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专题 16 一元二次方程的应用(基础题型)
1．近年来，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2017年我国快递业务量为400亿件，
2019年快递量将达到600亿件，设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中正确的是（
）
A．400（1+x）＝600 B．400（1+2x）＝600
C．400（1+x）2＝600 D．600（1﹣x）2＝400
【答案】C
【分析】
设快递量平均每年增长率为x，根据我国2017年及2019年的快递业务量，即可得出关于x
的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设快递量平均每年增长率为x，
依题意，得：400（1+x）2＝600．
故选C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
2．某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为
x ，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据增长率问题的等量关系：变化前的量× =变化后的量，即可列出方程．
【详解】
原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，平均每次降价的百分率为 x
则方程为
故选A．【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，熟记增长率问题的等量关系是解题的关键．
3．随着我国新能源汽车的生产技术不断提升，市场上某款新能源汽车的价格由今年3月份
的270000元/辆下降到5月份的243000元/辆．若价格继续下降，且月平均降价的百分率保
持不变，则预测到今年7月份该款新能源汽车的价格将会（ ）．（参考数据：
）
A．低于22万元/辆 B．低于 万元/辆
C．超过22万元/辆 D．超过23万元/辆
【答案】A
【分析】
设月平均降价的百分率为x，根据今年3月份及5月份该款新能源汽车的售价，即可得出关
于x的一元二次方程，解之即可得出（1-x）2的值，再将其代入243000（1-x）2中即可得出
结论．
【详解】
解：设月平均降价的百分率为x，
依题意得：270000（1-x）2=243000，
∴（1-x）2=0.9，
∴今年7月份该款新能源汽车的价格为243000（1-x）2=243000×0.9=218700（元）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．2020年1月17日，在国家医保局等部门的指导下，全国各省（区、市）和新疆生产建
设兵团组成采购联盟，在上海开展了第二批国家组织药品集中采购工作，此举将扩大国家
组织药品集中采购改革成效，让老百姓用上更多降价药品．现已知某药品原售价为每盒
121元，经过连续两次降价后，现在售价为每盒81元，若根据题意所列的方程为
，则x表示的实际意义是（ ）
A．该药品平均每次降价的百分率 B．该药品第一次降价的百分率
C．该药品第二次降价的百分率 D．该药品平均每次涨价的百分率【答案】A
【详解】
【解答】设该药品平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后药品的售价为每盒
元，第二次降价后药品的售价为每盒 元．又知现在售价为每盒
81元，因此有 ．所以x表示的实际意义是该药品平均每次降价的百分率．
5．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，原价为30元的药品经过连续两次
降价10%，则两次降价后该药品的价格为（ ）
A．24.3 B．22 C．25 D．23
【答案】A
【详解】
依题意，得 ．
6．随着大家对环境保护的重视，新能源电动汽车越来越多地进入人们的视野，据统计，
2018年我国新能源汽车产量为127万辆，预计到2020年我国新能源汽车年产量将达到200
万辆，设新能源汽车产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
∵新能源汽车产量的年平均增长率为x，∴2019年我国新能源汽车年产量为 ，
2020年我国新能源汽车年产量为 ，∴可列方程为 ．
7．如图，某小区有一长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形
绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行
道的宽度为x米．由题意可列方程（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
略
25．2017年底，全国铁路营业里程为12.7万公里，其中高铁2.5万公里；截至2019年底，
中国高铁运营里程突破3.5万公里（按3.5万公里计算），若这两年我国高铁里程的增长率
相同，在保持年增长率不变的情况下，设我国高铁里程的年平均增长率为x，由题意可列
方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题可列 ，即 ．
8．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向致富道路．某地区2017年底有贫
困人口9万人，通过社会各界努力，2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至
2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
略
9．某中学初四学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了纪念留
言1640份，则全班共有学生（ ）名．
A．39 B．40 C．41 D．42
【答案】C【分析】
根据每个人只能给除自己以外的人写毕业留言，即每个人写 份，据此列一元二次方
程解题．
【详解】
解：设全班共有学生 名，
则
或 （舍去）
全班共有学生41名．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．在一块宽为20 m，长为32 m的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出同样宽的小路，
