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专题 20 直线方程应用
目录
题型一：斜率几何意义.........................................................................................................................................................1
题型二：倾斜角范围最值.....................................................................................................................................................4
题型三：函数值域型求倾斜角.............................................................................................................................................7
题型四：直线方向向量.......................................................................................................................................................10
题型五：含参直线过定点...................................................................................................................................................11
题型六：双直线含参型定圆...............................................................................................................................................14
题型七：截距式应用...........................................................................................................................................................17
题型八：直线一般式方程理论...........................................................................................................................................19
题型九：直线光学性质.......................................................................................................................................................21
题型十：两点距离公式应用...............................................................................................................................................26
题型十一：平行线应用.......................................................................................................................................................29
题型十二：对称：“将军饮马”型最值...........................................................................................................................32
题型十三：绝对值型...........................................................................................................................................................35
题型十四：对称：叠纸型...................................................................................................................................................38
题型一：斜率几何意义
斜率型分式几何意义
若P(x，y)，P(x，y)在直线l上，且x≠x，则l的斜率k＝.。
1 1 1 2 2 2 1 2
若满足
1．（24-25高二上·江西抚州·阶段练习）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为
“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点P(x,y)是阴
影部分（包括边界）的动点.则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】转化为点 与点 连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解.【详解】记 ，则 为直线 的斜率，故当直线 与半圆 相切时，斜率
最小，设 ，则 ，解得 或 （舍去），
即 的最小值为 .故选：C.
2．（20-21高一下·辽宁大连·期中）设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】设 ，则可根据 的几何意义求出 满足的关系，
从而可得正确的选项，也可利用辅助角公式求出函数的最值.
【详解】法1： ，故f(x)的定义域为 ，
当 时， ，此时 ，.当 时， ，
设 ，若 ，则 ，当且仅当 时等号成立，故 ，
若 ，则 ，当且仅当 时等号成立，故 ，
又 的几何意义为圆上的动点 与 连线的斜率，
而 的轨迹为如图所示的两条射线，
对于给定的 ， 分别过 的切线的斜率的较大者、较小者，
设切线斜率为 ，则切线的方程为： ，整理得到： ，故 ，
整理得到 ，故 ，故A正确，B错误.
而 ，因 ，故 ，故CD错误.故选：A.
法2：设 ，则 ，整理得到：
，
若 ， ，此时 ，.若 ，则 ，
其中 因 ，故 ，
故 ，整理得到： ①，
此时 ，故①的解为 ，
其中 为方程 的根，
故 ，故A正确，B错误.
而 ,因为 ，当且仅当 时等
号成立，故 ，故排除CD.
综上， ，故选：A.
3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数 ，且 ，则 ， ， 的大
小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】把 ， ， 分别看作函数 图象上的点与原点确定直线的斜率，结合
图象即可得答案．
【详解】由 ，得 的几何意义是过点 和原点 的直线的斜率，
画出函数 的图象，如图，
直线 的斜率分别为 ， ， ，而 ，
所以 ， ， 的大小关系是 .故选：A
4．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）点 在函数 的图象上，当 ，则 可能等于
（ ）A．-1 B． C． D．0
【答案】BC
【分析】根据目标式的几何意义为 在 部分图象上的动点 与点 所成直线的斜
率 ，即可求范围.
【详解】由 表示 与点 所成直线的斜率 ，
又 是 在 部分图象上的动点，图象如下：
如上图， ，则 ，只有B、C满足.故选：BC
5．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知实数x，y满足 ，则 的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】先分析 和 的几何意义；再利用数形结合思想和直线与圆的位置关系列
出关系式求解即可.
【详解】 .
的几何意义为表示以点 为圆心， 为半径的圆.
的几何意义为过点P(x,y)和点 的直线斜率，点P(x,y)为以点 为圆心， 为半径的圆周
上任一点. 结合图形可知：当直线 与圆相切时斜率可以取到最大值和最小值.
设直线 的斜率为 ，则直线方程为： ，即 .令 ，
解得： 或 ，即 的取值范围为 ，所以 的取值范围为
.故答案为：
题型二：倾斜角范围最值斜率与倾斜角关系是正切图像
由正切图象可以看出：①当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)且随着α增大而增大；
②当α＝时，斜率不存在，但直线存在； ③当α∈时，斜率k∈(－∞，0)且随着α增大而增大．
1．（24-25高二上·安徽滁州·阶段练习）过 ， 两点的直线的倾斜角的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用斜率的定义与公式得到 的范围，进而得解.
【详解】设该直线的倾斜角为 ，则 ，因为 ， ，所以
，因为 ，所以 ，则 ，所以 .故选：C.
2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设直线l的方程为 （ ），则直线l的倾斜角 的
取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据直线斜率的取值范围求倾斜角的范围.
【详解】设直线的斜率为 ，则 ，
故 ，而 ，故 ，故选：C.
3．（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）设直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角 的范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围；
【详解】直线 的方程为 ，设直线的倾斜角为 ，当 时， ，②当 时，直线的斜率 ，由于 或 ，
所以 , , ，所以 ，综上所述： ；故选：C．
4．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习，多选）下列说法正确的是（ ）
A．直线 的倾斜角 的取值范围是
B．函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
C．已知函数 在 上是增函数，则实数a的取值范围是
D．若事件A与事件B相互独立，且 ， ，则
【答案】ABD
【分析】由直线斜率与倾斜角的关系以及正切函数的值域可得A正确；由抽象函数的定义域关系可得B正
确；由分段函数的单调性结合二次函数和反比例函数可得C错误；由对立事件和相互独立事件的积事件公
式可得D正确；
【详解】对于A，由题意可得 ，所以 ，故A正确；
对于B，因为函数 的定义域为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，解得 ，故B正确；
对于C，因为 在 上是增函数，所以当 ， ，即 ，
且 时， 要恒增，由二次函数的对称轴可知 ，
且 时， 要恒增，由反比例函数的性质可得 ，
综上实数a的取值范围是 ，故C错误；
对于D，因为 ，所以 ，又事件A与事件B相互独立，所以
，故D正确；故选：ABD.
5．（2024·全国·模拟预测）已知 ， 分别是双曲线 的上、下焦点，过点 且
与 轴垂直的直线与 的一条渐近线相交于点 ，且 在第四象限，四边形 为平行四边形．若直线
的倾斜角 ，则 的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由双曲线和渐近线的性质得到 ，再得到斜率的范围，最后由 求出范围即
可.【详解】 如图所示，由双曲线的对称性可知 也在双线的渐近线上，且 在第二
象限，由 轴可知 轴，设 ．又 在渐近线 上，所以 ，则
，因为 ，所以 ，故
，故答案为： .
