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专题 10 平面直角坐标系（综合题）
易错点拨
知识点：坐标方法的简单应用
1．用坐标表示地理位置
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、 y 轴 的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
细节剖析：
(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．
(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．
2．用坐标表示平移
(1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a 个单位长度，可以
得到对应点 (x+ a ， y) ( 或 (x- a ， y) )；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点 ( x ， y+b )
( 或 ( x ， y-b) ) ．
细节剖析：
上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．
(2)图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是
把原图形 向右 ( 或向左 ) 平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新
图形就是把原图形 向上 ( 或向下 )平移a个单位长度．
细节剖析：
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的
坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上
加下减，横不变”．
易错题专训一．选择题
1．（2022春•海安市期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC三个顶点A、B、C的坐标A（0，
4），B（﹣1，b），C（2，c），BC经过原点O，且CD⊥AB，垂足为点D，则AB•CD的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．14
解：∵A（0，4），
∴OA＝4，
∵B（﹣1，b），C（2，c），
∴点B，C到y轴的距离分别为1，2，
∵S +S ＝S ，
△ABO △ACO △ABC
∴ ×4×1+ ×4×2＝ ×AB•CD，
∴AB•CD＝12，
故答案为：C．
2．（2022春•南昌期中）在平面直角坐标系中，若A（m+3，m﹣1），B（1﹣m，3﹣m），且直线AB∥x轴
则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
解：∵直线AB∥x轴，
∴m﹣1＝3﹣m，
解得：m＝2，
故选：C．
3．（2022春•武昌区期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距
离为4，则点M的坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣4，﹣3） C．（4，﹣3） D．（﹣3，4）解：由点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，得
|y|＝3，|x|＝4，
由点位于第四象限，得
y＝﹣3，x＝4，
点M的坐标为（4，﹣3），
故选：C．
4．（2021秋•市中区校级期末）已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序
数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．
若有序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．﹣
解：∵有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是（ka+b，a﹣b），
∴ ，
解得：k＝﹣ ．
故选：B．
5．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在网格中建立平面直角坐标系，已知 A（0，0），B（﹣3，1），C
（3，4），若点D使得∠BCD＝∠DAB，则点D的坐标可能是（ ）
A．（6，3） B．（﹣3，4） C．（﹣4，5） D．（﹣1，3）
解：当四边形ABCD为平行四边形，
有∠BCD＝∠DAB，
∴AB∥DC，
根据平移原理．所以D（6，3），
故选：A．6．（2022春•信都区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（0，0），B（2，1），C（1，
2）；△DEF的顶点坐标为D（0，0），E（4，2），F（2，4），关于△ABC和△DEF下列说法中，正确
的是（ ）
A．周长相等
B．面积相等
C．△DEF的周长是△ABC周长的2倍
D．△ABC周长是△DEF的周长的2倍
解：如图：
∵D（0，0），E（4，2），F（2，4），
∴DE的中点坐标为（ ， ），即（2，1）；
DF的中点坐标为（ ， ），即（1，2），
∵A（0，0），B（2，1），C（1，2）；
∴点A与点D重合，点B为DE的中点，点C为DF的中点，
∴DE＝2AB，DF＝2AC，
∴ ＝ ＝ ，
∵∠BAC＝∠EDF，
∴△BAC∽△EDF，
∴ ＝（ ）2＝ ， ＝ ，
