文档内容
专题 2.1 不等式的性质
题型一 不等式性质的应用
题型二 比较两个数（式）的大小
题型三 比较法证明不等式
题型四 求目标式的取值范围
题型五 不等式的综合应用
题型一 不等式性质的应用
例1．（海南省2022届高三高考全真模拟卷（三）数学试题）（多选）如果 ，那么
下列不等式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用特殊值法可判断BCD选项.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，故A项正确；
取 ， ，则 ，则 ，故B项错误；
取 ， ，则 ，故C项错误；
取 ， ， ，则 ，故D项错误．
故选：BCD．
例2．（2023秋·广东湛江·高三雷州市第一中学校考期末）（多选）已知实数 ， ， 满
足 ， ，那么下列选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由已知可得 ，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可.
【详解】因为实数 ， ， 满足 ， ，所以 ， .
对于A：因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以A错误；
对于B，若 ，则 ，因为 ，所以 ，所以B错误；对于C，因为 ， ，所以 ，所以C正确；
对于D，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以D错误.
故选：ABD
练习1．（2021秋·福建泉州·高三校考期中）若 ，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质逐一分析即可.
【详解】若 ，则 ，故A正确；
当 时， ，故BC错误；
当 时， ，故C错误.
故选：A.
练习2．（2022秋·安徽合肥·高三校考期末）下列命题为真命题的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【分析】根据 排除选项A；取 计算验证，排除选项C，D得到答案.
【详解】对于A，若 ，则 ，当 时不成立，故A错误；
对于B，若 ，所以 ，则 ，故B正确；
对于C，若 ，则 ，取 ，计算知不成立，故C错误；
对于D，若 ，则 ，取 ，计算知不成立，故D错误.
故选：B.
练习3．（2023秋·广东梅州·高三统考期末）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.
【详解】A. 取特殊值， ， ，显然不满足结论；
B. 由 可知， ，由不等式性质可得 ，结论正确；C. 由同向不等式的性质知， ， 可推出 ，结论正确；
D. 取 ，满足条件，显然 不成立，结论错误.
故选：BC.
练习4．（2022·海南·校联考模拟预测）（多选）已知 ，则下列不等式不一定成
立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据不等式的基本性质，以及特练习，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，当 时，可得 ，此时 ，
所以不等式 不一定成立，符合题意；
对于B中，因为 ，可得 ，
又由 ，所以 一定成立，不符合题意；
对于C中，当 时，可得 ，
此时 ，所以 不一定成立，符合题意；
对于D中，由 ，因为 ，可得 ，当 的符号不确定，
所以 不一定成立，符合题意.
故选：ACD.
练习5．（2023·北京房山·统考一模）能够说明“设 是任意实数，若 ，则
”是假命题的一组整数 的值依次为__________.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据不等式的性质，讨论 的正负和 三种情况，得出结论．
【详解】若 ，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
“设 是任意实数，若 ，则 ”是假命题的一组整数 的值依次为
，
故答案为： （答案不唯一）题型二 比较两个数（式）的大小
例3．（2022秋·河北石家庄·高一校考期中）（1）设 ，比较 与 的
大小；
（2）已知 ， ， ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【分析】（1）由题意得 ，利用作商法即可得出答案；
（2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论.
【详解】（1） ， ，
， .
（2） ， ，又 ，
又 ，
，
.
例4．（2021春·陕西西安·高二西安中学校考期中）设 ，则
的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将 化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较 大
小关系即可.
【详解】 ， ，
， ，
.又 ，故 .
则 .
故选：C.
练习6．（2023秋·广东清远·高三统考期末）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】做差可判断充分性，取 可判断必要性可得答案.
【详解】 ，
当 时， ，所以 ，
可得 ，所以充分性成立；
但当 时， 即 也成立，
所以必要性不成立．
因此“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：B.
练习7．（2022秋·广东江门·高三校考阶段练习）（多选）若正实数x，y满足 ，则有
下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】BCD
【分析】利用特殊值排除错误结论，利用差比较法、商比较法证明正确结论.
【详解】依题意，正实数x，y满足 ， ，
若 ，则 ，所以①错误.
，所以②正确.
由于 ，所以 ，所以③正确.，所以④正确.
故选：BCD
练习8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）（多选）已知a，b， ，则下列说法
正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C． D．
【答案】BC
【分析】通过举反练习可判断A项，通过构造函数研究其单调性可判断B项，运用基本不
等式可判断C项，方法1：通过举反练习，方法2：作差法可判断D项.
【详解】对于A项，练习如 ， ， ，满足 ， ，但不满足 ，故
A项不成立；
对于B项，因为 , ， ，所以幂函数 在 上为增函数，所以 ，
故B项正确；
对于C项，因为 ， ， ，所以 ，当
且仅当 时等号成立，故C项正确；
对于D项，方法1：当 ， 时， ， ，则 ，
故D项错误．
方法2：作差法，
，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，故D项错误．
故选：BC.