题型三：函数值域型求倾斜角
斜率与倾斜角的关系，可以通过正切函数来对应
由正切图象可以看出：①当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)且随着α增大而增大；
当α＝时，斜率不存在，但直线存在；
当α∈时，斜率k∈(－∞，0)且随着α增大而增大．
1．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知 ， ，直线 ： 上存在点P，
满足 ，则 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找到动直线的定点，由动直线与线段有，结合图形判断出倾斜角的范围.
【详解】将 代入 得 ，将 代入 得 ，
所以 ， 不在直线 上，又∵ ， 所以点 在线段 上，直线 的方程为：
，直线 过定点 且斜率 一定存在，
故由数形结合可知： 或 故倾斜角 ，故选：D
2．（2024高三·全国·专题练习）将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 （ 为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质判断函数 的单调性，求出过点(1,0)切线斜率 ，得出切线的倾斜角，即
可求解.
【详解】设 ，根据二次函数的单调性，可得函数在 上为增函数，在 上为减
函数． 函数 ，则函数图象所在圆心坐标为 ，
半径为2.设过点(1,0)切线斜率为 ，则 ，解得 ，
所以切线的倾斜角为 ，所以要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为 ，
即最大旋转角为 ，即θ的最大值为 .故选：C．
3．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知 分别是双曲线 的上､下焦点，经过
点 且与 轴垂直的直线与 的一条渐近线相交于点 ，且 在第四象限，四边形 为平行四边形，
若 的离心率的取值范围是 ，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的对称性可得 也在双曲线的渐近线上，设 ，利用渐近线方程可得
，结合双曲线离心率取值范围及直线斜率的坐标运算即可得直线 的斜率取值范围，从而得
直线倾斜角 的取值范围.
【详解】由双曲线的对称性可知 也在双曲线的渐近线上，且 在第二象限，
由 轴，可知 轴，所以可设 ，又 在渐近线 上，所
以 ，所以 ，因为 的离心率的取值范围是 ，所以 ，又 ，所以 .故选：B.
4．（21-22高三上·辽宁铁岭·期末，多选）已知直线 与抛物线 交于 ， 两点，
为抛物线 的焦点，若 ，则直线 的倾斜角可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】设A，B两点在抛物线准线上的射影分别为 ，过B作 的垂线 ，在三角形 中，
等于直线 的倾斜角，由抛物线定义及已知可得结果．
【详解】如图：设A，B两点在抛物线准线上的射影分别为 ，过B作 的垂线 ，在三角形
中， 等于直线 的倾斜角，设 ，根据抛物线的定义得：
，在直角三角形 中, ， ，所
以直线l的倾斜角为 ，根据对称性, 直线l的倾斜角为 满足题意；故答案为：BC.
5．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）直线 的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【分析】分 ， ， 讨论即可.
【详解】设直线 的倾斜角为 ，当 时，直线为 ， ；
当 时， ，当且仅当 时取等号， ∴ ；
当 时， ，
当且仅当 时取等号， ∴ ，综上可得 .故答案为：
6．（22-23高三下·上海·阶段练习）已知曲线 ，点 ， 是曲线 上任意两个不同
点，若 ，则称 ， 两点心有灵犀，若 ， 始终心有灵犀，则 的最小值 的正切值
．
【答案】
【分析】根据解析式知曲线在 、 上分别为双曲线、抛物线的一部分，确定双曲线部分的渐近线、
抛物线部分的切线，两线倾斜角的差即为 的最小值 ，应用差角正切公式求其正切值.
【详解】在 上，曲线方程为 是双曲线上支的一部分（ ），
所以该部分渐近线为 ，
在 上，曲线方程为 是抛物线的一部分，设过原点的直线 且 与抛物线相切，代入抛物线有 ，
所以 ，故 或 （舍），所以切线为 ，
如下图示：令 、 倾斜角分别为 且 ，则 ，
由 ， 要 使 最 小 ， 只 需 让 最 小 值 ， 所 以
.故答案为：
题型四：直线方向向量
与直线l平行的非零向量V 都称为l的方向向量,用它们来表示直线的方向.
斜率为k的直线的方向向量为(1,k)的非零实数倍.
1．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习已知 是互相垂直的单位向量，若直线 和 的方向向量分别为
，则 和 所成的角的余弦值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】设 和 所成的角为 ，由题意可得 ，借助向量夹角公式计算即可得.
【详解】设 和 所成的角为 ，
则
.
故选：C.
2．（2024·安徽芜湖·二模）已知直线l： 与曲线W： 有三个交点D、
E、F，且 ，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数 的性质可得曲线 的对称中心 ，即得 ，再根据给定长度求出点 的
坐标即得.【详解】显然函数 的定义域为R， ，即函数 是奇函数，
因此曲线 的对称中心为 ，由直线l与曲线 的三个交点 满足 ，得 ，
设 ，则 ，令 ，则有 ，即 ，
解得 ，即 ，因此点 或 ， 或 ，
选项中只有坐标为 的向量与 共线，能作为直线l的方向向量的坐标是 .
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为 ，从而得到 ，然后再去设点
坐标，根据 ，得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出 的坐标即可.
3．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线l的一个方向向量为 ，直线l的倾斜角为 ，则
的值为（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】A
【分析】根据直线方向向量得出直线斜率，再由同角三角函数的基本关系求解.
【详解】因为直线l的一个方向向量为 ，直线l的倾斜角为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
4．（23-24高二上·福建三明·期中）下列说法正确的是（ ）
A．直线 ： 在y轴上的截距为2
B．直线 的方向向量为
C．经过点 ，且在x，y轴上截距相等的直线方程为
D．已知直线 过点 ，且与x，y轴正半轴交于点A、B两点，则 面积的最小值为4
【答案】BD
【分析】计算截距为 ，A错误，直线 的方向向量为 ，B正确， 页满足条件，C错
误，确定 ，利用均值不等式计算得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A： ，取 得到 ，故直线 在y轴上的截距为 ，错误；
对选项B：直线 的一个方向向量为 ，正确；
对选项C： 也满足过点 ，且在x，y轴上截距相等，错误；
对选项D：设直线方程为 ， ， ，且 ，
故 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
，正确；
故选：BD.
