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02 卷 第六章 数 列《真题模拟卷》《真题模拟卷》
－2022 年高考一轮数学单元复习（新高考专用）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．设函数 ， 是公差为 的等差数列， ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵数列{a }是公差为 的等差数列，且
n
∴
∴ 即
得
∴
[点评]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识
系统、网络化学习. 另外， 隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.
2．已知等差数列 的前 项和为 ,则数列 的前100项和为A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设等差数列{a }的首项为a，公差为d.
n 1
∵a＝5，S＝15，
5 5
∴ ⇒ ⇒a＝n.
n
∴ ＝ ＝ ，
S ＝ ＋ ＋…＋
100
＝1－ ＝ .
3．数列 的通项公式 其前n项和为 ，则 等于
A．1006 B．2012 C．503 D．0
【答案】A
【详解】
故选：A.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明二、填空题
4．（2017新课标全国II理科）等差数列 的前 项和为 ， ， ，则
____________．
【答案】
【详解】
设等差数列的首项为 ，公差为 ，由题意有 ，解得 ，
数列的前n项和 ，
裂项可得 ，
所以 ．
点睛:等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a，a，d，n，S，知其中三个就能求另外
1 n n
两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，
而a 和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注
1
意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对
称的特点．
5．数列 是等差数列，若 构成公比为 的等比数列，则 ________.
【答案】
【详解】
试题分析：∵ 成等比，∴ ，令
，则 ，即 ，∴ ，即，∴ .
考点：1.等差，等比数列的性质.
三、解答题
6．已知数列 满足 .
(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)证明： .
【答案】（1）证明见解析， ；（2）证明见解析.
【详解】
试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其
通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出 ，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.
试题解析：（1）证明：由 得 ，所以 ，所以 是等比
数列，首项为 ，公比为3，所以 ，解得 .
（2）由（1）知： ，所以 ，
因为当 时， ，所以 ，于是 =，
所以 .
【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当 时，
，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.
考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们
的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解
决好该类问题的关键.
7．已知数列 和 满足 .若 为等比数列，且
（1）求 与 ；
（2）设 ．记数列 的前 项和为 .
（i）求 ；
（ii）求正整数 ，使得对任意 ，均有 ．
【答案】（1） ， ；（2）（i） ；（ii）
．
【解析】
试题分析：（1）求 与 得通项公式，由已知 得 ，再由已知
得， ，又因为数列 为等比数列，即可写出数列 的通项公式为 ，由数列 的通项公式及 ，可得数列 的通
项公式为， ；（2）（i）求数列 的前 项和 ，首先求数列 的通项公式，
由 ，将 ， 代入整理得 ，利用等比数列求
和公式，即可得数列 的前 项和 ；（ii）求正整数 ，使得对任意 ，均有 ，即求数
列 的最大项，即求数列 得正数项，由数列 的通项公式，可判断出 ，
当 时， ，从而可得对任意 恒有 ，即 ．
（1）由题意， ， ，知 ，又有 ，得公比
（ 舍去），所以数列 的通项公式为 ，所以
，故数列 的通项公式为， ；
（2）（i）由（1）知， ，所以 ；
（ii）因为 ；当 时， ，而
，得 ，所以当 时， ，综
上对任意 恒有 ，故 ．
点评：本题主要考查等差数列与等比的列得概念，通项公式，求和公式，不等式性质等基础知识，同时考查运算求解能力．
8．已知数列 和 满足，
（1）求 与 ；
（2）记数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；（2）根据（1）问得到新的数列的
通项公式，利用错位相减法进行数列求和.
试题解析：（1）由 ，得 .
当 时， ，故 .
当 时， ，整理得 ，
所以 .
（2）由（1）知，
所以
所以
所以 .
考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.9．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{a}满足： ，求证:数列{a}为“M－数列”；
n n
（2）已知数列{b}满足: ，其中S 为数列{b}的前n项和．
n n n
①求数列{b}的通项公式；
n
②设m为正整数，若存在“M－数列”{c}，对任意正整数k，当k≤m时，都有 成立，求m的
n
最大值．
【答案】（1）见解析；
（2）①b=n ；②5.
n
【分析】
（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；
（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b}是等差数列，据此即可确定其通项公式；
n
②由①确定 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m的最大值．
【详解】
（1）设等比数列{a}的公比为q，所以a≠0，q≠0.
n 1
由 ，得 ，解得 ．
因此数列 为“M—数列”.