练习9．若 ，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】作商法证明不等式.【详解】证明：∵a>b>0，
∴ ，且 ．
∴作商得： ．
∴ ．
练习10．（2022·高一课时练习）试比较下列组式子的大小：
(1) 与 ，其中 ；
(2) 与 ，其中 ， ；
(3) 与 ， ．
【答案】(1) ;
(2) ;
(3) .
【分析】(1)通过比较 与 的大小来确定 与 的大
小；
(2)通过作差法来比较 的大小；
(3) 通过作差法或作商法比较 与 的大小.
（1）
解： ， ，
因为 ，
所以 ，
即 ；
（2）
解：
．因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，
即 ；
（3）
方法一（作差法）
．
因为 ，所以 ， ， ， ．
所以 ，
所以 ．
方法二（作商法） 因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，
所以 ．
题型三 比较法证明不等式
例5．（2022秋·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）已知 为三角形的三边长，求
证：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定的条件，利用作差法，变形并判断符号作答.
（2）利用三角形两边的和大于第三边的性质，结合不等式性质推理作答.
【详解】（1） 为三角形的三边长，
而
，显然 ，即 ，当且仅当
时取等号，
因此 ，所以 .
（2） 为三角形的三边长，则 ，
于是得： ，
所以 .
例6．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．
(1) ，bd＞0，求证： ；
(2)已知a＞b＞c＞0，求证： ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明；
（2）先用作差法证明 ，然后根据不等式的性质证明 即可得到.
【详解】（1）证明： ，
因为， ，所以， ，
又bd＞0，所以， ，
即 .
（2）证明：因为a＞b＞c＞0，
所以有， ， ， ，
则， ，
即有， 成立；
因为， ，所以， ，
又 ，所以， 成立.
所以，有 .练习11．（1）设 ， ， ．试比较P与Q的大小．
（2）已知 ， ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）直接作差化简得 ，则 ；
（2）利用不等式的性质与推论或者直接作差通分有 ，再进行符号分析即可
得到答案.
【详解】（1）解：
∵ ，∴ ，∴ ．
（2）方法一 证明：∵ ，∴ ，∴
又 ，∴ ．
方法二 证明：
∵ ， ，∴ ，∴
又 ，∴ ，∴ ，即 .
练习12．（2022秋·甘肃金昌·高三永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知 ，
，求证： .
【答案】证明见解析
【分析】根据不等式的性质可得 ，再根据 证明即可.
【详解】 ， .
， ，即 .
， ， ，即 .
练习13．（2022秋·河南平顶山·高二叶县高级中学校考阶段练习）已知三个不等式：①
；② ；③ （其中m，n，x，y均为实数），命题p：
__________，__________ __________（横线上填①，②，③）．请写出2种可能的命题，并判断其真假．
【答案】答案见解析
【分析】依题意可得①，② ③；①，③ ②；②，③ ①根据不等式的性质及作差法
证明即可；
【详解】解：命题1：①，② ③．
若①，②成立，即 ， ，不等式 两边同除以 可得 ，
即命题1为真命题．
命题2：①，③ ②．
若①，③成立，即 ， ，不等式 两边同乘 ，可得 ，
即命题2为真命题．
命题3：②，③ ①．
若③，②成立，即 ， ，则 ．
又 ，则 ，即命题3为真命题．
（以上三个命题中可以任意选择两个命题）
练习14．已知 都是正数．求证：“ ”的充要条件是“ ”．
【答案】证明见解析
【分析】利用不等式的性质，结合充要条件的定义证明即可．
【详解】证明：必要性：若 ，
， ，
， ，即 ， ， ，
，即 ，必要性得证；
②充分性：若 ， ， ， ，
， ，不等式两边同时除以 ，
即得到 ，充分性得证.
综上， 的充要条件是 ．
练习15．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知a，b，c，d均为正数.求证：
（2）已知 .求证： < 的充要条件为x>y【答案】详见解析.
【分析】（1）利用基本不等式即证；
（2）利用不等式的性质，由 ， 可得 < ，由 < ， ，可得 ，即
证.
【详解】（1）∵a，b，c，d均为正数，
∴ 当且仅当 时取等号，
同理可得 ，
∴ ，当且仅当 时取等号；
（2）充分性，因为 ， ， ，
∴ < ，
必要性，因为 < ， ，
所以 ，
综上， < 的充要条件为 x > y.
题型四 求目标式的取值范围
例7．（2022秋·广东肇庆·高二校考阶段练习）已知 ，且 ，
（1） 取值范围是__________
（2） 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据不等式的性质结合条件即得.
【详解】∵ ，且 ，
∴ ， ，
∴ ；
由 ，可得 ，又 ，
所以 .
故答案为： ； .
例8．（2022秋·高一单元测试）（1）设 ， ，求 ， ， 的范
围；（2）已知 ，求证： .
【答案】（1） ， ， ；（2）证明见解析.
【分析】（1）结合不等式的基本性质即可求解；
（2）利用基本不等式的性质可知 ， ， ，从而可得
，再结合 即可得证.
