文档内容
专题1.3 勾股定理应用（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1.利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。
2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．
【知识点梳理】
考点 1 勾股定理应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直
角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不
加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 本专题分类进行巩固
解决以下生活实际问题
类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
类型二、应用勾股定理解决旗杆高度
类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
类型六、应用勾股定理解决航海问题
类型七、应用勾股定理解决河的宽度
类型八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题
类型九、应用勾股定理解决汽车是否超速问题
类型十、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
类型十一、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
类型十二、应用勾股定理解决选扯距离相离问题
考点2 平面展开图-最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直
角三角形，利用勾股定理求解 。
【典例分析】
【考点1 勾股数应用】
类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
【典例1】（2021秋•农安县期末）如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直
的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．
（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长．
（2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．【变式1-1】如图，一架云梯 长 米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面
米．
（1）这个梯子底端离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了 米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了 米吗？
【变式1-2】如图，梯子AB斜靠在竖直的墙AO上，AO为2.4m，OB为0.7m．
（1）求梯子AB的长；
（2）梯子的顶端A沿墙下滑0.4m到点C，梯子底端B外移到点D，求BD的长．
类型二、应用勾股定理解决旗杆高度
【典例2】八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂
到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．你能将旗杆
的高度求出来吗？【变式2-1】如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多
出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图
2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．
【变式2-2】数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗
用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根
据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？
类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
【典例3】（2020秋•亭湖区校级期中）如图，有两棵树，一棵高 12米，另一棵高6米，
两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米．【变式3-1】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一
( )
棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
【变式3-2】如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？
（先画出示意图，然后再求解）．
类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
【典例4】如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部
落在离树根8米处，即BC＝8，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？
【变式4-1】由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，
( )
则这棵树在折断前（不包括树根）长度是A．8m B．10m C．16m D．18m
【变式4-2】（2021秋•广南县期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹
子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离 AB是4米．求竹子折断
处与根部的距离CB．
类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
【典例5】（2021秋•禅城区期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央
有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边
的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【变式 5-1】（2020秋•犍为县期末）如图，将一根长 24cm的筷子，置于底面直径为
5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为 hcm，则h的取值范
围是（ ）
A．5≤h≤12 B．12≤h≤19 C．11≤h≤12 D．12≤h≤13【变式5-2】小芳在喝易拉罐饮料的时候，发现如果沿着罐内壁 竖直放置吸管，露在外
面部分 厘米；如果尽最大长度往里放置，吸管正好和罐顶持平，已知易拉罐的底
部是直径 为8厘米的圆，请你求出吸管的长度.
类型六、应用勾股定理解决航海问题
【典例6】在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮
目标A、B．接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O（如图所示）向北偏
东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，
已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？
【变式6-1】如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出
发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇
水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走
的？并说明理由．【变式6-2】如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东40°方向
航行，乙船沿南偏东50°方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B
两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？
类型七、应用勾股定理解决河的宽度
【典例7】在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝
AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一
个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝
1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．【变式7-1】如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，
其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，
决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路CH，测得CB
＝ 千米，CH＝3千米，HB＝2千米．
（1）CH是不是从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA短多少千米？
【变式7-2】如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设
供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，
BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．类型八、应用勾股定理解决汽车是否超速问题
【典例8】“某市道路交通管理条例“规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千
米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车
速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车
速检测仪间的距离AB为40米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？
【变式8-1】《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过 70千
米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测
仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距
离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
类型九、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
【典例9】如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所
学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆
形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重
型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．
（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．【变式9-1】为了抗旱保收，某市准备开采地下水，经探测，C处地下有水，为此C处需要
爆破，已知C处与公路上的停靠站A的距离为300m，与公路上的另一停靠站B的距离
为400m，AB的距离为500m，如图所示，为了安全，爆破点C周围250m的范围内禁止
进入，在进行爆破时，公路AB段某部分是否有危险而需要暂时封锁？
【变式9-2】今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范
围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向 AB由A向B移动，已知
点C为一海港，且点 C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝
800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？类型十、应用勾股定理解决选扯距离相离问题
【典例10】如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝
8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间
建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．
【变式10-1】 铁路上A,B两站（视为直线上的两点）相距50km，C,D为两村庄（视为两个
点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km,CB=10km,现在要在铁路AB上
建一个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的
位置，并计算出收购站E到A站的距离.