余下的部分修建花坛，使花坛的面积为540 m2，求小路的宽．设小路宽为x m，根据题意，
所列方程正确的是 （ ）
A．（20-x）(32-x)=540 B．（20-x）(32-x)=100
C．（20－2x）(32－2x )=540 D．（20-2x）(32-2x)=100
【答案】C
【分析】
设小路宽为x米，根据题意表示出花坛部分的长为：（32﹣2x）m，宽为：（20﹣2x）m，
如此一来，花坛的面积就为（32﹣2x）（20﹣2x）平方米，进而即可列出方程，求出答案．
【详解】
解：如图所示，设小路宽为x米，因为花坛的面积为540 m2根据题意得：（20﹣2x）（32﹣2x）＝540．
故选：C．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，要求学生能
根据题意得数量关系建立等式，进而即可列出方程，求出答案．
11．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛240场，设参加比赛的
球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝240 B． x（x﹣1）＝240
C．x（x＋1）＝240 D． x（x＋1）＝240
【答案】A
【分析】
根据参加比赛的球队数量、总共要比赛的场数列出方程即可得．
【详解】
解：由题意，可列方程为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等量关系是解题关键．
12．如图，学校课外小组的试验园地的形状是长30米宽15米的矩形，为便于管理，要在
中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据題意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设小道的宽为 米，则6个小矩形可合成长为 米，宽为 米，利用种植的
面积建立等式，可得出关于 的一元二次方程．
【详解】
解：设小道的宽为 米，则6个小矩形可合成长为 米，宽为 米，
根据题意： ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是：根据题目信息，找准等量关
系，列出一元二次方程．
13．今年某地区3月初感染新冠病毒确诊人数10人，通过社会各界的努力，5月初确诊人
数减少至8人．设3月初至5月初该地区确诊人数的月平均下降率为 ，根据题意列方程
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意可知等量关系为3月感染人数×(1-下降率)2=5月感染人数，再把相关数值代入即可．
【详解】根据题意可直接列出方程 ．
故选C．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2个月内变化情况的等量关系是解决本题
的关键．
14．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的60元降到42元，设该药品平均每次降
价的百分率为x，根据题意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来60元降到42元，平均每次降价的百分率
为x，可以列出相应的方程即可．
【详解】
解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
根据题意可列方程 ，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，仔细阅读题意从中获取关键信息建立方程是解
题的关键．
15．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．重庆市2017年底
大约有贫困人口140万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至20万人．设
2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（ ）
A．140（1﹣2x）＝20 B．140（1﹣x）2＝20
C．140（1+2x）＝20 D．140（1+x）2＝20
【答案】B
【分析】
根据重庆市2017年底及2019年底贫困人口数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：依题意得： ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找出等量关系是解题关键．
16．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计
划到2021年底全市5G用户数达到9.68万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值
为（ ）
A．120% B．130% C．140% D．150%
【答案】A
【分析】
设全市5G用户数年平均增长率为x，根据该市2019年底及计划到2021年底全市5G用户数
量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：设全市5G用户数年平均增长率为x，
依题意，得：2（1+x）2＝9.68，
解得：x ＝1.2＝120%，x ＝﹣3.2（不合题意，舍去）．
1 2
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临
时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则
下列各方程中，符合题意的是（ ）
A． x（55﹣x）＝375 B． x（55﹣2x）＝375C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
【答案】A
【分析】
设栅栏AB的长为x米，根据AD＋AB＋BC＝55且AD＝BC可得AD＝BC＝ 米，再由长
方形的面积公式可得答案．
【详解】
解：设栅栏AB的长为x米，则AD＝BC＝ 米，
根据题意可得， x（55﹣x）＝375，
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是表示出矩形的宽,难度不大.
