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专题 10 生活中的轴对称
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
一、轴对称
1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重
合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两
个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。
3、性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴
垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
二、等腰三角形
1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线
合一”）
（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底
边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3、等腰三角形的判定：
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）如果一个三角形有两个角相
等，那么它们所对的边也相等
三、线段的垂直平分线（简称中垂线）：
定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。作法：作已知线段的垂直平分线。
已知：线段AB
求作：AB的垂直平分线。
作法：
（１）分别以A、B为圆心，大于AB/2
的长为半径作弧两弧相交于点C和D；
（２）作直线CD．
则直线CD就是线段AB的垂直平分线。
四、角平分线的性质：
1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3、作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP,使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：
（1）在OA和OB分别截取OM，ON使OM=ON
（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于 的长为半径作弧，两
弧交∠AOB内于Ｐ；
（3）作射线OP。
射线OP就是∠AOB的角平分线。
3、作法：
五、等边三角形：
1、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、等边三角形的性质：
（1）具有等腰三角形的所有性质。（2）等边三角形的各个角都相等，并且每
个角都等于60°。
3、等边三角形的判定
（1）三边都相等的三角形是等边三角形。（2）：三个角都相等的三角形是等
边三角形
（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
六、轴对称的性质1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能
够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。2、关于某条直线
对称的两个图形是全等图形。
3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平
分。
4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。
七、尺规作图
尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用
的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
五种基本作图：
1.作一条线段等于已知线段；
2.作一个角等于已知角；
3.作已知线段的垂直平分线；
4.作已知角的角平分线；
5.过一点作已知直线的垂线；
【经典题型】
考点1 轴对称图形
【典例1】下列交通标志中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：选项A、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
【变式1-1】下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线
两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形，
故选：C．
【变式1-2】下面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：选项B、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，所以不是轴对称图形，
故选：A．
【变式1-3】如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3
个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（ ）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】C
【解答】解：如图，
将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共 7种情况，其中涂黑1，3，
5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形，
故选：C．
考点2 轴对称的性质
【典例2】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则
∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：D．
【变式2-1】如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，
则∠PAQ的大小是（ ）A．70° B．55° C．40° D．30°
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝70°，
∵A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，
又∵MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝70°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°
故选：C．
【变式2-3】】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝
30°，则∠B＝（ ）
A．25° B．45° C．30° D．20°
【答案】B
【解答】解：∠C＝∠C'＝30°，
则△ABC中，∠B＝180°﹣105°﹣30°＝45°．
故选：B．
【变式2-3】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，
∠1＝∠2，若∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，
必须保证∠1为（ ）A．60° B．30° C．45° D．50°
【答案】A
【解答】解：∵台球桌四角都是直角，∠3＝30°
∴∠2＝60°
∵∠1＝∠2
∴∠1＝60°
故选：A．
考点3 角平分线的性质
【典例3】已知BG是∠ABC的平分线，点D为BG上任意一点，且DE⊥AB于点E，
DF⊥BC于点F，DF＝3，则DE的长度是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝3，
故选：A．
【变式3-1】如图，直线AB∥CD，且这两条直线距离为8，∠AEF与∠EFC的角平分线交
于点P，则点P到EF的距离为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】C【解答】解：如图所示，过P作PG⊥CD于G，交AB于H，作PM⊥EF于M，
∵AB∥CD，
∴∠PHE＝90°，
又∵∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，
∴PH＝PM＝PG，
∵这条两直线距离为8，
∴PH＝PG＝4，
∴PM＝4，即点P到EF的距离为4，
故选：C．
【变式3-2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝3，AB＝
8，则△ABD的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝3，
∴S△ABD ＝ AB•DE＝ ×8×3＝12，
故选：D．
【变式3-3】如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则△OPE的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【解答】解：如图，过P作PD⊥OB于D，作PC⊥OA于C，
∵OP是∠AOB的平分线，P到OB的距离是2，
∴PC＝PD＝2，
∵OE＝4，
∴S△OPE ＝ OE•PC＝ ．
故选：C．
【变式3-4】如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC
的周长为28，则△ABC的面积为（ ）
