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专题 10 相似三角形的基本六大模型
考点一 （双）A字型相似 考点二 （双）8字型相似
考点三 母子型相似 考点四 旋转相似
考点五 K字型相似 考点六 三角形内接矩形
考点一 （双）A字型相似
1．（2021·山东临沂·三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之
比为（ ）
A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，
得到答案．
【详解】解：∵AE=2，EC=3，
∴AC=AE+EC=5，
∵DE BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关
键．
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知：D、E是 ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，AD＝3，AC＝6，
△AE＝4，求证： ABC∽△AED．
△
【答案】见解析
【分析】根据已知线段长度求出 ，再根据∠A=∠A推出相似即可．
【详解】证明：在 ABC和 AED 中，
△ △
∵ ， ，
∴ ，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形
相似．
3．（2021·安徽·安庆市石化第一中学九年级期中）图， ，点H在BC上，AC与BD交于点
G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由 ，可证 CGH∽△CAB，由性质得出 ，由
△
，可证 BGH∽△BDC，由性质得出 ，将两个式子相加，即可求出GH的长．
△
【详解】解：∵ ，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，
∴△CGH∽△CAB，
∴ ，
∵ ，
∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，
BGH∽△BDC，
△
∴ ，
∴ ，
∵AB=2，CD=3，
∴ ，
解得：GH= ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的
关键．
4．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，
且DE BC， ．
（1）求证：DF BE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6 ．求证△ADE∽△AEB．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）由题意易得 ，则有 ，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知 ，然后可得 ，进而可证 ，最后问题可求证．
【详解】解：（1）∵DE BC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴DF BE；
（2）∵AF＝2，EF＝4，
∴由（1）可知， ，AE=6，
∵AB＝6 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEB．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
考点二 （双）8字型相似
1．（2022·福建·福州华伦中学八年级期中）如图，在平行四边形 中， 为 上一点，连接 、
，且 、 交于点 ， ： ： ，则 ： （ ）A． ： B． ： C． ： D． ：
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得到DC AB，DC=AB，得到△DFE △ABF，根据相似三角形的性质计
算即可．
【详解】∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵E为 上一点，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平
方是解题的关键．
2．（2022·广东河源·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于
点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】先利用平行四边形的性质得 ，AD=BC，由 可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得 ，然后根据三角形面积公式得 ，，则 ．
【详解】∵平行四边形ABCD
∴ ，AD=BC
∵E为边AD的中点
∴BC=2AE
∵
∴∠EAC=∠BCA
又∵∠EFA=∠BFC
∴△AEF∽△CBF
如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G，
则 ，
∴ ，
∵△AEF的面积为2
∴
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC， ，
DE＝1，BC的长度是_________．【答案】
【分析】根据DE∥BC，可得 ，从而得到 ,即可求解．
【详解】解：∵DE∥BC，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，DE＝1，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
4．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交
BE于点G，若 ，则 ___．
【答案】2
【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝ DC，根据平行四边形的性质得出
DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求
出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答
案即可．【详解】解：延长CF、BA交于M，
∵E是CD的中点，F是AE的中点，
∴EF＝AF，CE＝ DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴CE＝ AB，∠ECF＝∠M，
在△CEF和△MAF中
，
∴△CEF≌△MAF（AAS），
∴CE＝AM，
∵CE＝ AB，
∴BM＝3CE，
∵DC∥AB，
∴△CEG∽△MBG，
∴ ，
∵BE＝8，
∴ ，
解得：GE＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和
判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．5．（2021·云南·姚安县光禄中学九年级阶段练习）如图，梯形 中， ，点 在 上， 连
结 并延长与 的延长线交于点 ．求证： ；
【答案】见解析
【分析】根据AB CD，利用平行线的性质求出∠CDF＝∠G，∠DCF＝∠GBF，可证明 CDF∽△BGF．
【详解】证明：∵在梯形ABCD中，AB CD， △
∴∠CDF＝∠G，∠DCF＝∠GBF，
∴△CDF∽△BGF．
【点睛】本题考查了梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等，两个三角
形相似是解题的关键．
6．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长
线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到
BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；
（2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所
以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB
和比例的性质即可得到结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