18．一个直角三角形的两条直角边的和是28cm，面积是96cm2．设这个直角三角形的一条
直角边为xcm，依题意，可列出方程为（ ）
A．x（14﹣x）＝96 B． x（14﹣x）＝96
C． x（28﹣x）＝96 D．x（28﹣x）＝96
【答案】C
【分析】
设一条直角边的长为x cm，则另一条直角边的长为（28-x）cm，根据三角形的面积公式结
合面积是96cm2，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】
解：设一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为（28﹣x）cm，
根据题意得： x（28﹣x）＝96，
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．19．某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平
均增长率为 ，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题依题意可知四月份的人数＝25（1＋x），则五月份的人数为：25（1＋x）（1＋x），
列方程25（1＋x）2＝64即可得出答案．
【详解】
解：设每月的平均增长率为x，依题意得：
．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率的问题，一般公式为：原来的量×
（1±x）2＝现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用＋，减少用−．
20．2018年7月，郑州龙子湖智慧岛开通河南省首个5G基站，2020年全省已累计建成5G
基站 万个，规划到2022年5G基站数量将达到 万个．设2020年至2022年5G基站
建设的年平均增长率为 ，可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年及2022年
底全省5G基站的数量，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】
解：设2020年至2022年5G基站建设的年平均增长率为 ，
由题意得： ．
故选：D．【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．一种商品原价100元，经过两次降价后的售价是60元，设平均每次降价的百分率为 ，
那么所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用增长率公式代入相关量即可．
【详解】
解； ;
故选C．
【点睛】
本题考查了从实际问题当中抽象出一元二次方程的问题，该问题涉及到了增长率（下降
率），解题关键是牢记公式，即 （其中， a是原来的量，x是增长率或下降
率，n是增长或下降的次数，b是现在的量）．
22．我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了
又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，
该村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元．2020年该村乡村民宿旅游收入达到2880万
元，据此估计该市2019年，2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
【答案】C
【详解】
略
33．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到
81万只设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】
根据题意，分别表示七、八月份的产量，然后列式即可．
【详解】
设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，
七月份的产量为： ，
八月份的产量为： ，
∴列式为： ，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，熟记增长率和减少率的基本模型是解题关键．
23．如图所示的是某公司今年1—3月份的收入统计图，设1月至3月的每月收入平均增长
率为 ，根据图中信息，得到 所满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设1月至3月的每月收入平均增长率为x，根据等量关系：1月份的收入×(1+增长率)2=4，把
相关数值代入计算即可．
【详解】
解：依题意有1×(1+x)2=4，即(1+x)2=4．
故选：B．
【点睛】主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为
a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
24．广西北部湾某中学为了使学生能够更好地进行体育活动，决定修建一个长方体形状的
游泳池，其底面周长为100 m，设游泳池的底面长方形的长为x m，要使游泳池的底面面
积为400 m2，则可列方程为（ ）
A．x（100-x）=400 B．2x（100-2x）=400
C．x（100-2x）=400 D．x（50-x）=400
【答案】D
【分析】
设游泳池的底面长方形的长为x m,则宽为（50-x）m，然后根据“游泳池的底面面积为400
m2”的等量关系列方程即可．
【详解】
解：设游泳池的底面长方形的长为x m，则宽为（50-x）m
由题意可得：x（50-x）=400．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了列一元二次方程，审请题意、找到等量关系成为解答本题的关键．
25．一种药品原价每盒25元经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都相同为 ，
则 满足方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
等量关系为：原价×（1-下降率）2=16，把相关数值代入即可．
【详解】
解：第一次降价后的价格为25（1-x），
第二次降价后的价格为25（1-x）×（1-x）=25×（1-x）2，
∴列的方程为25（1-x）2=16，
故选：B．
【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，
则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
26．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》有题目：直田积（矩形面积）八百六
