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2022-2023 学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 10 用频率估计概率
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021九上·平阴期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其
他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（ ）
A．12个 B．14个 C．16个 D．18个
【答案】A
【完整解答】解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为25% ，
∴ ，
解得：x=12，
经检验x=12是原方程的根，
故白球的个数为12个．
故答案为：A．
【思路引导】设白球个数为x个，利用频率估计概率可得 ，解之即可.
2．（2分）（2021九上·锦州期末）育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试条件相同的情况下，
得到如下数据：
抽查小麦粒数 100 300 800 1000 2000 3000
发芽粒数 96 287 770 958 1923 a
则a的值最有可能是（ ）
A．2700 B．2780 C．2880 D．2940
【答案】C【完整解答】解：∵
∴ =2880，
故答案为：C．
【思路引导】根据表格中所给的数据，求出 =2880，即可作答。
3．（2分）（2021九上·海淀期末）做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：
抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000
“正面向上”的次
265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598
数n
“正面向上”的频
0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521 0.520
率
下面有3个推断：
①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计
“正面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是
1558次．其中所有合理推断的序号是（ ）
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【完整解答】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是
0.512；随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在什么数值附近摆动，才能用频率估计概率，故不符
合题意；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正
面向上”的概率是0.520；符合题意；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558
次．符合题意；
故答案为：C．【思路引导】利用频率估计概率，再根据图表和各个小题的说法可以判断是否正确，从而解答问题。
4．（2分）（2021九上·朝阳期末）投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（
）
A． 的值一定是
B． 的值一定不是
C．m越大， 的值越接近
D．随着m的增加， 的值会在 附近摆动，呈现出一定的稳定性
【答案】D
【完整解答】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是 ，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是
随机事件， 是它的频率，随着m的增加， 的值会在 附近摆动，呈现出一定的稳定性；
故答案为：D
【思路引导】根据频率估算概率的计算方法求解即可。
5．（2分）（2021九上·和平期末）一只不透明袋子中装有1个绿球和若干个黑球，这些球除颜色外都相
同，某课外学习小组做摸球试验，将口袋中的球拌匀，从中随机摸出个球，记下颜色后再放回口袋中．不
断重复这一过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到黑球的频数 142 186 260 668 1064 1333
摸到黑球的频率 0.7100 0.6200 0.6500 0.6680 0.6650 0.6665
该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，由此估计这个口袋中黑球有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C
【完整解答】解：该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，这个常数约为0.667，
估计摸出黑球的概率为0.667，
则摸出绿球的概率为 ，
袋子中球的总个数为 ，
由此估出黑球个数为 ，
故答案为：C．
【思路引导】利用频率估算概率求出绿球的概率，再求出袋子中球的总数，最后利用总数减去绿球的个数
即可得到答案。
6．（2分）（2021九上·淮南月考）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），为
了了解该图案的面积是多少，我们采取了以下办法：用一个长为a，宽为b的长方形，将不规则图案围起
来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或
长方形区域外不计实验结果），现将若干次有效实验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此估计
不规则图案的面积大约是（ ）
A． a2 B． ab C． b2 D． ab
【答案】B
【完整解答】解：假设不规则图案面积为x m2，
∵用一个长为a，宽为b的长方形
∴长方形面积为abm2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，
小球落在不规则图案的概率大约为0.35，综上有： ＝0.35，解得x＝ ab．
故答案为：B．
【思路引导】先求出长方形面积为abm2，再求出 ＝0.35，最后解方程即可。
7．（2分）（2021九上·胶州期中）“十一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动
的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一
区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690
落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
下列说法错误的是（ ）
A．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”铅笔文具盒
B．转动转盘一次，获得“铅笔”的概率大约是0.70
C．再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68次
D．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次