（2）①因为 ，所以 ．
由 得 ，则 .
由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，整理得 ．
所以数列{b}是首项和公差均为1的等差数列.
n
因此，数列{b}的通项公式为b=n .
n n
②由①知，b=k， .
k
因为数列{c}为“M–数列”，设公比为q，所以c=1，q>0.
n 1
因为c≤b≤c ，所以 ，其中k=1，2，3，…，m.
k k k+1
当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有 ．
设f（x）= ，则 ．
令 ，得x=e.列表如下：
x e (e，+∞)
+ 0 –
f（x） 极大值
因为 ，所以 ．
取 ，当k=1，2，3，4，5时， ，即 ，
经检验知 也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5．
【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运
用数学知识探究与解决问题的能力．
10． 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，已知 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
【答案】（I） ， ；
（II）
【分析】
（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得 ，进而求得等差
数列和等比数列的通项公式；
（II）根据题中所给的 所满足的条件，将 表示出来，之后应用分组求和法，结合
等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.
【详解】
（I）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
依题意，得 ，解得 ，
故 ， ，
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 ；
（II），
记 ①
则 ②
② ①得， ，
所以
.
【点睛】
本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和
运算求解能力，属于中档题目.
11．设等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足：对每
成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 证明：
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【分析】
(1)首先求得数列 的首项和公差确定数列 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列 的通项公式；
(2)结合(1)的结果对数列 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题
中的不等式.
【详解】
(1)由题意可得： ，解得： ，
则数列 的通项公式为 .
其前n项和 .
则 成等比数列，即：
，
据此有：
，
故 .
(2)结合(1)中的通项公式可得：
，
则 .
【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在
考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．设 是等差数列， 是等比数列.已知 .（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）（i） （ii）
【分析】
(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列 的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行
等价变形，结合等比数列前n项和公式可得 的值.
【详解】
(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
依题意得 ，解得 ，
故 ， .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .
(Ⅱ)(i) .
所以，数列 的通项公式为 .(ii)
.
【点睛】
本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求
和的基本方法以及运算求解能力.
13．已知 是各项均为正数的等比数列， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
(1)本题首先可以根据数列 是等比数列将 转化为 ， 转化为 ，再然后将其带入
中，并根据数列 是各项均为正数以及 即可通过运算得出结果；
(2)本题可以通过数列 的通项公式以及对数的相关性质计算出数列 的通项公式，再通过数列
的通项公式得知数列 是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．
【详解】
(1)因为数列 是各项均为正数的等比数列， ， ，
所以令数列 的公比为 ， ， ，所以 ，解得 (舍去)或 ，
所以数列 是首项为 、公比为 的等比数列， ．
(2)因为 ，所以 ， ， ，
所以数列 是首项为 、公差为 的等差数列， ．
【点睛】
本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的
使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．
14．
已知数列{a}和{b}满足a=1，b=0， ， .
n n 1 1
（1）证明：{a+b}是等比数列，{a–b}是等差数列；
n n n n
（2）求{a}和{b}的通项公式.
n n
【答案】（1）见解析；（2） ， ．
【分析】
(1)可通过题意中的 以及 对两式进行相加和相减即可推导出数列
是等比数列以及数列 是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列 以及数列 的通项公式，然后利用数列 以及数
列 的通项公式即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知 ， ， ， ，
所以 ，即 ，
所以数列 是首项为 、公比为 的等比数列， ，
因为 ，所以 ，数列 是首项 、公差为 的等差数列， ．
(2)由(1)可知， ， ，
所以 ， ．
【点睛】
本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等
比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
15．已知数列 ， ，前 项和为 .
（1）若 为等差数列，且 ，求 ；
（2）若 为等比数列，且 ，求公比 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；
【解析】
【分析】
（1）通过 ，求解出 ，通过求和公式得到 ；（2）根据 可得 且 ，从
而得到不等式 ，解不等式得到结果.
【详解】
（1）由 且
（2）由题意可知则 且
或
又
【点睛】
本题考查等差数列求和、等比数列前 项和的应用问题.利用等比数列前 项和的极限求解 的范围的关键
在于能够明确存在极限的前提，然后通过公式得到关于 的不等式，求解不等式得到结果.
