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专题 10 相似三角形的基本六大模型
考点一 （双）A字型相似 考点二 （双）8字型相似
考点三 母子型相似 考点四 旋转相似
考点五 K字型相似 考点六 三角形内接矩形
考点一 （双）A字型相似
1．（2021·山东临沂·三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之
比为（ ）
A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知：D、E是 ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，AD＝3，AC＝6，
AE＝4，求证： ABC∽△AED． △
△
3．（2021·安徽·安庆市石化第一中学九年级期中）图， ，点H在BC上，AC与BD交于点
G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．4．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，
且DE BC， ．
（1）求证：DF BE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6 ．求证△ADE∽△AEB．
考点二 （双）8字型相似
1．（2022·福建·福州华伦中学八年级期中）如图，在平行四边形 中， 为 上一点，连接 、
，且 、 交于点 ， ： ： ，则 ： （ ）
A． ： B． ： C． ： D． ：
2．（2022·广东河源·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC， ，
DE＝1，BC的长度是_________．
4．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交
BE于点G，若 ，则 ___．
5．（2021·云南·姚安县光禄中学九年级阶段练习）如图，梯形 中， ，点 在 上， 连
结 并延长与 的延长线交于点 ．求证： ；
6．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长
线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
考点三 母子型相似
1．（2021·北京市师达中学九年级阶段练习）如图， 中，点 在边 上，且 ，若
， ，则 的长为______．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 ＝ ．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．
(1)求证：△ABC∽△BDC．
(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．
4．（2021·安徽滁州·九年级期中）如图，在 ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且 ，
△
∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是 ABC的中线，求 的值．
△
考点四 旋转相似
1．（2022·浙江舟山·九年级期末）【问题发现】（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一
点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关
系是 ，位置关系是 ；【探究证明】（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点
C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C
对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线
段BE的长度．
2．（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上
一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝ ，请直接写出点D到CP的距离．
3．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在 中， ，在斜边 上取一点
D，过点D作 ，交 于点E．现将 绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得 ．
（1）①求证： ；
②若 ，求 的长；
（2）如图3，将原题中的条件“ ”去掉，其它条件不变， 设，若 ，
，求k的值；
（3）如图4，将原题中的条件“ ”去掉，其它条件不变，若 ，设 ，
，试探究 三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
考点五 K字型相似
1．（2021·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt BEF的顶点E在边
△
CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝ BE，DF＝ ，则BE＝_____．
2．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝
60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求证△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长．
3．（2020·广东·深圳市沙井中学九年级阶段练习）如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边
上的一点，∠APD＝90°．
（1）求证： ；
（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3 ，求AB的长．
4．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当 时，求证： ．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在 中， ， ，以点A为直角顶点作等腰 ．点D在BC上，点E在
AC上，点F在BC上，且 ，若 ，求CD的长．5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ，CD⊥AB于点D，点E
是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则 ＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则 ＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝ ，BC＝2 ，DF＝4 ，请直接写出CE的长．
考点六 三角形内接矩形
1．（2021·全国·九年级课时练习）如图，已知三角形铁皮 的边 ， 边上的高 ，要剪出一个正方形铁片 ，使 、 在 上， 、 分别在 、 上，则正方形 的边长
________．
2．（2019·吉林长春·九年级期末）如图，在 ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以
每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动△．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD
右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与 ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜
4）． △
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
、
