文档内容
专题1.3 一定是直角三角形吗（知识讲解）
【学习目标】
1.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及
它们之间的关系．
2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.
【要点梳理】
要点一、勾股定理的逆定理
a，b，c a2 b2 c2
如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三
角形是否为直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1） 首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2） 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的
c2 a2 b2
直角三角形；若 ，则△ABC不是直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2
特别说明：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形
c
为锐角三角形，其中 为三角形的最大边.
【典型例题】
类型一、勾股定理的证明方法
1．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的
贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示
“弦图”． 中， ，若 ， ，请你利用这个图形说明
；【答案】见解析
【分析】根据题意，可在图中找出等量关系，由大正方形的面积等于中间的小正方形
的面积加上四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
解：∵大正方形面积为 ，直角三角形面积为 ，小正方形面积为 ，
∴ ，
即 ．
【点拨】本题考查了对勾股定理的证明，解决问题的关键是在图中找出等量关系．
举一反三：
【变式1】 数学课上，同学们就勾股定理的验证方法展开热烈的讨论．下面是创新小
组验证过程的一部分．请你认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整．
如图是两张三角形纸片拼成的图形，其中 ， ，
， ， ，点 在线段 上，点 ，
在边 异侧，拼成的 ，
试说明： ．
验证如下：连接 ， ．∵点 在线段 上，
∴ ．
∵ ．
【答案】见解析
【分析】由图可结合等积法进行代入求解即可．
解：过程如下：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查勾股定理的证明，关键是根据图中的面积法进行验证勾股定理
即可．
【变式2】如图是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角
形）
【答案】详见解析
【分析】此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形
的面积之和列出方程并整理．
解：证明：∵ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了勾股定理的证明．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，
从而转化成方程达到证明的结果．
【变式3】 美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”． 如图，梯形
由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，验证勾股定理．
【答案】见解析
【分析】梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，
两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证．解：如图，
梯形的面积= = ，
化简可得： = ，得证．
【点拨】此题考查了勾股定理的证明，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，
从而转化成方程达到证明的结果．
类型二、以弦图为背景的计算题
2．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在 中，
， ， ，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，
求 的值．
【答案】
【分析】根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出 ， ，
然后根据完全平方公式的变形即可求出结论．
解：小正方形面积=
4个小直角三角形的面积=
∴
∴
【点拨】此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、正方形的面积公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图所示，以 的三边为直径分别向外作三个半圆，已如以
为直径的半圆的面积为 ，以 为直径的半圆的面积为 ，以 为直径的半国的面积
为 ．
（1）求证： ；
（2）若将图中半圆改为分别以三边为斜边的等腰直角三角形，如图所示，探究（1）
中的结论是否仍成立？
【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析.
【解析】
【分析】（1）根据半圆的面积求法分别求出 ， ， ，然后根据勾股定理即可得
到结论；
（2）根据等腰直角三角形的面积求法分别求出 ， ， ，然后根据勾股定理即可
得到结论；
解：（1） ， ， ，
∵ ，
；
（2）成立，， ， ，
∵ ，
.
【点拨】该题主要考查了勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用勾股定理等
几何知识点来分析、判断、推理或解答．
【变式2】勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的
工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制
了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦 为边长所得到的正方形 是由4
个全等的直角三角形再加上中间的小正方形 组成的，其中 ， ．
（1）请利用面积相等证明勾股定理；
（2）在图1中，若大正方形 的面积是13， ，求小正方形 的面
积；
（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形 由八个全等的直角三角形
和正方形 拼接而成，记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ， ．若 ，求边 的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）4
【分析】（1）根据大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积证明
可得结论；
（2）由勾股定理可得AF的长，从而可得小正方形的边长，进一步可求出小正方形的
面积；
（3）分别求出正方形 ，正方形 ，正方形 的边长，求出其面积，
代入 ，进一步整理可得解．
解：（1）∵
∴ ，
∴小正方形 的边长=
又大正方形的边长为
∴正方形 的面积为 ，4个全等直角三角形的面积和为 ，正方形
的面积为 ，
由“大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积”得;
∴
经过整理可得
（2）∵大正方形 的面积是13，
∴
∵ ，且∴
∴ (负值舍去)