16．已知 为等差数列，前n项和为 ， 是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
【答案】（Ⅰ） . .（Ⅱ） .
【详解】
试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程求出等差数列首项 和公差 及等比
数列的公比 ，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .由已知 ，得
，而 ，所以 .又因为 ，解得 .所以， .由 ，可得 .由 ，可得 ，联立①②，解得 ，
由此可得 .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .
（Ⅱ）解：设数列 的前 项和为 ，由 ，有
，
，
上述两式相减，得
.
得 .
所以，数列 的前 项和为 .
【考点】等差数列、等比数列、数列求和
【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进
而写出通项公式及前 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错
位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.
17．已知{a}是各项均为正数的等比数列,且 .
n
(I)求数列{a}通项公式；
n
(II){b}为各项非零的等差数列,其前n项和S,已知 ,求数列 的前n项和 .
n n
【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ） .
【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.
试题解析：（Ⅰ）设 的公比为 ，由题意知： .
又 ，
解得： ，
所以 .
（Ⅱ）由题意知： ，
又
所以 ,
令 ,
则 ，
因此
,
又 ,
两式相减得
所以 .
【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化
1
为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a,a,q,n,S,知其中三个就能求另外两个,
1 n n
体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式
n n
“错项对齐”，以便下一步准确写出“S－qS”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不
n n
等于1两种情况求解．
18．
在等差数列 中，已知公差 ， 是 与 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，记 ，求 .
【答案】（1） .（2） .
【详解】
试题分析：（1）由题意知 ，
解得 ，即得所求.
（2）由题意知 .
从而得到 .
由于 .因此应分n为偶数、n为奇数讨论求和
具体的，当n为偶数时，
当n为奇数时，.
试题解析：（1）由题意知 ，
即 ，
解得 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由题意知 .
所以 .
因为 .
可得，当n为偶数时，
当n为奇数时，所以 .
考点：等差数列、等比数列，数列的求和，分类讨论思想.
19． 为等差数列 的前n项和，且 记 ，其中 表示不超过x的最大整数，
如 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求数列 的前1000项和.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）1893.
【详解】
试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项 ，再根据已知条件求 ；（Ⅱ）用分段函数表示 ，再由
等差数列的前 项和公式求数列 的前1 000项和．
试题解析：（Ⅰ）设 的公差为 ，据已知有 ，解得
所以 的通项公式为
（Ⅱ）因为
所以数列 的前 项和为
【考点】等差数列的通项公式、前 项和公式，对数的运算【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，
以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点
和生长点.
20．设 是等比数列 ， ， ， ， 的各项和，其中 ， ， ．
（Ⅰ）证明：函数 在 内有且仅有一个零点（记为 ），且 ；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 ，比较
与 的大小，并加以证明．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）当 时， ，当 时， ，证明见
解析．
【详解】
试题分析：（Ⅰ）先利用零点定理可证 在 内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证
在 内有且仅有一个零点，进而利用 是 的零点可证 ；（Ⅱ）先设
，再对 的取值范围进行讨论来判断 与 的大小，进而可得 和
的大小．
试题解析：（Ⅰ） ，则所以 在 内至少存在一个零点 ．
又 ，故在 内单调递增，
所以 在 内有且仅有一个零点 ．
因为 是 的零点，所以 ，即 ，故 ．
（Ⅱ）解法一：由题设，
设
当 时，
当 时，
若 ，
若 ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 ，即 ．
综上所述，当 时, ；当 时
解法二 由题设，当 时,
当 时, 用数学归纳法可以证明 ．
当 时, 所以 成立．
假设 时，不等式成立，即 ．
那么，当 时，
．
又
令 ，则
所以当 , , 在 上递减；
当 , , 在 上递增．
所以 ，从而
故 ．即 ，不等式也成立．
所以，对于一切 的整数，都有 ．
解法三:由已知，记等差数列为 ,等比数列为 , 则 ， ，
所以 ,
令当 时, ,所以 ．
当 时,
而 ，所以 ， ．
若 ， ， ，
当 ， ， ，
从而 在 上递减， 在 上递增．所以 ，
所以当 又 ， ，故
综上所述，当 时， ；当 时 ．
考点：1、等比数列的前 项和公式；2、零点定理；3、等差数列的前 项和公式；4、利用导数研究函数
的单调性．
21．已知数列 是首项为正数的等差数列，数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；(2) .