十四步（平方步），只云阔（宽）与长共六十步，问阔（宽）及长各几步．设阔（宽）有
x步，那么下面所列方程正确的是（ ）
A．x（x+60）＝864 B．x （60﹣x）＝864
C．x （x﹣60）＝864 D．x2﹣60x﹣864＝0
【答案】B
【分析】
由阔（宽）与长共六十步，设阔（宽）有x步，则长有 步，再利用矩形的面积公
式可得方程，从而可得答案．
【详解】
解：由题意得：阔（宽）与长共六十步，
设阔（宽）有x步，则长有 步，则
故选：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．
27．某工厂2019年治理污水花费成本144万元，经技术革新，计划到2021年治理污水花
费成本降到100万元，若设每年成本的下降率是x，则可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据“2021年成本=2019年成本 （1-每年成本的下降率）2”即可得．
【详解】由题意，可列方程为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等量关系是解题关键．
28．某商品经过连续两次涨价，销售单价由原来162元涨到200元，设平均每次涨价的百
分比为x，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由平均每次涨价的百分比为x，则第一次涨价后的价格为： 元，第二次涨价后的
价格为： 元，从而可得答案．
【详解】
解：设平均每次涨价的百分比为x，则
故选：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用的增长率问题是解题的关键．
29．某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量
的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据2019年的蔬菜产量=2017年的蔬菜产量×(1+年平均增长率)2，把相关数值代入即可．【详解】
解：设种植基地蔬菜产量的年平均增长率为x，根据题意得：
，
即： ．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用（增长率问题），根据题意找到等量关系是解题关键．
30．自从国家实行“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走上了致富道路，据统计某地区
2018年6月份有贫困人口2.85万人，通过社会各界的努力，2020年6月份统计贫困人口减
少至0.73万人，若设2018年6月份到2020年6月份该地区贫困人口的年平均下降率为x，
则根据题意可列方程为（ ）
A．2.85（1﹣2x）＝0.73 B．0.73（1+x）2＝2.85
C．0.73（1+2x）＝2.85 D．2.85（1﹣x）2＝0.73
【答案】D
【分析】
等量关系为：2018年贫困人口×（1 下降率）2=2020年贫困人口，把相关数值代入计算即
可．
【详解】
解：设2018至2020年底该地区贫困人口的年平均的下降率为x，根据题意得：
2.85（1﹣x）2＝0.73;
故选：D
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的
关键．
31．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，求
该公司11，12两个月营业额的月平均增长率．设该公司11，12两个月营业额的月平均增
长率为x，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】
由题意分别用含x的等式表示出11月和12月的营业额，即可列出所求方程．
【详解】
解：由题意可得11月份的营业额为：2500（1+x），
12月份的营业额为：2500（1+x）（1+x），
∴可列方程为： ，
故选A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握如何列出一元二次方程是解题关键 ．
32．为执行国家药品降价政策，给人民带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由
120元降为98元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设平均每次降价的百分率为x，则两次降价后的价格为 再列方程：
从而可得答案．
【详解】
解：设平均每次降价的百分率为x，则
故选：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决增长率问题是解题的关键．
33．为了促使药品及医用耗材的价格回归合理水平，减轻群众就医负担，国家近几年大力推进带量采购制度改革，在改革推进的过程中，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100
元降为81元，已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的平均增长率问题思考求解即可
【详解】
∵某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率都为x，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的平均增长率问题，熟练掌握正增长为加，负增长即降低为减，
这是解题的关键．
34．某城市2018年底已有绿化面积500公顷，经过努力，绿化面积以相同的增长率逐年增
加，到2020年底增加到605公顷．若按照这样的绿化速度，则该市2021年底绿化面积能
达到（ ）
A．657.5公顷 B．665.5公顷 C．673.5公顷 D．681.5公顷
【答案】B
【分析】
利用每年绿化面积的增长率相等，设出增长率列出方程求得的增长率，再用605×(1+0.1)计
算即可求得该市2021年底的绿化面积．
【详解】
设年增长率为x，
依题意得： ，
解得 （不合题意，舍去），
∴ ．故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用中增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间
的有关数量，b为终止时间的有关数量．
35．有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟
健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源），程序设定，每经过一分
钟，每个红球均恰好能使方框中 个白球同时变成红球（ 为程序设定的常数），若最