∴
∴小正方形 的面积为1；
（3）∵正方形 由八个全等的直角三角形和正方形 拼接而成，
∴ ， ，
∴正方形 的边长为 ，
∴正方形 的面积为 ．
而正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，
∴正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，
∴ ，
整理得， ，
∴ （负值舍去）
【点拨】此题考查的是勾股定理的证明和应用，能够准确识图是解答本题的关键．
【变式3】如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．
较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）
的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形
EFGH，正方形MNKT的面积分别为S、S、S，若S＋S＋S＝16，则S＝ ．
1 2 3 1 2 3 2【答案】（1）见解析；（2）该飞镖状图案的面积是24；（3） ．
【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；
（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即
可求解；
（3）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积
一个设为y，从而用x，y表示出S，S，S，得出答案即可．
1 2 3
解：（1）S ＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，另一方面S ＝c2﹣4× ab＝c2﹣
小正方形 小正方形
2ab，
即b2﹣2ab＋a2＝c2﹣2ab，
则a2＋b2＝c2．
（2）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
（x＋3）2＋32＝（6﹣x）2，
解得：x＝1，
×（3＋1）×3×4
＝ ×4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S，S，S，S＋S＋S
1 2 3 1 2 3
＝16，
∴S＝8y＋x，S＝4y＋x，S＝x，
1 2 3∴S＋S＋S＝3x＋12y＝16，
1 2 3
∴x＋4y＝ ，
∴S＝x＋4y＝ ．
2
故填： ．
【点拨】考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们
的数形结合的思想方法，还考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出S，S，
1 2
S，再利用S＋S＋S＝40求出是解决问题的关键．
3 1 2 3
类型三、以勾股定理构造图形解决问题
3．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意
思是：
如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦
苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达
岸边的水面，求池水的深度．
【答案】池水的深度为12尺
【分析】设池水的深度为x尺，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
解：设池水的深度为x尺，
由题意得，（x+1）2＝x2+（ ）2，
解得，x＝12，
答：池水的深度为12尺．【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
【变式1】 如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时
发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一
只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB．
【答案】12米
【分析】设AD为x米，则AB为（10+x）米，根据两只猴子经过的路程一样AC为
（15-x）米，BC=15-10=5（米）在Rt△ABC中，∠B=90°，则满足AB2+BC2=AC2，解方程
可以求x的值，即可计算树高AB=（10+x）米．
解：设AD为x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，
∵BC=15-10=5（米），
则列方程： ，
解得：x=2，
∴AB=10+2=12（米），
答：树高AB是12米．
【点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，在题中找到两只猴子行走路程相
等的等量关系，并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键．
【变式2】 如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远
的一个直角三角形空地斜边上的高进行了探究：两人在直角边 上距直角顶点 为 米
远的点 处同时开始测量，点 为终点．小娟沿 的路径测得所经过的路程是
米，小燕沿 的路径测得所经过的路程也是 米，这时小娟说我能求出这
个直角三角形的空地斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的空地斜边
上的高了．你能求出这个直角三角形的空地斜边上的高吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由．
【答案】能， 米
【分析】设BC=a米，AC=b米，AD=x米，根据勾股定理即可得到结论．
解：Rt△ABC中，∠B=90°，
设BC=a米，AC=b米，AD=x米，
则9+a=x+b=18，
∴a=9米，b=18-x（米），
又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（9+x）2+a2=b2，
∴（9+x）2+92=（18-x）2，
解得：x=3，即AD=3（米），
∴AB=AD+DB=3+9=12米，BC=9米，AC=15米，
∴ ×5×12= ×13h，
解得：h= 米，
答：这个直角三角花台底边上的高为 米．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式3】 Rt△AB C中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿
射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，△ABP为直角三角形？【答案】4或12.5
【分析】分当∠AP B=90°，△ABP 为直角三角形时和当∠BAP =90°，△ABP 为直角
1 1 2 2
三角形时两种情况讨论即可．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC2+AC2=AB2
∴BC2+62=102
∴BC=8，
当∠AP B=90°，△ABP 为直角三角形时，P 在C处，即BP=8，
1 1 1 1
∴8÷2=4（s）；
当∠BAP =90°，△ABP 为直角三角形时，
2 2
设BP 为x，则CP=x-8
2 2
在△ACP 中，由勾股定理得：
2
AC2+CP 2=AP2
2 2
∴62+（x-8）2=AP2
2
在△BAP 中，由勾股定理得：
2
AB2+AP2=BP 2
2 2
∴AP 2= BP2- AB2=x2-102
2 2
∴x2-102=62+（x-8）2
∴x=12.5．
【点拨】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用．