【详解】（1） ， ，
， ， ， ，
， ， .
故 ， ， .
（2）证明：由 ，两边平方得 ，
根据基本不等式有 ， ， ，
当且仅当 时等号成立，
将上述 个不等式相加得 ，
即 ，
所以 ，
整理得 ，当且仅当 时等号成立.
练习16．已知 ， ，
(1)求 的范围
(2)求 的范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）由不等式的性质求解，
【详解】（1）由 ， 得 ，
则 ，即 的取值范围为
（2）由 ， 得 ，即 的取值范围为
练习17．（2020·北京·高三强基计划）已知 ，则 的取值范围
是__________．
【答案】
【分析】利用不等式的性质可求取值范围.
【详解】根据题意，有 ，
其中 ，因此 的取值范围是 ,
故答案为： .
练习18．（2023秋·江西上饶·高三统考期末）若 ， ，则 的取值范围
为______.
【答案】
【分析】运用不等式的性质进行求解即可.
【详解】由 ，而 ，所以有 ，
因此 的取值范围为 ，
故答案为：
练习19．（2022秋·江苏淮安·高三江苏省洪泽中学校联考期中）若 ，则
的取值范围为___________.
【答案】
【分析】利用不等式的性质逐步计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
故 的取值范围为 .
故答案为： .
练习20．（2022秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知实数 、 满足 ，
，则 的取值范围为_____________．
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质可求得 的取值范围.
【详解】因为 ， ，则 ， ，所以， ，由不等式的性质可得 .
故答案为： .
题型五 不等式的综合应用
例9．（2023·广东惠州·统考一模）（多选）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用条件进行指对数转换，得到 ，从而有 ，再对各个
选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】因为 ，所以 ，则 ，
选项A， ，故 正确；
选项B，因为 ，且 ，所以 ，故
B正确；
选项C，因为 ，故C错误；
选项D，因为 ，故D正确，
故选：ABD．
例10．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）已知 ，则下列结论正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题设 ， ，结合重要不等式、基本不等式判
断各项的正误即可.
【详解】由题设 ， ，所以 ，故
A错；
且 ，而 ，故B对；，故C错；
，
设 ，则 ，则 在 上递增，
所以 ，故D错.
故选：B.
练习21．（2023·宁夏银川·统考模拟预测） 的一个充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用举练习说明，排除AB；利用对数函数的单调性判断C；利用指数函数的单调
性判断D.
【详解】A：若 ，取 ，则 不成立，故A不符题意；
B：若 ，取 ，则 不成立，故B不符题意；
C：函数 在 上单调递增，
由 ，得 ，故C不符题意；
D：函数 在R上单调递增，
由 ，得 ；由 ，得 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件，故D符合题意.
故选：D.
练习22．（2023春·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）（多选）已知等比数列 中，
，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A选项：根据条件结合等比数列的通项公式得到 ，即可判断；
对于B选项：等比数列的通项公式结合基本不等式，即可求解；
对于C选项：根据A选项 得到 ，即可求解；对于D选项：作差得到 ，根据二次函数的图像与性质，即可求解.
【详解】设等比数列 的公比为 （ ），
对于A选项：由 ，得 ，即 ，所以A选项正确；
对于B选项： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以B选项正确；
对于C选项： ，当 时， ，所以C选项错误；
对于D选项： （ ），
即 ，则 ，所以D选项正确；
故选：ABD.
练习23．（2023春·云南昭通·高三校考阶段练习）（多选）已知 ， ，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】设 ，则 在 上单调递增，可得 可判断A；由不等式
的性质可判断B；取 可判断C；由指数函数的单调性结合 可判断D.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ．
设 ，则 在 上单调递增．
因为 ，所以 ，则A正确．
因为 ， ，且 ，所以 ，所以 ，则B正确，
因为 ，取 ，则 ，所以C不正确.
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，则D正确．
故选：ABD.练习24．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知实数 满足 ，则下
列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】设 ，可得 与 之间的等式关系，再用换底公式进行变形，
可得 分子相同，通过化简 ，判断正负，即可判断A；同理可判断 大小，
即可判断B；分别化简 ，即可判断C；对 进行化简，用对数运算法则，展开
后，再用基本不等式即可判断D.
【详解】解：取 ，所以有 ，则 ，
则 ，
因为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，故选项A错误；
因为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，故选项B正确；
因为 ，
故选项C错误；
因为
，
当且仅当 时取等，显然等号不成立，
故 ，故选项D正确.故选：BD
练习25．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据条件可得 ， ，进而根据 即可求解A,根据基本
不等式即可判断BC,根据二次函数的性质即可判断D.
【详解】由 得 ， ，由于 ，所以 ，
所以 ，因此 且 ，故A正确，
，当 时， ，由于 ，当且仅当 时，等号
成立，故 ，当 时， ，所以 ，故B正确，
，当且仅当
时取等号，故 ，所以C错误，
，当且仅当 取等号，又 ，所以
或者 等号成立，
故选：ABD