而BE=AB，∴BE=CD，
而BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD∥CE，
∵CM∥DB，
∴△BND∽△CNM；
（2）∵AD2=AB•AF，
∴AD：AB=AF：AD，
而∠DAB=∠FAD，
∴△ADB∽△AFD，
∴∠1=∠F，
∵CD∥AF，BD∥CE，
∴∠F=∠4，∠2=∠3，
∴∠3=∠4，
而∠NMC=∠CMD，
∴△MNC∽△MCD，
∴MC：MD=CN：CD，
∴MC•CD=MD•CN，
而CD=AB，
∴CM•AB=DM•CN．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共
角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相
似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．
考点三 母子型相似
1．（2021·北京市师达中学九年级阶段练习）如图， 中，点 在边 上，且 ，若， ，则 的长为______．
【答案】2
【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出 ，
代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论．
【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴ ．
∵AC= ，AD=1，
∴ ，
∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．
故答案为2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 ＝ ．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出（2）由 得 ， ，推出 ，由相似三角形的性质得
，即可求出CD的长．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．
(1)求证：△ABC∽△BDC．
(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．
【答案】(1)见解析；
(2)4．
【分析】（1）先证明∠A＝∠DBA，进而得到∠A＝∠CBD，再根据∠C＝∠C，即可证明△ABC∽△BDC；
（2）根据∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根据（1）得到∠A =∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即
可求出AB＝4．
（1）
证明：如图，∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠CBD，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC；
（2）
解：如图，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°，
由（1）得
∴∠A =∠ABD＝∠CBD，
∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝2，
∴AB＝4．
【点睛】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质，熟知相似三角形的判定方法是解题关键，第
（2）步中求出∠A＝30°是解题关键．
4．（2021·安徽滁州·九年级期中）如图，在 ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且 ，
△
∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是 ABC的中线，求 的值．
△
【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出 ，得 ，进而求出 ，
再利用相似三角形的性质得出答案即可；
（2）由 可证 ，进而得出 ，再由（1）可证 ，由此即可得
出线段之间关系．
【详解】（1）证明： ， ，
，
，
，
，
，
．
（2）解： ，
，
，
，
AD是 ABC的中线，
△ ，
，即： ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出 是
解题关键．
考点四 旋转相似
1．（2022·浙江舟山·九年级期末）【问题发现】（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一
点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关
系是 ，位置关系是 ；【探究证明】（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点
C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C
对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线
段BE的长度．
【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由见解析；（3）画出图形见解析，线段BE的长度
为 ．
【分析】（1）由题意易得AD=AE，∠CAE=∠BAD，从而可证△ABD≌△ACE，然后根据三角形全等的性质
可求解；
（2）连接BD，由题意易得∠BAD=∠CAE，进而可证△BAD≌△CAE，最后根据三角形全等的性质及角的
等量关系可求证；
（3）如图，过A作AF⊥EC，由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，然后根据相似三
角形的性质及题意易证△BAE∽△CAD，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中， ，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，
理由：如图2，连接BD，
∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AC＝AB，AE＝AD，
∴△CEA≌△BDA（SAS），
∴∠BDA＝∠AEC＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°，
∴BD⊥CE；
（3）如图3，过A作AF⊥EC，
由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴ ，即 ，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ABE+∠BCE）＝180°﹣
（∠CBA+∠ACD+∠BCE）＝90°，∴BE⊥CE，
在Rt△BCD中，BC＝2CD＝4，
∴BD＝ ，
∵AC⊥BD，
∴S△BCD＝ AC•BD＝ BC•AC，
∴AC＝AE＝ ，AD＝ ，
∴AF= ，CE＝2CF＝2× ，
∴BE＝ ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形
的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解．
2．（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上
一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝ ，请直接写出点D到CP的距离．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 或
【分析】（1）当α＝60°时，△ABC和△PBD为等边三角形，根据三角形全等即可求证；（2）过点 作 ，求得 ，根据题意可得 ，可得 ，再根据
，判定 ，得到 ，即可求解；
（3）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，分两种情况进行讨论，当 在线段 或当
在线段 延长线上时，设 根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）当α＝60°时，∵AB＝AC
