文档内容
第 09 讲 利用导数研究函数的零点问题及方程的根
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
利用导数研究具体函数单调性
函数对称性的应用
2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 利用导数研究函数的零点
极值与最值的综合应用
判断零点所在的区间
利用导数求函数的单调区间 (不含参)
2023年新Ⅱ卷，第22题,12分 利用导数研究函数的零点 利用导数研究不等式恒成立问题
根据极值点求参数
求在曲线上一点处的切线方程 (斜率）
2022年新I卷，第10题,5分 利用导数研究函数的零点
求已知函数的极值点
2022年新I卷，第22题,12分 利用导数研究方程的根 由导数求函数的最值 (含参)
求离散型随机查量的均值
2021年新Ⅱ卷，第21题,12分 利用导数研究方程的根
均值的实际应用
2021年新Ⅱ卷，第22题,12分 利用导数研究函数的零点 含参分类讨论求函数的单调区间
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数证明函数的单调性
2能结合零点的定义及零点存在性定理解决零点问题
3能结合方程的根的定义用导数解决方程的根的问题
【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中
求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,
有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养
都有较深入的考查，需综合复习知识讲解
利用导数研究函数零点的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断
零点个数或者通过零点个数求参数范围.
(2)数形结合法求解零点
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图
数形结合确定其中参数的范围.
(3)构造函数法研究函数零点
①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数
在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现
转化与化归的思想方法．
利用导数研究函数方程的根的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断
零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围.
(2)数形结合法求解零点（方程的根）
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图
数形结合确定其中参数的范围.
(3)构造函数法研究函数零点（方程的根）
①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的
根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现
转化与化归的思想方法．考点一、 求函数零点及其个数
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的最大值；
(2)讨论函数 在区间 上零点的个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求函数 的定义域及导函数，求 时方程 的解，分区间确定函数的单调性，
单调性求最值；
（2）函数 的零点，即方程 的解，设 ，利用导数研究函数 的性质，讨论 ，
结合图象确定函数 的零点个数.
【详解】（1） 的定义域是 ，
， ，
当 时， ，得 .
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减
当 时，函数 取最大值，最大值为 ；
（2）由 ，得 ，
令 ，则 ，
由 得 ，
由 ，得 ，
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，又 ， ， ，
作函数 的图象如下：
综上：当 或 时， 在 上有一个零点，
当 时， 在 上有2个零点，
当 或 时， 在 上没有零点.
2．（2024·湖南长沙·三模）已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)设函数 ，讨论 零点的个数.
【答案】(1)最小值
(2)答案见解析
【分析】（1）先利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最小值；
（2）令 ，得 ，令 ，则 与 有相同的零点，利用导
数求出函数 的极值点，再分类讨论 即可得出结论.
【详解】（1） 的定义域为 ，
则当 时， ；当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
因此 的最小值为 ；
（2） ，且 ，
令 ，得 ，令 ，则 与 有相同的零点，
且 ，
令 ，则 ，
因为当 时，则 ，所以 在区间 上单调递增，
又 ，所以 ，使 ，
且当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
因此 的最小值为 ，
由 ，得 ，即 ，
令 ，则 在区间 上单调递增，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，从而 ，即
所以 的最小值 ，
所以当 时， 没有零点；
当 时， 有一个零点；
当 时，因为 ，
当 趋近于0时， 趋近于 ；当 趋近于 时， 趋近于 ，
所以 有两个零点.
综上，当 时， 的零点个数为0；
当 时， 的零点个数为1；
当 时， 的零点个数为2.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数 的
图象的交点问题.
3．（2024·河北保定·二模）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，试讨论 的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求得 的导数，可得切线斜率和切点，从而求得切线方程；
（2）由 为奇函数，将问题转化为讨论 在 上的零点，求得导数，讨论 ， ，
和 ，求得 的单调性、极值和最值，结合零点存在定理，即可得到零点个数.
【详解】（1）当 时， ， .
， .
故曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）因为 ，所以 为奇函数.
又因为 ，所以只需要讨论 在 上的零点.
， .
令函数 ，
①当 ，即 时，分段讨论：
当时 ， .
当 时， ，所以 在 上单调递减，即 在 上单调递减
因为 ， ，所以存在 ，使得 .
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
因为 ， ，所以 在 上有1个零点，在 上有3个零点.
②当 ，即 时， ， 在 上单调递减，
所以 在 上没有零点，在 上有1个零点.
③当 ，即 时，分段讨论：
当 时， .
当 时， ，所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增.
因为 ， ，所以存在 ，使得 .
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ， ，
所以 在 上没有零点，在 上有1个零点.
④当 ，即 时，分段讨论：
当 时， .
当 时，令函数 ，
.
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增.
因为 ， ，所以存在 ，使得 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
即在 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ， ，所以存在 ，使得 .
当时 ， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ， ，
所以 在 上没有零点，在 上有1个零点.
综上，当 时， 在 上有3个零点；
当 时， 在 上有1个零点.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数 的
图象的交点问题.
1．（2024·山东·模拟预测）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线 在 轴上的截距；
(2)探究 的零点个数．
【答案】(1)
(2) 有两个零点
【分析】（1）求得 ，得到 ， ，利用导数的几何意义，求得切
线方程，进而求得其在 轴上的截距；
（2）得到 在 上递增，结合 ，得到 ，使得 ，
进而求得 单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.
【详解】（1）解析：由函数 ，可得 ，所以 ，
又 ，所以 的方程为 ，即 ，令 ，可得 ，所以直线 在 轴上的截距为 ．
（2）解：因为 和 在 上均单调递增，
所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以 ，使得 ，
所以，当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增，
又因为 ，
所以 有两个零点．
【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 或 ；
② ，构造函数 或 ；
③ ，构造函数 或 .
2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，判断 的零点个数.
【答案】(1)减区间为 ，增区间为 ；
(2)2个.
【分析】（1）求导，当 时，利用指数函数性质和余弦函数有界性可判断导数符号，当 时，利用
二次导数判断导函数单调性，然后可得导函数符号；
（2）当 时，利用二次导数判断 的单调性，当 时，利用指数函数性质和正弦函数有界性可
判断函数值符号，当 时，记 ，利用导数研究其图象，根据 与 的图象交点个数判断即可.
【详解】（1）当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，则 ，
所以， 在 上单调递减.
当 时，记 ，则 ，
因为 ，所以 ， 在 单调递增，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递增.
综上， 的减区间为 ，增区间为 .
（2）当 时， ，则 ，
记 ，则 ，
当 时， ，所以 ， 在 单调递增，
所以 ， 在 上单调递增，
所以 ， 在 上无零点.
当 时，因为 ，
所以 ，此时 无零点.
当 时，记 ，则 ，
因为当 趋近于0时， 趋近于0，所以 的变化越来越慢，图象下凹，
当 时， ，当 时， ，
作出函数 和 的图象如图，
由图可知，当 时，两个函数图象有一个交点，即 有一个零点.
易知 是 的一个零点.
综上，函数 共有2个零点.3．（2024·河南·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的极大值；
(2)若 ，求 在区间 上的零点个数．
【答案】(1)答案见解析
(2)2025个零点
【分析】（1）求导，分析函数的单调性，分情况讨论，求函数的极大值.
（2）先分析方程 在 上解得个数，再分析在 上解的个数，进一步考虑方程在
上解的个数，可得问题答案.