初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变
为64个，则 应满足的方程是（ ）
A．4（1＋ ）＝64 B．4（1＋ ）＝400 C．4 ＝64 D．4 ＝400
【答案】C
【分析】
原有4个红球，1分钟后红球数为 个，2分钟新增加的红球数为 个，
由2分钟后，红球总数变为了64个列方程可得结论．
【详解】
根据题意得： ，
即： ，
故选：C．
【点睛】
考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，了解增长率问题是解题的关键．
36．某校进行体操队列训练，原有8行12列，后增加69人，使得队伍增加的行数、列数
相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行或x列，则列方程得______．
【答案】
【详解】
略
37．某电视机制造商2021年一月份生产电视机2000台，2021年三月份生产电视机2420台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为_____________．
【答案】
【分析】
根据一月份生产电视机2000台，三月份生产电视机2420台，可列出方程．
【详解】
解：设二，三月份每月平均增长率为x，
根据题意得：2000（1+x）2=2420．
故答案为：
【点睛】
题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二
次方程是解题的关键．
38．收官之年，为了进一步巩固提升脱贫攻坚成果，夯实增收基石，壮大产业“龙头”．
某火龙果果园去年栽种果树600株，现计划扩大栽种面积，使今明两年的栽种量都比前一
年增长相同的百分数，这样，三年（包括去年）的总栽种量为2503，求这个相同的百分数．
若设这个相同的百分数为 ，则根据题意，可列方程为________．
【答案】
【分析】
由题意，找出题目的等量关系，然后列出方程即可．
【详解】
解：根据题意，得今年的栽种量为 ，明年的栽种量为 ，
∴三年的总栽种量为： ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题是一道增长率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用．正确掌握题意，正确
的列出方程是关键．39．《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年10月11日至24日在
云南省昆明市举办．昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长35米、宽20米
的矩形场地上要开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），其余部分种植草坪，草坪面积为
627平方米．设小道的宽为x米，则可列方程为________．
【答案】（35−2x）（20−x）＝627
【分析】
把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为
627列出方程即可．
【详解】
解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35−2x）米，宽为（20−x）米，
∴可列方程为（35−2x）（20−x）＝627，
故答案为（35−2x）（20−x）＝627．
【点睛】
考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，利用平移的知识得到种植面积的形状是解决
本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点
40．为提升“教育现代化”进程，某地2018年投入资金1000万元用于改善教育设施设备，
并规划投入资金逐年增加，2020年在2018年的基础上增加投入资金210万元，则从2018
年到2020年，该地投入改善教育设施设备资金的年增长率为______．
【答案】10%
【分析】
该地投入改善教育设施设备资金的年增长率为x，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】
该地投入改善教育设施设备资金的年增长率为x，根据题意有
，
解得 ， （舍去）∴该地投入改善教育设施设备资金的年增长率为10%，
故答案为：10%．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是关键．
41．南宁某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策
出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决
定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以
供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5
元．请问哪种方案更优惠？
【答案】（1）平均每次降价的百分率为10％；（2）选方案①更优惠
【分析】
（1）根据公式 列出关系等式求解即可．
（2）按照两种优惠方案，分别计算出优惠后的实际房款，再进行比较即可．
【详解】
解：（1）设平均每次降价的百分率是x，依题意得
5000（1－x）2= 4050
解得：x =10％，x ＝ （不合题意，舍去）
1 2
答：平均每次降价的百分率为10％．
（2）方案①的房款是：4050×100×0.98＝396900（元）
方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝401400（元）
∵396900＜401400
∴选方案①更优惠．
答：选方案①更优惠．
【点睛】
本题考查了有关增长率问题的应用，增长或降低的基础公式为 ，n表示增长
次数或降低．一般的方案问题，需要分别计算出各个方案的实际值，再作比较．42．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；
当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客入住房间，宾馆需
对每个房间支出20元的各种费用．
（1）扣除各种费用后的总收入为10640元，且入住率超过60%时，有几间房空闲？
（2）定价为多少时，宾馆可获最大利润？
【答案】（1）12间；（2）350元．
【分析】
（1）根据扣除各种费用后的总收入为10640元列一元二次方程，再解一元二次方程，验根
即可解题；
（2）先写出利润为 与 间房空闲的函数关系式，配方成顶点式，结合二次函数的最值
性质解题．
【详解】
解：（1）设有 间房空闲，
依题意得，
化简得，
，
∵入住率要超过60%
∴
答：有12间房空闲.