∴△ABC为等边三角形，
∴ ，
由旋转的性质可得： ，
∴△PBD为等边三角形
∴ ，
∴
在 和 中
∴
∴
（2）过点 作 ，如下图：
∵当α＝120°时，
∴ ，∴
由勾股定理得
∴
∴
由旋转的性质可得： ，
∴ ，
又∵
∴
又∵ ，
∴
∴
∴
∴
（3）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则点D到CP的距离就是 的长度
当 在线段 上时，如下图：
由题意可得：
∵α＝120°，
∴
在 中， ， ∴ ，
在 中， ， ，∴∴ ，
由（2）得
由旋转的性质可得：
设 ，则
由勾股定理可得：
即 ，解得
则
当 在线段 延长线上，如下图：
则 ，
由（2）得，
设 ，则
由勾股定理可得：
即 ，解得
则
综上所述：点D到CP的距离为 或
【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性
质以及勾股定理，综合性比较强，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
3．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在 中， ，在斜边 上取一点
D，过点D作 ，交 于点E．现将 绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得 ．
（1）①求证： ；
②若 ，求 的长；
（2）如图3，将原题中的条件“ ”去掉，其它条件不变， 设，若 ，
，求k的值；
（3）如图4，将原题中的条件“ ”去掉，其它条件不变，若 ，设 ，
，试探究 三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
【答案】（1）①见解析；② ；（2） ；（3）4p2=9m2+4n2．
【分析】（1）①先利用平行线分线段成比例定理得 ，进而得出结论；
②利用①得出的比例式求出CE，再判断出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出 ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利
用勾股定理得出DE的平方，△用DE的平方建立方程求解即可；
（3）同（2）的方法得出 ， 即可得出结论；
【详解】解：（1）①∵DE∥BC，
∴ ，
由旋转知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
②在Rt ABC中，AC=BC，
△
∴ ，
由①知， ABD∽△ACE，
△∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
∵△ABD∽△ACE，
，
∴ ，
∵
∴
在Rt CDE中，
△
根据勾股定理得，DE=2，
在Rt ADE中，AE=DE，
△
∴
（2）由旋转知，∠EAC=∠DAB，
，
∴△ABD∽△ACE，
∵AD=4，BD=3，
∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，
在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，
△∴1+9k2=16-16k2，
∴ 或 （舍），
（3）由旋转知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
∵AD=p，BD=n，
∴ ，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt CDE中， ，
△
∵ ，
，
∴4p2=9m2+4n2．
【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角
三角形的判定，解本题的关键是得出∠DCE=90°和利用两边对应成比例夹角相等来判断两三角形相似的方
法应用．
考点五 K字型相似
1．（2021·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt BEF的顶点E在边
△
CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝ BE，DF＝ ，则BE＝_____．【答案】3 ．
【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝ EC，GE＝2＝
CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝ x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依据勾股定理进行计算，
即可得出BE的长．
【详解】如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴FG＝ EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，
设EC＝x，则DG＝x，FG＝ x，∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，
∴（ x）2+x2＝（ ）2，
解得x2＝9，
即CE2＝9，
∴Rt△BCE中，BE＝ ＝ ＝3 ，
故答案为：3 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注
意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方
法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
2．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝
60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求证△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．
【答案】（1）证明见解析；（2）3．
【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证
明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论；
（2）由 ，先求解 ，设 ，再利用相似三角形的性质可得： ，列
方程，解方程即可得到答案．
【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，
∴∠BPA＋∠DPC＝120°
∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，∴∠DPC＋∠PDC＝120°，
∴∠BPA＝∠PDC，
∴△ABP∽△PCD ；
（2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，
∴ ，
∵△ABP∽△PCD
，
设 ，则 ，
∴
经检验： 是原方程的解，
所以三角形 的边长为：3．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判
定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键．
3．（2020·广东·深圳市沙井中学九年级阶段练习）如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边
上的一点，∠APD＝90°．
（1）求证： ；
（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3 ，求AB的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）8．
【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得 ，再根据相似三角形的判定
即可得证；（2）先利用勾股定理求出PC的长，从而可得BP的长，再利用相似三角形的性质即可得．
【详解】（1） ，
，
，
在 和 中， ，
；
（2） 在 中， ，
，
，
，
由（1）已证： ，
，即 ，
解得 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是
