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专题 10 生活中的轴对称
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
一、轴对称
1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重
合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两
个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。
3、性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴
垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
二、等腰三角形
1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线
合一”）
（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底
边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3、等腰三角形的判定：
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）如果一个三角形有两个角相
等，那么它们所对的边也相等
三、线段的垂直平分线（简称中垂线）：
定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。作法：作已知线段的垂直平分线。
已知：线段AB
求作：AB的垂直平分线。
作法：
（１）分别以A、B为圆心，大于AB/2
的长为半径作弧两弧相交于点C和D；
（２）作直线CD．
则直线CD就是线段AB的垂直平分线。
四、角平分线的性质：
1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3、作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP,使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：
（1）在OA和OB分别截取OM，ON使OM=ON
（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于 的长为半径作弧，两
弧交∠AOB内于Ｐ；
（3）作射线OP。
射线OP就是∠AOB的角平分线。
3、作法：
五、等边三角形：
1、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、等边三角形的性质：
（1）具有等腰三角形的所有性质。（2）等边三角形的各个角都相等，并且每
个角都等于60°。
3、等边三角形的判定
（1）三边都相等的三角形是等边三角形。（2）：三个角都相等的三角形是等
边三角形
（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
六、轴对称的性质1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能
够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。2、关于某条直线
对称的两个图形是全等图形。
3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平
分。
4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。
七、尺规作图
尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用
的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
五种基本作图：
1.作一条线段等于已知线段；
2.作一个角等于已知角；
3.作已知线段的垂直平分线；
4.作已知角的角平分线；
5.过一点作已知直线的垂线；
【经典题型】
考点1 轴对称图形
【典例1】下列交通标志中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】下列图形是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．
【变式1-2】下面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3
个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
考点2 轴对称的性质
【典例2】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则
∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
【变式2-1】如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则∠PAQ的大小是（ ）
A．70° B．55° C．40° D．30°
【变式2-3】】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝
30°，则∠B＝（ ）
A．25° B．45° C．30° D．20°
【变式2-3】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，
∠1＝∠2，若∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，
必须保证∠1为（ ）
A．60° B．30° C．45° D．50°
考点3 角平分线的性质
【典例3】已知BG是∠ABC的平分线，点D为BG上任意一点，且DE⊥AB于点E，
DF⊥BC于点F，DF＝3，则DE的长度是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【变式3-1】如图，直线AB∥CD，且这两条直线距离为8，∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，则点P到EF的距离为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【变式3-2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝3，AB＝
8，则△ABD的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式3-3】如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则
△OPE的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【变式3-4】如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC
的周长为28，则△ABC的面积为（ ）
A．28 B．14 C．21 D．7
考点4 线段垂直平分线的性质【典例4】如果用一根手指顶在一块质地均匀的三角形薄板的（ ）处，这块薄板就能
保持平衡．
A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条高线所在直线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【变式4-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，
再连接该两点所在直线交BC于点D，连接AD．若BD＝2，则AD的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式4-2】如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC
的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（ ）
A．26 B．20 C．18 D．14
【变式4-3】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已
知△ABC与△BCE的周长分别为16cm和10cm，则BD的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【变式4-4】如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（ ）
A．40° B．44° C．48° D．52°
考点5 等腰三角形的性质
【典例5】已知一等腰三角形的周长为26，其中一边为6，则这个等腰三角形的腰长是（
）
A．8 B．6或10 C．6 D．10
【变式5-1】在等腰三角形ABC中，若∠A＝70°，则∠B的度数是（ ）
A．40° B．55°
C．70° D．40°或55°或70°
【变式5-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AC的垂直平分线DE分别交
AC，BC于点D，E，则∠CAE＝（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
【变式5-3】如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠BAC＝50°，则∠BAD的度数
为（ ）
A．25° B．50° C．65° D．100°
【变式5-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（ ）
A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm
考点6 等边三角形性质
【典例6】如图，△ABC为等边三角形，延长CB到点D，使BD＝BC．延长BC到点E，
使CE＝BC．连接AD，AE，则∠DAE的度数是（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【变式6-1】如图，等边三角形纸片ABC的边长为9，E，F是边BC上的三等分点，分别
过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
【变式 6-2】如图，AB∥CD，△ACE 为等边三角形，∠BAE＝20°，则∠DCE 等于
（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式 6-3】如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则∠1+∠2+∠3 的度数为
（ ）A．90° B．120° C．180° D．无法确定
【变式6-4】如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为
BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
考点7 轴对称变换
【典例7】某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A，B
两个城市之间的距离之和最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当
△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（ ）A．60° B．70° C．80° D．100°
【变式7-2】如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别
有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（ ）
A．5 B．15 C．20 D．30
【变式7-3】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为
BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．60° B．90° C．100° D．120°
考点8 等腰三角形的综合问题
【典例8】（2020秋•邻水县期末）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、
N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的
速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存
在，请求出此时M、N运动的时间．【变式8-1】（2021•香洲区校级模拟）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC
边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则
说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交
点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【变式8-2】（2020秋•呼和浩特期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的
一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝ ，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角α形；
（2）当 ＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究α：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形．
α考点7 等边三角形综合问题
【典例9】（2020•雅安）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、
BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD
交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：MN∥AB．
【变式9-1】（2019秋•洛阳期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝
BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：
（1）EF⊥AB；
（2）DE＝2DF．【变式9-2】（2021•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，
由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度
由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于
D．
（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变
化请说明理由．
