． B．3 C． D．
【解答】解： ， ，四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
即点 到 的距离为 ，
故选： ．
6．（2020春•长清区期末）如图， 中， ， ， ，点 为 上任意
一点，连接 ，以 、 为邻边作平行四边形 ，连接 ，与 交于点 ，则 的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解： ， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
最短也就是 最短，
过 作 的垂线 ，
， ，
△ ，
，
，
，
则 的最小值为 ．
故选： ．
二、填空题（共5小题）
7．（2020春•历城区校级月考）如图，在 中， 平分 ， ， ，则 的
周长是 ．
【解答】解： 平分 ，
，
中，，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
，
的周长 ，
故答案为：16．
8．（2020春•槐荫区月考）如图， 中， ， 于点 ， 于点 ，
与 交于点 ，则 度．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
， ， ，
， ， ，
，
，
，
故答案为：60．
9．（2020春•历下区期末）在平面直角坐标系 中，平行四边形的三个顶点 ， ， ，
则其第四个顶点 的坐标是 ．
【解答】解： 、 ，，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
点 的坐标为 ，
即 ；
同理可得： 或 ；
故答案为： 或 或 ．
10．（2021春•历下区期中）如图所示，在平行四边形 中， ， ， ， 是
的中点， 于点 ，则 的面积为 平方单位．
【解答】解：如图，延长 和 交于点 ，
在平行四边形 中， ，
，
为 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，，
，
， ，
，
， ，
，
．
故答案为： ．
11．（2020春•章丘区期末）如图，在 ， ， 是 的中点，作 ，垂足 在线
段 上，连接 、 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④
，一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【解答】解：① 是 的中点，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，故①正确；
如图，延长 ，交 延长线于 ，
四边形 是平行四边形，
，
，为 中点，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，故②正确；
③ ，
，
，
，
故 不成立，故③错误；
④设 ，则 ，
，
，
，
，
，故此选项正确．
故答案为：①②④．三、解答题（共2小题）
12．（2020•安徽模拟）已知：如图，在平行四边形 中，点 在边 上，且 ． 、
的延长线相交于点 ．求证：
（1） ；
（2）如果 平分 ，求证： ．
【解答】证明：（1） 四边形 是平行四边形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（2） 平分 ，
，
四边形 是平行四边形，
，，
，
，
， ，
点 是 的中点，
，
，
是等腰三角形．
平分 ，
．
13．（2020春•龙岗区校级期末）如图，四边形 中， 交 于点 ， 于点 ，已
知 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如果 ， ， ，求 的长．
【解答】（1）证明： ， ，
，
，
，
即 ，
在 和 中， ，
，，
，
又 ，
四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形 是平行四边形，
，
，
，
四边形 是等腰梯形，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
．