【详解】（1）由题易得，函数 的定义域为 ，
又 ，
所以，当 时， 随 的变化情况如下表：
0 2
0 0
极小值 极大值
由上表可知， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
所以 的极大值为 ．
当 时， 随 的变化情况如下表：
0 2
0 0
极大值 极小值
由上表可知， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
所以 的极大值为 ．综上所述，当 时， 的极大值为 ；当 时， 的极大值为0．
（2）方法一：当 时， ，所以函数 ．
由 ，得 ．
所以要求 在区间 上的零点的个数，
只需求 的图象与 的图象在区间 上的交点个数即可．
由（1）知，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在区间 上单调递减．
又 在区间 上单调递增，
且 ，
所以 与 的图象在区间 上只有一个交点，
所以 在区间 上有且只有1个零点．
因为当 时， ，
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 在区间 上有极大值 ，
即当 时，恒有 ．
又当 时， 的值域为 ，且其最小正周期为 ，
现考查在其一个周期 上的情况，
在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，
且 ， ，
所以 与 的图象在区间 上只有一个交点，
即 在区间 上有且只有1个零点．因为在区间 上， ，
所以 与 的图象在区间 上无交点，
即 在区间 上无零点．
在区间 上， 单调递减， 单调递增，
且 ，
所以 与 的图象在区间 上只有一个交点，
即 在区间 上有且只有1个零点．
所以 在一个周期 上有且只有2个零点．
同理可知，在区间 上， 且 单调递减，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
且 ，
，
所以 与 的图象在区间 和 上各有一个交点，
即 在 上的每一个区间 上都有且只有2个零点．
所以 在 上共有 个零点．
综上可知， 在区间 上共有 个零点．
方法二：当 时， ，所以函数 ．
当 时， ，所以 在区间 上单调递减．
又 ，所以存在唯一零点 ，使得 ．所以 在区间 上有且仅有一个零点．
当 时， ，所以 ．
所以 在 上无零点．
当 时， ，所以 在区间 上单调递增．
又 ，所以存在唯一零点．
当 时， ，
设 ，则
所以 在 上单调递增．
又 ，
所以存在 ，使得 ．
即当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．
又 ，所以 在区间 上有且仅有一个零点
所以 在区间 上有且仅有一个零点．
当 时，
，
设 ，则
所以 在 上单调递增．
又 ，所以 在区间 上单调递减：又 ，
所以存在唯一 ，使得 ．
所以 在区间 上有且仅有一个零点．
所以 在区间 上有两个零点．
所以 在 上共有 个零点．
综上所述， 在区间 上共有 个零点．
【点睛】方法点睛：导函数求解函数零点个数问题，要利用导函数研究函数的单调性，进而求出函数的极
值情况，结合特殊点的函数值的正负，零点存在性定理进行求解.
考点二、 由函数零点及个数求参数值
1．（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得 ，按照 、 及 结合导数讨论函数的单调性，求得函数的
极值，即可得解.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ；
（2） ，则 ，当 时， ，所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，此时函数无零点，不合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；
又 ，
由（1）得 ，即 ，所以 ，
当 时， ，
则存在 ，使得 ，
所以 仅在 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，所以 单调递增，又 ，
所以 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；此时 ，
由（1）得当 时， ， ，所以 ，
此时
存在 ，使得 ，
所以 在 有一个零点，在 无零点，
所以 有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数
的单调性与极值的问题.2．（2022·全国·高考真题）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
（2）求导,对 分类讨论,对 分 两部分研究
【详解】（1） 的定义域为
当 时, ,所以切点为 ,所以切线斜率为2
所以曲线 在点 处的切线方程为
（2）
设
若 ,当 ,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意
若 ,当 ,则
所以 在 上单调递增所以 ,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意
若
(1)当 ,则 ,所以 在 上单调递增
所以存在 ,使得 ,即
当 单调递减
当 单调递增
所以
当 ,令 则
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
又 ， ，
所以 在 上有唯一零点
又 没有零点,即 在 上有唯一零点
(2)当
设
所以 在 单调递增
所以存在 ,使得
当 单调递减
当 单调递增,
又
所以存在 ,使得 ,即
当 单调递增,当 单调递减，
当 ， ，
又 ，
而 ,所以当
所以 在 上有唯一零点, 上无零点
即 在 上有唯一零点
所以 ,符合题意
所以若 在区间 各恰有一个零点,求 的取值范围为【点睛】
方法点睛：本题的关键是对 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，
肯定要两方面都说明.
3．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若函数 有且仅有三个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用求导，导数值大于0来求单调递增区间即可；
（2）利用函数的单调性和取值情况，分析可得 的取值范围.
【详解】（1）由 ，得 ，
令 ，得 ，解得 ．
所以 的单调递增区间为
（2）令 ，解得 或 ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表所示：
0 2
0 0
单调递减 1 单调递增 单调递减
由函数 有且仅有三个零点，得方程 有且仅有三个不等的实数根，
所以函数 的图象与直线 有且仅有三个交点．
显然，当 时， ；当 时， ．
所以由上表可知， 的极小值为 ， 的极大值为 ，
故 ．
4．（2024·广东茂名·一模）设函数 ， .
(1)当 时， 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若 在 上存在零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）构建函数 ，通过导数判断函数 单调性，进而求解实数 的取值范
围；
（2）分离参数 ，令 ， ，利用导数求函数 在指定区间的最值，即
得解.
【详解】（1）当 时， ，
所以不等式转化为 ，在 上恒成立.
令 ，
所以 .
当 时， 恒成立.
若 ，则 在 上恒成立，
在 上单调递增，
故 ，符合题意；
若 ，令函数 ，
则 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
因为 ，且当 时， .
所以 ， ，
故当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则 ，不符合题意.
综上所述，实数 的取值范围为 ；
（2）因为 ， ，
令 ，即 ，
所以 .
令 ， ，
则 .
令 ，得 .
所以当 时， ， 单调递减；
当 ， 时， 单调递增.
所以当 时， 取得极小值，
即当 时， 取得极小值.
又因为 ， ，
所以 .
所以 .
当 取得极大值，即当 时， 取得极大值.
又因为 ， ，
所以 .
所以 ，
所以当 ， .
所以 .
又因为 ，
所以 时， 在 上存在零点，
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题
（1）构建函数，利用导数判断函数的单调性，通过函数的单调性求参数的取值范围；
（2）分离参数，将零点问题转化为函数的交点问题，并利用导数判断函数的单调性，进而求函数的最值.
（3）本题计算量较大，注意导数求解过程中的容易出现的问题，以及单调性的分析要注意取值范围.
1．（2024·广东汕头·三模）已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线与 轴垂直，求 的极值.
(2)若 在 只有一个零点，求 .
【答案】(1)极小值 ，无极大值；
(2) .
【分析】（1）求出函数 的导数，结合几何意义求出 ，再分析单调性求出极值.
（2）由函数零点的意义，等价变形得 在 只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求
解.【详解】（1）函数 的定义域为R，求导得 ， ，
依题意， ，则 ， ，
当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 处取得极小值 ，无极大值.
（2）函数 在 只有一个零点，等价于 在 只有一个零点，
设 ，则函数 在 只有一个零点，当且仅当 在 只有一解，
即 在 只有一解，于是曲线 与直线 只有一个公共点，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
函数 在 取得极小值同时也是最小值 ，
当 时， ；当 时， ，
画山 大致的图象，如图，
在 只有一个零点时， ，
所以 在 只有一个零点吋， .
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 .
(1)若 是函数 的极值点，求 的值，并求其单调区间；
(2)若函数 在 上仅有2个零点，求 的取值范围．
【答案】(1) ； 的增区间是 和 ，减区间是 ；
(2)【分析】（1）首先根据 ，求 的值，根据导数和函数单调性的关系，即可求解函数的单调区间；
（2）首先参变分离为 ，再构造函数 ， ，并判断函数在区间的单调性，极
值和端点值，根据图象的交点个数，即可求解.
【详解】（1） ， ，得 ，
当 时， ，得 或 ，
的变化情况如下表所示，
0 0
增区间 极大值 减区间 极小值 增区间
所以函数 的增区间是 和 ，减区间是 ；
（2）令 ， ，
得 ，
令 ， ，
，得 ，
如下表，
1 3
0
减区 增区
极小值3
间 间
因为函数 在 上仅有2个零点，即 与 有2个交点，如图：即 .
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的单调递增区间为 ．
(1)求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若函数 有两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 的单调递增区间为 ，得出函数 在 处取到极值，即可求解；
（2）由（1） ，令 得 ，令
得 ，若 有两个零点，则直线 与函数 的图象有两个交点，此时 ,令
的单调性即可求解．
【详解】（1）由题， 的定义域为 ， ，
由于函数 的单调递增区间为 ，
因此函数 在 处取得极值，
故 ，解得 ．
因此 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 在 单调递增，
当 时， ， 在 单调递减，符合题意，
故 ，所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）由（1）知 ，
则 ，
令 ，得 ．
令 ，
则 ，整理得 ．
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，且当 时， ，当 时，
，
所以函数 的最大值为 ，即 ．
若 有两个零点，则直线 与函数 的图象有两个交点，此时 ,
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，且当 时， ，
易知若 有两个零点，则直线 与函数 的图象有一个交点，
因此 ，所以实数 的取值范围是 ．
4．（2024·安徽·三模）已知函数 ．
(1)求证： 至多只有一个零点；
(2)当 时， 分别为 的极大值点和极小值点，若 成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分 、 及 进行讨论，利用导数求得函数的单调性后结合零点的存在性定理即
可得；
（2）由（1）可将 转换为 ，再构造函数
，分 及 进行分类讨论即可得.