解题关键．
4．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当 时，求证： ．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在 中， ， ，以点A为直角顶点作等腰 ．点D在BC上，点E在
AC上，点F在BC上，且 ，若 ，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP △BPC，然后运用相似三角
形的性质即可解决问题；
（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP △BPC，然后运用相似三角形的性
质即可解决问题；
（3）先证△ABD △DFE，求出DF=4，再证△EFC △DEC，可求FC＝1，进而解答即可．
【详解】（1）证明：如题图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°，
∴∠ADP = ∠BPC，
∴△ADP △BPC，
，
∴AD BC = AP BP，
（2）结论仍然成立，理由如下，
，
又 ，
，
，
设 ，
，
，
，
∴AD BC = AP BP，
（3） ，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
, ，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解
题的关键．
5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ，CD⊥AB于点D，点E
是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则 ＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则 ＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝ ，BC＝2 ，DF＝4 ，请直接写出CE的长．
【答案】（1）1； ；（2）① ；② ；（3） 或
【分析】（1）先用等量代换判断出 ， ，得到 ∽ ，再判断出
∽ 即可；
（2）方法和 一样，先用等量代换判断出 ， ，得到 ∽ ，再判断
出 ∽ 即可；
（3）由 的结论得出 ∽ ，判断出 ，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．
【详解】解： 当 时，即： ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
∽ ，
，
， ，
∽ ，，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
∽ ，
，
， ，
∽ ，
，
成立 如图3，
，
，
又 ，
，
，，
，
即 ，
∽ ，
，
， ，
∽ ，
，
．
由 有， ∽ ，
，
，
，
如图4图5图6，连接EF．
在 中， ， ，
，
如图4，当E在线段AC上时，在 中， ， ，
根据勾股定理得， ，
，或 舍
如图5，当E在AC延长线上时，
在 中， ， ，
根据勾股定理得， ，
，
，或 舍 ，
③如图6，当E在CA延长线上时，在 中， ， ，
根据勾股定理得， ，
，
，或 （舍），
综上： 或 ．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的
关键，求CE是本题的难点．
考点六 三角形内接矩形
1．（2021·全国·九年级课时练习）如图，已知三角形铁皮 的边 ， 边上的高 ，
要剪出一个正方形铁片 ，使 、 在 上， 、 分别在 、 上，则正方形 的边长
________．
【答案】
【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：如图，设高AM交GF于H点，
∵四边形DEFG为正方形，
∴GF∥DE，即：GF∥BC，
∴AH⊥GF， AGF∽△ABC，
△
∴ ，
设正方形的边长为 ，∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键．
2．（2019·吉林长春·九年级期末）如图，在 ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以
每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动△．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD
右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与 ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜
4）． △
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
【答案】（1）2t；（2） ；（3） ；（4）t＝ 或
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t；
（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值；
（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式；（4）分点E在 ABC内部和 ABC外部两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求t的值．
【详解】（1）∵△∠C＝90°，△AC＝BC，
∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，
∴∠A＝∠ADP＝45°，
∴AP＝DP＝2t，
故答案为2t，
（2）如图，
∵四边形DEFP是正方形，
∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，
∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，
∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，
∵AB＝AP+PF+FB，
∴2t+2t+2t＝8，
∴t＝ ；
（3）当0＜t≤ 时，正方形PDEF与 ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，
△
即S＝DP2＝4t2，
当 ＜t≤2时，如图，正方形PDEF与 ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，
△∵AP＝DP＝PF＝2t，
∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，
∵BF＝HF＝8﹣4t，
∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，
∴S＝S DPFE﹣S GHE，
正方形
△
∴S＝4t2﹣ ×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，
综上所述，S与t之间的函数关系式为 .
（4）如图，当点E在 ABC内部，设DF与PE交于点O，
△
∵四边形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
∴ ，
∵DF＝4EG，
∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝5a，
∴ ，
∴ ，
∴t＝ ，
如图，当点E在 ABC外部，设DF与PE交于点O，
△∵四边形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
∴ ，
∵DF＝4EG，
∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝3a，
∵ ，
∴ ，
∴t＝ ，
综上所述：t＝ 或 .
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比
例和重叠部分的面积等知识.先求特殊位置时对应的t值，做到不重不漏，再利用数形结合的思想，确定重
叠部分图形的形状是解题的关键．