A．28 B．14 C．21 D．7
【答案】A
【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，
∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，∴OD＝OE＝OF＝2，
∴S△ABC ＝S△OAB +S△OAC +S△OBC
AB•OE+ AC•OF+ BBC•OD
＝ （AB+AC+BC）•OD
＝ ×28×2＝28，
故选：A．
考点4 线段垂直平分线的性质
【典例4】如果用一根手指顶在一块质地均匀的三角形薄板的（ ）处，这块薄板就能
保持平衡．
A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条高线所在直线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【答案】B
【解答】解：∵三角形的重心是三角形三边中线的交点，
∴如果用一根手指顶在一块质地均匀的三角形薄板的重心处，这块薄板就能保持平衡．
故选：B．
【变式4-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，
再连接该两点所在直线交BC于点D，连接AD．若BD＝2，则AD的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解答】解：由作图可知，点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD＝2，
故选：D．
【变式4-2】如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（ ）
A．26 B．20 C．18 D．14
【答案】D
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，
∵△ABC的周长为22，
∴AB+BC+AC＝22，
∴AB+AC＝14，
∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，
故选：D．
【变式4-3】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已
知△ABC与△BCE的周长分别为16cm和10cm，则BD的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，AD＝BD＝ AB，
∵△BCE的周长是10cm，
∴BC+BE+EC＝10cm，即AC+BC＝10cm，
∵△ABC的周长是16cm，
∴AB+AC+BC＝16cm，
∴AB＝16﹣10＝6（cm），∴BD＝ AB＝ ×6＝3（cm）．
故选：A．
【变式4-4】如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝
114°，则∠EAF为（ ）
A．40° B．44° C．48° D．52°
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝114°，
则∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°，
∵EG是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理：∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°，
故选：C．
考点5 等腰三角形的性质
【典例5】已知一等腰三角形的周长为26，其中一边为6，则这个等腰三角形的腰长是（
）
A．8 B．6或10 C．6 D．10
【答案】D
【解答】解：（1）当6是腰长时，底边为26﹣6×2＝14，
此时6+6＜14，不能组成三角形；
（2）当6是底边时，腰长为 ×（26﹣6）＝10，
此时6，10，10三边能够组成三角形．
所以腰长是10．
故选：D．【变式5-1】在等腰三角形ABC中，若∠A＝70°，则∠B的度数是（ ）
A．40° B．55°
C．70° D．40°或55°或70°
【答案】D
【解答】解：等腰三角形中已知∠A＝70°，分两种情况讨论：
①∠A为底角，那另外两个角为70°和40°，
②∠A为顶角，那另外两个角为55°．
所以∠B的度数是70°或55°或40°．
故选：D．
【变式5-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AC的垂直平分线DE分别交
AC，BC于点D，E，则∠CAE＝（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠C＝40°，
故选：D．
【变式5-3】如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠BAC＝50°，则∠BAD的度数
为（ ）
A．25° B．50° C．65° D．100°【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，D是BC的中点，∠BAC＝50°，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝ ×50°＝25°．
故选：A．
【变式5-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若
△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（ ）
A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，点E为AC的中点，
∴DC＝ BC，DE＝ AC，
∵△ABC的周长为20cm，
∴△CDE的周长＝DE+EC+DC＝ ×20＝10（cm）．
故选：A．
考点6 等边三角形性质
【典例6】如图，△ABC为等边三角形，延长CB到点D，使BD＝BC．延长BC到点E，
使CE＝BC．连接AD，AE，则∠DAE的度数是（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】B【解答】解∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝CA．
∵BD＝BC，
∴AB＝BD．
∴ ．
同理，∠CAE＝30°．
∴∠DAE＝120°．
故选：B．
【变式6-1】如图，等边三角形纸片ABC的边长为9，E，F是边BC上的三等分点，分别
过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
【答案】9
【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为9，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是3×3＝9．
故答案为：9．
【变式 6-2】如图，AB∥CD，△ACE 为等边三角形，∠BAE＝20°，则∠DCE 等于
（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解答】解：过点E作EJ∥CD．
∵△ACE是等边三角形，
∴∠AEC＝60°，
∵AB∥CD，EJ∥CD，
∴AB∥EJ，
∴∠AEJ＝∠BAE＝20°，
∴∠CEJ＝60°﹣20°＝40°，
∴∠DCE＝∠CEJ＝40°，
故选：B．
【变式 6-3】如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则∠1+∠2+∠3 的度数为
（ ）
A．90° B．120° C．180° D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵图中是三个等边三角形，
∴∠1＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB，
∠3＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°，
故选：C．【变式6-4】如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为
BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【解答】解：过P作BC的平行线交AC于F，
∴∠Q＝∠FPD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝PF，
∵AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴AE+DC＝EF+FD，
∴DE＝ AC，
∵AC＝4，
∴DE＝2．
故选：A．
考点7 轴对称变换
【典例7】某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A，B
两个城市之间的距离之和最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项B机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短．
故选：B．
【变式7-1】如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当
△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（ ）A．60° B．70° C．80° D．100°
【答案】C
【解答】解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P 、P ，然后连接两个对称点即
1 2
可得到A、B两点.
