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2021-2022 学年北师大版数学八年级下册压轴题专题精选汇编
专题 10 平行四边形
一、选择题
1．（2022八下·）如图所示，□ABCD的面积是12，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，则△BEF的面积为（
）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【完整解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AB=DC，
在△ADC和△CBA中
∴△ADC≌△CBA（SSS）
∴S =S = S =12× =6；
△ADC △CBA 平行四边形ABCD
∵AE=EF=FC
∴S = S = ×6=2.
△BEF △CBA
故答案为：A.
【思路引导】利用平行四边形的对边相等，可证得AD=BC，AB=DC；利用SSS证明△ADC≌△CBA，利用全等三角形的面积相等可求出△ABC的面积；再根据AE=EF=FC，可证得S = S ，代入计算可求解.
△BEF △CBA
2．（2022八下·三角）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点。若OE=3cm，则
AB的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【答案】B
【完整解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，
∵点E是BC的中点，
OE是△ABC的中位线，
∴OE= AB，
∴AB=2OE=2×3=6cm.
故答案为：B.
【思路引导】利用平行四边形的性质可证得OA=OC，利用已知条件可证得OE是△ABC的中位线，再利用三
角形的中位线等于第三边的一半，可求出AB的长.
3．（2022八下·）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOB平移至△DPC的位置，连结
OP，则图中平行四边形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，∵将△AOB平移至△DPC的位置，
∴OA∥PD，OA=PD，
∴OC∥PD，OC=PD，
∴四边形CODP和四边形AOPD是平行四边形；
∵四边形CODP是平行四边形；
∴OD=CP，OD∥CP，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OB∥CP，OB=CP，
∴四边形OBCP是平行四边形；
综上，图中是平行四边形的有4个.
故答案为：D.
【思路引导】根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，结合平移的性质得出OA∥PD，OA=PD，根据平行
四边形的判定定理分别分析，即可判断.
4．（2022八下·）如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交
于点E，F，则图中相等的线段有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】C
【完整解答】解：∵四边形ABCD为中心对称图形，对称中心为点O，
∴AE=FC，AB=CD，BF=ED，AD=BC，OE=OF.
故答案为：C.
【思路引导】由条件得出四边形是平行四边形，O为对称中心，依此找出相等的线段即可.
5．（2022八下·）如图所示，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（）
A．CE∥FG
B．CE=FG
C．A，B两点之间的距离就是线段AB的长
D．直线a，b之间的距离就是线段CD的长
【答案】D
【完整解答】解：A、∵CE⊥b，FG⊥b，∴CE∥FG，正确，不符合题意；
B、∵AB∥CD， CE∥FG，∴四边形FGEC为平行四边形，∴CE=FG，正确，不符合题意；
C、 A，B两点之间的距离就是线段AB的长，正确，不符合题意；
D、∵CD不是a与b之间的垂线段，∴ 直线a，b之间的距离不是是线段CD的长，错误，符合题意；
故答案为：D.
【思路引导】同垂直于一条直线的两直线平行，依此判断A；先证明四边形FGEC为平行四边形，则可得出
CE=FG，从而判断B；连接两点之间的距离为线段的长，依此判断C；两平行线间的垂线段的长度为两平行
线之间的距离，依此判断D.
.
6．（2021八上·肇源期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交
BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°， ，则下列结论：①∠CAD=30° ②
③S =AB•AC ④ ，正确的个数是（ ）
平行四边形ABCDA．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【完整解答】①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①符合题意；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE= AB= ，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，OC= = ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，Rt△OCD中，OD= = ，
∴BD=2OD= ，
故②符合题意；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S▱ABCD=AB•AC，
故③符合题意；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE= AB，
∵AB= BC，
∴OE= BC= AD，
故④符合题意；
正确的有：①②③④，
故答案为：D．
【思路引导】利用平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线求解即可。
7．（2021八下·苏州期末）如图，在 中， ， ， .分别以点
B、D为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN分别与AD、BC相交于点E、F，则
EF的长为（ ）A． B．4 C． D．
【答案】A
【完整解答】解：由作法得 垂直平分 ，
，
连接 交 于 点，过 点作 于 ，连接 ，如图，则 ，
，
四边形 为平行四边形，
， ， ，
，
在 中， ，
，
设 ，则 ， ，在 中， ，解得 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
.
故答案为：A.