5．（2023·四川德阳·一模）已知实数 成公差非零的等差数列，集合 ，
，若 ，则 的最大值为 .
【答案】【分析】实数 成公差非零的等差数列，则直线 过定点 ，由 ， 点
在以 为直径的圆上，可求圆外的点到圆上的点的最大距离.
【详解】 成公差非零的等差数列，则 ，动直线 变形为
，
令 ，解得 ，动直线 过定点 ，直线 的一个法向量为 ，
若 ，则 直线 ， 点在以 为直径的圆上，圆心为 中点 ，半径
， ，则|MN|的最大值为 .
故答案为：
题型五：含参直线过定点
直线系：
过Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0的交点的直线可设：Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By＋C )＝0.
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
所以，含参直线，可以通过分离构造方程组解出定点
1．（24-25·全国·模拟）以直线 恒过的定点为圆心，半径为 的圆的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据直线过定点可得圆心坐标，再结合半径可得圆的方程.
【详解】由 ，得 ，
令 ，则 ，
即直线 恒过定点 ，
则圆的方程为 ，即 ，
故选：D.
2．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）无论 为何值，直线 过定点
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化简直线分是否有 两部分，再求交点得出定点.【详解】由 得： ，
由 得
∴直线 恒过定点 .
故选：A.
3．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点 ，若直线 与线段AB
（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出直线l过的定点，设为P，求出 ，结合图象，即可确定答案.
【详解】由 可得 ，
即直线 过定点 ，设为P，
结合 ，则 ，
直线 与线段AB（含端点）有公共点，
则 或 ，即 或 ，
故m的范围为 ，
故选：D
4．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知圆 ，直线 ，
则（ ）
A．直线 恒过定点
B．直线l与圆C有两个交点
C．当 时，圆C上恰有四个点到直线 的距离等于1
D．圆C与圆 恰有三条公切线
【答案】ABD
【分析】求出直线 过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断
圆与圆的位置关系判断D.
【详解】对于A，直线 的方程为 ，由 ，得 ，直线 过定点
，A正确；
对于B， ，即定点 在圆 内，则直线 与圆 相交且有两个交点，B正确；对于C，当 时，直线 ，圆心 到直线 的距离为 ，
而圆 半径为2，因此只有2个点到直线 的距离等于1，C错误；
对于D，圆 的方程化为 ，
其圆心为 ，半径为3，两圆圆心距为 ，
两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确.
故选：ABD.
5．（23-24高二下·广东清远·阶段练习）如果直线 和曲线 恰有一个交点，那
么实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】作出 的图象，数形结合分析直线与曲线恰有一个交点时实数 的取值范围即可.
【详解】由题意，当 时， 为椭圆的上半部分，
当 时， 为双曲线的下半部分，又 即 ，过定点(2,0)，
故作出 ， 的图象， 考虑临界条件，当 与椭圆上半部分相切时，
有 ，整理得 ，则 ，
由图象 解得 ，当 与双曲线 的渐近线平行时也为临界条件，
故实数 的取值范围为 .故答案为： .
题型六：双直线含参型定圆如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。
1.每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。
2.两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两
条直线是否互相“动态垂直”。
3.如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。
4.如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段
的最值求解计算
1．（2024·广东茂名·模拟预测）已知m， ， ，记直线 与直线
的交点为P，点Q是圆C： 上的一点，若PQ与C相切，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合已知，求出交点 的轨迹方程，再结合切线的性质即可求解.
【详解】
直线 即直线 ，过定点 ，
直线 即直线 ，过定点 ，又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点
的轨迹是以 为直径的圆，即轨迹方程为 ，圆心 ，
因为Q是圆C上一点，且PQ与C相切，所以问题转化为圆 上任意一点 作直线与圆 相切，求切线
|PQ|的范围.设设圆 的半径为 ，因为圆 的圆心 ，半径为定值，当|PC|取得最小值和最大
值时，切线|PQ|取得最小值和最大值， ，又因为
，即 ，即 ，所以
，即 ，故选：C.
2．（2024·全国·二模）已知直线 与直线 相交于点 ，且点 到
点 的距离等于1，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出点 的方程，再利用两圆有公共点列出不等式求解即得.
【详解】直线 过定点 ，直线 过定点 ，又直线 ，
因此点 的轨迹是以线段 为直径的圆（除点 外），圆心 ，半径 ，
圆 的方程为 且 ，又 ，显然点 与 的距离大于1，
则点 在圆 ： 上，依题意，圆 与圆 有公共点，
于是 ，即 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：①几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用
性质和定理．②待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．
3．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知直线 ： 与直线 ： 交于点
A，若点 ，则|AB|的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由题可知直线 与直线 垂直，直线 经过定点 ，直线 经过定点 ，因此点A在以
为直径的圆上，因此 .
【详解】当 时，直线 ： ，直线 ： ，此时直线 与直线 垂直；
当 时，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，因为 ，所以直线 与直线 垂直；
易知直线 经过定点 ，直线 经过定点 ，
所以点A在以 为直径的圆上，
的中点为 ，所以 ，
所以圆 ，
所以 ,
所以 ，
故选：A.
4．（22-23高二上·福建莆田·阶段练习）已知 ，若过定点A的动直线 和过定点B
的动直线 交于点P（P与A，B不重合），则下列结论中正确的是（ ）
A．A点的坐标为 B．点P的轨迹方程
C． D． 的最大值为
【答案】ACD【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.
【详解】对于选项A：
可以转化为 ，
故直线恒过定点A ，故该选项正确；
对于选项C：
恒过定点B ，由 和 , 满足
，
所以 ,
可得 ,
所以 , 故 正确;
对于选项B：
设 , 则 ,
即点 的轨迹方程为 , 而 与 不重合, 则挖去A，B两点 故 错误;
对于选项D：
因为 , 设 为锐角,
则 ,
所以 , 所以当 时, 取最大值 ,
故 正确.
故选：ACD.