【详解】
（Ⅰ）设数列 的公差为 ，
令 得 ，所以 .令 得 ，所以 .
解得 ，所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 所以
所以
两式相减，得
所以
考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.
22．设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，且 为钝角. （1）证明：
； （2）求 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2） .
【详解】
试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将 化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角 用 表示,换元法求
函数 的值域即可.
试题解析：(Ⅰ)由 及正弦定理，得 ，∴ ，即 ，
又 为钝角，因此 ，
故 ，即 ；
(Ⅱ)由（1）知，
，∴ ，
于是
，
∵ ，∴ ，因此 ，由此可知 的取值范
围是 ．
考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.
23．等差数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【详解】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ．
由已知得 ，
解得 ．
所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ．
所以
．
考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．
24．正项数列{a}满足：a2﹣（2n﹣1）a﹣2n＝0．
n n n
（1）求数列{a}的通项公式a；
n n
（2）令b ，求数列{b}的前n项和T．
n n n
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）根据数列的递推关系，即可求数列{a}的通项公式a；
n n（2）求出b 的通项公式，利用裂项法即可得到结论．
n
【详解】
解：（1）∵a2﹣（2n﹣1）a﹣2n＝0，
n n
∴（a﹣2n）（a+1）＝0，
n n
又∵各项为正，∴a＝2n．
n
（2）∵b （ ），
n
∴数列{b}的前n项和T （1 ） （1 ，
n n
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键．
25．设等差数列 的公差为 ，点 在函数 的图象上（ ）.
（1）若 ，点 在函数 的图象上，求数列 的前 项和 ；
（2）若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，求数列 的前
项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【详解】
试题分析：据题设可得， .（1） ，由等差数列的前
项和公式可得 .（2）首先可求出 在 处的切线为 ，令 得
，由此可求出 ， .所以 ，这个数列用错位相消法可得前 项和 .
试题解答： .（1） ，所以
.
（2）将 求导得 ，所以 在 处的切线为 ，令
得 ，
所以 ， .所以 ，
其前 项和 ①
两边乘以2得： ②
②－①得： ，所以 .
【考点定位】等差数列与等比数列.
26．已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2）【分析】
（1）根据等差数列的性质得出 运用通项公式求解即可．
（2）由（1）可得 .对n分类讨论“裂项相消求和”即可得出.
【详解】
（1）∵等差数列{a}的公差为2，前n项和为S，且S、S、S 成等比数列．
n n 1 2 4
∴S＝na+n（n﹣1）
n 1
（2a+2）2＝a（4a+12），a＝1，∴a＝2n﹣1；
1 1 1 1 n
（2）∵由（1）可得 ，
当n为偶数时，T＝
n
．
当n为奇数时，
．
．
【点睛】
本题考查了等差数列等比数列的定义，性质，公式，分类讨论思想，裂项相消求和，属于中档题．
27．已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ，且 是等比
数列.
（1）求数列 和 的通项公式；（2）求数列 的前 项和.
【答案】（1） ， ；（2）
【详解】
试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和
法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列 前n项和．
试题解析：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d= = = 3．∴a=a+（n﹣1）d=3n
n 1
设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则
q3= = =8，∴q=2，
∴b﹣a=（b﹣a）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=3n+2n﹣1
n n 1 1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=3n+2n﹣1， ∵数列{3n}的前n项和为 n（n+1），
n
数列{2n﹣1}的前n项和为1× = 2n﹣1，
∴数列{bn}的前n项和为；
考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．
28．等差数列 的前n项和为 ，已知 ， 为整数，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
试题分析：（1）由已知可得等差数列 的公差 为整数．由 可得 列出不等式组
解得 的范围，从而可确定整数 的值，最后由等差数列的通项公式可求得数列 的通项公式；
（2）由已知先写出 ，
列出 的表达式 ，
由于 可分裂为 ，故采用裂项相消法求 ．
（1）由 ， 为整数知，等差数列 的公差 为整数．又 ，故 于是
，解得 ，因此 ，故数列 的通项公式为 ．
（2） ，
于是 ．
考点：1．等差数列通项公式；2．裂项法求数列的前 项和．
29．设数列{a}的前n项和为S，数列{S}的前n项和为T，满足T＝2S－n2，n∈N*．
n n n n n n
(1)求a 的值；
1
(2)求数列{a}的通项公式．
n
【答案】(1)a＝1；(2)a＝3·2n－1－2，n∈N*．
1 n
【详解】(1)令 得: a 的值为1;
1
(2)当 时,T =2S -(n-1)2，所以两式相减得:
n-1 n-1
= - ,此式对 也成立,所以对n∈N﹡,都有 = - ,所以,当 时, = -
,此两式相减得: = - -2,即 +2= ,所以
数列 是公比为2的等比数列,首项为3,所以 ,解得 = －2.