【思路引导】利用作图知EF垂直平分BD，利用垂直平分线的性质，可得FB=DF，连接BD交EF于点O，过
点D作DH⊥BC于点H，连接DF，可得OB=OD，EF⊥BD； 利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，AD∥BC，
同时可求出CD的长及∠DCH的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CH的长及DH的长；
设BF=x，可表示出DF，FH的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值及BD的长，即可得
到OB的长；利用勾股定理求出OF的长；然后用ASA证△DOE≌△BOF，利用全等三角形的性质可证得
OE=OF，即可求出EF的长.
8．（2021八下·襄州期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别
是OC，OD，AB的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；②BE⊥AC；③EG=FG；④EA平分
∠GEF。其中正确的是（ ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【完整解答】解：∵E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，
∴ ，EF为△OCD的中位线，
∴ ，EF∥CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴BG∥EF，BG=EF，
∴四边形BEFG为平行四边形，
故①符合题意；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ，AD=BC，
∵BD=2AD，
∴OB=BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥AC，
故②符合题意；
∵G为Rt△ABE斜边上的中点，∴ ，
∴EG=EF，
但无法证明EG=FG，
故③不符合题意；
∵EF∥CD∥AB，
∴∠FEA=∠BAC，
∵AG=GE，
∴∠GAE=∠GEA，
∴∠GEA=∠AEF，
∴EA平分∠GEF，
故④符合题意；
故答案为：C.
【思路引导】根据中位线定理结合平行四边形的判定与性质即可判断①；依据平行四边形的性质结合等腰
三角形的性质即可判断②；依据直角三角形的性质即可判断③；根据平行线的性质结合等腰三角形的性质
即可判断④.
9．（2021八下·垦利期末）如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的
延长线交于点E，连接AC、BE、DO，且DO与AC交于点F．则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝
∠BAE；③AF∶AD＝2∶5；④S AFOE∶SCOD＝2∶3．其中结论正确的有（ ）
四边形 △
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【完整解答】解：如图， 四边形 是平行四边形，
， ，
垂直平分 ，， ，
，
，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形，故①符合题意；
， ，
，
，故②符合题意；
，
，
，
故③不符合题意．
设 的面积为 ，则 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积
的面积 ，
四边形 的面积为 ， 的面积为 ，
．故④符合题意，
故答案为：B．
【思路引导】根据菱形的判定、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边上的中线性质逐一判断即可。
10．（2021八下·柯桥期末）如图，正方形 的边 ， 上各有一个点 ， ，连
结 ，且 ，点 ， ， 分别在 ， ， 边上，连结 ，
， ， ，其中 与 相交于点 ， ，为求出平行四边形 的面积，只需知道下列哪条边的长度（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：设
四边形ABCD为正方形
，
四边形EFGH是平行四边形
HG=EF，
，
在 和 中
，
同理可证明
S =S ，S =S
△BGH △DEF △AGF △CEH即
S =
平行四边形EFGH
故答案为：D.
【思路引导】设AG=b，IJ=AI=a，由平行四边形的性质可得HG=EF，∠JGH=∠FEH，由等角的余角相等可得
∠IGJ=∠HEC，然后证明△BGH≌△DEF，得到BG=DE=AI=IJ=a，同理可证明△AGF≌△CEH，得到
S =S ，S =S ，由平行线分线段成比例的性质可得AF= ，据此解答.
△BGH △DEF △AGF △CEH
二、填空题
11．（2022八下·）如图，在□ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落
在CD上的点F处。若△FDE的周长为9，△FCB的周长为23，则 □ ABCD的周长为 。
【答案】32
【完整解答】解：∵以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，
∴AE=EF，AB=FC=CD，AD=BC，
∵△FDE的周长为9，△FCB的周长为23，
∴DF+DE+EF=9，FC+CB+BF=23，
∴DF+DE+AE=9即AD+DF=9，FC+CD+BC=23，
∴AD+DF+FC+CD+BC=23+9=32即AD+DC+CD+BC=32，
∴2DC+2BC=32
∴□ABCD的周长为32.
故答案为：32.【思路引导】利用折叠的性质可证得AE=EF，AB=FC=CD，AD=BC，再利用两个三角形的周长可推出
AD+DF=9，FC+CD+BC=23，将两式相加，可求出2DC+2BC的值，即可得到平行四边形ABCD的面积.
12．（2022八下·）如图所示，□ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，点E是BC的中
点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为 。
【答案】4 cm
【完整解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为13cm，
∴2（AB+BC）=26，AD=BC，OB=OD
∴AB+BC=13①；
∵平行四边形ABCD的周长为13cm，
∴2（AB+BC）=26，AD=BC，OB=OD
∴AB+BC=13①；
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴AD+OA+OD=AB+BO+AO=3，
∴AD+OA+OD=AB+BO+AO=3，
∴AD-AB=3即BC-AB=3②
由①②得
∵CA⊥AB，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，点E是BC的中点，
∴ .