【答案】A
【完整解答】解：由题表中的信息得，落在“铅笔”区域的频率稳定在0.7左右，根据用频率估计概率，
得：
A、转动转盘20次，可能有6次获得“文具盒”铅笔文具盒，符合题意；
B、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，不符合题意；
C、再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68次，符合题意；
D、如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有 次，不符
合题意；故答案为：A
【思路引导】根据图表可求得指针落在“铅笔”区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此转动转盘
20次，不能说一定有6次获得“文具盒”铅笔文具盒。
8．（2分）（2021九上·凌海期中）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小
雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案
围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上
或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她
估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2 B．5m2 C．4m2 D．3m2
【答案】A
【完整解答】解：假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为 15m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，
小球落在不规则图案的概率大约为0.4，
综上有： ＝0.4，
解得x＝6．
故答案为：A．【思路引导】先求出长方形面积为 15m2，再求出 ＝0.4，最后计算求解即可。
9．（2分）（2021九上·本溪期中）一个不透明的袋子里装有黄球18个和红球若干，小明通过多次摸球试
验后发现摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里有红球（ ）个
A．12 B．15 C．18 D．24
【答案】A
【完整解答】解：设有红色球x个，
根据题意得： ，
解得：x=12，
经检验，x=12是分式方程的解且正确．
故答案为：A．
【思路引导】设有红色球x个，根据题意列出方程，解之并检验即可。
10．（2分）（2021九上·北仑期中）在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，
除颜色外其它完全相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和
0.45，则该袋子中的白色球可能有（ ）
A．6 个 B．16 个 C．18 个 D．24 个
【答案】B
【完整解答】解：∵小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，
∴摸出的白球的频率稳定在1-0.15-0.45=04，
设白球的个数为x个，
∵
解之：x=16.
故答案为：B.
【思路引导】利用已知条件求出白球的频率；设白球的个数为x个，根据题意列方程，然后求出x的值.
二．填空题（共10小题，每题2分，满分20分）
11．（2分）（2021九上·崂山期末）一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000次，
其中有199次摸到红球，由此估计盒子中的红球大约有 个．
【答案】2
【完整解答】解：设盒子中的红球大约有x个，
根据题意，得： ，
解得x≈2，
经检验：x＝2是分式方程的解，
所以盒子中红球的个数约为2个，
故答案为：2．
【思路引导】设盒子中的红球大约有x个，利用频率估计概率可知摸到红球的概率为 ，利用概率公
式可得 ，解出x值即可.
12．（2分）（2021九上·禅城期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20
只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实
验数据如下表：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
根据数据，估计袋中黑球有 个．
【答案】8
【完整解答】解：根据表格，摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6，则可
估计口袋中白球的个数约为 (个)，
∴估计袋中黑球有20-12=8个
故答案为：8．【思路引导】先利用频率估计出概率，再利用概率公式可求出白球的个数 ，再利用总数减去
白球的个数即可得到黑球的个数。
13．（2分）（2021九上·锦州期末）在一个暗箱里放有x个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的
个数，再放入5个和白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，将球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，
记下它的颜色后再放回暗箱中，通过大量重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.2，推算x的值大约是
．
【答案】20
【完整解答】解：由题意得
，
解得x=20，
经检验x=20符合题意，
故答案为：20．
【思路引导】先求出 ，再解方程求解即可。
14．（2分）（2021九上·绥化期末）一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个红球和m个黄球，
随机从袋中摸出个球记录下颜色，再放回袋中摇匀大量重复试验后，发现摸出红球的频率稳定在0.2附近，
则m的值为 ．
【答案】8
【完整解答】解：∵大量重复试验后，发现摸出红球的频率稳定在0.2附近，
∴摸出红球的概率为0.2，
由题意， ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
故答案为：8．【思路引导】根据题意可得：摸出红球的概率为0.2，再利用概率公式列出等式 求解即可。
15．（2分）（2021九上·阳山期末）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外
都相同．搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中．不断重复实验多次后，摸到黑球的频
率逐渐稳定在0.2左右．则据此估计盒子中大约有白球 个．
【答案】16
【完整解答】解：设盒子中大约有白球x个，根据题意得：
解得：
故答案为：16．
【思路引导】设盒子中大约有白球x个，根据题意列出方程，解之即可。
16．（2分）（2021九上·越秀期末）在一个不透明的袋子中装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都
相同．小明通过多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在0.30左右，则袋子中黄球的数量可能是
个．
【答案】6
【完整解答】解：由题意可得，
20×0.30=6（个），
即袋子中黄球的个数最有可能是6个.