【变式10-2】某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的 ， 两站之间 点修建
一个土特产加工基地，使 点到 ， 两村的距离相等．如图， 于点 ，
于点 ， ， ，土特产加工基地 应建在距离 站多少
千米的地方？【考点 2 平面展开图-最短路径问题】
类型一、圆柱形展开
【典例11】（2020春•河北期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的
高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容
器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，
则该圆柱底面周长为（ ）
A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm
类型二、几何展开
【典例12】（2021春•望城区期末）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，
点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，则蚂蚁爬行的
最短距离是 cm．
【变式12-1】（2020春•兴宁区校级期末）如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点
B的最短路径是（ ）
A．9 B．3 +6 C．2 D．12
类型三、楼梯展开
【典例13】（2020秋•万荣县期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别
为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到
点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）
A． dm B．20dm C．25dm D．35dm
【变式13-1】如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，
A、B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁
沿台阶面爬行到B点最短路程是多少米？专题1.3 勾股定理应用（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1.利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。
2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．
【知识点梳理】
考点 1 勾股定理应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直
角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不
加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 本专题分类进行巩固
解决以下生活实际问题
类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
类型二、应用勾股定理解决旗杆高度
类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题类型六、应用勾股定理解决航海问题
类型七、应用勾股定理解决河的宽度
类型八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题
类型九、应用勾股定理解决汽车是否超速问题
类型十、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
类型十一、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
类型十二、应用勾股定理解决选扯距离相离问题
考点2 平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直
角三角形，利用勾股定理求解 。
【典例分析】
【考点1 勾股数应用】
类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
【典例1】（2021秋•农安县期末）如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直
的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．
（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长．
（2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．【答案】（1） 4米 （2）1米
【解答】解：（1）AO＝ ＝4米；
（2）OD＝ ＝4米，BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1米．
【变式1-1】如图，一架云梯 长 米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面
米．
（1）这个梯子底端离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了 米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了 米吗？
【解答】解：（1）由题意得此时a=24米，c=25米，根据a2+b2=c2，
∴b=7米；
（2）不是．设滑动后梯子的底端到墙的距离为b米，
得方程，b2+（24-4）2=252，
解得b=15，
所以梯子向后滑动了8米．
综合得：如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向不是滑4米．
【变式1-2】如图，梯子AB斜靠在竖直的墙AO上，AO为2.4m，OB为0.7m．
（1）求梯子AB的长；
（2）梯子的顶端A沿墙下滑0.4m到点C，梯子底端B外移到点D，求BD的长．【解答】解：（1）∵AO为2.4m，OB为0.7m，
∴AB＝ ＝2.5（m），
答：梯子AB的长为2.5m；
（2）在Rt△COD中，
CD2＝CO2+OD2，
即DO＝ ＝3（m），
故BD＝OD﹣OB＝3﹣0.7＝2.3（m），
答：BD的长为2.3m．
类型二、应用勾股定理解决旗杆高度
【典例2】八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂
到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．你能将旗杆
的高度求出来吗？
【解答】本题考查了勾股定理的实际应用，由题可以知道,旗杆,绳子与地面构成直角三角形,根据题中数据,用勾股定理即可解答.
设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，
∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，
由题意列式为x2+52=（x+1）2，
解得x=12m，
所以旗杆的高度为12米．
【变式2-1】如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多
出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为 1米，再将绳子拉直（如
图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．
【解答】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，
解得，x＝12．
答：旗杆的高度为12米．
【变式2-2】数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗
用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根
据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？
【解答】解：设旗杆高AB=xm，则绳子长为AC=(x+2)m.
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，
所以x2+82=(x+2)2.
解得x=15m.