故答案为：4cm.【思路引导】 利用平行四边形的性质和结合已知条件，可证得AD=BC，OB=OD，同时可求出AB+CB的长；
再利用△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，可求出BC-AB的长，由此可求出BC的长；然后利用三角形的斜
边上的中线等于斜边的一半，可求出AE的长.
13．（2022八下·）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是
。
【答案】30°
【完整解答】解：如图，
∵∠1+∠2+70°+140°+120°=（5-2）×180°，
∴∠1+∠2=210°
∵平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，
∴∠2+120°=180°，∠1+α=180°，
∴∠2+120°+∠1+α=360°，
∴α=30°.
故答案为：30°.
【思路引导】利用五边形的内角和定理，可求出∠1+∠2的度数，利用平行线的性质可求出∠2的度数；再
根据平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，利用邻补角和为180°，可求出α的值.
14．（2022八下·）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的
中点。若AC+BD=24cm，△OAB的周长是20cm，则EF= cm。【答案】4
【完整解答】解：∵平行四边形ABCD，
AO= AC，BO= OB，
∵AC+BD=24，
∴AO+BO=12；
∵△AOB的周长为20，
∴AB+AO+BO=20，
∴AB=8；
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△AOB的中位线，
∴EF= AB= ×8=4.
故答案为：4.
【思路引导】利用平行四边形的对角线互相平分，可求出AO+BO的值；再利用△OAB的周长为20，可求出
AB的长；然后利用三角形的中位线定理可求出EF的长.
15．（2022八下·三角）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AD，AB，C BC，CD的中点。
（1）四边形EFGH的形状是 ;（2）若对角线AC⊥BD，垂足为点O，AC=8，BD=6，则四边形EFGH的周长为 。
【答案】（1）平行四边形
（2）14
【完整解答】解：（1）点E，F，G，H分别为边AD，AB，C BC，CD的中点，
∴HE是△ADC的中位线，GF是△ABC的中位线，
∴HE= AC，GF= AC，HE∥AC，GF∥AC，
∴HE∥GF，HE=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形.
故答案为：平行四边形.
（2）∵HE∥GF∥AC
∵AC⊥BD，
∴BD⊥HE，
同理可证BD⊥EF，
∴HE⊥EF，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∵∴HE= AC=4，GH= BD=3，
∴四边形EFGH的周长为2（HE+GH）=2（4+3）=14.
故答案为：14.
【思路引导】（1）利用已知条件可证得HE是△ADC的中位线，GF是△ABC的中位线，利用三角形的中位
线定理可证得HE∥GF，HE=GF，再利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得四边形EFGH是矩形；再利用三角形的中位线定理
可求出HE，GH的长，然后求出此矩形的周长.
16．（2021八下·长沙开学考）如图，矩形纸片ABDC中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD
上的B′处，折痕为AE.如果在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此时PB＝
.【答案】
【完整解答】解：根据折叠的性质知：PB＝PB′，若点P到CD的距离等于PB，则该垂线段必为PB′，故
有PB′⊥CD，由题意知：如图所示，连接AD，BB′
由折叠的性质可知AB＝AB′＝3，BE=B′E，
∴∠EBB′=∠EB′B，
∵PB=PB'，
∴∠PBB′=∠PB′B，
∴∠EBP=∠EB′P，
∵四边形ABDC是矩形，
∴BD⊥CD，∠C=∠BDC=∠ABD=90°，CD=AB=3，AC=BD
∴BD∥B′P，
∴∠EB'P=∠DEB′，
∴∠DEB′=∠EBP，
∴BP∥B′E，
∴四边形PB′EB是平行四边形，
∴
在直角三角形ABD中 ，
∴ ，在直角三角形ACB'中 ，
∴ ，
设 ，则 ，
在直角三角形DEB'中 ，
∴
解得：
PB＝ ，
故答案为： .
