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2022 届新高考数学提分计划之函数与导数
新高考 I 专用（8）
1.已知函数 在定义域 上是单调函数，若对任意 ，都有 ，
则 的值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.已知函数 ，若 ， ，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知幂函数 ，其中 ，若函数 在 上是单调递增的，
并且在其定义域上是偶函数，则 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若开始时含杂质2%，每过
滤一次可使杂质含量减少 ，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：
， ）( )
A.8 B.9 C.10 D.11
5.若函数 在区间 上不具有单调性，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. （多选）设函数 的导函数为 ，则下列结论中正确的是( )
A. B. 是 的极值点
C. 存在零点 D. 在区间 上单调递增
7. （多选）函数 ，若函数 只有一个零点，则实数a的可能取值为( )
A.2 B.-2 C.1 D.0
8.已知函数 若存在 ，且 ，使得 成立，则实数k
的取值范围是_______________.
9.已知函数 ，当 时，函数 有极值，则函数 在区间
上的最大值为____________.
10.已知函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
（2）若 ，讨论函数 的单调性；
（3）设函数 ，若至少存在一个 ，使得 成立，求实数a的
取值范围.答案以及解析
1.答案：D
解析：设 ，则 ，当 时， ，解得 ，所以
，故选D.
2.答案：C
解析： 函数 的图象开口向下，对称轴方程为 ， 函数 在区间
上单调递增， ， ，即函数 的值域为
.
由方程 有解，知 ，因此 ，且 ，解得 .故选C.
3.答案：A
解析：因为函数 为幂函数，所以 ，所以 .
因为函数 在 上是单调递增的，
所以 ，
所以 .
又因为 ，所以 ，1，2.
当 或 时，函数 为奇函数，不合题意，舍去；
当 时， ，为偶函数，符合题意.
故 .
所以 .故选A.
4.答案：D
解析：设至少应过滤n次，则 ，因此， ，
则 ，
又 ，所以 ，
即至少要过滤11次才能达到市场要求.故选D.
5.答案：C
解析：方法一由题意得 .①若函数 在 上单调递增，则
在 上恒成立，即 在 上恒成立，所以
在 上恒成立，所以 .
②若函数 在 上单调递减，则有 在 上恒成立，即
在 上恒成立，所以 在 上恒成立，所以 .
综上，函数 在区间 上不具有单调性时，实数a的范围是 .
方法二由题意，得 ，函数 在区间 上不具有单调性等价于
在 上有实数根.
当 在 上有 1 个实数根时，则 或 ，解得
； 当 在 上 有 2 个 不 相 等 的 实 数 根 时 ， 则
，即 ，解得 .综上，实数a的取值范围是 .
6.答案：AD解析：由题意知 的定义域为 .对于 A， ，则
， 故 A 正 确 ； 对 于 B ， D ，
，所以函数 单调递增，故无极值点，故B错误，D正
确；对于C， ，故函数 不存在零点，故C错误.故选AD.
7.答案：ABD
解析： 只有一个零点， 曲线 与直线 只有一个交点，
作函数 的图象如图所示，
结合图象，可知当 时，曲线 与直线 有一个交点；
当 时，设 ，则 ，令 ，可得 ，若直线 与曲
线 有一个交点，则直线 与曲线 相切，此时 ，可得
.综上， 或 .故选ABD.
8.答案： 或
解析：依题意，在定义域内， 不是单调函数.
易知 ， 为增函数，且 时， .
则 或 ，
解得 或 .9.答案：13
解析：因为 ，当 时，函数 有极值，所以 ，解
得 ，所以 ，当 时， ， 单调递
增，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增.双
极大值 ， ，所以 在区间 上的最大值为13.
10.答案：（1） 的定义域为 ， .
由题意得 ，
解得 ， ， .
（2） .
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
（3）若至少存在一个 ，使得 成立，则当 时， 有
解.
当 时， ， 有解，
令 ， ，则 .，
在 上单调递减， ，
，即 ，
实数a的取值范围是 .