（2）设利润为 元，依题意得：
∵－10＜0
∴当 时， 可取最大值，
∴定价为180＋17×10＝350（元），
答：定价为350元时，宾馆可获最大利润.
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题．
43．列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售
量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾
客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【答案】27元．
【分析】
设这种水果每千克降价 元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，
解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的 的值，即可解题
售价．
【详解】
解：设这种水果每千克降价 元，
则每千克的利润为： 元，销售量为： 千克，
整理得，
或 ，
要尽可能让顾客得到实惠，
即售价为 （元）
答：这种水果的销售价为每千克27元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
44．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是50元，若每箱销售80元，每星期可
卖200箱．为了促销，该水果店决定降价促销．市场调查反映：若售价每降低1元，每星
期可多卖出10箱．设该苹果每箱售价x元（ ），每星期的销售量为y箱．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每箱为多少元时，每星期的销售利润达到6000元？
【答案】（1） ；（2）当每箱售价为70或80元时，每星期
的销售利润达到6000元
【分析】
（1）根据每星期的销售量 降低的价格，即可找出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每星期的利润＝每箱的利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，
解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】
解：（1）依题意得： ，即
；
（2）依题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
答：当每箱售价为70或80元时，每星期的销售利润达到6000元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用、一次函数的实际应用等知识，是重要考点，难度较易，掌
握相关知识是解题关键．
45．某服装经营户以20元/件的价格购进一批衣服，以30元/件的价格出售，每天可售出
20件．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种衣服每件降价1元，每天可
多售出5件．另外，每天的房租等固定成本共25元，该经营户要想每天盈利200元，应将每件衣服的售价降低多少元？
【答案】应将每件衣服的售价降低1元或5元
【分析】
设应将每件衣服的售价降低 元，则每件的利润为 元，每天可售出
件，利用每天获得的利润＝每件的利润×每天的销售量﹣固定成本，即可得出关于 的一元
二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设应将每件衣服的售价降低 元，则每件的利润为 元，每天可售出
件，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
当 时，销量为 件，
当 时，销量为 件，所以为了促销，每件衣服应降价 元，
答：为了促销，应将每件衣服的售价降低5元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用．根据题意找出等量关系列出一元二次方程是解答本题的关
键．
46．某商店销售一种服装，已知该服装每件成本为 元.经市场调研，售价为每件 元时，
可销售 件；售价每提高 元，销售量将减少 件.