【思路引导】根据折叠的性质知：PB＝PB′，由题意可得PB′⊥CD，连接AD，BB′，则AB＝AB′＝3，
BE=B′E，∠EBB′=∠EB′B，根据等腰三角形的性质可得∠PBB′=∠PB′B，得到∠EBP=∠EB′P，由矩形
的性质可得BD⊥CD，∠C=∠BDC=∠ABD=90°，CD=AB=3，AC=BD，根据平行线的性质可得∠EB'P=∠DEB′，
∠DEB′=∠EBP，推出BP∥B′E，得到四边形PB′EB是平行四边形，由勾股定理求出B'D，CB'，进而得到
DB'，设PB=BE=B′E=x，则DE= -x，由勾股定理求出x，据此可得PB.
17．（2021八下·江岸期末）如图，在 中， ， ， 平分
交 于点 . 为直线 上一动点.以 、 为邻边构造平行四边形
，连接 ，若 .则 的最小值为 .【答案】
【完整解答】解：过点Q作QR//AB，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，如图，
∵ ，
∴∠ACM=30°
∵AC=4
∴AM=2
由勾股定理得，CM=
∵
∴∠MCB=45°
∴
∵ 平分
∴设MN=x，则AN=2+x
在 中，
∴
由勾股定理得，
∴
∴
又在 中，
∴
解得，
∴DN=2
设O为平行四边形DPQB的中心，
∴O在PB上，
过点Q作QT⊥PB于点T，
∵QO=DO，∠TOQ=∠DON，∠QTO=∠DNO
∴
∴QT=DN=2
根据垂线段最短可知，当CQ⊥QR时，CQ最短，此时CQ=CM+QT=
故答案为：
【思路引导】过点Q作QR//AB，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，求出
，设MN=x，则AN=2+x，根据DN的长列出方程，求出x值，设O为平行四边形DPQB的中
心，可得O在PB上，过点Q作QT⊥PB于点T， 证明 ，可得QT=DN=2，根据垂线段最短可知，当CQ⊥QR时，CQ最短，此时CQ=CM+QT，据此求出结论即可.
18．（2021八下·南充期末）如图，▱ABCD中，AC，BD交于O，AE平分∠BAD，EC＝CD＝1，∠ECD＝
2∠CDA.下列结论：①AC平分∠EAD；②OE＝ AD；③BD＝ ；④S▱ABCD＝ .正确的有
个.
【答案】4
【完整解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC AD，
∴∠BCD＋∠CDA＝180°，
∵∠ECD＝2∠CDA，
∴∠CDA＝∠ABC＝60°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，∠AEB＝60°，
∵EC＝CD＝AB，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠CAD＝∠ECA，
故①正确，
（2）由（1）可知，BE＝CE，BC＝2AB，
∵OA＝OC，
∴OE＝ ，
故②正确；
（3）由（1）可知AB＝1，BC＝2，∠EAC＝∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，
∴AC＝ ，
∴OB＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝2OB＝ ，
故③正确；
（4）由（3）可知，S ＝2S ＝AB•AC＝ .
平行四边形ABCD △ABC
故④正确.
故答案为：4.
【思路引导】利用平行四边形的性质及平行线的性质可证得∠CDA＝∠ABC＝60°，再利用角平分线的定义
可证得∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，可推出AB=BE，由可得到△ABE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得
到AB＝BE＝AE，∠AEB＝60°，即可得到AE=CE，利用等腰三角形的性质及平行线的性质，可证得∠EAC＝
∠CAD＝∠ECA，可对①作出判断；由（1）可知，BE＝CE，BC＝2AB，利用OA=OC，可得到OE与AD的数量
关系，可对②作出判断；由（1）可知AB＝1，BC＝2，∠EAC＝∠CAD＝30°，可求出AC的长，利用勾股定
理求出OB的长，根据BD=2OB，可求出BD的长，可对③作出判断；根据S ＝2S ＝AB•AC，代入
平行四边形ABCD △ABC
计算，可求出平行四边形ABCD的面积，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
19．（2020八上·肇源期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB丁点
E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列四个结论：①∠ACD=30°；② ；
③ =AC·AD；④OE：OA=1： √3 其中结论正确的序号是 ．（把所有正确结论
的序号都选上）
【答案】①②③④【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵CE平分∠BCD交AB于点E，
∴∠DCE=∠BCE=60°
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=CE，
∵AB=2BC，
∴AE=BC=CE，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CAB=30°，故①符合题意；
∵AC⊥BC，
∴ =AC·AD，故③符合题意，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴AC= BC，
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE= BC，OA= BC，
∴OE：OA= = ，
故④符合题意；
∵AE=BE，∴S△AOE=S△OBE，故②符合题意；
答案为：①②③④
【思路引导】由四边形ABCD是平行四边形，得出∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义，
得出推出三角形CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，得到①是正确的；由
AC⊥BC，得出 =AC·AD，故③符合题意；根据直角三角形的性质得出AC= BC，根据三角形的中位线的性质得出OE= BC，OA= BC，故④符合题意；因为AE=BE，得出S△AOE=S△OBE，
故②符合题意。
三、解答题
20．（2022八下·）如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且
∠AEB=∠CFD=90°。
求证：四边形AECF是平行四边形。
【答案】证明：∵∠AEB=∠CFD=90°，
∴AE∥CF，
在 ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∠ABE=∠CDF，
△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形。
【思路引导】利用内错角相等，两直线平行，可证得∠ABE=∠CDF；再利用AAS证明△ABE≌△CDF，利用全
等三角形的对应边相等，可证得AE=CF，再根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结
论.