所以旗杆的高度为15米．
类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
【典例3】（2020秋•亭湖区校级期中）如图，有两棵树，一棵高 12米，另一棵高6米，
两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米．
【解答】解：如图，设大树高为AB＝12m，
小树高为CD＝6m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝CD＝6m，EC＝BD＝8m，AE＝AB﹣EB＝12﹣6＝6m，
在Rt△AEC中，AC＝ ＝ ＝10m，
故小鸟至少飞行10m．
【变式3-1】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一
( )
棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米【答案】B
【解答】解：如图，设大树高为AB10m，
小树高为CD4m，
过C点作CE AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC ，
EB4m，EC 8m，AE ABEB1046m，
在RtAEC中，AC AE2 EC2 10m，
故选：B
【变式3-2】如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？
（先画出示意图，然后再求解）．
【解答】解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E
∵AB=13，CD=8
又∵BE=CD，DE=BC
∴AE=AB-BE=AB-CD=13-8=5
∴在Rt△ADE中，DE=BC=12
∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169
∴AD=13（负值舍去）
答：小鸟飞行的最短路程为13m．类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
【典例4】如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部
落在离树根8米处，即BC＝8，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？
【解答】解：∵AC+AB＝16米，
∴AB＝（16﹣AC）米，
∵BC＝8米，∠ACB＝90°，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+82＝（16﹣AC）2，
解得AC＝6，
即这棵树在离地面6米处被折断．
【变式4-1】由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，
( )
则这棵树在折断前（不包括树根）长度是
A．8m B．10m C．16m D．18m
【答案】C
【解答】解：由题意得BC 8m，AC 6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB 62 82 10米．
所以大树的高度是10616米．
故选：C．【变式4-2】（2021秋•广南县期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹
子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离 AB是4米．求竹子折断
处与根部的距离CB．
【答案】3米
【解答】解：由题意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，
∴设BC长为x米，则AC长为（8﹣x）米，
∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，
即：x2+16＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
【典例5】（2021秋•禅城区期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央
有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边
的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【答案】C
【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
【变式 5-1】（2020秋•犍为县期末）如图，将一根长 24cm的筷子，置于底面直径为
5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为 hcm，则h的取值范
围是（ ）
A．5≤h≤12 B．12≤h≤19 C．11≤h≤12 D．12≤h≤13
【答案】C
【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：AB＝ ＝ ＝13cm，
故h＝24﹣13＝11cm．
【变式5-2】小芳在喝易拉罐饮料的时候，发现如果沿着罐内壁 竖直放置吸管，露在外
面部分 厘米；如果尽最大长度往里放置，吸管正好和罐顶持平，已知易拉罐的底
部是直径 为8厘米的圆，请你求出吸管的长度.
【解答】解：设吸管长度为x,则易拉罐高BC为x-2,
在 中，由勾股定理可得：即：
解得：
即吸管的长度为17厘米.
类型六、应用勾股定理解决航海问题
【典例6】在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮
目标A、B．接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O（如图所示）向北偏
东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，
已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？
【解答】解：由题意得，
OB＝12×1.5＝18海里，
OA＝16×1.5＝24海里，
又∵AB＝30海里，
∵182+242＝302，即OB2+OA2＝AB2
∴∠AOB＝90°，
∵∠DOA＝40°，
∴∠BOD＝50°，
则另一艘舰艇的航行方向是北偏西50°．
【变式6-1】如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出
发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇
水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走
的？并说明理由．【解答】解：∵AB＝60 m，BC＝80 m，AC＝100 m，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴AD∥NM，
∴∠NBA＝∠BAD＝30°，
∴∠MBC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
【变式6-2】如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东40°方向
航行，乙船沿南偏东50°方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B
两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？【解答】解：∵甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，
∴∠CAB＝90°，
∵AB＝16×3＝48，BC＝60，
∴AC＝ ＝36，
∴乙船的航速是36÷3＝12海里/时，
答：乙船的航速是36÷3＝12海里/时．
类型七、应用勾股定理解决河的宽度
【典例7】在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝
AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一
个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝
1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
【解答】解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，
BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴△CHB是直角三角形，∴CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
答：原来的路线AC的长为1.25千米．
【变式7-1】如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，
其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，
决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路CH，测得CB
＝ 千米，CH＝3千米，HB＝2千米．
（1）CH是不是从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA短多少千米？
【解答】解：（1）CH是从村庄C到河边的最近路．
理由如下：
∵CB＝ 千米，CH＝3千米，HB＝2千米，
∴CB2＝CH2+HB2，
∴△BCH为直角三角形，∠BHC＝90°，∴CH⊥AB，
∴CH为C点到AB的最短路线；
（2）设AC＝xkm，则AB＝xkm，AH＝（x﹣2）km，
在Rt△ACH中，（x﹣2）2+32＝x2，解得x＝ ，
即AC＝ km，
∵AC﹣CH＝ ﹣3＝0.25（km），
答：新路CH比原路CA少0.25千米．
【变式7-2】如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设
供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，
BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．
【解答】解：（1）在Rt△MNB中，BN＝ ＝ ＝90（m），
∴AN＝AB﹣BN＝250﹣90＝160（m），
在Rt△AMN中，AM＝ ＝ ＝200（m），
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝200+150＝350（m）；
（2）∵AB＝250m，AM＝200m，BM＝150m，
∴AB2＝BM2+AM2，
∴△ABM是直角三角形，
∴BM⊥AC，
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150m．类型八、应用勾股定理解决汽车是否超速问题
【典例8】“某市道路交通管理条例“规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千
米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车