故答案为：6．
【思路引导】利用频率估计概率以及概率的应用求解即可。
17．（2分）（2021九上·晋中期末）第24届世界冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日在中国北京市
和河北省张家口市联合举行，其会徽为“冬梦”，这是中国历史上首次举办冬季奥运会．如图，是一幅印
有北京冬奥会会徽且长为3m，宽为2m的长方形宣传画，为测量宣传画上会徽图案的面积，现将宣传画平
铺，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投
掷试验，发现骰子落在会徽图案上的频率稳定在0.15左右，由此可估计宣传画上北京冬奥会会徽图案的面
积约为 ．【答案】0.9
【完整解答】解：由题意可得：长方形的面积为 ，
∵骰子落在会徽图案上的频率稳定在0.15左右，
∴会徽图案的面积为： ，
故答案为：0.9．
【思路引导】利用频率估计概率以及概率的应用，即可得出会徽图案的面积。
18．（2分）（2021九上·二道期末）综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的
实验，结果如表所示：
黄豆种子数（单位：
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
粒）
发芽种子数（单位：
762 948 1142 1331 1518 1710 1902
粒）
种子发芽的频率（结
果保 0.953 0.948 0.952 0.951 0.949 0.950 0.951
留至小数点后三位）
那么这种黄豆种子发芽的概率约为 （精确到0.01）
【答案】0.95
【完整解答】解：观察表格发现随着实验次数的增多频率逐渐稳定在0.95附近，
故种子发芽的概率约为0.95．
故答案为：0.95．
【思路引导】先求出随着实验次数的增多频率逐渐稳定在0.95附近，再求概率即可。
19．（2分）（2021九上·淮南月考）某水果公司以2.2元/千克的成本价购进10000kg苹果，公司想知道苹
果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若干进行统计，部分结果如表：抽取的苹果总质量 100 200 300 400 500 1000
损坏苹果质量 10.60 19.42 30.63 39.24 49.54 101.10
苹果损坏的频率 0.106 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101
①估计这批苹果损坏的概率为 （精确到0.1）；
②据此，若公司希望这批苹果能获得利润23000元，则销售时（去掉损坏的苹果）售价应定为
元/千克．
【答案】0.1；5
【完整解答】解：①根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，苹果损坏的频率越来越稳定在0.1左
右， 所以苹果的损坏概率为0.1．
②根据估计的概率可以知道，在10000千克苹果中完好苹果的质量为10000×0.9=9000千克．
设每千克苹果的销售价为x元，
则应有9000x=2.2×10000+23000，
解得x=5．
答：出售苹果时每千克大约定价为5元可获利润23000元．
故答案为：0.1，5．
【思路引导】①先求出苹果损坏的频率越来越稳定在0.1左右， 再求解即可；
②根据题意列方程求出9000x=2.2×10000+23000，再解方程即可。
20．（2分）（2021九上·永城月考）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共60个，这些球除颜色
外都相同.小贤从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，则这个
袋中黑球的个数最有可能是 .【答案】30
【完整解答】解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.5附近，
故摸到黑球的频率会接近0.5，
∵摸到黑球的频率会接近0.5，
∴估计袋中黑球的个数为60×0.5=30只，
故答案为：30.
【思路引导】观察统计图，可知随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.5附近，由此可得到摸到黑球
的概率，再利用袋子中球的总个数×摸到黑球的频率，列式计算可求出袋中黑球的个数.
三．解答题（共9题，满分60分）
21．（5分）（2021九上·富县期末） 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.在这4件产品
中加入 件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大
量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，由此可以推算出 的值大约是多少？
【答案】解：由题意，得 ，解得 .
经检验， 是分式方程的解.
答：x的值大约是16.