21．（2022八下·）如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE，分别交
BC，BD于点F，G，连结AC交BD于点O，连结OF。
求证：AB=2OF。【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，
∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF
又∵CE=DC，∴AB=EC
在△ABF和△ECF中，
{∠BAF=∠CEF
∵ AB=EC
∠ABF=∠ECF
∴△ABF≌△ECF（ASA），∴BF=CF
又∵OA=OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB=2OF
【思路引导】利用平行线的性质可推出AB=CD，AB∥CD，OA=OC，可推出∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF，再利
用ASA证明△ABF≌△ECF，利用全等三角形的对应边相等可证得BF=CF，由此可得到OF是三角形的中位线，
利用三角形的中位线定理可证得结论.
22．（2021八上·如皋期末）如图，在四边形ABCD中， ，AB = 2CD，E为AB的中点，请仅用
无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留作图痕）
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线;
（2）在图2中，若BA = BD，画出△ABD的∠ABD的角平分线.
【答案】（1）解：如图， 即为所求作的 中 上的中线，（2）解：如图， 是所求作的 中∠ABD的角平分线，
【思路引导】（1）连接CE交BD于点P，利用平行四边形的判定与性质可知，连接AP即可；
（2）连接ED交AP于点O，连接BO并延长，交AD于点N，利用三角形的重心及等腰三角形的性质可知，
BN为∠ABD的平分线.
23．（2021八下·相城期末）如图是由边长为 的小正方形组成的网格，点 、 均在格点上，请
回答下列问题.
（1）直接写出 的长度为 ；
（2）①在格点上找一点 ，连接 ，使 ；
②利用格点，画线段 的中点 ；
③在格点上找一点 ，连接 ，使 .【答案】（1）
（2）解：如图，线段BC、点D、线段DE即为所求.
【完整解答】解：（1）AB= ；
【思路引导】（1）利用勾股定理计算即可.（2）①取格点C，连接BC即可.取格点P，Q，②连接PQ交AB
于点D，点D即为所求.③连接AC，取AC的中点E，连接DE，线段DE即为所求.
24．（2022八下·）如图，在□ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F。
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）若∠1=70°，求∠B的大小。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，
∠1=∠BCE.
AF∥CE
∠AFB=∠BCE
∠AFB=∠1
在△ABE和△CDE中， ，
△ABE≌△CDE（AAS）.
（2）解：由（1）得∠1=∠BCE.CE平分∠BCD，
∠DCE=∠BCE
∠1=∠DCE=70°，
∠B=∠D=180°-2×70°=40°.
【思路引导】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∠1=∠BCE，
∠AFB=∠BCE，由此可推出∠AFB=∠1；再利用AAS可证得结论.
（2）利用角平分线的性质可证得∠DCE=∠BCE，由此可求出∠DCE的度数；再利用三角形的内角和为
180°，可求出∠B的度数.
25．（2022八下·）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连结EB并延长至点F，使
BF=BE，连结EC并延长至点G，使CG=CE，连结FG.H为FG的中点，连结DH，AF。
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB=CE，∠EBC=75°，∠DCE=10°，求∠DAB的度数。
【答案】（1）证明：∵BF=BE，CG=CE
∴BC为△FEG的中位线，
∴BC∥FG，BC= FG
又∵H是FG的中点，
FH= FG，
∴BC=FH.
四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD∥FH，AD=FH，
∴四边形AFHD是平行四边形.（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB.