∴S ＝4S ，C ＝2C ，
△DEF △ABC △DEF △ABC
故选：C．
二．填空题7．（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），直线AB与x轴平行，若AB＝
4，则点B的坐标为 （ 6 ， 1 ）或（﹣ 2 ， 1 ） ．
解；如图，∵点A（2，1），直线AB与x轴平行，
∴直线AB上的点的纵坐标都为1；
∵AB＝4，
∴当点B在点A的右侧时，x＝x+3＝2+4＝5，即B'（6，1），
当点B在点A的左侧时，x＝x﹣3＝2﹣4＝﹣2，即B''（﹣2，1）；
∴综上所述，点B的坐标为（6，1）或（﹣2，1）．
故答案为：（6，1）或（﹣2，1）．
8．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，直线BC经过原点O，点A在x轴上，AD⊥BC于点D，若B（m，
2），C ，A（5，0），则AD•BC＝ 3 5 ．
解：过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵B（m，2），C（﹣ ，﹣5），A（5，0），
∴BE＝2，CF＝5，OA＝5，
∵S ＝S +S ＝ OA•BE+ OA•CF＝ ，
△ABC △AOB △AOC
S ＝ AD•BC，
△ABC
∴ AD•BC＝ ，
则AD•BC＝35．
故答案为：35．9．（2022春•青龙县期中）点A（m+1，2m﹣3）在第一、三象限夹角的平分线上，则m的值为 4 ．
解：∵点A（m+1，2m﹣3）在第一、三象限夹角的平分线上，
∴m+1＝2m﹣3，
解得m＝4，
故答案为：4．
10．（2022秋•丰泽区校级月考）直线AB经过两点A（1，3）、B（4，6），该直线与x轴所夹的锐角为
a，则a值为 45° ．
解：设这条直线的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
由题意得
∴
∴这条直线的斜率为k＝1．
∴该直线与x轴所夹的锐角为a＝45°．
故答案为：45°．
11．（2022春•朝阳区校级月考）教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两
点A（x，y）、B（x，y），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（ ， ），如：点
1 1 2 2
A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（ ， ），即M（2，4）．利用以上结
论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，
且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于 4 或 0 ．解：根据题意得：G（ ， ），
∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，
∴ ，
解得：4a+b＝4或0．
故答案为：4或0．
12．（2022•金凤区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点
M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两条弧在第二象限交于点P，
若点P的坐标为（a，1﹣2a），则a＝ 1 ．
解：根据题意得：点P在∠MON的平分线上，
∴a+1﹣2a＝0，
解得：a＝1．
故答案为：1．
13．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），P是第一象限内任意一点，连
接PO、PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，则我们把（m°，n°）叫做点P的“双角坐标”．例如，点
（1，1）的“双角坐标”为（45°，90°）．
（1）点（ ）的“双角坐标”为 （ 45° ， 45° ） ；
（2）若“双角坐标”为（30°，60°），则点坐标 （ ， ） ；
（3）若点P到x轴的距离为 ，则m+n的最小值为 9 0 ．解：（1）∵点（ ），OA＝1，
∴tan∠POA＝ ＝1，tan∠PAO＝ ＝1，
∴∠POA＝45，∠PAO＝45°，
即点P的“双角坐标”为（45°，45°），
故答案为：（45°，45°），
（2）∵若“双角坐标”为（30°，60°），OA＝1，
∴∠OPA＝90°，OA＝ ，OP＝ ，
∴y＝OP×sin30°＝ × ＝ ，x＝OP×cos30°＝ × ＝ ，
故坐标为（ ， ），
（3）根据三角形内角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，
则∠OPA需取得最大值，
如图，
∵点P到x轴的距离为 ，OA＝1，
∴OA中点为圆心， 为半径画圆，与直线y＝ 相切于点P，
在直线y＝ 上任取一点P′，连接P′O、P′A，P′O交圆于点Q，
∵∠OPA＝∠1＞∠OP′A，
此时∠OPA最大，∠OPA＝90°，
∴m+n的最小值为90，故答案为：90．
三．解答题
14．（2022春•东莞市校级期中）已知点P（a+2，2a﹣8），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点Q的坐标为（1，﹣2），直线PQ∥x轴；
（2）点P到y轴的距离为4．
解：（1）∵P（a+2，2a﹣8），Q的坐标为（1，﹣2），直线PQ∥x轴，
∴2a﹣8＝﹣2，
∴a＝3，
∴P点的坐标为（5，﹣2）；
（2）∵P到y轴的距离为4．
∴|a+2|＝4，
∴a＝2或﹣6．