【详解】（1）由题意得， ，当 时，令 ，解得 ，
①当 时， ，所以 在 上单调递增，
又 ，此时函数 有唯一的零点 ；
②当 时， ，
所以 时， 单调递增，
时， 单调递减，
时， 单调递增，
又 ，
则函数 在区间 上无零点，
在 上至多只有一个零点，
所以函数 至多只有一个零点；
③当 时， ，
所以 时， 单调递增，
时， 单调递减，
时， 单调递增，
又 ，
则函数 在 上至多只有一个零点，在区间 上无零点，
所以函数 至多只有一个零点，
综上，函数 至多只有一个零点；
（2）由（1）知，当 时， 在 上单调递增，在 单调递减，
所以 的极大值点为 ，极小值点为 ，
此时 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ,
所以 ，即 ，
设 ，则 ，令 ，则 ，
①当 时， ，此时 恒成立，则 在 上单调递增，
所以 ，此时 ，
②当 时， ，设 的两个根为 ，且 ，
则 ，所以 ，
则当 时， ，此时 在 上单调递减，
所以当 时， ，此时 ，与 矛盾，不合题意.
综上所述， 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于借助第一问所得，将双变量 、 变为单变量，从而可构
造函数 ，分 及 进行讨论即可得.
考点三、 求方程根的个数
1．（2024·浙江温州·一模）已知 （ ）.
(1)求导函数 的最值；
(2)试讨论关于 的方程 （ ）的根的个数，并说明理由.
【答案】(1)最大值等于
(2)答案见解析
【分析】
（1）求出导函数 ，令 ，对 再求导，利用导数确定单调性得最值；
（2）方程变形为 ，令 ，对 求导，确定单调性，得出函数值域后可得结论．
【详解】（1）
∵ ，记∴ ，解得：
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 的最大值等于 .
（2）
方法1：由 ，即 ，即 .
令 ，∴ ，由 解得：
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，∴ ，且
所以：当 时，方程无解；当 时，方程有1个解；当 时，方程有2个解.
方法2：由 ，即 ，即 .
令 ， ，∴ ，由 解得：
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，∴ ，且
所以：当 时，方程无解；当 时，方程有1个解；当 时，方程有2个解.
方法3：由 ，即 ，两边取对数得： ，即 .
令 ，所以由 ，解得
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减
所以
当 ，即 时，方程无解；
当 ，即 时，方程有1个解；
当 ，即 时，方程有2个解.
1．（2024·山西·模拟预测）已知函数 ，且 与 轴相切于坐标原点．(1)求实数 的值及 的最大值；
(2)证明：当 时， ；
(3)判断关于 的方程 实数根的个数，并证明．
【答案】(1) ，最大值为0
(2)证明见解析
(3)2个，证明见解析
【分析】（1）由 求出 的值，即可得到 解析式，再利用导数求出函数的单调区间，从而求出
函数的最大值；
（2）依题意即证当 时 ，记 ， ，当
时直接说明即可，当 ，利用导数说明函数的单调性，即可得证；
（3）设 ， ，当 时，由（1）知 ，则 ，当
时，利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断函数的零点，当 时，
，令 ，
利用导数说明 在区间 上单调递减，即可得到 ，从而说明函数在 无零点，即可得解.
【详解】（1）由题意知， 且 ，
，
，解得 ，
， ，
则 ，
当 时， ， ．故 ，
所以 在区间 上单调递减，所以 ．
当 时，令 ，
则 ，
， ， ，
在区间 上单调递减，则 ，在区间 上单调递增，则 ，则 ．
综上所述， ， 的最大值为 ．
（2）因为 ，
要证当 时 ，即证 ，
记 ， ，
当 时， ， ，
；
当 时， ，
记 ，则 ，
在区间 上单调递减，则 ，
则 在区间 上单调递减，
，
综上所述，当 时， ．
（3）设 ， ，
，
当 时，由（1）知 ，
故 ，
故 在区间 上无实数根．
当 时， ，因此 为 的一个实数根．
当 时， 单调递减，
又 ， ，
存在 ，使得 ，
所以当 时 ，当 时 ，在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
，又 ，
在区间 上有且只有一个实数根，在区间 上无实数根．
当 时， ，
令 ，
，
故 在区间 上单调递减， ，
于是 恒成立．故 在区间 上无实数根，
综上所述， 有2个不相等的实数根．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的
单调性、极(最)值问题处理．
2．（2024·河南信阳·一模）已知函数 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)讨论关于x的方程 在 上的根的情况．
【答案】(1)证明见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）把 代入，利用导数探讨单调性，求出最大值即得.
（2）构造函数 ，求出导数并确定导函数的单调性，再按导函数的零点情况
分类讨论求解.
【详解】（1）当 时， ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
（2）依题意， ，
令 ，求导得 ，令 ，求导得 ，
当 时， ， ，则 ，
当 时， ， ，则 ，于是 在 上单调递减，
①当 时， 时， ，函数 单调递增，
而 ，因此 仅有1个零点；
②当 时， ， ， 存在唯一的零点 ，
且 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
而 ，则 在 上有唯一的零点0，又 ，
则当 ，即 时， 在 上有唯一的零点，
函数 在 上有2个零点；若 ， 在 上无零点， 在 上有1个零点；
③当 时， ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，则 ，当且仅当 时取等号，
因此 仅有1个零点0；
④当 时，显然 ，则 ，且 ，
又 ，则函数 存在唯一的零点 ， ．
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
而 ，则 在 上有唯一的零点0，显然 ，
则 ，且 ，
又 ，因此 在 上有唯一的零点，此时 有两个零点；
所以当 且 时， 有两个零点；当 或 时， 有一个零点．
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．考点 四 、 由方程根的个数求参数范围
1．（2024·贵州贵阳·二模）已知函数 .
(1)当 时.求 在 处的切线方程;
(2)若方程 存两个不等的实数根，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程；
（2）方程进行分离参数变形为 ，引入函数 ，利用导数确定函数的单调性与极值，结合
函数图象得出结论．
【详解】（1）当 时， ，则 ，
所以 ， ，
所以 在 处的切线方程为： ，即 ．
（2）由 得， ，易知 ，
显然当 时等式不成立，所以当 时 ，
令 ，则 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
作出 的大致图象，如图，
由 的图象可知当 时，方程 有两个不同的解，
即方程 有两个不等的实数根，所以 的取值范围是 ．.
2．（2024·山东烟台·三模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若方程 有三个不等的实根，求实数 的取值范围.
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减.
(2)
【分析】（1）直接使用导数的符号判断单调性；
（2）将方程化为 ，再讨论方程 的解的个数，然后得到方程
的根满足的条件，即可求出实数 的取值范围.
【详解】（1）求导知 .
当 时，由 可知， 在 上单调递增；
当 时，对 有 ，对 有
，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）当 时， ，故原方程可化为 .
而 ，所以原方程又等价于 .
由于 和 不能同时为零，故原方程又等价于 .即 .
设 ，则 ，从而对 有 ，对 有 .
故 在 上递增，在 上递减，这就得到 ，且不等号两边相等当且仅当 .
然后考虑关于 的方程 ：
①若 ，由于当 时有 ，而 在 上递增，故方程 至多有一个解；
而 ， ，所以方程 恰有一个解；
②若 ，由于 在 上递增，在 上递减，故方程 至多有两个解；
而由 有 ，
再结合 ， ， ，即知方程 恰有两个解，且这两个解分
别属于 和 ；
③若 ，则 .
由于 ，且不等号两边相等当且仅当 ，故方程 恰有一解 .
④若 ，则 ，故方程 无解.
由刚刚讨论的 的解的数量情况可知，方程 存在三个不同的实根，当且
仅当关于 的二次方程 有两个不同的根 ，且 ， .
一方面，若关于 的二次方程 有两个不同的根 ，且 ， ，则首先有
，且 .
故 ， ，所以 .
而方程 的解是 ，两解符号相反，故只能 ，
.所以 ，即 .
这就得到 ，所以 ，解得 .
故我们得到 ；
另一方面，当 时，关于 的二次方程 有两个不同的根 ，
.
且有 ，
，
.
综上，实数 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：对于取值范围问题，使用分类讨论法是最直接的手段.
1．（2023·广东梅州·三模）已知函数 ， ， 为函数 的导函数.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 在 上有实根，求 的取值范围.
【答案】(1)函数 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)
【分析】（1）由题意得 ，令 ，则 ，分类讨论 ， ，
即可得出答案；
（2）由（1）得 ，题意转化为方程 在 上有实根，令
，则 ，分类讨论 ， ， ，即可得出答案．【详解】（1） ，令 ，则
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，得 ， ，得 .
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由（1）知， ，方程 在 上有实根等价于方程 在
上有实根.