问：商店销售这批服装计划获利 元，应如何进货？每件售价多少元？
【答案】应进货400件，每件售价为80元时，商店销售这批服装计划获利 元．
【分析】设每件售价为x元，则有销售量为 件，然后由题意可列方程求解．
【详解】
解：设每件售价为x元，由题意得：
解得： ，
∵销售商为了降低成本，
∴进货量尽量小，售价尽量大，
∴ ，
∴进货量为 （件）；
答：应进货400件，每件售价为80元时，商店销售这批服装计划获利 元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
47．某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据
市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就
少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．
（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润．
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？
【答案】（1）1050元；（2）50元
【分析】
（1）根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可求出结论；
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80-2（x-40）]件，根据每天的销售利润
=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出
结论．
【详解】解：（1） （元）．
答：每天的销售利润为1050元．
（2）设每件工艺品售价为 元，则每天的销售量是 件，
依题意，得 ，
整理，得 ，
解得 （不合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为50元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
48．某品牌衣服原售价为每件400元，由于商店要处理库存，经过连续两次降价处理，按
每件256元的售价销售，求该衣服每次平均降价的百分率？
【答案】20%
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设降价的百
分率为x，根据“原售价400元，按256元的售价销售”，即可得出方程求解即可．
【详解】
解：第一次降价后的价格为：400（1﹣x），第二次降价后的价格为：400（1﹣x）2；
则可列方程：400（1﹣x）2＝256，
解得x ＝0.2＝20%，x ＝1.8（舍去）．
1 2
答：该衣服每次平均降价的百分率是20%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用中求平均变化率的方法，正确掌握知识点是解题的关键；
49．某商场销售一款消毒用湿巾，这款消毒用湿巾的成本价为每包6元，当销售单价定为
10元时，每天可售出80包，根据市场行情，现决定降价销售，市场调研反映：销售单价
每降低0.5元，则每天可多售出20包，为使每天这种消毒湿巾的利润达到360元，商场应
把这种消毒湿巾降价多少元？
【答案】商场应把这种消毒湿巾降价1元，可使每天这种消毒湿巾的利润达到360元．
【分析】设这种消毒湿巾降价 元，由题意可得 ，然后求解即可．
【详解】
解：设这种消毒湿巾降价 元，根据题意得：
，
解得： ，
答：商场应把这种消毒湿巾降价1元，可使每天这种消毒湿巾的利润达到360元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
50．已知一本数学书长为 ，宽为 ，厚为 ．一张长方形包书纸如图所示，
它的面积为 ，虚线表示的是折痕．由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小
相同的正方形，求正方形的边长．
【答案】正方形的边长为
【分析】
设正方形的边长为 ，再分别表示矩形的相邻的两边的长，利用面积公式列方程
，再解方程并检验即可得到答案．
【详解】
解：设正方形的边长为 ，由题意得
，整理得 ，
或
解得 ， ．
经检验： 不合题意，舍去，取 ．
答：正方形的边长为 ；
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决图形面积问题是解题的关
键．
51．在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图
所示，如果要使整个挂图的面积是1836cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x应多宽？
【答案】x应为2cm．
【分析】
设金色纸边的宽为xcm，由题意得 ，解方程，舍去不合题意的
解即可．
【详解】
解：设金色纸边的宽为xcm，由题意得
，
解得 （不合题意，舍去）
答：x应为2cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题关键．
52．如图，在长7米，宽5米的矩形地面，沿纵向，横向修建两条相同宽度的道路，余下
部分用作花坛，要使花坛的面积为24m2，道路的宽应为多少？
【答案】道路的宽应为1米
【分析】
设道路的宽应为x米，则余下部分可合成长为（7﹣x）米，宽为（5﹣x）米的矩形，根据
花坛的面积为24m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结
论．
【详解】
解：设道路的宽应为x米，则余下部分可合成长为（7﹣x）米，宽为（5﹣x）米的矩形，
依题意得：（7﹣x）（5﹣x）＝24，
整理得：x2﹣12x+11＝0，
解得：x ＝1，x ＝11（不合题意，舍去）．
1 2
答：道路的宽应为1米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正值列出一元二次方程是解题的关键.