∴△PAB即为所求的三角形，
根据对称性知道：
∠APO＝∠AP O，∠BPO＝∠BP O，
1 2
还根据对称性知道：∠P OP ＝2∠MON，OP ＝OP ，
1 2 1 2
而∠MON＝50°，
∴∠P OP ＝100°，
1 2
∴∠AP O＝∠BP O＝40°，
1 2
∴∠APB＝2×40°＝80°．
故选：C．
【变式7-2】如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别
有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（ ）
A．5 B．15 C．20 D．30
【答案】B
【解答】解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于
M，交OB于N，连接PM，PN，则此时△PMN的周长最小，
连接OD，OE，
∵P、D关于OA对称，∴OD＝OP，PM＝DM，
同理OE＝OP，PN＝EN，
∴OD＝OE＝OP＝15，
∵P、D关于OA对称，
∴OA⊥PD，
∵OD＝OP，
∴∠DOA＝∠POA，
同理∠POB＝∠EOB，
∴∠DOE＝2∠AOB＝2×30°＝60°，
∵OD＝OE＝15，
∴△DOE是等边三角形，
∴DE＝15，
即△PMN的周长是PM+MN+PN＝DM+MN+EN＝DE＝15，
故选：B．
【变式7-3】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为
BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．60° B．90° C．100° D．120°
【答案】C
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交
CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．∵DAB＝140°，
∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．
故选：C．
考点8 等腰三角形的综合问题
【典例8】（2020秋•邻水县期末）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、
N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的
速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存
在，请求出此时M、N运动的时间．
【答案】（1）12 s （2）4s （3）16s
【解答】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，x×1+12＝2x，
解得：x＝12；
（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝12﹣2t，
解得t＝4，
∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵ ，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N
运动的时间为16秒．【变式8-1】（2021•香洲区校级模拟）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC
边AB、BC上的动点，点 P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为
1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则
说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交
点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【答案】(1) 60° (2) 秒或第 (3) 120°【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．
∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
又由条件得AP＝BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．
（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t
①当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝ ；
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝ ；
∴当第 秒或第 秒时，△PBQ为直角三角形．
（3）∠CMQ＝120°不变．
∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，
又由条件得BP＝CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC＝∠MQC
又∵∠PCB＝∠MCQ，
∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°
【变式8-2】（2020秋•呼和浩特期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的
一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝ ，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角α形；
（2）当 ＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究α：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形．
α【答案】（1）略 （2） △AOD是直角三角形．
（3）当 ＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形
【解答】证明α：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC， ＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣α∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝ ，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣α∠COD＝360°﹣110°﹣ ﹣60°＝190°﹣ ，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝ ﹣60°， α α
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠αADO＝180°﹣（190°﹣ ）﹣（ ﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣ ＝ ﹣60°， α α
∴ ＝125°． α α
②α当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣ ＝50°，
∴ ＝140°． α
α③当∠ADO＝∠OAD时，
﹣60°＝50°，
α∴ ＝110°．
综α上所述：当 ＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
α
考点7 等边三角形综合问题
【典例9】（2020•雅安）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、
BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD
交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：MN∥AB．
【答案】（1）略 （2）略
【解答】证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，
∵∠DCA＝∠ECB＝60°，
∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
∵ ，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD；
（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，
∴∠CAM＝∠CDN，
∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN＝60°，
在△ACM与△DCN中，
∵ ，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴MC＝NC，
∵∠MCN＝60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC＝∠DCN＝60°，
∴∠NMC＝∠DCA，
∴MN∥AB．
【变式9-1】（2019秋•洛阳期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝
BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：
（1）EF⊥AB；
（2）DE＝2DF．
【答案】(1) 略 (2)略
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD＝ AC，
∵CE＝ BC，
∴CD＝CE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，∴∠E＝∠CDE＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即EF⊥AB；
（2）连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD＝ ABC＝30°，
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．
【变式9-2】（2021•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，
由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度
由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于
D．
（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变
化请说明理由．
【答案】（1） AP＝2 （2）不会变
【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB＝60°，
∵∠BQD＝30°，
∴∠QPC＝90°，
设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，
∴QC＝QB+BC＝6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝ QC，即6﹣x＝ （6+x），解得x＝2，
∴AP＝2；
（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP＝BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，
∴∠APE＝∠BQF，
，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE＝ EF，
∵EB+AE＝BE+BF＝AB，
∴DE＝ AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE＝3，∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．