令 ，则
当 时， ，函数 在 上单调递增， ，不合题意；
当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递减， ，不合题意；
当 时， ，得 ， ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ，所以 ，所以
综上所述， 的取值范围为
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)若 有两个不同的实数根，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件利用切点求出的斜率和函数值列两个等式求解即可.
（2）把方程中的参数分离，构造新函数，将方程根的个数转化为函数图象的交点个数，通过研究构造的
新函数的大致图象数形结合求解即可.
【详解】（1）因为点 在直线 上，所以 ．
又 ，所以 ．
，
，所以 ．综上 ．
（2）由（1）得 ，易知 ，
所以 有两个不同的实数根可转化为：
关于 的方程 有两个不同的实数根．
设 ，
，
令 得， 或 ．
所以当 变化时， 的变化情况为
0
0 0
单调递 单调递
极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增
增 减
所以 的极大值为 ，极小值为 ，
当 时， ，当 时， ，
当 且 时， ，
，当 且 时， ，
当 时， ．
根据以上信息画出 的大致图象，如图所示．所以实数 的取值范围为
考点 五 、 图象交点问题
1．（2021·全国·高考真题）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1） 上单调递增； 上单调递减；（2） .
【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线 与直线 有且仅有两个交点等价转化为
方程 有两个不同的实数根，即曲线 与直线 有两个交点，利用导函数研究 的
单调性，并结合 的正负，零点和极限值分析 的图象，进而得到 ，发现这正好是
，然后根据 的图象和单调性得到 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ,
令 得 ,当 时， ,当 时， ,
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
（2）[方法一]【最优解】：分离参数
,设函数 ,
则 ,令 ，得 ,
在 内 , 单调递增；
在 上 , 单调递减；
,又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分必要
条件是 ,这即是 ,
所以 的取值范围是 .
[方法二]：构造差函数
由 与直线 有且仅有两个交点知 ，即 在区间 内有两个解，取对数得方程
在区间 内有两个解．
构造函数 ，求导数得 ．
当 时， 在区间 内单调递增，所以， 在
内最多只有一个零点，不符合题意；
当 时， ，令 得 ，当 时， ；当 时， ；
所以，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ．
由于 ，
当 时，有 ，即 ，由函数 在 内有两个零点知
，所以 ，即 ．
构造函数 ，则 ，所以 的递减区间为 ，递增区间为 ，所以
，当且仅当 时取等号，故 的解为 且 ．
所以，实数a的取值范围为 ．
[方法三]分离法：一曲一直
曲线 与 有且仅有两个交点等价为 在区间 内有两个不相同的解．
因为 ，所以两边取对数得 ，即 ，问题等价为 与 有且
仅有两个交点．
①当 时， 与 只有一个交点，不符合题意．
②当 时，取 上一点 在点 的切线方程为，即 ．
当 与 为同一直线时有 得
直线 的斜率满足： 时， 与 有且仅有两个交点．
记 ，令 ，有 ． 在区间 内单调递增；
在区间 内单调递减； 时， 最大值为 ，所以当 且
时有 ．
综上所述，实数a的取值范围为 ．
[方法四]：直接法
．
因为 ，由 得 ．
当 时， 在区间 内单调递减，不满足题意；
当 时， ，由 得 在区间 内单调递增，由 得
在区间 内单调递减．
因为 ，且 ，所以 ，即 ，即
，两边取对数，得 ，即 ．
令 ，则 ，令 ，则 ，所以 在区间 内单调递增，在区间
内单调递减，所以 ，所以 ，则 的解为 ，所以 ，即 ．
故实数a的范围为 ．]
【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，
属较难试题，
方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数
形结合思想求解.方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.
方法三：将问题取对，分成 与 两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线
斜率与一次函数的斜率比较得到结论．
方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.
2．（2022·全国·高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨
论.
（2）根据（1）可得当 时， 的解的个数、 的解的个数均为2，构建新函数
，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 的大小关系，根据存在直线
与曲线 、 有三个不同的交点可得 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根
成等差数列.
【详解】（1） 的定义域为 ，而 ，
若 ，则 ，此时 无最小值，故 .
的定义域为 ，而 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
因为 和 有相同的最小值，
故 ，整理得到 ，其中 ，设 ，则 ，
故 为 上的减函数，而 ，
故 的唯一解为 ，故 的解为 .
综上， .
（2）[方法一]：
由（1）可得 和 的最小值为 .
当 时，考虑 的解的个数、 的解的个数.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
设 ，其中 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故 ，故 有两个不同的零点，即 的解的个数为2.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
有两个不同的零点即 的解的个数为2.
当 ，由（1）讨论可得 、 仅有一个解，
当 时，由（1）讨论可得 、 均无根，
故若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
则 .
设 ，其中 ，故 ，设 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
而 ， ，
故 上有且只有一个零点 ， 且：
当 时， 即 即 ，
当 时， 即 即 ，
因此若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
故 ，
此时 有两个不同的根 ，
此时 有两个不同的根 ，
故 ， ， ，
所以 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解
又 可化为 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解，
所以 ，而 ，
故 即 .
[方法二]：
由 知， ， ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增；
在 上单调递减，在 上单调递增，且
① 时，此时 ，显然 与两条曲线 和
共有0个交点，不符合题意；
② 时，此时 ，
故 与两条曲线 和 共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
③ 时，首先，证明 与曲线 有2个交点，即证明 有2个零点， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上存在且只存在1个零点，设为 ，在 上存在且只存在1个零点，设
为
其次，证明 与曲线和 有2个交点，
即证明 有2个零点， ，
所以 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上存在且只存在1个零点，设为 ，在 上存在且只存在1个零点，设为
再次，证明存在b，使得
因为 ，所以 ，
若 ，则 ，即 ，
所以只需证明 在 上有解即可，
即 在 上有零点，
因为 ， ，
所以 在 上存在零点，取一零点为 ，令 即可，
此时取
则此时存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
最后证明 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以 ，
又因为 在 上单调递减， ， 即 ，所以 ，
同理，因为 ，
又因为 在 上单调递增， 即 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
即直线 与两条曲线 和 从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，
而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
1．（2024·江苏·模拟预测）已知函数 在 处的切线经过原点.
(1)判断函数 的单调性；
(2)求证：函数 的图象与直线 有且只有一个交点.
【答案】(1) 在 上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据题意求出参数 的值，然后求导，结合导数符号与函数单调性的关系即可得解；
（2）由题意构造函数 （ ），利用导数判断函数单调性，结合零点存在定理即
可得解.
【详解】（1）因为 ，所以切点为 .
因为 ，所以 ，
所以切线方程为 .
因为切线经过原点，所以 ，所以 .
由定义域为 ，故 ，
所以 在 上单调递增.
（2）设 （ ），
则 .
因为当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
且 ，
因为 ，且当 时， 单调递减，所以
所以当 时， ，
所以函数 在 时没有零点，
所以当 时，函数 的图象与直线 没有交点.
当 时， ， 单调递增，
又因为 ，且函数 的图象是不间断的，
所以当 时，函数 有且只有一个零点，
函数 的图象与直线 有且只有一个交点.
综上所述，函数 的图象与直线 有且只有一个交点.
2．（2024·陕西西安·二模）设函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 时，函数 的图像与 的图像仅只有一个公共点，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）借助导数对 、 及 分类讨论即可得；
（2）原问题可等价于 即 在 上无解，构造函数 ，借助导数研究
即可得.
【详解】（1） 的定义域为 ， ，
①当 时， ，由 ，得 ，
由 ，得 ，
当 时， 的在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
②当 时， ， ，
当 时， ， 的区间 上单调递减，③当 时，由 ，得 或 ，且 .
当 变化时， 的变化情况如下表：
递减 递增 递减
综上所述，当 时， 的在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；
当 时， 在区间 上的单调递减；
当 时， 在区间 上的单调递增，
在区间 和 上单调递减区间；
（2）若 时，函数 的图像与 的图像仅只有一个公共点，
即关于 的方程 ，即 在区间 上仅只有一个解，
是方程的解，且 时 ，
问题等价于 即 在 上无解，
即曲线 或 与直线 无公共点，
，由 得 ，
当 或 时， 变化时， ， 的变化情况如下表：
递减，负 递增，正
无意义 递减，正值 极小值
值 值
且当 且 时， ；当 且 时， .
故 的取值范围为 .
3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)证明：若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求 的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2) .
【分析】（1）求导后，根据 的正负可得单调区间；
（2）将问题转化为方程 有且仅有两个不等实根，构造函数 ，结合导数知识可作出
的图象，进而得到 ，结合单调性可得结果.
