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专题 2.1 函数的解析式与定义域、值域【八大题型】
【新高考专用】
1、函数的解析式与定义域、值域
函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的重点、热点内容。函数问题定义域优先，在解答函数
问题时首先要考虑定义域；函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个
高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、实际应用问题、基本不等式问题、向量的最值问
题、解析几何的函数性研究问题等；常常需要转化为求最值问题。在高考二轮复习过程中，在熟练掌握函
数基础知识和基本解题方法的同时，也要加强训练综合性较强的题目.
【知识点1 函数的定义域的求法】
1．求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2．求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
【知识点2 函数解析式的四种求法】
1．函数解析式的四种求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)
的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与 或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方
程组，通过解方程组求出f(x).
【知识点3 求函数值域的一般方法】
1．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
【题型1 具体函数的定义域的求解】
【例1】（2024·山东·一模）函数f (x)=√|x−1|−3的定义域是（ ）
A．[4,+∞) B．(−∞,−2]
C．[−2,4] D．(−∞,−2]∪[4,+∞)
【变式1-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）函数y=√x+√1−x的定义域是（ ）
A．(0,1) B．[0,1] C．[0,+∞) D．{0,1}
f (x−3)
【变式1-2】（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数f (x)的定义域为(0,2)，则函数g(x)= 的定
√x−4
义域为（ ）
A．(3,+∞) B．{2,4} C．(4,5) D．{−2,3}1
【变式1-3】（24-25高一上·山西·期中）函数f (x)=√1−x2+ 的定义域为（ ）
√x
A．[0,1] B．(0,1] C．(0,+∞) D．[1,+∞)
【题型2 抽象函数、复合函数的定义域的求解】
【例2】（2024·江苏镇江·模拟预测）若函数y=f (2x)的定义域为[−2,4]，则y=f (x)−f (−x)的定义域为
（ ）
A．[−2,2] B．[−2,4]
C．[−4,4] D．[−8,8]
【变式2-1】（2024·江西九江·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定
y=f (x) [−1,5] y=f (2x2−1)
义域为（ ）
A．[0,3] B．[−3.3] C．[−√3,√3] D．[−3,0]
【变式2-2】（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数y=f (x)的定义域为[0,4]，则函数
f(x+1)
y= +(x−2) 0 的定义域是（ ）
√x−1
A．(1,5] B．(1,2)∪(2,5) C．(1,2)∪(2,3] D．(1,3]
f (x+2)
【变式2-3】（24-25高一上·山西·期中）已知函数f (2x−1)的定义域为[−1,2]，则函数g(x)= 的
x+2
定义域为（ ）
A．[−3,−2)∪(−2,3] B．[−5,−2)∪(−2,1]
C．[−4,−2)∪(−2,2] D．[−3,−2)∪(−2,1]
【题型3 已知函数定义域求参数】
1
【例3】（24-25高一上·四川成都·期中）函数f (x)= 的定义域为(1,2)，则ab=（ ）
√ax2+3x+b
A．2 B．－2 C．－1 D．1
【变式3-1】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，则实数
f (x)=√ax2−2ax+1 R a
的取值范围是（ ）
A．(0,1] B．(0,+∞) C．[1,+∞) D．[0,1]
【变式3-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数 ．
f(x)=√(1−a2 )x2−(1−a)x+2
2
（1）若f(x)的定义域为[− ,1]，求实数a的值；
3（2）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
【变式3-3】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 √x2−3x−m
f(x)= (m∈R)
√x−1
(1)若 ，求实数m及 ；
f(2)=2 f (f (5)+1)
(2)若m=10，求f (x)的定义域；
(3)若f (x)的定义域为(1,+∞)，求实数m的取值范围.
【题型4 已知函数类型求解析式】
【例4】（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）设 为一次函数，且 ．若 ，则
f (x) f (f (x))=4x−1 f (3)=−5
f (x)的解析式为（ ）
A．f (x)=2x−11或f (x)=−2x+1 B．f (x)=−2x+1
C．f (x)=2x−11 D．f (x)=2x+1
【变式4-1】（23-24高一上·云南·期中）若函数f (x)=11x，则（ ）
( x )
A．f =x B．f (11x)=22x
11
C． D．
f (2x)=13x f (x2)=121x2
【变式4-2】（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(−1)=5，且图象
过原点，求g(x)的解析式;
（2）已知f (x)是一次函数，且满足f (x+1)−2f (x−1)=2x+3，求f (x)的解析式.【变式4-3】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数f (x)是一次函数，且满足
f (x−1)+f (x)=2x−1.
(1)求f (x)的解析式；
(2)在（1）的条件下，求函数g(x)=f2(x)−2f (x)+2的解析式，并求g(f(2))的值.