∴P点的坐标为（4，﹣4）或（﹣4，﹣20）．
15．（2022春•德化县期中）现给出如下各点：A（0，4），B（﹣4，1），C（﹣2，﹣3），D（2，﹣
3），E（4，1）．
（1）请你在给出的平面直角坐标系中描出上述各点，然后依次连接AB，BC，CD，DE，EA．
（2）观察（1）中得到的图形．
①直接写出点C到x轴的距离．
②是否存在经过上述点中的任意两点的直线与直线CD平行？请说明理由．
解：（1）描点，连接如图所示，（2）①观察图象可得，点C到x轴的距离为3；
②存在经过B，E两点的直线与直线CD平行，理由如下：
∵B，E两点的纵坐标相等，C，D两点的纵坐标相等，直线BE．，CD都平行于x轴，
∴BE∥CD．
16．（2022春•沂水县期中）在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，m+1），试分别根据下列条件，求出
点P的坐标．
（1）点P到两坐标轴的距离相等；
（2）点P在过A（2，﹣5）点，且与x轴平行的直线上．
解：（1）由题意得，
2m﹣4＝m+1或2m﹣4+m+1＝0，
解得m＝5或m＝1，
∴2m﹣4＝6，m+1＝6或2m﹣4＝﹣2，m+1＝2，
则点P的坐标为（6，6）或（﹣2，2）；
（3）由题意得，
m+1＝﹣5，
解得m＝﹣6，
∴2m﹣4＝﹣16，
则点P的坐标为（﹣16，﹣5）．
17．（2022春•商南县期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，
0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足 +|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，
以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动
（1）求点B的坐标．（2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标．
（3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．
解：（1）∵a、b满足 +|b﹣6|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，
解得a＝4，b＝6，
∴点B的坐标是（4，6）；
（2）∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动，
∴点P的路程：2×4＝8，
∵OA＝4，OC＝6，
∴当点P移动4秒时，在线段AB上，AP＝8﹣4＝4，
即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是（4，4）；
（3）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点P在OC上时，
点P移动的时间是：[2（4+6）﹣5]÷2＝7.5（秒），
第二种情况，当点P在BA上时．
点P移动的时间是：（5+4）÷2＝4.5（秒），
故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是4.5秒或7.5秒．
18．（2022春•绵阳期末）如图，将四边形ODFE放在平面直角坐标系xOy中，EF∥OD，OE∥DF，在三角形
ABC中，∠C＝90°，点C在四边形ODFE内部，点A和点B分别在边EF和OD上，AC平分∠FAB，边EF
与y轴正半轴交于点G（0，a），EG＝b，设∠E＝θ（θ为锐角）．
（1）请直接写出点E的坐标，并证明：BC平分∠ABD；
（2）当AC∥OE时，
①若∠FAC＝3∠CBD，求θ的值；
②若点B的坐标为（b，0）时，试问：BG是否平分∠ABO？说明理由．解：（1）∵EF∥OD，D在x轴上，边EF与y轴正半轴交于点G（0，a），
∴EF⊥OG，
∴OG＝EG•tanθ＝btanθ，
∴E（﹣b，btanθ）或（﹣b，a）；
∵EF∥OD，
∴∠FAB+∠ABD＝180°，
∵AC平分∠FAB，
∴∠FAB＝2∠BAC，
∴2∠BAC+∠ABD＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴2∠BAC+2∠ABC＝180°，
∴2∠BAC+2∠ABC＝2∠BAC+∠ABD，
∴2∠ABC＝∠ABD，
∴BC平分∠ABD；
（2）①∵AC∥OE，
∴∠FAC＝∠E＝θ，
∵AC平分∠FAB，
∴∠FAB＝2∠FAC＝2θ，
由（1）得BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠CBD，
∵EF∥OD，
∴∠FAB+∠ABD＝180°，
∴2θ+2∠CBD＝180°；
∵∠FAC＝3∠CBD，∠FAC＝θ，
∴∠CBD＝ ，∴2θ+2× ＝180°，
∴θ＝67.5°；
②BG平分∠ABO，理由如下：
∵B（b，0），
∴OB＝b，
∵EG＝b，
∴EG＝OB，
又∵EF∥OD，
∴四边形BOEG是平行四边形，
∴∠OBG＝∠E＝θ，OE∥BG，
∵OE∥AC，
∴BG∥AC，∠FAC＝∠E＝θ，
∴∠ABG＝∠BAC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠BAC＝∠FAC＝θ，
∴∠ABG＝θ，
∴∠OBG＝∠ABG，
∴BG平分∠ABO．
19．（2022春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x，y），点B（x，y），定义|x﹣
1 1 2 2 1
x|+|y﹣y|为点A，B的“绝对距离”，记为d（A，B）．特别地，当|x﹣x|＝|y﹣y|时，规定d