【详解】（1）当 时， ，则 定义域为 ，
，
当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）由题意知： 且 ；
与 有且仅有两个交点，
方程 有且仅有两个不等实根，即方程 有且仅有两个不等实根，
即方程 有且仅有两个不等实根；
令 ，则 定义域为 ， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
，当 时， ；当 时， ；
可得 大致图象如下图所示，令 ，则 ，
有且仅有两个不同实数根的充要条件为 ，
即 ， 实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题根据曲线与直线交点个数求解参数范围的关键是能够首先将问题转化为方程根
的个数问题，进而采用同构的逻辑，通过构造函数的方式进一步将问题转化为同一函数不同函数值大小关
系的比较问题.
考点 六 、 零点、方程的根、图象交点小题综合
1．（2023·全国·高考真题）函数 存在3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出 ，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【详解】 ，则 ，
若 要存在3个零点，则 要存在极大值和极小值，则 ，
令 ，解得 或 ，
且当 时， ，
当 ， ，
故 的极大值为 ，极小值为 ，
若 要存在3个零点，则 ，即 ，解得 ，
故选：B.
2．（2024·全国·高考真题）（多选）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
【答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在
上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在
这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这
样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
【详解】A选项， ，由于 ，
故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，
此时 在 处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1） 的对称轴为 ；（2） 关于 对称
；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心
3．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合 的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的
几何意义判断D.
【详解】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.
4．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支分别相切的情
形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）函数 恰好有一零点 ，且 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题将函数 恰好有一零点 ，且 等价于 与 相切，将切线斜率k
和截距b求出来根据 即可求解.
【详解】函数 即 ，
因为函数 恰好有一零点 ，且 ，
则由指数函数图象特性 与 相切，
因为 ，设切点为 ，则切线斜率为 ，切点在切线上，故 ，
所以由 得 .
故选：B.
2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知 ，若函数 有4个零点，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数判断 在 和 上各有1个零点，转化为当 时， 有2个零点，
利用正弦型函数的性质建立不等式求解即可.
【详解】当 时， ，当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减．
又 ， ， ，所以 在 和 上各有1个零点．
又因为 有4个根，所以当 时， 有2个零点，
因为 ，所以 ，即 ，
解得 ．
故选：B．
3．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数 ， ，则（ ）
A．若 有极值点，则
B．当 时， 有一个零点
C．
D．当 时，曲线 上斜率为2的切线是直线
【答案】BC
【分析】对A，判断当 时情况即可；对B，求导分析函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可；
对C，根据 得 关于 对称，再判断 的对称性判断即可；对D，根据
导数的几何意义判断即可.【详解】对A，由题得 ，当 时 ， 递增，不存在极值点，故A选项错误；
对B，当 时， ，令 得 或 ，
令 得 ，所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递
增．
因为 ， ， ，
所以函数 在 上有一个零点，在 上无零点．
综上所述，函数 有一个零点，故B选项正确；
对C，由 得 关于 对称，
令 ，该函数的定义域为R，因为 ，
则 是奇函数， 图象的对称中心是原点 ，
将 的图象向上平移一个单位长度得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C选项正确；
对D，令 ，可得 ．又 ， ，
所以当切点为 时，切线方程为 ，
当切点为 时，切线方程为 ，故D选项错误.
故选：BC．
4．（2024·安徽·模拟预测）若关于 的方程 有解，则实数m的最大值为
.
【答案】 /
【分析】根据题意，由条件可得 ，构造函数 ，即可得到
，然后利用导数求得函数 的值域即可得到结果.
【详解】由题意得， ，
令 ，则 ，
易知 单调递增，所以 .令 ， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以 ，得 .
所以 的最大值为 .
故答案为：
5．（2024·天津北辰·三模）若函数 有四个零点，则实数 的取值范围为
.
【答案】
【分析】分析可知 关于直线 对称，由对称性可知当 时， 有2个零点，令 ，
化简整理可得： 与 在 内只有一个交点，利用导数分析 的单调性
和极值，结合图象分析求解.
【详解】由题意可知： 的定义域为 ，
且 ，
可知 关于直线 对称，
原题意等价于：当 时， 有2个零点，且 ，即 ，
若 ，则 ，
显然 ，
若 时，令 ，可得 ，
令 ，可知 与 在 内只有一个交点，
则 ，令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
且 ，又 ，
可得 的图象如图所示，
由图象可知： 或 或 ，解得 或 或 ，
综上所述：实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是 关于直线 对称，根据对称性可得当 时， 有2个零
点，这样可以去绝对值，把问题转化为常规问题.
一、单选题
1．（2023·陕西西安·模拟预测）方程 有两个不等的实数解，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变形为 有两个不等的实数解，构造 ，求导，得到单调性和极值情况，
又当 时， 恒成立，当 时， 恒成立，从而得到答案.
【详解】由题意得 有两个不等的实数解，令 ，定义域为R，
，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 在 时取得极小值，也是最小值，
故 ，
又当 时， 恒成立，当 时， 恒成立，
故要想 有两个不等的实数解，则 .
故选：C
2．（2024·四川凉山·二模）若 ， ，则函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数.
【详解】 ,
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
又 ， ， ， ，
则 的草图如下：
由图象可得函数 的零点个数为 .
故选：C.二、多选题
3．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点
B． 有一个零点
C．点 是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
【答案】BC
【分析】利用导数y与零点存在性定理求解三次函数的极值点，零点，对称中心，切线问题.
【详解】选项A： 则 恒成立，故 单调递增，故 不存在两个极值点，故选项A
错误.
选项B: 又 单调递增，故 有一个零点，故选项B正确，
选项C： 故点 是曲线 的对称中心，故选项C正确，
选项D：令 ，即 ，
令 ，则令 ，
则
当 则当切线斜率为 切点为 则切线方程为： 与
不相等，
当 时同样切线方程不为 ，故选项D错误.
故选：BC.
4．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的极值点为
B． 的极值点为1
C．直线 是曲线 的一条切线
D． 有两个零点
【答案】BC
【分析】利用导数与函数的极值的关系可判断AB；结合函数的单调性与函数零点的知识可判断D；利用导
数的几何意义求得 在 处的切线方程，从而得以判断．【详解】对A：因为 ，所以 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递减；在 上单调递增.
可知 在 处取得唯一极小值，也是 的最小值，
所以 的极值点为 ，故A错误，B正确；
对C：因为 ， ，
所以 在 处的切线方程为 ，
即 ，故C正确．
对D：因为 ， ，结合 在 上的单调性，
可知 是 在 上的唯一零点；
当 时， 恒成立，故 恒成立，
所以 在 上没有零点；
综上： 只有一个零点，故D错误．
故选：BC.
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分离参数，构造函数 ，利用导数研究其单调性与最值，作出函数大致图象，数形
结合计算即可.
【详解】由题意，得方程 有两个不相等的实数根．
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．所以当 时， 取最大值 ．
作出函数 的大致图象，如图．
由图可知，当 时，直线 与函数 的图像有两个交点，即方程 有两个不相等的实数根，所以实数 的取值范围为 ．
故答案为： .
6．（2024·山西·三模）已知函数 ，若函数 恰有一个零点，
则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据对勾函数的性质以及导数求解函数的最值，即可作出函数的图象，根据 只有一
个交点，即可结合图象求解.
【详解】 ，
由于 为对勾函数，最小值为2，而 ，所以 在 单
调递减，
故 ，作出 的大致图象如下：
故要使 恰有一个零点，只需要 只有一个交点，
故 ，即 ，
故答案为：
7．（23-24高三上·四川内江·期末）已知函数 ，若函数 的图象与曲线 有三个
交点，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】将问题转为 有三个不同的交点.构造函数 ，利用导数求解单调性，进而根据极值即可求解.
【详解】由于 的图象与曲线 有三个交点，所以 有三个不同的实数根，即
有三个不同的交点.
记 ,则 ，
令 ，则 或 ，此时 单调递增，
令 ，则 ，此时 单调递减，
故 和 分别为 的极大值点和极小值点，
要使 有三个不同的交点，则 ,
即 而 ，
故 ，
故答案为：
四、解答题
8．（2023·广西河池·模拟预测）已知函数
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 与直线 在 上有两个不同的交点，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，点斜式求切线方程即可；（2）构造新函数 ，在指定区间上求
最大值，最小值即可解决.
【详解】（1）当 时， ，
所以 ，
因为 ，
所以切点坐标为 ，切线斜率为 ，所以切线方程为 ，即 .