53．如图，在长为30m，宽为20m的矩形场地 上，建有三条同样宽的小路，其中
一条与 平行，另外两条与 平行，其余的部分为草坪，已知草坪的总面积为
551m2，求小路的宽度．
【答案】1m
【分析】
设小路的宽度为xm，根据草坪的面积=矩形的面积-小路的面积列出方程，解方程并找出合
理的解即可．【详解】
设小路的宽度为xm，根据题意有
，
整理得 ，
解得 ．
，
舍去，
∴小路的宽度为1m．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键．
54．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用
25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当
所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？
【答案】当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．
【分析】
设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x+1）m．根
据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
【详解】
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，由
题意得
x(25-2x+1)=80，
化简，得x2-13x+40=0，
解得：x =5，x =8，
1 2
当x=5时，26-2x=16＞12（舍去），当x=8时，26-2x=10＜12，
答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．【点睛】
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的
解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
55．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之
气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，9月
进馆120人次，进馆人次逐月增加，到11月末累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增
长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过450人次，在进馆人次的月平均增长率
不变的条件下，校图书馆能否接纳12月的进馆人次，并说明理由．
【答案】（1）50%；（2）能，理由见解析．
【分析】
（1）设进馆人次的月平均增长率为 ，根据题意，三个月累计进馆570人次，列一元二次
方程，用因式分解法解方程即可解题；
（2）根据进馆人次的月平均增长率不变的条件下，解得12月的进馆人次，再与450作比
较，据此解题即可．
【详解】
解：（1）设进馆人次的月平均增长率为 ，由题意得，
化简得：
即
或
（舍去）
答：进馆人次的月平均增长率为 ．
（2） 进馆人次的月平均增长率为 ，
12月的进馆人次为： ，校图书馆能接纳12月的进馆人次．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解
题关键．
56．网络购物已经被越来越多的人接受，快递行业也进入了高速发展期，某快递公司今年
10月份投递快递的数量为10万件，12月份投递快递的数量为12.1万件，设每月投递快递
数量的增长率相同．求该快递公司投递快递数量的月平均增长率．
【答案】
【分析】
设每月投递快递数量的增长率为 则 再利用直接开平方法解方程，并
检验，从而可得答案．
【详解】
解：设每月投递快递数量的增长率为 则
或
或
经检验： 不合题意，舍去，取
答：该快递公司投递快递数量的月平均增长率为
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，利用一元二次方程解决增长率问题是解题的关键．
57．目前，以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计
划到2021年底5G用户数累计达到8.72万户．求这两年全市5G用户数的年平均增长率．
【答案】40%
【分析】
根据每年增长率一样，设这两年全市5G用户数的年平均增长率为x，由题意到2021年底
5G用户数累计达到8.72万户，列一元二次方程，解一元二次方程即可．【详解】
设这两年全市5G用户数的年平均增长率为x，根据题意得
解得： （不合题意，舍去）
答：这两年全市5G用户数的年平均增长率为40%
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，涉及增长率问题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识
是解题关键．
58．某商场某型号的计算机2018年销售量为 台，2020年受疫情影响，年销售量下降
为 台，求销售量的年平均下降率．（结果保留整数）
【答案】17%
【分析】
设销售量的年平均下降率为x，根据2018年和2020年销售的台数，列出方程，求解即可．
【详解】
解：设销售量的年平均下降率为x，
依题意可列：2880（1−x）2＝2000，
解得：x ≈0.17＝17%．x ＝− （舍去）．
1 2
答：销售量的年平均下降率为17%．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，
找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
59．如图， 中， ， ， ，一动点 从点 出发沿着方向以 的速度运动，另一动点 从 出发沿着 边以 的速度运动，
， 两点同时出发，运动时间为 ．
（1）若 的面积是 面积的 ，求 的值？
（2） 的面积能否为 面积的一半？若能，求出 的值；若不能，说明理由．
【答案】（1） ；（2）不可能；理由见解析．
【分析】
（1）根据三角形的面积公式可以得出 面积为 ， 的面积为
，由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系 列方程求出 的值，再根据根的判别式判断方程有没有解
即可．
【详解】
解：（1） ， ，
，，
解得： ．
答：当 时， 的面积为 面积的 ．
（2） 的面积不可能是 面积的一半．理由如下：
当 时，
，
整理得： ，
，
此方程没有实数根，
的面积不可能是 面积的一半．
【点评】
本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，三角形的面积，解题关键是
要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