【思路引导】直接根据 ，列出方程即可.22．（5分）（2020九上·子洲期中）一个口袋中放有16个球，其中红球6个，白球和黑球各若干个，每
个球除了颜色外没有任何区别.小明通过大量反复的试验（每次将球搅匀后，任意摸出一个球记下颜色后再
放回）发现，取出黑球的频率稳定在 附近，请你估计袋中白球的个数
【答案】解：黑球个数：16× =4
白球个数：16-6-4=6（个）
答：白球有6个；
【思路引导】取出黑球的频率稳定在 左右，即可估计取出黑球的概率稳定为 ，乘以球的总数即为
所求的球的数目；
23．（7分）（2022九上·金东期末）在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获
得如下频数表.
实验种子数 （粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽频数 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850
（1）（3分）估计该麦种的发芽概率.
（2）（4分）如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4000000棵，种子发芽后的成秧率为80%，该麦种
的千粒质量为50g.那么播种3公顷该种小麦，估计约需麦种多少千克（精确到1kg）？
【答案】（1）解：根据实验数量变大，发芽数也在增大，2850÷3000×100%=95%，
故该麦种的发芽概率约为95%；
（2）解：设约需麦种x千克，
x×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3，
化简得15200x=12000000，
解得x=789 ，
答：约需麦种790千克
【思路引导】（1）在大量的实验的前提下，用发芽频数除以实验种子数即可；
（2） 设约需麦种x千克， 根据麦种的粒数× 发芽概率 × 成秧率 =4000000×3，列出方程解之即可.24．（6分）（2022九上·新昌期末）在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共5个，小
明做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复上述过
程实验n次，下表是小明“摸到白球”的频数、频率统计表.
摸球实验次数n 10 100 150 200 500 …
摸到白球的频数m 2 22 31 39 101 …
摸到白球的频率p 0.200 0.220 0.207 0.195 0.202 …
（1）（1分）观察上表，可以推测，摸一次摸到白球的概率为 .
（2）（2分）请你估计盒子里白球个数.
（3）（3分）若往盒子中同时放入x个白球和y个黑球，从盒子中随机取出一个白球的概率是0.25，求
y与x之间的函数关系式.
【答案】（1）0.2
（2）解：设盒子里白球有m个，根据题意得，
解得m=1.
答：盒子里白球有1个.
（3）解：由题意得： .
化简整理得： .
∴y与x之间的函数关系式为： .（x为正整数）
【完整解答】解：（1）观察表格发现摸到白球的频率在0.2左右波动，因此摸到白球的频率为0.2；
所以 可以推测，摸一次摸到白球的概率是0.2；
故答案为：0.2；
【思路引导】（1）观察表格发现摸到白球的频率在0.2左右波动，因此摸到白球的频率为0.2，进而利用
频率估计概率即可得出答案；
（2）设出盒子中白球的个数，直接利用概率公式求解即可；
（3）往盒子中同时放入x个白球和y个黑球，则盒子中共有白球（1+x）个，共有小球（5+x+y）个，根
据概率公式由从盒子中随机取出一个白球的概率是0.25，列出方程 ，化简整理即可得到答案.
25．（6分）（2021九上·绵阳月考）在一个布袋中装有 个红球和 个篮球，它们除颜色外其他都相同.（1）（3分）搅匀后从中摸出一个球记下颜色，不放回继续再摸第二个球，求两次都摸到红球的概率；
（2）（3分）在这4个球中加入x个同一颜色的红球或篮球后，进行如下试验，搅匀后随机摸出1个球
记下颜色，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到红球的概率稳定在0.80，请推
算加入的是哪种颜色的球以及x的值大约是多少？
【答案】（1）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2种，
所以两次都摸到红球的概率= = ；
（2）解：根据题意得抽到红球的概率为0.8，
则 =0.8，解得x=6，
所以加入的是红颜色的球，x的值大约为6.
【思路引导】（1）利用树状图列举出共有12种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2种，
然后利用概率公式计算即可；
（2）根据概率公式列出方程，并解之即可.