5．（2024高二上·江苏·专题练习）设 ，过定点A的动直线 和过定点B的动直线
交于点 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】可得直线分别过定点 和 且垂直，可得 设 ，则 ，
, ,则 ，利用正弦函数的性质求值域即可．
【详解】由题意可知，动直线 ，经过定点 ，
动直线 即 ，经过定点 ，
时，动直线 和动直线 的斜率之积为 ，
时，也垂直，所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点， ，
．设 ，则 ， ，
由 且 ，可得 ， ，
， ， ， ，故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：因为 ，设 ，则 ， ，则
，即可求得 的取值范围.题型七：截距式应用
直线的截距和直线方程的截距式，关键有两点：
1.要注意截距为零的情况，
2.在截距不为零时，转化求解
1．（22-23高三·重庆·模拟）记函数 在点 处的切线为 ，若
直线 在 轴上的截距恒小于 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，切线 方程为 ，令 得截距为
，由题意对 ， 恒成立，即
，
令 ，则 ，∵ ，∴ ，
①若 ，即 时， ，所以当 时， ，即 在 上单调递增，所以
恒成立，所以 满足题意；
②若 ，即 时， ，即 在 上单调递减，所以 ，所以 不满
足题意；
③若 即 时， ，则 的关系如下表：
－ 0 +
递减 极小值 递增
所以 ，所以 不满足题意．
综合①②③，可得当 时， ，此时切线 在 轴上的截距恒小于 ．
2．（19-20高一·云南普洱·阶段练习）过点 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】截距为零时单独考察，在截距不为零时，设截距分别为 利用截距式写出直线方程，根据过定
点 ,得到 的关系，判定 的范围，然后求得 后分离常数得到 ，进而得出 应
当为12正因数，从而解决问题.
【详解】当截距为0时，是直线 ,只有一条，当截距大于0时，设截距分别为 则直线方程为 ，∵直线过点 ,
∴ ①，∵ ,∴ ,结合①可得， ,∴ ,
又∵ 为整数， ，
由①解得 , 为12的因数，
∴ ,对应 ,相应
对应的直线又有6条，
综上所述，满足题意的直线共有7条，
故选：D.
【点睛】本题考查直线的截距和直线方程的截距式，涉及整除问题，关键有两点：一是要注意截距为零的
情况，而是在截距不为零时，得到 后分离常数得到 ，进而得出 应当为12正因数，
本题属中档题.
3．（22-23高三·上海模拟）过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为 ，满足题意，
又因为直线过点 ，所以直线的斜率为 ，所以直线方程为 ，即 ，
当直线不过原点时，设直线方程为 ，因为点 在直线上，
所以 ，解得 ，所以直线方程为 ，
故所求直线方程为 或 .故D项正确.故选：D
4．（23-24高二上·广东惠州·期中）下列说法正确的有（ ）
A．直线 的倾斜角为
B．直线 必过定点
C．方程 与方程 表示同一条直线
D．经过点 ，且在 轴上截距相等的直线方程为
【答案】AB
【分析】A：先求斜率，然后根据 求解出倾斜角；B：根据直线过定点列出关于 的方程组，求解
出结果即可知定点坐标；C：根据分式方程的特点作出判断即可；D：考虑直线的横纵截距是否为 ，由此
分类讨论.
【详解】对于A：直线的斜率 ，所以倾斜角的正切值 ，所以 ，
故正确；
对于B：因为直线 ，令 ，所以 ，所以直线过定点 ，故正确；
对于C：方程 中 ，方程 中 ，故错误；对于D：当直线的横纵截距均为 时，设直线方程 ，代入 ，解得 ，
当直线的横纵截距均不为 时，设直线方程 ，代入 ，解得 ，
故所求直线方程为 或 ，故错误；
故选：AB.
5．（22-23高三·内蒙古赤峰·模拟）已知过点 的直线L在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和
最小时，求直线L的方程为 ．
【答案】
【详解】试题分析：设直线方程为
当且仅当 即 时等号成立，取得最小值，此时 ，所以方程为
考点：1．直线方程；2．均值不等式求最值
题型八：直线一般式方程理论
直线系型：
(1)平行线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)垂直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0；
(3)交点线系：过Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0的交点的直线可设：Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By＋C )＝
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
0.
1．（22-23高二上·上海浦东新·）在平面直角坐标系内，设 ， 为不同的两点，直线l的
方程为 ， ，下面四个命题中的假命题为（ ）
A．存在唯一的实数δ，使点N在直线 上
B．若 ，则过M，N两点的直线与直线l平行
C．若 ，则直线经过线段M，N的中点；
D．若 ，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；
【答案】A
【分析】根据题意对 一一分析，逐一验证．
【详解】解：对于 ， 化为： ，即点 ，
不在直线 上，因此 不正确．
对于 ， ，则 ，即过 ， 两点的直线与直线 的斜率相等，又点 ，
不在直线 上，因此两条直线平行，故 正确；
对于 ， ，则 ，化为 ，因此直线 经过线段 的
中点，故 正确；
对于 ， ，则 ，则点 ， 在直线 的同侧，故 正确；
故选A
【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
2．（23-24高二上·湖南·期中）已知 ， 是直线 （ 为常数）上两个不同的点，
则关于 和 的方程组 的解的情况，下列说法正确的是（ ）
A．无论 ， ， 如何，总是无解
B．无论 ， ， 如何，总有唯一解
C．存在 ， ， ，使 是方程组的一组解
D．存在 ， ， ，使之有无穷多解
【答案】B
【分析】先得到 ，从而得到方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；再假设 是方程组
的一组解，得到 ， 在直线 ，与两点在 上矛盾，C错误.
【详解】直线 的斜率存在，∴ ，由题意 ，
则 ，
故 ： 与 ： 相交，∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；
若 是方程组的一组解，则 ，
则点 ， 在直线 ，即 上，
但已知这两个点在直线 上，而这两条直线不是同一条直线，
∴ 不可能是方程组的一组解，C错误.故选：B.
3．（21-22高三·全国·模拟）若点 是直线 和 的公共点，则相异两点
和 所确定的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据点与直线的位置关系即可求解.
【详解】因为 是直线 和 的公共点，
所以 ，且 ，
所以两点 和 都在同一条直线 上，
故两点 和 所确定的直线方程是 ，
故选:A.
4．（22-23高三·黑龙江哈尔滨·模拟）已知 与 是直线 （ 为常数）上两个不同的
点，则关于 ： 和 ： 的交点情况说法错误的是（ ）
A．存在 、 、 使之无交点
B．存在 、 、 使之有无穷多交点
C．无论 、 、 如何，总是无交点D．无论 、 、 如何，总是唯一交点
【答案】ABC
【分析】根据条件，建立方程组 ，解这个方程组，即可求出 的交点坐标.
【详解】由题意得 ， ；
关于 交点的情况，联立方程组 ，
得： ，将 代入上式得： ，
因为 ，所以 ，即 代入①得： ，
由条件 ， ，代入 得 ，
即不论 情况如何，解是唯一的： ， 有唯一的交点；
故选：ABC.