2 1 2 1 2 1 2
（A，B）＝|x﹣x|，将平面内的一些点分为I，Ⅱ两类，每类至少包含两个点，记第I任意两点的绝
1 2
对距离的最大值为d，第Ⅱ类中任意两点的绝对距离的最大值为d，称d与d的较大值为分类系数．
1 2 1 2
如图，点A，B，C，D，E的横、纵坐标都是整数．
（1）若将点A，C分为第I类，点B，D，E分为第Ⅱ类，则d＝ 2 ，d＝ 5 ，因此，这种分类方
1 2
式的分类系数为 5 ；
（2）将点A，B，C，D，E分为两类，求分类系数d的最小值：
（3）点F的坐标为（m，2），已知将6个点A，B，C，D，E，F分为两类的分类系数的最小值是5，直
接写出m的取值范围．解：（1）观察坐标图，根据题意得知：
d＝d（A，C）＝|x﹣x|＝2；
1 A C
d＝d（B，E）＝|y﹣y|＝5；因为d＞d，所以分类系数为5；
2 B E 2 1
故答案为：2；5；5；
（2）共有十种分类方法：
若将点A，B分为第I类，点C，D，E分为第Ⅱ类：d＝d（A，B）＝|y﹣y|＝4，
1 A B
d＝d（D，E）＝|y﹣y|＝3，因为 d＞d，所以分类系数为4；
2 D E 1 2
若将点A，C分为第I类，点B，D，E分为第Ⅱ类：分类系数为5；
若将点A，D分为第I类，点B，C，E分为第Ⅱ类：d＝d（A，D）＝|x﹣x|＝3，d＝d（B，E）＝|y﹣
1 A D 2 B
y|＝5，因为d＞d，所以分类系数为5；
E 2 1
若将点A，E分为第I类，点B，C，D分为第Ⅱ类：d＝d（A，E）＝|x﹣x|＝4，d＝d（B，C）＝|y﹣
1 A E 2 B
y|＝4，因为d＝d，所以分类系数为4；
C 1 2
若将点B，C分为第I类，点A，D，E分为第Ⅱ类：d＝d（B，C）＝|y﹣y|＝4，d＝d（A，E）＝|x﹣
1 B C 2 A
x|＝4，因为d＝d，所以分类系数为4；
E 1 2
若将点B，D分为第I类，点A，C，E分为第Ⅱ类：d＝d（B，D）＝|x﹣x|＝2，d＝d（A，E）＝|x﹣
1 B D 2 A
x|＝4，因为d＞d，所以分类系数为4；
E 2 1
若将点B，E分为第I类，点A，C，D分为第Ⅱ类：d＝d（B，E）＝|y﹣y|＝5，d＝d（A，D）＝|x﹣
1 B E 2 A
x|＝3，因为d＞d，所以分类系数为5；
D 1 2
若将点C，D分为第I类，点A，B，E分为第Ⅱ类：d1＝d（C，D）＝|y﹣y|＝2，d＝d（B，E）＝|y
C D 2 B
﹣y|＝5，因为d＞d，所以分类系数为5；
E 2 1
若将点C，E分为第I类，点A，B，D分为第Ⅱ类：d＝d（C，E）＝|x﹣x|＝2，d＝d（A，B）＝|y﹣
1 C E 2 A
y|＝4，因为d＞d，所以分类系数为4；
B 2 1
若将点D，E分为第I类，点A，B，C分为第Ⅱ类：d＝d（D，E）＝|y﹣y|＝3，d＝d（A，B）＝|y﹣
1 D E 2 Ay|＝4，因为d＞d，所以分类系数为4；
B 2 1
比较得：分类系数d的最小值为4；
（3）当点F在点E的右边时，|x﹣x|≤5，m﹣1≤5；
F A
当点F在点A的左边时，|x﹣x|≤5，5﹣m≤5，得0≤m≤6．
F E
故m的取值范围是：0≤m≤6．
20．（2022春•潍坊期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P（a，b），P（c，b），P（c，
1 2 3
d），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P，P，P的“最佳间距”．例如：如图，点P
1 2 3 1
（﹣1，2），P（1，2），P（1，3）的“最佳间距”是1．
2 3
（1）理解：点Q（2，1），Q（5，1），Q（5，5）的“最佳间距”是 3 ；
1 2 3
（2）探究：已知点O（0，0），A（﹣4，0），B（﹣4，y）（y≠0）．
①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为 ± 2 ；
②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由；
（3）迁移：当点O（0，0），E（m，0），P（m，﹣2m+1）的“最佳间距”取到最大值时，点P的坐标
是 （ ， ）或（ 1 ，﹣ 1 ） ．
解：（1）∵点Q（2，1），Q（5，1），Q（5，5），
1 2 3
∴QQ＝3，QQ＝4，
1 2 2 3
∵垂线段最短，
∴QQ＞3，
1 3
∴点Q（2，1），Q（5，1），Q（5，5）的“最佳间距”是3．
1 2 3
（2）①∵点O（0，0），A（﹣4，0），B（﹣4，y），
∴AB∥y轴，
∴OA＝4，
∵垂线段最短，∴OB＞OA，
∵点O，A，B的“最佳间距”是2，
∴AB＝2，
∴y＝±2．
故答案是：±2；
②点O，A，B的“最佳间距”最大是4；
理由：因为点O（0，0），A（﹣4，0）是x轴上两点，且OA＝4；
由点A（﹣4，0），B（﹣4，y）知：AB⊥x轴，且AB＝|y|；
所以△OAB是以点A为直角顶点的直角三角形，
所以“最佳间距”等于OA或AB的长度，即4或|y|，
当OA＞AB时，“最佳间距”等于|y|，此时|y|＜4；
当OA＝AB时，“最佳间距”等于4；
当OA＜AB时，“最佳间距”等于4；
所以点O，A，B的“最佳间距”最大是4．
故答案是：4；
（3）同（2）②可知，当OE＝PE时，点O（0，0），E（m，0），P（m，﹣2m+1）的“最佳间距”取到
最大值，
∵OE＝|m|，PE＝|﹣2m+1|，
∴m2＝（1﹣2m）2，
∴m＝﹣2m+1或m＝2m﹣1．
当m＝﹣2m+1时，m＝ ，P（ ， ）．
当m＝2m﹣1时，m＝1，P（1，﹣1）．
综上所述，点P的坐标是（ ， ）或（1，﹣1）