（2）由题知 ，函数 与直线 在 上有两个不同的交点，
令 ，
所以 ，
因为 ，
所以令 ，得 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上有最大值 ，
因为 ，
又 ，
所以 ，
所以 在 上有最小值 ，
所以 在 上有两个不同的交点的条件是
，解得
所以实数 的取值范围为
9．（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知 ，
(1)求 的极值；
(2)若函数 存在两个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)极大值为 ，无极小值；
(2) .【分析】（1）利用导数研究 的单调性，即可求极值；
（2）问题化为 与 有两个交点，结合（1）结论及 性质确定参数范围.
【详解】（1）令 且 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上递增， 上递减，
故 的极大值为 ，无极小值.
（2）由题设， 有两个根，即 与 有两个交点，
由（1）知： 在 上递增， 上递减，
在 上 ，在 上 ，且当 趋向正无穷时 趋向于0，
综上，只需 ，即 .
10．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若函数 有且仅有三个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用求导，导数值大于0来求单调递增区间即可；
（2）利用函数的单调性和取值情况，分析可得 的取值范围.
【详解】（1）由 ，得 ，
令 ，得 ，解得 ．
所以 的单调递增区间为
（2）令 ，解得 或 ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表所示：0 2
0 0
单调递减 1 单调递增 单调递减
由函数 有且仅有三个零点，
得方程 有且仅有三个不等的实数根，
所以函数 的图象与直线 有且仅有三个交点．
显然，当 时， ；当 时， ．
所以由上表可知， 的极小值为 ， 的极大值为 ，
故 ．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知过点 的直线与函数 的图象有三个交点，则该直线的
斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：问题转化为方程 有三个不等的实数根.分离参数后构造函数
，求导分析单调性后求出参数的范围；方法二：分离函数，令 ，则方程变
为 ，分别构造函数 ，求导分析 的单调性和极值，再讨论当 时
图象的情况和当 时设切点，利用导数的意义求出切线的斜率，再由点在直线上和点斜式方程写出
切线方程，求出斜率，最后综合以上求出斜率范围.
【详解】问题转化为方程 有三个不等的实数根．
方法一：分离参数
因为 ，所以方程
有三个不等的实根等价于方程 有两个不等的实根．
令 ，则 ．
令 ，则 ，即 单调递增．
又 ，所以当 时， 单调递减，且 ；
当 时， 单调递增，
且 ．
又因为当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以实数k的取值范围是 ．
故选：C．
方法二：分离函数
令 ，则 ，所以 ．
令 ，则 ，解得 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 有极小值；
而 且 ，
所以方程 有一解 ．
①当 时， 过一、三象限，两图象有两个交点，不合题意；
②当 时，过原点O作 的切线，
设切点 ，则 ，
所以 ．
又 ，得 ，
所以 ，
所以 ．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：方法一关键是能够把问题转化为方程 有三个不等的实数根，再分
离参数后由导数确定单调性和特殊值分析函数的最值情况.
2．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数 ，若方程 存在三个不相等的实根，
则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考查利用导数研究函数零点问题，先根据导数情况得出函数单调性和最值情况，再数形结合分析，
分段函数分段讨论即可.
【详解】因为方程 存在三个不相等的实根，所以函数 有三个零点，
当 时， ，所以 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增， ，
又当 时， ；当 时， ，所以 图象如图；
当 时， ，
所以 ，所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增， ，
又当 时， ；当 时， ，所以 图象如图，
所以当 即 时函数 有三个零点，
即方程 存在三个不相等的实根，
故选：C.
二、填空题
3．（2024·重庆·模拟预测）若函数 的图象与函数 的图象有三个不同的公共点，则
实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】依题意关于 的方程 恰有三个不等实数根，令 ，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，令 ，则 （ 且 ），令 （
且 ），依题意可得 与 有两个交点，且其中一个交点的横坐标小于 ，另一个交
点的横坐标位于 之间，即可求出参数的取值范围.
【详解】令 ，则 ，即 ，
依题意关于 的方程 恰有三个不等实数根，
令 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，当 时 ，当 时 ，
所以 ，
令 ，则 （ 且 ），
则 （ 且 ），
令 （ 且 ），
因为 在定义域 上单调递增， 在 ， 上单调递增，
所以 在 ， 上单调递增，
又 ， ，
要使关于 的方程 恰有三个不等实数根，
则 与 有两个交点，且其中一个交点的横坐标小于 ，另一个交点的横坐标位于 之间，则 ，解得 ，
综上可得实数 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将函数的公共点问题转化为方程的解，从而转化为常数函数的定
函数的交点问题.
4．（2024·湖北黄冈·二模）已知函数 与函数 的图象有且仅有两个不
同的交点，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】构造函数，利用导数，分类讨论，求出 的取值范围.
【详解】令 ，
令 ，则 ，
令 ，则 .
令 ，则 ，所以 在 上单调递增；
令 ，则 ，所以 在 上单调递减；
又 ，
则 有且只有两根，分别为0，1；
因为 与 的图象有且仅有两个不同的交点，
则函数 图象与 轴有且仅有两个不同的交点，
设两个不同的交点的横坐标为 ， ，
则方程组 有且只有一组实数根，
令 ，则 ，
当 时， ，则此时 在 上递增，
又当 趋向于 ， 趋向于 ，当 趋向于 ， 趋向于 ，即 ，则 有且只有一组实数根；
当 时，方程组 有且只有一组实数根，
等价于函数 图象与直线 图象共有两个交点，
临界情况为两条直线与 图象相切，
当 与 相切，
设对应切点为 ，因 ，
则相应切线方程为 ，即 ，
所以 ，所以 ，解得 ；
当 与 相切，设对应切点为 ，
则相应切线 ，即 ，
所以 ，可得 ，解得 ；
如图
则 ，
综上 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用两个函数图象有两个公共点，转化为新函数的零
点情况；二是把解的情况转化为直线和曲线的相切问题，结合导数的几何意义求解即可.
5．（2024·福建泉州·一模）已知函数 有且只有两个零点，则a的范围 ．【答案】
【分析】根据题意，转化为 有两个根据，即 或 有两个解，分别令
， ，利用导数求得函数 和 的单调性与最值，作出函数 和 的
图象，结合图象，即可求解.
【详解】由函数 ，令 ，可得 ，
即 ，因为 ，所以 ，所以 ，
可得 或 ，
即 或 ，
令 ， ，可得 ， ，
当 时，可得 ， 在 单调递增，且 ；
当 时， 且 ；
当 时，可得 ， 在 单调递减；
当 时，可得 ， 在 单调递增，且 ，
又当 时， ， ，
当 时， 且 ；
作出函数 的图象，如图所示，
要使得 有两个实数根，即 有两个不同的零点，
结合图象，可得 或 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 或 ；
② ，构造函数 或 ；
③ ，构造函数 或 .
三、解答题
6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知 在 时取得极大值．
(1)讨论 在 上的单调性；
(2)令 ，试判断 在 上零点的个数．
【答案】(1)答案见解析
(2)三个零点
【分析】（1）求导数，令 ，则 或 ，通过讨论 的正负，可得 的单调性．
（2）分别讨论 和 ，求出单调性，可得结果．
【详解】（1）由题意， ，因为 在 时取得极大值，
则 ，得 ，
所以 ，
令 ，则 或 ．
时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．（2） 在R上有3个零点，理由如下： ，
因为 ，所以 是 的一个零点．
，
所以 是偶函数，即要确定 在R上的零点个数，需确定 时， 的零点个数即可．
①当 时， ，
令 ，即 或 ，
时， 单调递减，且 ，
时， 单调递增，且 ，
所以 在 有唯一零点；
②当 时，由于 ，
，
而 在 单调递增， ，
所以 恒成立，故 在 无零点，
所以 在 有一个零点，
由于 是偶函数，所以 在 有一个零点，而 ，
综上， 在R有且仅有三个零点．
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ， .
(1)若 的最小值为0，求 的值；
(2)当 时，证明：方程 在 上有解.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数的最小值求参数即可；
（2）转化为 在 上有解，根据 图象特征即可证明；
【详解】（1）由已知得 ，则 .令 ，解得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 ，所以 .
（2）要证 在 上有解，即证 在 上有解，
即证 在 上有解.
令 ，则 .
设 ，则 .
当 时， ；当 时， .
所以 即 在 上单调递增，在 上单调递减.
又因为 ， ，
，
所以由零点存在性定理知， ，使 ，即 ，
所以当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 .
因为 ，所以 ，即 ，且 时，
，所以当 时，直线 与函数 的图像在 上有交点，即
在 上有解.