5．（24-25高二上·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线 的
倾斜角可以是 ；②直线l过点 ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ；③过点
的直线 的直线方程还可以写成 ；④经过 ，
两点的直线方程可以表示为 .
【答案】①③
【分析】当 可知直线倾斜角为 ，知①正确；分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况，
可知②错误；根据 和 可整理得到③正确；当 或 时，两点式方
程无法应用，知④错误.
【详解】对于①，当 时，直线方程为： ，此时直线倾斜角为 ，①正确；
对于②，当直线过坐标原点时， ，此时其在两坐标轴上的截距相等；
当直线不过坐标原点时，设 ，则 ， ；
综上所述：过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为： 或 ，②错误；
对于③， 在直线 上， ，
则 ， ，③正确；
对于④，若 或 ，则过 两点的直线无法表示为 ，④错误.
故答案为：①③.
题型九：直线光学性质直线光学性质，即直线对称性质
关于轴对称问题：
（1）点 关于直线 的对称点 ，则有 ；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
1．（22-23·福建厦门·模拟）在直角坐标系 中，全集 ，集合
，已知集合A的补集 所对应区域的对称中心为M，点P是
线段 （ ， ）上的动点，点Q是x轴上的动点，则 周长的最小值为（ ）
A．24 B． C．14 D．
【答案】B
【分析】根据集合 可判断出集合 表示圆 ,再
画图,根据做对称点的方法转换 的周长,再求最小值即可.
【详解】∵点(0,4)到直线 的距离 ,
∴直线 始终与圆 相切,
∴集合A表示除圆 以外所有的点组成的集合,
∴集合 表示圆 ,其对称中心 如图所示：设 是点 关于直线线段
（ ）的对称点,设 ,则由 求得 ,可得 .设 关于x
轴的对称点为 ,易得 ,则直线 ,和线段的交点为P,则此时, 的周长为
,为最小值.
故选：B
【点睛】本题主要考查了点到直线距离公式的应用以及“将军饮马”问题的应用,需要根据题意作出对称点,
再转换所求求最值即可.属于难题.
2．（19-20·江苏无锡·期中）如图，已知 ， ， ， ， ，一束光线从 点出发射到 上的 点，经 反射后，再经 反射，落到线段 上（不含端点），则直线 的斜率
的取值范围为（ ）
A． B．(4,+∞) C． D．
【答案】B
【分析】设 关于直线 对称的点为 ， 关于直线 对称的点为 ，连接 与直线 分别交
于 ，连接 ，分别与直线 交于 ，由题意， 在线段 之间即可，算出 两点的坐标结
合斜率公式即可得到答案.
【详解】设 关于直线 对称的点为 ， 关于直线 对称的点为 ，连接
与直线 分别交于 ，连接 ，分别与直线 交于 ，
由题意， 在线段 之间即可，又 ，直线 的方程为 ，设 ，则
，解得 ，所以 ，同理可得 关于直线 对称的点 ，所以直线 ：
，
又直线 方程为： ，所以 ，所以直线 方程为： ，
即 ，由 ，得 ，所以 ，
又易得 方程为： ，所以 ，所以 .故选：B
【点睛】本题考查求点关于直线对称的点、两直线的交点的问题，涉及到入射光线、反射光线，考查学生
的数学计算能力，是一道有一定难度的题.
3．（21-22高二上·浙江绍兴·期中）如图，在直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为 、
、 ，O为原点，从O点出发的光线先经AC上的点 反射到边AB上，再由AB上的点 反
射回到BC边上的点 停止，则光线 的斜率的范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】入射角等于反射角，把 以 为轴进行翻折，使点 落到 ，再以 为轴，把 进
行翻折，使点 落到 ，由光的反射原理得光线 的斜率满足 ，根据 为等边三角
形得出 ，利用两点求斜率即可求解.
【详解】 入射角等于反射角， 把 以 为轴进行翻折，使点 落到 ，
再以 为轴，把 进行翻折，使点 落到 ，如图： 由光的反射原理，
若 或 ，则光线反射到边 后不会反射到边 上， 光线 的斜率满足
，
， ， ， ，
是等边三角形，由翻折可得 ， 直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ， 光线 的斜率的范围为 .故选：A
4．（23-24高二上·广东广州·期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平
行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．
已知抛物线 ， 为坐标原点，一束平行于 轴的光线 从点 射入，经过 上的
点A(x ,y )反射后，再经 上另一点B(x ,y )反射后，沿直线 射出，且 经过点 ，则（ ）
1 1 2 2
A．当 时，延长 交直线 于点 ，则 、 、 三点共线
B．当 时，若 平分 ，则
C． 的大小为定值D．设该抛物线的准线与 轴交于点 ，则
【答案】AD
【分析】对AB，可代入条件求出抛物线方程后计算出相应的点的坐标，A选项验证三点纵坐标可得，B选
项中结合条件得到 计算即可得；对CD，设出直线 方程，联立后得出两点横纵坐标关系后，
结合斜率与倾斜角的关系即可得.
【详解】设A(x ,y ),B(x ,y )，如图所示：
1 1 2 2
对AB选项：直线 平行于 轴，当 ， 时，抛物线的方程为 ，
过点 ，即有 ，则 ，即 ，直线 经过焦点 ，
直线 的方程为 ，即 ，由 消去x得 ，由
，得 ，于是 ，显然直线 的方程为 ，直线 交直线 于点
，显然直线 轴，由光学性质知， 轴，因此 、 、 三点共线，A正确；
由光学性质知 轴，而 轴，则 ，有 ，又 平分 ，即
，则 ，于是 ，即 ，解得 ，B错误；
对CD选项： 设直线 的方程为 ，由 消去 得： ， 显然 ，
则 ， ， ，设 ，由斜率坐标公式
得 ， ，于是 ，即 ，
而 不是定值，因此 不是定值，C错误；
点 ，直线 斜率 ，直线 斜率
，即 ，因此 ，D正确.
故选：AD5．（2122高三·湖北宜昌·模拟）已知： ， ， ， ， ，一束光线从 点
出发发射到 上的 点经 反射后，再经 反射，落到线段 上（不含端点） 斜率的范围为
.
