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10.3 平面向量的应用（精讲）
考点一 夹角
【例1-1】（2023·江苏）若向量 ， 与 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（
）
A． B．
C． D．
【例1-2】．（2023秋·福建莆田）已知O为 的外心，且 ．若向量 在向量上的投影向量为 ，其中 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2023春·福建厦门）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等
分点，AF与DE交于M，则 .
2．（2023春·湖南怀化）在 中，已知 ， ， ， 和 边上的两条中线 ，
相交于点 ，则 的余弦值为
3．（2023秋·山东枣庄）如图，在 中，已知 ， ， ， 是 的中点，
，设 与 相交于点 ，则 ．
考点二 最值
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形 中， 为等边
三角形，当点 在对角线 上运动时， 的最小值为（ ）A． B．-1
C． D．2
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中， ，
若P为边BC上的一个动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·辽宁大连·）设平面向量 满足 与 的夹角为 且 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·河北保定）已知边长为2的菱形 中，点 为 上一动点，点 满足 ，
，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．3
考点三 平面向量与四心
【例3-1】（2023春·四川成都）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中
一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 ， ， 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）点O在△ 所在的平面内，则以下说法正确的是
（ ）
A．已知平面向量 满足 ，且 ，则△ 是等边三角形
B．若 ，则点O为△ 的重心
C．若 ，则点O为△ 的外心；
D．若 ，则点O为△ 的垂心
【一隅三反】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对
应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是
内的一点， ， ， 的面积分别为 、 、 ，则有 ，设O是锐角 内的一点， ， ， 分别是 的三个内角，以下命题正确的是（ ）．
A．若 ，则O为 的重心
B．若 ，则
C．若O为 （不为直角三角形）的垂心，则
D．若 ， ， ，则
2．（2023春·湖北武汉）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
B．已知点 在 所在平面内，满足 ，则 是 的重心
C．已知点 在 所在平面内，满足 ，则点 的轨迹一定经过 的内心
D．若平面向量 ， 共线，且 ，满足 ，则 为5或1
3．（2023春·广东佛山）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的
图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是
内一点， 、 、 的面积分别为 、 、 ，则 .设
是锐角 内的一点， 、 、 分别是 的三个内角，以下命题正确的有（ ）A．若 ，则
B． ， ， ，则
C．若 为 的内心， ，则
D．若 为 的重心，则
考点四 平面向量与三角函数
【例4-1】（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）在 中， ， ， ，则
的取值范围是 ．
【例4-2】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）在 中，角 所对的边分别为
， .
(1)求角 的值；
(2)若 ，边 上的中点为 ，求 的长度.【一隅三反】
1．（2023春·湖北）如图，在 中， ， ， ，点 ， 分别在边 ，
上，且 ， ， 与 交于点 ．
(1)设 ， ，试用 ， 表示 ；
(2)求 的长．
2．（2023春·吉林长春） 的内角 的对边分别为 ，且 ．(1)求A；
(2)若 ，三角形面积 ，求 边上的中线 的长．
3．（2023春·北京）在 中，D为边AC上一点，满足 ，若
， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
考点五 平面向量证明线段垂直
【例5】（2023·云南）在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ，
(且 )，D为AB的中点，E为 的重心，F为 的外心．
(1)求重心E的坐标；
(2)用向量法证明： ．
【一隅三反】
1．（2023春·陕西西安）已知在 中，点 是 边上靠近点 的四等分点，点 为 中点，设与 相交于点 .
(1)请用 、 表示向量 ；
(2)设 和 的夹角为 ，若 ，且 ，求证： .
2．（2023春·上海浦东新）已知在 中，点 是 边上靠近点 的四等分点，点 在 边上，且
，设 与 相交于点 ．记 ， ．
(1)请用 ， 表示向量 ；
(2)若 ，设 ， 的夹角为 ，若 ，求证： ．3．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线 ，点
到直线 的距离为 ，若点 满足 ，记 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率不为零的直线 与 交于 两点，设 ，证明： .
考点六 向量在物理上的应用
【例6】（2023春·广东清远）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东 km/h.一
艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与
B相距 m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船
的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （ ）
A． km/h B． km/h
C． km/h D． km/h
【一隅三反】
1（2022·全国·高三专题练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运
动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为 ，每只胳膊的拉力大小均为 ，则该学生的体重（单位： ）约为（参考数据：取重力加速度大小为 ）（ ）
A． B．61 C．75 D．60
2．（2022·全国·高三专题练习）物体受到一个水平向右的力 及与它成60°角的另一个力 的作用.已知
的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则 的大小为（ ）
A．3N B． C．2N D．
3．（2023广东）（多选）在水流速度为 的河水中，一艘船以 的实际航行速度垂直于对
岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
A．这艘船航行速度的大小为
B．这艘船航行速度的大小为
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