【点睛】思路点睛：将方程 在 上有解转化为 在 上有解，求出
在 上的单调性，则直线 与函数 的图像在 上有交点即可
证明；
8．（2024·广东梅州·二模）已知函数 ， ， （ ）．
(1)证明：当 时， ；
(2)讨论函数 在 上的零点个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)当 时， 在 上没有零点：当 时， 在 上有且仅有1个零点．【分析】（1）结合已知不等式构造函数 ，对其求导，结合导数与单调性关系即
可证明；
（2）对 求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在定理对 的范围进行分类讨论即可求解．
【详解】（1）证明，令 ，
则 ，
记 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减：在 上单调递增，
从而在 上， ，
所以 在 上单调递增，
因此在 上， ，即 ；
（2） ， ，
，在 上， ，
所以， 在 上递增， ，即函数 在 上无零点；
，记 ，
则 ， 在 上递增，
而 ，
故存在 ，使 ，
当 时， 递减， 时， 递增， ，
而 ， ，
在 上无零点，在 , 上有唯一零点，
综上，当 时， 在 上没有零点：
当 时， 在 上有且仅有1个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
9．（2024·广西南宁·二模）已知函数
(1)若 在定义域内单调递增，求 的取值范围，(2)若函数 恰有两个零点，求 的取值范围，
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）法一，求出函数 的导数，根据题意可得 恒成立，解不等式求出 的范围；法二，
求导，判断 的单调性，根据函数 的单调性，求出 的范围即可；
（2）法一，求导判断 的单调性，求出极值，并结合区间端点函数值和零点情况求解.法二，问题转化
为 有两个根，令 ，求导判断 的单调性和极值以及区间端点
函数值，得解；
【详解】（1）（解法一）由 ，得 ，
因为 在定义域 内单调递增，所以 ．即 在 上恒成立．
由 ，得 ，故 的取值范围为 ．
（解法二）：由 ，得 ， ，
当 时， 恒成立， 在定义域内单调递增，符合题意；
当 时， ，
可见，当 时， ， 在 内单调递增；
当 时， ， 在 内单调递减，故不符合题意；
所以 的取值范围为 ．
（2）（解法一）：由 ， ，
，
当 ，即 时， 恒成立， 在 内单调递增，不符合题意；
当 时，即 时， ，
可见，当 时， ， 在 内单调递增；当 时， ， 在 内单调递减；
且当 时， ；当 时 ．
故要使函数 恰有两个零点，即使 ．
，解得 ．
综上所述，故 的取值范围为 ．
（解法二）：由 ，得 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
则 ，
，即 时 ；
另外， 时， ，
所以当 时， 图象与直线 恰有两个交点．
即 恰有两个零点时， 的取值范围为 ．
10．（2024·广西贺州·一模）已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若关于x的方程 有且只有一个解，求a的取值范围．
【答案】(1)当 时，函数 在 上是增函数；
当 时，函数 在 上是减函数，
在 上是增函数.
(2) 或
【分析】（1）先求导，再根据导函数的正负得出函数 的单调区间；（2）关于x的方程 有且只有一个解，令 ，求出 的单调
区间，即可求解.
【详解】（1）对函数 求导可得：
，
因为 ，则 ，
所以由 可得 ，
解得 或 ，
所以当 时，函数 在 上是增函数；
当 时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数.
（2）因为关于x的方程 有且只有一个解，即 ，
也即 ，令 ，
则 是减函数，
因为 ，所以函数 在 上是增函数，在 上是减函数，
又因为当 时， ； ；当 时， ；
所以实数 的取值范围为 或 .
1．（2022·浙江·高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
【答案】(1) 的减区间为 ，增区间为 .
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ）
， ，则题设不等式可转化为 ，结合零点满足的方程进一
步转化为 ，利用导数可证该不等式成立.
【详解】（1） ，
当 ， ；当 ， ，
故 的减区间为 ， 的增区间为 .
（2）（ⅰ）因为过 有三条不同的切线，设切点为 ，
故 ，
故方程 有3个不同的根，
该方程可整理为 ，
设 ，
则
，
当 或 时， ；当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： 且 ，
此时 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，故 ，
故 .
（ⅱ）当 时，同（ⅰ）中讨论可得：
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
不妨设 ，则 ，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： ，
因为 ，故 ，
又 ，
设 ， ，则方程 即为：
即为 ，
记
则 为 有三个不同的根，
设 ， ，
要证： ，即证 ，即证： ，
即证： ，
即证： ，
而 且 ，
故 ，
故 ，
故即证： ，
即证：
即证： ，
记 ，则 ，
设 ，则 ，所以 ，
，
故 在 上为增函数，故 ，
所以 ，
记 ，
则 ，
所以 在 为增函数，故 ，
故 即 ，
故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程
的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.
2．（2021·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
【详解】(1)由函数的解析式可得： ，
当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
(2)若选择条件①：
由于 ，故 ，则 ，
而 ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于 ，故 ，则 ，
当 时， ， ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
当 时，构造函数 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
注意到 ，故 恒成立，从而有： ，此时：
，
当 时， ，
取 ，则 ，
即： ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以
在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查
导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单
调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
(注： 是自然对数的底数)
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取
值范围；
(3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.
【详解】(1) ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
综上可得， 时， 的单调递增区间为 ,无减区间；
时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 .
(2) 有2个不同零点 有2个不同解 有2个不同的解，
令 ，则 ，记 ，
记 ，
又 ，所以 时， 时， ，
则 在 单调递减， 单调递增， ，
.
即实数 的取值范围是 .
(3)[方法一]【最优解】：
有2个不同零点，则 ，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为 ，较小者为 ，
，
注意到函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故 ，又由 知 ，
，
要证 ，只需 ，
且关于 的函数 在 上单调递增，
所以只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
，只需证 在 时为正，
由于 ，故函数 单调递增，
又 ，故 在 时为正，从而题中的不等式得证.
[方法二]：分析+放缩法
有2个不同零点 ，不妨设 ，由 得 （其中
）．
且 ．
要证 ，只需证 ，即证 ，只需证 ．
又 ，所以 ，即 ．
所以只需证 ．而 ，所以 ，
又 ，所以只需证 ．
所以 ，原命题得证．
[方法三]：
若 且 ，则满足 且 ，由（Ⅱ）知 有两个零点 且 ．
又 ，故进一步有 ．
由 可得 且 ，从而
．．
因为 ，
所以 ，
故只需证 ．
又因为 在区间 内单调递增，故只需证 ，即 ，注意
时有 ，故不等式成立．
【整体点评】本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同
的处理方法，
方法一：直接分析零点 ，将要证明的不等式消元，代换为关于 的函数，再利用零点反代法，换为
关于 的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围.
方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为 与0比较大小，
代入函数放缩得到结论.
4．（2020·全国·高考真题）设函数 ，曲线 在点( ，f( ))处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于1．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义得到 ，解方程即可；
（2）方法一：由（1）可得 ，易知 在 上单调递减，在 ，
上单调递增，且 ，采用反证法，推出矛盾即可.
【详解】（1）因为 ，由题意， ，即： ，则 ．
（2）［方法一］：通性通法
由（1）可得 ， ，
令 ，得 或 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
且 ，
若 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点 ，则 或 ，
即 或 .
当 时， ，
又 ，
由零点存在性定理知 在 上存在唯一一个零点 ，
即 在 上存在唯一一个零点，在 上不存在零点，
此时 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当 时， ，又 ，
由零点存在性定理知 在 上存在唯一一个零点 ，
即 在 上存在唯一一个零点，在 上不存在零点，
此时 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
综上， 所有零点的绝对值都不大于1.