30．已知等差数列 的前 项和 满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和．
【答案】(1) ；（2） .
【分析】
（1）根据等差数列的前n项和公式解方程组即可求{a}的通项公式；
n
（2）求出求数列{ }的通项公式，利用裂项法即可求前n项和S．
n
【详解】
解：（1）由等差数列的性质可得 ，
即 ，解得a＝1，d＝﹣1，
1
则{a}的通项公式a＝1﹣（n﹣1）＝2﹣n；
n n（2） （ ） （
），
则数列{ }的前n项和S （ ）
n
（﹣1 ） ．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及利用裂项法进行求和，考查学生的计算能力．
31．已知等差数列{a}满足a＝0，a＋a＝－10.
n 2 6 8
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)求数列 的前n项和．
【答案】（1） ；（2） .
【详解】
(1)设等差数列{a}的公差为d，
n
由已知条件可得 ，
解得 ，
故数列{a}的通项公式为a＝2－n.
n n
(2)设数列 的前n项和为S，
n
∵ ，∴S＝ －
n
记T＝ ，①
n
则 T＝ ，②
n
①－②得： T＝1＋ ，
n
∴ T＝ － ，即T＝4 － .
n n
∴S＝ －4 ＋
n
＝4 －4 ＋ ＝ .
32．在数列 中，
（I）设 ，求数列 的通项公式
（II）求数列 的前 项和
【答案】（I） ( )
（II） =【解析】
试题分析：解:(I)由已知有 利用累差迭加即可求出数列 的通项公式:
( )
(II)由(I)知 ,
=
而 ,又 是一个典型的错位相减法模型,
易得 =
考点：数列的通项公式和求和的运用
点评：解决的关键是对于数列的递推关系式的运用，根据迭代法得到通项公式，并结合错位相减法求和．
33．本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知数列 满足 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 是公比为 等比数列， ， 求 的取值范围；
（3）若 成等差数列，且 ，求正整数 的最大值，以及 取最大值时
相应数列 的公差.
【答案】（1） ；（2） ；（3） 的最大值为1999，此时公差为 .【解析】
【分析】
（1）依题意： ，又 将已知代入求出x的范围；
（2）先求出通项： ，由 求出 ，对q分类讨论求出S 分别代入不等式
n
S≤S ≤3S，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．
n n+1 n
（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a，a，…a 的公差．
1 2 k
【详解】
（1）依题意： ，
∴ ；又
∴3≤x≤27，
综上可得：3≤x≤6
（2）由已知得， ， ，
∴ ，
当q＝1时，S＝n， S≤S ≤3S，即 ，成立．
n n n+1 n
当1＜q≤3时， ， S≤S ≤3S，即 ，
n n+1 n
∴
不等式∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，
而对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，
得q2﹣3q+2≤0，
解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，
∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，
∴1＜q≤2，
当 时，
， S≤S ≤3S，即 ，
n n+1 n
∴此不等式即 ，
3q﹣1＞0，q﹣3＜0，
3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，
qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0
∴ 时，不等式恒成立，
∴q的取值范围为： ．
（3）设a，a，…a 的公差为d．由 ，且a＝1，
1 2 k 1
得
即
当n＝1时， d≤2；当n＝2，3，…，k﹣1时，由 ，得d ，
所以d ，
所以1000＝k ，即k2﹣2000k+1000≤0，
得k≤1999
所以k的最大值为1999，k＝1999时，a，a，…a 的公差为 ．
1 2 k
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题
的关键，属于一道难题．
34．设数列{a }的前n项和为S，满足 ，且a，a+5，a 成等差数列．
n n 1 2 3
（1）求a 的值；
1
（2）求数列{a }的通项公式；
n
（3）证明：对一切正整数n，有 ．
【答案】（1）1 （2）a=3n﹣2n （3）见解析
n
【详解】
（1）在2S=a ﹣2n+1+1中，
n n+1
令n=1得：2S=a﹣22+1，
1 2
令n=2得：2S=a﹣23+1，
2 3
解得：a=2a+3，a=6a+13
2 1 3 1
又2（a+5）=a+a
2 1 3
解得a=1
1
（2）由2S=a ﹣2n+1+1，
n n+1
得a =3a +2n+1，