速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车
速检测仪间的距离AB为40米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？
【解答】解：根据题意，得AC＝24m，AB＝40m，∠C＝90°，
在Rt△ACB中，根据勾股定理，BC2＝AB2﹣AC2＝402﹣242＝322，
所以BC＝32m，
小汽车1.5秒行驶32米，则1小时行驶76800（米），
即小汽车行驶速度为76.8千米/时，因为 76.8＞60，
所以小汽车已超速行驶．
【变式8-1】《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过 70千
米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测
仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距
离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
【解答】解：∵∠ACB＝90°
∴由勾股定理可得：BC＝ ＝40，
40米＝0.04千米，
2秒＝ 小时．
0.04÷ ＝72＞70．所以超速了．
类型九、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
【典例9】如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所
学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆
形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重
型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．
（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥ON于H，
∵∠O＝30°，OA＝80米，
∴AH＝ OA＝40米，
∴卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米；
（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，
由（1）知AH＝40米，
∴CH＝ ＝ ＝30（米），
∴CN＝2CH＝60（米），∴t＝60÷5＝12（秒），
∴卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间为12秒．
【变式9-1】为了抗旱保收，某市准备开采地下水，经探测，C处地下有水，为此C处需要
爆破，已知C处与公路上的停靠站A的距离为300m，与公路上的另一停靠站B的距离
为400m，AB的距离为500m，如图所示，为了安全，爆破点C周围250m的范围内禁止
进入，在进行爆破时，公路AB段某部分是否有危险而需要暂时封锁？
【解答】解：根据题意得，AC＝300m，BC＝400m，AB＝500m，
∵AC2+BC2＝3002+4002＝5002＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
如图，过C作CD⊥AB于D，
∵S△ABC ＝ AB•CD＝ BC•AC，
∴CD＝240米．
∵240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
【变式9-2】今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范
围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向 AB由A向B移动，已知
点C为一海港，且点 C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝
800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【解答】解：（1）∵AC＝600km，BC＝800km，AB＝1000km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴600×800＝1000×CD，
∴CD＝480（km），
∵以台风中心为圆心周围500km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝500km，FC＝500km时，正好影响C港口，
∵ED＝ ＝140（km），
∴EF＝280km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴280÷28＝10（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为10小时．
类型十、应用勾股定理解决选扯距离相离问题【典例10】如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝
8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间
建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．
【解答】解：设CE＝x，则DE＝20﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2＝82+x2，
在Rt△BDE中，BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：AE＝BE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E应建在距C点13.3km，
即CE＝13.3km．
【变式10-1】 铁路上A,B两站（视为直线上的两点）相距50km，C,D为两村庄（视为两个
点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km,CB=10km,现在要在铁路AB上
建一个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的
位置，并计算出收购站E到A站的距离.
【解答】解：连接CD,并作线段CD的垂直平分线,垂直平分线到端点距离相等，再利用
勾股定理求EA长.连接DE,CE ，设AE=x km, 则BE=(50-x) km ,
在Rt△ADE中, ,
∴ ,
在Rt△BCE中, ,
∴ ,
又DE=CE, ∴ ,
解得x=22 .
∴收购站E到A站的距离为22km.
【变式10-2】某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的 ， 两站之间 点修建
一个土特产加工基地，使 点到 ， 两村的距离相等．如图， 于点 ，
于点 ， ， ，土特产加工基地 应建在距离 站多少
千米的地方？【解答】解：设 ，则 ．
在 中， ，
在 中， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
答：土特产加工基地 应建在距离 站10千米的地方．
【考点 2 平面展开图-最短路径问题】
类型一、圆柱形展开
【典例11】（2020春•河北期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的
高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容
器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，
则该圆柱底面周长为（ ）
A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm
【答案】D
【解答】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于EG的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为
AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE＝A'E＝DG＝4cm，
∴BD＝16cm，
Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝ ＝12cm，
∴则该圆柱底面周长为24cm．
故选：D．
类型二、几何展开
【典例12】（2021春•望城区期末）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，
点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，则蚂蚁爬行的
最短距离是 cm．
【答案】25
【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，
如第1个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝ ；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝ ；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB＝ ；
∵25＜5 ，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25．
故答案为：25
【变式12-1】（2020春•兴宁区校级期末）如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个
顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点
B的最短路径是（ ）
A．9 B．3 +6 C．2 D．12
【答案】C
【解答】解：如图，AB＝ ＝2 ，
故选：C．类型三、楼梯展开
【典例13】（2020秋•万荣县期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别
为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到
点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）
A． dm B．20dm C．25dm D．35dm
【答案】C
【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，
解得：x＝25（dm）．
故选：C．
【变式13-1】如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，
A、B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是多少米？
【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，则蚂蚁沿台阶
面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=22+[（0.2+0.3）×3]2=2.52，
解得：x=2.5．