【答案】(4,+∞)
【分析】先作出 关于 的对称点 ，再作 关于 的对称点 ，因为光线从 点出发射到 上的
点经 反射后，反射光线的反向延长线经过 关于直线 的对称点 点，又因为再经 反射，反射
光线经过 关于直线 的对称点，所以只需连接 交 与点 ，连接 分别交 为点
，则 之间即为点 的变动范围．再求出直线 的斜率即可．
【详解】∵ ，∴直线 方程为 ，直线 方程为 ,
如图， 作 关于 的对称点 ，则 ，
再作 关于 的对称点 ，则 ,
连接 交 与点 ，则直线 方程为 ,
∴ ，
连接 分别交 为点 ，
则直线 方程为 ，直线 方程为 ，
∴ ，连接 ， 则 之间即为点 的变动范围．
∵直线 方程为 ，直线 的斜率为 ∴ 斜率的范围为
故答案为： .
题型十：两点距离公式应用
求解形如 的式子的最小值思路：
（1）先将问题转化为点到点的距离之和问题；
（2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析；
（3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.
1．（21-22高二上·河北保定·期末） 的最小值为（ ）
A．5 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】设 ，对要求的式子进行变形，看作抛物线 的右半部分上一点P与 的距离加上P到抛物线焦点的距离之和的最小值，根据抛物线性质进行求解.
【详解】设 ，则 ，则曲线 为抛物线 的右半部分．抛物线 的焦
点为 ，设点 到准线l： 的距离为d，点P为抛物线 的右半部分上一点，设P到
准线l： 的距离为 ，
则
．
故选：C
【点睛】本题难点在于要对题干中的代数式进行转化为抛物线的相关知识点进行求解距离的最值问题，利
用数形结合思想和抛物线的性质进行求解.
2．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知x， ，若 恒成立，则实
数m的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 的几何意义为两动点 与 的距离，A在曲线 上，B在
曲线 上， 为抛物线 的焦点， 的最小值就是 ，
即求点F(1,0)到曲线 上点的最小值，通过设点，由两点间距离公式，利用导数求最值.
【详解】 的几何意义为两动点 与 的距离，
A在曲线 上，B在曲线 上，抛物线 开口向右， 焦点F(1,0)，
作出两曲线 与 的图象，如图所示，
可得 ， ， 的最小值就是
，
即求点F(1,0)到曲线 上点的最小值. 取曲线 上点 ，
，
令 ，则 ，函数 单调递增，且 ，
则有 在 上为负，在(0,+∞)上为正，所以 在 上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
，则|PF|的最小值为 ，即 的最小值为 ，
所以实数m的最大值是 .故选：D.3．（23-24高二下·湖南长沙·期末）已知 ，且 ，则
的最大值为（ ）
A．9 B．12 C．36 D．48
【答案】C
【分析】设A(x ,y )与B(x ,y )， 为 的中点，可证明点 在以 为圆心，2为半径的圆上，由
1 1 2 2
，结合两点距离的几何意义即可求解.
【详解】设A(x ,y )与B(x ,y )为圆 上一点，则 ，得 ，
1 1 2 2
，即 为等腰直角三角形，设 为 的中点，则 ，得
，
即点 在以 为圆心，2为半径的圆上，故
，
因为点 到定点D(1,0)的距离的最大值为 ，因此 的最大值为36.故选：C
4．（2024·甘肃定西·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A． 的最小值是2
B． 的最小值是
C． 的最小值是
D． 的最小值是
【答案】BC
【分析】利用两点距离公式将题干中复杂式子转化为几个点间的距离，结合抛物线的定义，作出图形，数
形结合即可得解.
【详解】设 ，
易知点 的轨迹是抛物线 的上半部分，
抛物线 的准线为直线 到准线的距离 ， 为抛物线 的焦点，
对于AB，
，所以 的最小值为 ，故A错误，B正确；
对于CD，
，
所以 的最小值是 ，故C正确，D错误.
故选：BC.
5．（20-21高三上·浙江温州·阶段练习）若 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】由目标式的形式： 可看作 两点的距离，而 可看作
两点的距离，问题转化为 的最小值； 是 上的点，对于 在坐标
系存在 使得 ，可联想抛物线：以 为焦点， 为准线的抛
物线 ，即问题最终为求抛物线 上一点到定点 与 上的一点的距离之和最小，结
合抛物线、函数图象及利用导数求最小值.
【详解】由 ，记 ，
则 ，即原问题转化为抛物线 上 到定点 与 上
的 的距离之和最小，
，当且仅当 共线时等号成立.
令 ，则 且 ，
由于 单调增，则 是 唯一零点，即有 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，即 最小值为 .
则 ．
故答案为： .
【点睛】本题考查了利用几何法求代数式的最值，综合抛物线的性质、两点距离公式、数形结合、导数研
究函数最值的应用，属于难题.
题型十一：平行线应用两直线平行
(1)斜截式判断法：
两条直线平行：对于两条不重合的直线l、l：
1 2
(ⅰ)若其斜率分别为k、k，则有l∥l⇔k ＝ k.
1 2 1 2 1 2
(ⅱ)当直线l、l 不重合且斜率都不存在时，l∥l.
1 2 1 2
(2)一般式判断法：设两直线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0，则有：
1 1 1 2 2 2
l∥l⇔A B ＝AB 且A C ≠A C ；
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1
1．（22-23高二上·四川南充·期中）对于圆 上任意一点 ，
的值与 ， 无关，则 的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由点到直线距离公式知 可表示点 到直线 与直线
得距离之和的 倍，若其值与 ， 无关，则圆在平行线 与 之间，
即 ，解不等式即可.
【详解】由点到直线距离公式知点 到直线 与直线 的距离分别为
与 ，所以 ，
即可表示点 到直线 与直线 得距离之和的 倍，
若其值与 ， 无关，则圆在平行线 与 之间，
即平行线间距离 ，解得 或 ，故选：B.
2．（23-24高二上·重庆江北·阶段练习）若椭圆 上的点到直线 的最短距离是 ，则
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出平行于直线 且与椭圆相切的直线方程，再分情况求出 的最小值即可.
【详解】设与直线 平行的直线为 ，把直线 代入椭圆 ，得
，由 ，解得 ，
因为椭圆上的点到直线 的最短距离为 ，则这两条平行线之间的距离为 ，
当 时，有 ， ，则 ，当 时，有 ， ，则 ，所以 的最小值为 .故选：C
3．（23-24高二上·全国·课后作业）若动点 分别在直线 和 上
移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】由题意，知点M在直线l 与l 之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为 ，
1 2
然后利用两平行线间的距离公式列方程可求出 的值，再利用点到直线的距离公式可求得结果.