n+2 n+1
又a=1，a=5也满足a=3a+21，
1 2 2 1所以a =3a+2n对n∈N*成立
n+1 n
∴a +2n+1=3（a+2n），又a=1，a+21=3，
n+1 n 1 1
∴a+2n=3n，
n
∴a=3n﹣2n；
n
（3）（法一）
∵a=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1
n
∴ ≤ ，
∴ + + +…+ ≤1+ + +…+ = ＜ ；
（法二）∵a =3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2a，
n+1 n
∴ ＜ • ，，
当n≥2时， ＜ • ， ＜ • ， ，
… ＜ • ，
累乘得： ＜ • ，
∴ + + +…+ ≤1+ + × +…+ × ＜ ＜ ．
35．已知数列{a }的前n项和为S，且满足：a=a（a≠0），a =rS （n∈N*，r∈R，r≠﹣1）．
n n 1 n+1 n
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）若存在k∈N*，使得S ，S，S 成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，a ，a ，a
k+1 k k+2 m+1 m m+2
是否成等差数列，并证明你的结论．
【答案】（1）（2）见解析
【详解】
（1）由已知a =rS ，则a =rS ，两式相减得
n+1 n n+2 n+1
a ﹣a =r（S ﹣S）=ra
n+2 n+1 n+1 n n+1
即a =（r+1）a
n+2 n+1
又 a=ra =ra
2 1
∴当r=0时，数列{a }为：a，0，0，…；
n
当r≠0时，由r≠﹣1，a≠0，∴a≠0
n
由a =（r+1）a 得数列{a }从第二项开始为等比数列
n+2 n+1 n
∴当n≥2时，a=r（r+1）n﹣2a
n
综上数列{a }的通项公式为
n
（2）对于任意的m∈N*，且m≥2，a ，a ，a 成等差数列，理由如下：
m+1 m m+2
当r=0时，由（1）知，
∴对于任意的m∈N*，且m≥2，a ，a ，a 成等差数列；
m+1 m m+2
当r≠0，r≠﹣1时
∵S =S +a +a ，S =S +a
k+2 k k+1 k+2 k+1 k k+1
若存在k∈N*，使得S ，S，S 成等差数列，则2S=S +S
k+1 k k+2 k k+1 k+2
∴2S=2S +a +2a ，即a =﹣2a
k k k+2 k+1 k+2 k+1
由（1）知，a，a，…，a，…的公比r+1=﹣2，于是
2 3 n
对于任意的m∈N*，且m≥2，a =﹣2a ，从而a =4a ，
m+1 m m+2 m
∴a +a =2a ，即a ，a ，a 成等差数列
m+1 m+2 m m+1 m m+2
综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，a ，a ，a 成等差数列．
m+1 m m+2
36．已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{a }满足a =f（a），n∈N*
n n+1 n
（1）若a=0，求a，a，a；
1 2 3 4
（2）若a＞0，且a，a，a 成等比数列，求a 的值
1 1 2 3 1
（3）是否存在a，使得a，a，…，a，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a，若不存在，说明理
1 1 2 n 1
由．【答案】（1）a=2，a=0，a=2（2）a=1或 （3）存在
2 3 4 1
【解析】
试题分析：（1）由题意，代入计算得a=2，a=0，a=2；
2 3 4
（2）a=2﹣|a |=2﹣a ，a=2﹣|a |=2﹣|2﹣a |，
2 1 1 3 2 1
①当0＜a≤2时，a=2﹣（2﹣a ）=a，
1 3 1 1
所以 ，得a=1；
1
②当a＞2时，a=2﹣（a﹣2）=4﹣a ，
1 3 1 1
所以 ，得 （舍去）或 ．
综合①②得a=1或 ．
1
（3）假设这样的等差数列存在，那么a=2﹣|a |，
2 1
a=2﹣|2﹣|a ||，由2a=a+a 得2﹣a +|2﹣|a ||=2|a|（*），
3 1 2 1 3 1 1 1
以下分情况讨论：
①当a＞2时，由（*）得a=0，与a＞2矛盾；
1 1 1
②当0＜a≤2时，由（*）得a=1，从而a=1（n=1，2，…），
1 1 n
所以{a }是一个等差数列；
n
③当a≤0时，则公差d=a﹣a=（a+2）﹣a=2＞0，
1 2 1 1 1
因此存在m≥2使得a =a+2（m﹣1）＞2，
m 1
此时d=a ﹣a =2﹣|a |﹣a ＜0，矛盾．
m+1 m m m
综合①②③可知，当且仅当a=1时，a，a，…，a，…成等差数列．
1 1 2 n
考点：等差关系的确定；数列的函数特性；等比关系的确定
点评：本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力、
分析解决问题的能力，综合性强，难度较大
37．已知{a }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A，第n项之后各项 ，
n n
…的最小值记为B ，d=A －B .