26．（8分）某生活小区鲜奶店每天以每瓶3元的价格从奶场购进优质鲜奶，然后以每瓶6元的价格出售，
如果当天卖不完，剩余的只有倒掉．店主记录了30天的日需求量（单位：瓶），整理得下表：
日需求量 26 27 28 29 30
频数 5 8 7 6 4
（1）（2分）求这30天内日需求量的众数；
（2）（3分）假设鲜奶店在这30天内每天购进28瓶，求这30天的日利润（单位：元）的平均数；
（3）（3分）以30记录的各需求量的频率作为各需求是发生的概率．若鲜奶店每天购进28瓶，求在这
记录的30天内日利润不低于81元的概率．
【答案】（1）解：∵27出现了8次，出现的次数最多，
∴这30天内日需求量的众数是27
（2）解：假设鲜奶店在这30天内每天购进28瓶，
则这30天的日利润的平均数是：（26×5+27×8+28×7+28×6+28×4）×6﹣28×30×3=2412（元）（3）解：设每天的需求量为x瓶时，日利润不低于81元，根据题意得：
6x﹣28×3≥81，
解得：x≥27.5，
则在这记录的30天内日利润不低于81元的概率为： = ．
【思路引导】（1）观察表中，可知出现次数最多的是27，可求出这组数据的众数。
（2）根据利润=售价-进价，列式计算可求解。
（3）先求出利润不低于81元的每天的需求量，再求出其概率。
27．（9分）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里
面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色
球”的频率折线统计图.
（1）（1分）请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会稳定在 (精确到0.01)，假如你摸
一次，你摸到白球的概率为 ；
（2）（3分）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个?
（3）（4分）在(2)条件下如果要使摸到白球的概率为 ，需要往盒子里再放入多少个白球?
【答案】（1）0.5；0.5
（2）解：∵40×0.5=20，40-20=20，
∴盒子里白、黑两种颜色的球各有20个
（3）解：设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得：
，
解得x=10，
经检验，x=10是所列方程的根，故需要往盒子里再放入10个白球.
【完整解答】解：(1)根据题意可得：当n足够大时，摸到白球的概率会接近0.50；假如你摸一次，你摸到
白球的概率为0.5；
【思路引导】（1）观察“摸到白色球”的频率折线统计图，可得出当n足够大时，摸到白球的概率会接近
0.50，可求解。
（2）用球的总个数×白球的概率=白球的个数；再求出黑球的个数。
（3）需要往盒子里再放入x个白球，根据要使摸到白球的概率为 ，建立关于x的方程，求解即可。
28．（6分）某射击运动员在相同条件下的射击160次，其成绩记录如下：
设计次数 20 40 60 80 100 120 140 160
射中九环以上的次数 15 33 ____ 63 79 97 111 130
射中九环以上的频率 0.75 0.83 0.80 0.79 0.79 ____ 0.79 0.81
（1）（3分）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9环以上的次数为整数，频率精确到
0.01）；
（2）（3分）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到
0.1），并简述理由．
【答案】（1）48；0.81.
（2）解：P（射中9环以上）=0.8
从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是
0.8．
【思路引导】（1）根据频数=频率×次数，可计算出空缺部分。
（2）根据频率稳定性，可观察概率应该在0.8附近波动。
29．（8分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球
实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，表是活动进行中的一组统
计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 68 109 136 345 368 701
摸到乒乓球的频率 0.68 0.73 0.68 0.69 0.70 0.70
（1）（1分）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（2）（1分）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；
（3）（5分）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
【答案】（1）0.70
（2）0.70；0.30
（3）解：白球数等于总球数乘以白球概率 ；黑球数
【完整解答】解：（1）当试验次数很大时，实验频率趋于理论概率.所以当 很大时，由表格知道摸到
白球的频率为 .（2）白球概率 ；黑球概率为
【思路引导】（1）由表格中的信息可知，当试验次数很大时，频率稳定在0.70附近，所以可得摸到白球
的频率为 0.70 ；
（2）由（1）知，摸到白球的概率为 0.70 ；摸到黑球的概率为1-0.70 =0.30；
（3）根据概率=频数 总数可得白球数等于总球数乘以白球概率；黑球数等于总球数乘以黑球概率。