【详解】由题意，知点M在直线 与 之间且与两直线距离相等的直线上，
设该直线方程为 ，则 ，即 ，
∴点M在直线 上，
∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线 的距离，即 .
故选：A.
4．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．过点 且和直线 垂直的直线方程是
B．若直线 的斜率 ，则直线倾斜角 的取值范围是
C．若直线 与 平行，则 与 的距离为
D．已知圆 ，圆 ， 、 分别是圆 、 上的动点， 为
直线 上的动点，则 的最小值为
【答案】ACD
【分析】设所求直线方程为 ，将点 的坐标代入所求直线方程，可判断A选项；根据直
线倾斜角与斜率的关系可判断B选项；利用平行线间的距离公式可判断C选项；求出圆 关于直线
的对称圆方程，数形结合可得出 的最小值.
【详解】对于A选项，设过 且和直线 垂直的直线方程为 ，
则 ，可得 ，
所以，过点 且和直线 垂直的直线方程是 ，A对；
对于B选项，若 ，则 ；若 ，则 .
所以，直线倾斜角 的取值范围是 ，B错；
对于C选项，若直线 与 平行，
则 ，解得 ，则直线 的方程为 ，即 ，所以， 与 的距离为 ，C对；
对于D选项，圆心 ，圆 的半径为 ，圆心 ，圆 的半径为 ，圆心距为
，因为 ，所以，圆 与圆 外离，所以，圆心 关于直线
的对称点为点 ，则线段 的中点坐标为 ，由题意可得 ，即
，解得 ，即点 ，所以，圆 关于直线 的对称圆为圆
，
则点 关于直线 的对称点 在圆 上，由对称性可知 ，
所以， ，
当且仅当点 为线段 与直线 的交点时， 取最小值 ，D对.故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项考查与圆相关的最值问题，解题的关键在于作出圆 的对称圆，将位于
直线同侧的两圆转化为位于直线异侧两圆上点的距离的最值，再结合三点共线取最小值来处理.
5．（2024·湖北·模拟预测）若函数 在不同两点 ， 处的切线互相
平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
【答案】
【分析】先对函数 求导，得导函数是偶函数，由 在A，B两点处切线互相平行，可得 ，
计算原点O到点A处切线的距离的最大值后可得两条平行线距离最大值.
【详解】由题意有 ，设 ，
所以函数 在点A处的切线方程为 ，所以原点O到点A处切线的距离为
，因为 ，所以
当且仅当 时等号成立，
因为f'(x)是偶函数，且 在A，B两点处切线互相平行，
所以 ，即 在A，B两点处切线关于原点对称，
所以这两条平行线间的距离的最大值为 .故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用f'(x)是偶函数，得到两条切线关于原点对称，故两条平行
线距离最大值即为原点O到点A处切线的距离最大值的2倍.
题型十二：对称：“将军饮马”型最值
1．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为 ，河岸所在直
线方程为 ，将军从点 处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所
在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出 关于直线 的对称点为 ，然后将距离和转化成圆外一点到圆上一点距离最值
问题求解即可.
【详解】
如图，设将军去河岸的B点喝水，回到军营的C点，所以需求出 最小值即可，
圆 的圆心为 ，半径 ，
设 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，此时 ，
所以“将军饮马”的最短路程为 ．
故选：D．
2．（23-24高二上·宁夏银川·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》
这首诗的开头两句.诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，
先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营
所在区域即认为回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．13 B．11 C．9 D．7
【答案】C
【分析】首先利用对称关系求出点 关于直线 的对称点的坐标，进一步利用两点间的距
离公式求出最小距离．
【详解】设点 关于直线 的对称点坐标为 ，故 ，解得 ，
即对称点 ，故原点到点 的距离 ，
又军营所在区域为 ，则 ，
因为 ，所以“将军饮马”的最短距离为 ．故选：C
3．（23-24高二上·河南新乡·期中） 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意将所求问题转化为 上一点 到 两点的距离之和的最小值，可求出
点 关于直线 的对称点为 ，可得答案.
【详解】因为
表示直线 上一点 到 两点的距离之和．
设点 关于直线 的对称点为 ，所以 ，解得 ，
即 ，所以 ，
即 的最小值为 .故选：C.
4.（23-24高二上·江西·阶段练习）．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，
唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术
性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交
河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是 ，军营
所在位置为 ，河岸线所在直线的方程为 ，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营
（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为
【答案】BD
【分析】求出点 关于直线 的对称点为 ，直线 的方程为 即为从出发
点到河边的路线，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为 ，可得B正
确；直线 的方程为 即为从河边回军营的路线，可得C错误；由各路段长度总和即可求出
“将军饮马”走过的总路程为 ，可知D正确.
【详解】由题可知 在 的同侧，设点 关于直线 的对称点为 ，如下图所
示：
则 ，解得 ；即 .
将军从出发点到河边的路线所在直线即为 ，又 ，所以直线 的方程为 ，故 错
误；
设将军在河边饮马的地点为 ，则 即为 与 的交点，
联立两直线方程解得 ，故B正确；
将军从河边回军营的路线所在直线为 ，又 ，
所以直线 的方程为 ，故C错误；
总路程 ，
所以“将军饮马”的总路程为 ，故D正确.故选：BD.
5．（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄
昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚
下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在
的位置为 ，若将军从山脚下的点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，则“将军饮
马”的最短总路程为 ．
【答案】
【分析】求出 关于直线 对称的点 ，结合图形，即可求解.
【详解】设点 关于直线 对称的点为 ，则有 ，解得 ，所以 ，
则 ，所以“将军饮马”的最短总路程为 ，
故答案为： .
题型十三：绝对值型
1．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分类讨论，画出图像，利用 的几何意义，转化求解即可.
【详解】当 时， ，双曲线第一象限部分，
当 时， ，椭圆第四象限部分，
当 时， ，双曲线第三象限部分，
当 时， ，不存在；其图像如下：
又 的几何意义是曲线上的点到直线
的距离的2倍，两条双曲线的渐近线相同且与 平行，此时两平行线距离为
，由图可知直线与椭圆 在第四象限的部分相切时，距离取得最大，设切线为 ，联立 ，可得 ，
，解得 ， （舍去），所以最大值为 ，
则 的取值范围是 .故选：D.