n n n n
(1)若{a }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*， )，写出d，
n 1
d，d，d 的值；
2 3 4(2)设d为非负整数，证明：d=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{a }为公差为d的等差数列；
n n
(3)证明：若a=2，d=1(n=1,2,3…)，则{a }的项只能是1或2，且有无穷多项为1.
1 n n
【答案】(1) ， . (2)见解析 (3)见解析
【详解】
充分利用题目所给信息进行反复推理论证.要证明充要条件，需要充分性和必要性两个方面叙述.
(1) ， .
(2)充分性：因为 是公差为 的等差数列，且 ，所以 ，
因此 ， .
必要性：因为 ，所以 .
又因为 ，所以 .
于是 .
因此， ，即 是公差为 的等差数列.
(3)因为a=2，d=1，所以 ， ，
1 n
故对任意 ， .
假设 ，中存在大于2的项，
设m为满足 的的最小正整数，
则 ，并且对任意 ，
又因为a=2，所以 ，且 .
1
于是 .
故 ，与 矛盾.所以对于任意 ，都有 ，即非负整数数列 的各项只能为1或2,.
因为对任意 ， ，
所以 .
故
因此，对于任意正整数 ，存在 满足 ，且 ，即数列{a }有无穷多项为1.
n
【考点定位】本题考查了数列的周期性，等差数列.考查了推理论证能力和数据处理能力.试题难度较大，
解答此题，需要非常强的分析问题和解决问题的能力.本题是一个信息题，考查了学生对知识的迁移能力.
38．已知 是等差数列，其前n项和为S， 是等比数列，且 ，
n
.
（Ⅰ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅱ）记 ， ，证明 （ ）.
【答案】（1） ， ， （2） ，
【考点定位】本小题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和公式、数列求和等基础知
识.考查化归与转化的思想方法.考查运算能力、推理论证能力.该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，
就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证
明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则
【解析】
（1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q.
由 ，得 ， ， .
由条件，得方程组 ，解得所以 ， ， .
（2）证明：（方法一）
由（1）得
①
②
由②-①得
而
故 ，
（方法二：数学归纳法）
① 当n=1时， ， ，故等式成立.
② 假设当n=k时等式成立，即 ，则当n=k+1时，有：即 ，因此n=k+1时等式也成立
由①和②，可知对任意 ， 成立.
39．
已知数列 与 满足：
， ，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设 ，证明： 是等比数列；
（Ⅲ）设 证明： ．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析
【详解】
（Ⅰ）由 ，可得 ，又
将 代入可得40．
在数列 与 中， ，数列 的前 项和 满足
, 为 与 的等比中项， .
（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅲ）设 .证明 .