［方法二］【最优解】：
设 是 的一个零点，且 ，则 ．
从而 ．
令 ，由判别式 ，可知 在R上有解， 的对
称轴是 ，所以 在区间 上有一根为 ，
在区间 上有一根为 （当 时， ），进而有 ，所以 的所有零点的绝
对值均不大于1．
［方法三］：
设 是函数 的一个绝对值不大于1的零点，且 ．设 ，则
，显然 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，在区间 内单调
递减．又 ，于是 的值域为 ．
设 为函数 的零点，则必有 ，于是 ，所以
解得 ，即 ．
综上， 的所有零点的绝对值都不大于1．
［方法四］：
由（1）知， ，令 ，得 或 ．则 在区间
内递增，在区间 内递减，在区间 内递增，所以 的极大值为的极小值为 ．
（ⅰ）若 ，即 或 ， 有唯一一个零点 ，显然有 ，不满足题意；
（ⅱ）若 ，即 或 ， 有两个零点，不妨设一个零点为 ，显然有
，此时， ，则 ，另一个零点为1，满足题意；同理，若一个零点为 ，
则另一个零点为 ．
（ⅲ）若 ，即 ， 有三个零点，易知在区间 内有一个零点，不妨设
为 ，显然有 ，又 ， ，所以在 内有一个零点m，显然 ，同理，
在 内有一个零点n，有 ．
综上， 所有零点的绝对值都不大于1．
［方法五］：
设 是 的一个零点且 ，则 是 的另一个零点．
．
则 ，设 ，由判别式 ，所以方程有
解．
假设实数 满足 ．
由 ，得 ．与
矛盾，假设不成立．
所以， 所有零点的绝对值都不大于1．
【整体点评】（2）方法一：先通过研究函数的单调性，得出零点可能所在区间，再根据反证法思想即可
推出矛盾，是通性通法；方法二：利用零点的定义以及零点存在性定理即可求出，是本题的最优解；方法
三：利用零点的定义结合题意求出 的范围，然后再由零点定义以及 的范围即可求出所有零点的范围，
从而证出；方法四：由函数的单调性讨论极大值极小值的符号，得出 的范围，再结合零点存在性定理即
可证出；方法五：设函数的一个零点为 ，满足 ，再设另一个零点为 ，通过零点定义找到 的
关系，再根据一元二次方程存在解的条件以及反证法即可推出矛盾，从而证出．5．（2020·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有三个零点，求 的取值范围．
【答案】（1）详见解析；(2) .
【分析】（1） ，对 分 和 两种情况讨论即可；
（2） 有三个零点，由（1）知 ，且 ，解不等式组得到 的范围，再利用零点存在性
定理加以说明即可.
【详解】（1）由题， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
令 ，得 或 ，所以 在 上单调递减，在
， 上单调递增.
（2）由（1）知， 有三个零点，则 ，且
即 ，解得 ，
当 时， ，且 ，
所以 在 上有唯一一个零点，
同理 ， ，
所以 在 上有唯一一个零点，又 在 上有唯一一个零点，所以 有三个零点，
综上可知 的取值范围为 .
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推
理能力、数学运算能力，是一道中档题.
6．（2020·全国·高考真题）已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） .
【分析】（1）将 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区
间和减区间；
（2）若 有两个零点，即 有两个解，将其转化为 有两个解，令
，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】（1）当 时， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的减区间为 ，增区间为 ；
（2）若 有两个零点，即 有两个解，
从方程可知， 不成立，即 有两个解，
令 ，则有 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ，
而 时， ，当 时， ，
所以当 有两个解时，有 ，
所以满足条件的 的取值范围是： .
【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根
据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线 和直线有两个交点，利用过点 的曲线 的切线斜率，结合图形求得结果.
7．（2019·全国·高考真题）已知函数 .证明：
（1） 存在唯一的极值点；
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）先对函数 求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一 ，使得 ，进而可得判
断函数 的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立；
（2）先由（1）的结果，得到 ， ，得到 在 内存在唯一
实根，记作 ，再求出 ，即可结合题意，说明结论成立.
【详解】（1）由题意可得， 的定义域为 ，
由 ，
得 ，
显然 单调递增；
又 ， ，
故存在唯一 ，使得 ；
又当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减；
因此， 存在唯一的极值点；
（2）
[方法一]【利用对称性转化为研究两个函数根的问题】
的根的情况问题可转化为函数 与 的图像在区间
内的交点情况． ．
当 时， 在区间 内单调递增；又因为 ，所以当 时，
，则 时， 单调递减；当 时， ，则当
时， 单调递增．又 ，所以函数 与 的图像，如
图所示，只有两个交点，横坐标分别为 和 ，且 ，即 和 为
的两个实根．又因为 ，当 时， ，由于
，所以 ，即 ，所以两个实根互为倒数．
[方法二]【分类讨论】
由（1）知， ．又 ，所以 有且仅有两
个实根 ，可令 ．
下面证明 ，
由 ，得 ，显然有 ， ．
（*）
（1）当 时， ，（*）式不成立；
（2）当 时， ，（*）式不成立；
（3）当 时， ，（*）式成立．
综上， 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
[方法三]【利用函数的单调性结合零点存在定理】
的定义域为 ，显然 不是方程 的根，
所以 有两个实根等价于 有两个零点，且 定义域为 ．
而 ，所以 在区间 内单调递增，在区间 内单调递增．
当 时， ， ，
所以 在区间 内有唯一零点 ，即 ，所以 ．
结合单调性知 在区间 内有唯一零点 ，所以 有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数，
即 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【整体点评】(2)方法一：对称性是函数的重要性质，利用函数的对称性研究函数体现了整体思想；
方法二：分类讨论是最常规的思想，是处理导数问题最常规的手段；
方法三：函数的单调性和零点存在定理的综合运用使得问题简单化.
8．（2019·全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2） .
【分析】（1）求导得到导函数后，设为 进行再次求导，可判断出当 时， ，当
时， ，从而得到 单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结
论；（2）构造函数 ，通过二次求导可判断出 ，
；分别在 ， ， 和 的情况下根据导函数的
符号判断 单调性，从而确定 恒成立时 的取值范围.
【详解】（1）
令 ，则
当 时，令 ，解得：
当 时， ；当 时，
在 上单调递增；在 上单调递减
又 ， ，
即当 时， ，此时 无零点，即 无零点，使得
又 在 上单调递减 为 ，即 在 上的唯一零点
综上所述： 在区间 存在唯一零点
（2）若 时， ，即 恒成立
令
则 ，
由（1）可知， 在 上单调递增；在 上单调递减
且 ， ，
，
①当 时， ，即 在 上恒成立
在 上单调递增
，即 ，此时 恒成立
②当 时， ， ，
，使得
在 上单调递增，在 上单调递减
又 ，
在 上恒成立，即 恒成立
③当 时， ，
，使得
在 上单调递减，在 上单调递增
时， ，可知 不恒成立
④当 时，在 上单调递减
可知 不恒成立
综上所述：
【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值
恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，
进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
9．（2019·全国·高考真题）已知函数 ， 为 的导数．证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
（2） 有且仅有2个零点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在 上单调递减，根据零点存在定理可判断出
，使得 ，进而得到导函数在 上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的
结论可知 为 在 上的唯一零点；当 时，首先可判断出在 上无零点，再利用
零点存在定理得到 在 上的单调性，可知 ，不存在零点；当 时，利用零点存
在定理和 单调性可判断出存在唯一一个零点；当 ，可证得 ；综合上述情况可证得
结论.
【详解】（1）由题意知： 定义域为： 且
令 ，
，
在 上单调递减， 在 上单调递减
在 上单调递减
又 ，，使得
当 时， ； 时，
即 在 上单调递增；在 上单调递减
则 为 唯一的极大值点
即： 在区间 上存在唯一的极大值点 .
（2）由（1）知： ，
①当 时，由（1）可知 在 上单调递增
在 上单调递减
又
为 在 上的唯一零点
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
又
在 上单调递增，此时 ，不存在零点
又
，使得
在 上单调递增，在 上单调递减
又 ，
在 上恒成立，此时不存在零点
③当 时， 单调递减， 单调递减
在 上单调递减又 ，
即 ，又 在 上单调递减
在 上存在唯一零点
④当 时， ，
即 在 上不存在零点
综上所述： 有且仅有 个零点
【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一
方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯
一性，二者缺一不可.
10．（2018·江苏·高考真题）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在
上的最大值与最小值的和为 ．
【答案】
【分析】方法一：利用导数判断函数 在 上的单调性，确定零点位置，求出参数 ,再根据函数
在 上的单调性确定函数最值，即可解出.
【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法
求导得 ，
当 时，函数 在区间 内单调递增，且 ，所以函数 在 内无零点；
当 时，函数 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增．
当 时， ；当 时， ．
要使函数 在区间 内有且仅有一个零点，只需 ，解得 ．
于是函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
，所以最大值与最小值之和为 ．
故答案为： ．
［方法二］： 等价转化
由条件知 有唯一的正实根，于是 ．令 ，则，所以 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，且 ，当
时， ；当 时， ．
只需直线 与 的图像有一个交点，故 ，下同方法一．
［方法三］：【最优解】三元基本不等式
同方法二得， ，当且仅当 时取等号，
要满足条件只需 ，下同方法一．
［方法四］：等价转化
由条件知 有唯一的正实根，即方程 有唯一的正实根，整理得 ，
即函数 与直线 在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线 与曲线
相切时，满足题意，如图．
设切点 ，因为 ，于是 ，解得 ，
下同方法一．
【整体点评】方法一：利用导数得出函数在 上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化
为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法；
方法二：利用等价转化思想，函数在 上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，
使问题得解；
方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解；
方法四：将函数在 上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解．