∵CE=CB，
∴∠BEC=∠EBC=75°，
∴∠BCE=180°-75°-75°=30°，
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°，
∴∠DAB=40°
【思路引导】（1）利用三角形的中位线定理可证得BC∥FG，BC= FG，利用线段中点的定义可得到FH=
FG，由此可推出BC=FH；利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，AD=BC，由此可推出AD∥FH，AD=FH；然后
利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用平行四边形的性质可证得∠DAB=∠DCB，利用等边对等角可求出∠BEC的度数；再利用三角形的
内角和定理可求出∠BCE的度数；再根据∠DCB=∠DCE+∠BCE，代入计算可求出∠DCB的度数，即可得到
∠DAB的度数.
26．（2022八下·）已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在
BD上，且AE=CF，BG= DH。
（1）若AC=6，BD=8，试求AD的取值范围；
（2）若AC=AD，∠CAD=50°，试求∠ABC的度数；
（3）求证：四边形EHFG是平行四边形。
【答案】（1）解： 四边形ABCD是平行四边形，
OA= AC=3，OD= BD=4，
1＜AD＜7
（2）解： CA=AD， ∠CAD=50°，∠ADC=∠ACD= （180°-50°）=65°，
四边形ABCD是平行四边形，
∠ABC=∠ADC=65°.
（3）证明： 四边形ABCD是平行四边形，
OA=OC，OB=OD.
AE=CF，BG=DH，
OE=OF，OG=OH，
四边形EHFG是平行四边形.
【思路引导】（1）利用平行四边形的对角线互相平分，可求出OA，OD的长；再利用三角形的三边关系定
理可得到AD的取值范围.
（2）利用等腰三角形的性质及三角形的内角和为180°，可求出∠ADC的度数，利用平行四边形的对角相
等，可求出∠ABC的度数.
（3）利用平行四边形的对角线互相平分，可证得OA=OC，OB=OD，结合已知条件可证得OE=OF，OG=OH；再
利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论.
27．（2022八下·）
（1）如图，四边形ABCD是李爷爷家的一块平行四边形田地，P为水井，现要把这块田地平均分给他的
两个儿子，为了方便用水，要求两个儿子分到的地都与水井相邻，请你来设计一下，并说明你的理由。
（2）规律总结：回顾第13题和第14题第（1）问发现：能够平分平行四边形面积与周长的直线有
条，它们的共同特点是经过 的交点。
【答案】（1）解：如图，连结AC，BD，AC与BD交于点O，过点O，P作直线分别交BC，AD于点E，F，则
线段EF分割的这两块田地符合要求。
（2）无数；对角线【思路引导】(1)连结AC，BD，AC与BD交于点O，过点O，P作直线分别交BC，AD于点E，F，利用平行四
边形是中心对称图形， 得出分割出的六个三角形面积有三对分别相等，则线段EF分割的这两块田地符合
要求；
(2)由于平行四边形是中心对称图形，对称中心是平行四边形的对角线的交点，根据中心对称图形的性质
或全等三角形的性质，即可说明.
28．用反证法证明下列问题。
如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O。
求证：BD和CE不可能互相平分。
【答案】证明：连结DE假设BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD.
∵在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，
∴AC不可能平行于AB，与BE∥CD矛盾，故假设不成立，原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分。
【思路引导】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从
而证明问题的一种方法，先连结DE，则先假设BD和CE互相平分，利用平行四边形的判定定理，结合平行
线的定义，即可证明.
29．（2019八上·同安期中）如图，△ABC是边长为10的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动
（与A、C不重合）．
（Ⅰ）如图1，若点Q是BC边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向B运动（与C、B不重合）．求
证：BP＝AQ；
（Ⅱ）如图2，若Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，
求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）证明：如图1中， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，
∠BAP＝∠ACQ＝60°， ∵AP＝CQ， ∴△BAP≌△ACQ（SAS）， ∴BP＝AQ． （Ⅱ）解：当点P、Q运动时，
线段DE的长度不会改变．理由如下： 作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E， ∴∠DFQ＝∠AEP＝90°， ∵点P、Q速度相同， ∴AP＝
BQ， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°， 在△APE和△BQF中， ∵∠AEP＝∠BFQ＝
90°， ∴∠APE＝∠BQF， ∴在△APE和△BQF中， ， ∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF， ∴四边形PEQF是平行四边形， ∴DE＝ EF， ∵EB+AE＝BE+BF＝AB，
∴DE＝ AB， 又∵等边△ABC的边长为10， ∴DE＝5， ∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【思路引导】（Ⅰ）证明△BAP≌△ACQ（SAS）即可解决问题．（Ⅱ）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点
F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP＝BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平
行四边形，进而可得出EB+AE＝BE+BF＝AB，DE＝ AB，由等边△ABC的边长为10可得出DE＝5，故当点
P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