【题型5 已知f(g(x))求解析式】
【例5】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 1−x2 ，则 （ ）
f (1−x)= (x≠0) f (x)=
x2
1 1
A． −1(x≠0) B． −1(x≠1)
(x−1) 2 (x−1) 2
4 4
C． −1(x≠0) D． −1(x≠1)
(x−1) 2 (x−1) 2
( 1) 1
【变式5-1】（24-25高一上·江西·阶段练习）已知函数f x− =2x− (x>0)，则f (x)=（ ）
x x
3x−√x2+1 3x−√x2+4
A． B．
2 2
3x+√x2+1 3x+√x2+4
C． D．
2 2
【变式5-2】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）求下列函数解析式
(1)函数 满足 ， 求函数 的解析式;
f(x) f(x+1)=x2+2x+2 f(x)
(2)函数 满足 ，求函数 的解析式.
f(x) 2f(x)−f(−x)=x2 f(x)
【变式5-3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式：
(1)已知f (x+2)=2x+3，求f (x)；(2)已知 ，求 ；
f (√x+1)=x+2√x f (x)
(3)已知 是一次函数，且 ，求 ；
f (x) f (f (x))=16x−25 f (x)
(4)定义在区间(−1,1)上的函数f (x)满足2f (x)−f (−x)=x2，求f (x)的解析式．
【题型6 函数值域的求解】
【例6】（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数 4x2 ，则对任意实数x，函数 的值域是（ ）
f (x)= f (x)
2x2+1
A．(0,2) B．(0,2] C．[0,2) D．[0,2]
【变式6-1】（23-24高一上·浙江·阶段练习）函数 3x2−3x+4的值域为（ ）
y=
x2−x+1
( 13] ( 13] ( 13] [ 13]
A． −∞, B． 3, C． 0, D． 3,
3 3 3 3
【变式6-2】（23-24高一上·江苏常州·期中）下列函数中，值域为(0,+∞)的是（ ）
1
A．f(x)=√x B．f(x)=
√x+1
1
C．f(x)=1− (x>1) D．f(x)=x2+1
x
【变式6-3】（24-25高一上·湖南·期中）函数f (x)=¿的值域为（ ）
( 37] ( 35]
A． −∞, ∪[20,+∞) B． −∞, ∪[10,+∞)
4 8
( 37] ( 35]
C． −∞, ∪[10,+∞) D． −∞, ∪[20,+∞)
4 8
【题型7 根据函数的值域或最值求参数】
1
【例7】（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数f (x)= x2−x+5在[m,n]上的值域为[4m,4n]，则
2
m+n=（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10【变式7-1】（23-24高一上·四川广安·期中）若函数 的值域为 ，则实数m的
f(x)=√2x2−mx+3 [0,+∞)
取值范围是（ ）
A． B．
(−∞,−2√6] (−∞,−2√6]∪[2√6,+∞)
C． D．
[−2√6,2√6] [2√6,+∞)
【变式7-2】（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）（1）已知函数 的定义域
f(x)=√(m+1)x2−mx+m−1
为R，求实数m的取值范围；
（2） 的值域为 ，求实数 的取值范围．
已知函数f(x)=√ax2+2x+1 [0,+∞) a
ax2+(a−4)⋅ x−2
【变式7-3】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知f (x)= ．
1+x2
(1)若a=4时，求f (x)的值域；
5
(2)函数g(x)=(x2+1)f (x)+
2
，若函数
ℎ
(x)=√g(x)的值域为[0,+∞)，求a的取值范围．
【题型8 分段函数及其应用】
【例8】（24-25高一上·河南·阶段练习）函数f (x)=¿的值域为（ ）
( 5] [5 ]
A． −∞, ∪[5,+∞) B． ,5
4 4
( 3] [3 ]
C． −∞, ∪[4,+∞) D． ,4
4 4
【变式8-1】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知函数f(x)=¿，且f(a)+f(1)=0，则a等于（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3【变式8-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ， ，当 时， ， 的
f (x)=¿ g(x)=¿ x∈R f (g(x)) g(f (x))
值分别为（ ）
A．1，0 B．0，0 C．1，1 D．0，1
【变式8-3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数f(x)=¿若当x∈[m,n]时，1≤f (x)≤2，则n−m
的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．7 D．5
1．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x−1)+f(x−2)，且当x<3时
f(x)=x，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f(10)>100 B．f(20)>1000
C．f(10)<1000 D．f(20)<10000
1
2．（2022·北京·高考真题）函数f(x)= +√1−x的定义域是 ．
x
3．（2022·浙江·高考真题）已知函数 则 ( (1)) ；若当 时， ，则
f(x)=¿ f f = x∈[a,b] 1≤f(x)≤3
2
b−a的最大值是 ．
4．（2024·上海·高考真题）已知f (x)=¿则f (3)= ．
5．（2024·上海·高考真题）已知 ，求 的 的取值范围 .
f(x)=x2,g(x)=¿ g(x)≤2−x x