2．（22-23高二上·河北邢台·阶段练习）设点 是圆 上任意一点，若
为定值，则 的值可能为
A． B．0 C．3 D．6
【答案】D
【分析】求出圆心和半径，根据题意可得当且仅当圆 夹在这两条平行直线之间时 为
定值，根据圆心到直线 的距离大于等于 ，求出 的范围，判断即可．
【详解】解：圆 即为 ，
圆心坐标为 ，半径为 ，
表示两条平行直线 和 的距离之和的
倍， 当且仅当圆 夹在这两条平行直线之间时 为定值，
根据圆心到直线 的距离大于等于 ，即 ，即 ，解得
只有 满足条件，故选： ．
3．（22-23高二上·四川南充·期中）对于圆 上任意一点
的值与 无关，有下列结论:
① 点 的轨迹是一个圆；
② 有最小值；
③ 当 时， 有最大值 ；
④ 当 时， .
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由 ，将已知条件看作 到直线 、
距离之和的 倍，且已知圆在平行线 、 之间得 ，再结
合各项描述分析正误.
【详解】令 ，可看作 到直线 、 距离之
和的 倍，
由 的值与 无关，
所以距离之和与 在圆上的位置无关，故已知圆在平行线 、 之间，
而两线距离为 ，①当 时， 的轨迹是直线，错误；
②由上分析知：r有最大值，无最小值，错误；
③ 时， ，即有最大值 ，正确；
④ 时 ，则 ，故 ，正确.
所以正确的有③④.
故选：B
4．（24-25高三上·广东·开学考试）在平面直角坐标系 中，点 间的折线距离
，已知 ，记 ，则（ ）
A．若 ，则 有最小值8
B．若 ，则A点轨迹是一个正方形
C．若 ，则 有最大值15
D．若 ，则点A的轨迹所构成区域的面积为
【答案】BC
【分析】利用换元法结合定义将折线距离转化 ，作出图象，利用图象平移可判定B，利用
点到直线距离公式转化可判定A，利用图象结合两点距离可判定C，利用正方形面积公式可判定D.
【详解】若 ，由题意可知 ，令 ，
则 ，作出其图象如图． 易知，点 的轨迹可由正方形 右
移1个单位长度，再上移1个单位长度得到，故B正确；
对于A，
，
结合图象可得 的最小值即为点 到直线 （即点 ）的距离
，此时 取得最小值3，故A错误；
对于C， 的最大值即为点 到点 的距离中的最大值
，故 的最大值为15，故C正确；
若 ，则 表示正方形及其内部区域，易知其面积为 ，
故D错误．故选：BC．
5．（22-23·上海浦东新·阶段练习）已知实数 、 、 、 满足： ， ，
，则 的最大值为 .【答案】
【解析】根据已知四个实数满足的式子，将数转化为形求解，再利用点到直线的距离公式，结合图形可得
答案.
【详解】记 、 ，由题意，知 、 位于单位圆上，
，
则 、 分别表示 、 到直线 的距离 、 ，于是，
，分别取 、 靠近 、 的三等分点为 、 ，联结 ，
过点 作 的垂线，交 、 于 、 ，则
，在 中，应用余弦定理，可得
， ， ，从而，
.
故答案为：
【点睛】此题考查的是已知几个实数的关系式，然后求含这些实数的代数式的最值，采用了转化法，利用
数形结合的方法求解，属于难题.
题型十四：对称：叠纸型
1．（22-23高二上·浙江杭州·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点 与点 重合，点 与点
重合，则 （ ）
A． B． C． D．1【答案】D
【分析】由对称，求出折痕所在直线方程，两个方程相同，列方程组可求未知数.
【详解】假设折痕所在直线的斜率不存在，由点 与点 可得折痕所在直线的方程为 ，由
点 与点 可得折痕所在直线的方程为 ，故舍去；
由点 与点 可得折痕所在直线的斜率不为0，
由点 与点 关于折痕对称，两点的中点坐标为 ，两点确定直线的斜率为
，则折痕所在直线的斜率为 ，所以折痕所在直线的方程为： ，
即 ，
由点 与点 关于折痕对称，两点的中点坐标为 ，两点确定直线的斜率为
，则折痕所在直线的斜率为 ，所以折痕所在直线的方程为： ，
即 ，则有 ，解得 .
所以 故选：D
2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点 和点 重合，点 和
点 重合，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两点关于折线对称，先求出折线方程，再根据 与 关于折线对称求出 即可.
【详解】设点 和 ，线段 中点为点 , 折线即为线段 的中垂线，
则 ， ，所以 ，直线 的斜率为 ，则折线斜率为2，
所以折线方程为： ，由题知 与 关于折线对称，
则两点中点在直线上且两点连线与直线垂直，所以 化简得 ，解得 ，所以 .故选：A
3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐
标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点 与点 重合，点 与点 重合，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质，可知直线 与过点 ， 的直线平行，且斜率都存在，则由
斜率相等列出式子即可.
【详解】设 ， ，则点 ， 所在直线的斜率为 ，
由题意知，过点 ， 的直线与直线 平行，
所以 ，整理得： .
故选：B
4．（20-21高二·全国·模拟）在一张矩形纸片上，画有一个圆（圆心为O）和一个定点F（F在圆外）．在
圆上任取一点M，将纸片折叠使M与点F重合，得到折痕CD．设直线CD与直线OM交于点P，则点P的
轨迹为（ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
【答案】A
【分析】因为CD是线段MF的垂直平分线则|MP|＝|PF|，进而得|PO|﹣|PF|＝|PO|﹣|PM|＝|MO|为
定值，根据双曲线定义可推断点P轨迹．
【详解】由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PO|﹣|PF|＝|PO|﹣|PM|＝|MO|
（定值），
又显然|MO|＜|FO|，∴根据双曲线的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的双曲线．
故选：A．
5．（22-23高二上·浙江宁波·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点P(1，2)与点Q(-2，1)重合，则直线
y=x+4关于折痕对称的直线为 .
【答案】x+7y-20=0
【分析】根据点P(1，2)与点Q(-2，1)重合可得折痕所在直线的方程，然后结合直线关于直线对称可求.
【详解】因为点P(1，2)与点Q(-2，1)重合，所以折痕所在直线是 的中垂线，其方程为 ；
联立 可得交点 .
在直线 取一点 ，设 关于折痕的对称点为 ，
则 ，解得 ；由直线的两点式方程可得 ，整理得 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查直线关于直线的对称问题，相交直线的对称问题一般转化为点关于直线的对称问题，
利用垂直关系和中点公式可求，侧重考查数学运算的核心素养.