【答案】（Ⅰ） ，
（Ⅱ） ，
（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前 项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、
数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分
（Ⅰ）解：由题设有 ， ，解得 ．由题设又有 ， ，解得
．
（Ⅱ）解法一：由题设 ， ， ，及 ， ，进一步可得 ，
， ， ，猜想 ， ， ．
先证 ， ．
当 时， ，等式成立．当 时用数学归纳法证明如下：（1当 时， ，等式成立．
（2）假设 时等式成立，即 ， ．
由题设，
①的两边分别减去②的两边，整理得 ，从而
．
这就是说，当 时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式 对任何的 成立．
综上所述，等式 对任何的 都成立
再用数学归纳法证明 ， ．
（1）当 时， ，等式成立．
（2）假设当 时等式成立，即 ，那么
．
这就是说，当 时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式 对任何的 都成立．
解法二：由题设
①的两边分别减去②的两边，整理得 ， ．所以，
，
……
， ．
将以上各式左右两端分别相乘，得 ，
由（Ⅰ）并化简得 ， ．
止式对 也成立．
由题设有 ，所以 ，即 ， ．
令 ，则 ，即 ．由 得 ， ．所以 ，即
， ．
解法三：由题设有 ， ，所以
，
，
……
， ．
将以上各式左右两端分别相乘，得 ，化简得
， ．由（Ⅰ），上式对 也成立．所以 ， ．
上式对 时也成立．
以下同解法二，可得 ， ．
（Ⅲ）证明： ．
当 ， 时，
．
注意到 ，故
．
当 ， 时，
当 ， 时，
．
当 ， 时，
．
所以 ．从而 时，有
总之，当 时有 ，即 ．
41．
等比数列{ }的前n项和为 ，已知对任意的 ，点 ，均在函数 且
均为常数)的图像上．
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（11）
【解析】
因为对任意的 ，点 ，均在函数 且 均为常数)的图像上.所以得
，
当 时, ，
当 时, ，
又因为{ }为等比数列，所以 ，公比为 ，所以 ．（2）当b=2时， ， ，
则 ，
，
相减，得 ，
，
所以 ．
42．
设数列 满足 为实数
（Ⅰ）证明： 对任意 成立的充分必要条件是 ；
（Ⅱ）设 ，证明： ;
（Ⅲ）设 ，证明：
【答案】见解析
【解析】
(1) 必要性： ，
又 ，即
充分性：设 ，对 用数学归纳法证明当 时， .假设
则 ，且
，由数学归纳法知 对所有 成立
(2) 设 ，当 时， ，结论成立
当 时，
,由（1）知 ，所以 且
(3)设 ，当 时， ，结论成立
当 时，由（2）知
43．已知 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列.
（1） 若 ，是否存在 ，有 说明理由；
（2） 找出所有数列 和 ，使对一切 , ,并说明理由；
（3） 若 试确定所有的 ，使数列 中存在某个连续 项的和是数列 中的
一项，请证明.
【答案】（1）不存在，理由见解析（2） ，理由见解析（3） ，证明见解
析
【分析】
（1）知道了数列通项，可以把 表达出来，因为 ，看 是否满足条件；
（2）写出两个数列的通项，根据公差的取值进行讨论；
（3）由题意可知，数列的通项可以确定，设连续的 项的的首项 ，可以求出这 项的和，让其等于数
列 的第k项，建立方程，因为 ，从这里入手进行计算.
【详解】
（1）由 得： ，
整理后，可得 ，
，
为整数，
不存在 ，使等式成立
（2）解法一 若 即 ，（*）（i）若 则 ，
当 为非零常数列， 为恒等于1的常数列，满足要求
（ii）若 ，（*）式等号左边取极限得 （*）式等号右边只有当 时，才可能
等于1，此时等号左边是常数， ，矛盾.
综上所述，只有当 为非零常数列， 为恒等于1的常数列，满足要求
解法二 设 ，若 ，对 都成立，且 为等比数列，则 ，对
都成立，
即 ，
，对 都成立，
（i）若 则 ，
.
（ii）若 ，则
(常数)
即： 则 ，矛盾
综上所述，有 ，使对一切 ，
（3） ，设
，
，
，
取 ，
由二项展开式可得整数 ，使得 ，
存在整数 满足要求.
故当且仅当 ，命题成立
说明：第（3）题也可按以下解法求解，
若 为偶数，则 为偶数，但 为奇数.
故此等式不成立，
一定为奇数
当 时，则 即 ，
而
当 为偶数时，存在 ，
使 成立，当 时，则 即 ，
也即 ，
，
由已证可知，当 为偶数即 为奇数时，存在 ， 成立，
当 时，则 即 ，
也即 ，而 不是5的倍数，
当 时，则所要求的 不存在，
故不是所有奇数都成立.
