文档内容
专题1.33 特殊平行四边形中考真题专练（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．（2022·海南·中考真题）如图，菱形 中，点E是边 的中点， 垂直
交 的延长线于点F，若 ，则菱形 的边长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
2．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图，矩形纸片 ，点M、N分别
在矩形的边 、 上，将矩形纸片沿直线 折叠，使点C落在矩形的边 上，记为
点P，点D落在G处，连接 ，交 于点Q，连接 ．下列结论：①四边形
是菱形；②点P与点A重合时， ；③ 的面积S的取值范围是 ．其中
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
3．（2021·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，在矩形纸片 中， ，
点 分别是矩形的边 上的动点，将该纸片沿直线 折叠．使点 落在矩形边
上，对应点记为点 ，点 落在 处，连接 与 交于点 ．则下列结论成立的是（ ）
① ；
②当点 与点 重合时 ；
③ 的面积 的取值范围是 ；
④当 时， ．
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
4．（2021·贵州黔西·中考真题）如图，在正方形 中， ， 分别是 ，
的中点， ， 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③
．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合
的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d，点F、G与点C的距离分别为d，d，则d
1 2 3 1
＋d＋d 的最小值为( )
2 3A． B． C． D．
6．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，在矩形 中，点M在 边上，把
沿直线 折叠，使点B落在 边上的点E处，连接 ，过点B作 ，垂足为
F，若 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·山东泰安·中考真题）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于
点O．点E为 的中点，连接 并延长交 于点F， ， ．下列
结论：① ；② ；③四边形 是菱形；④ ．其中正确
结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2021·安徽·中考真题）如图，在菱形ABCD中， ， ，过菱形
ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·四川广安·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的
一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A．2 B． C．1.5 D．
10．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如
A B C D
1 1 1 1
下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形 ；第二次，顺次
A B C D
连接四边形 1 1 1 1各边的中点，得到四边形 ；…如此反复操作下去，则第n次
操作后，得到四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，在矩形 中， 是边 上一点， ，分别是 ， 的中点，连接 ， ， ，若 ， ， ，矩形
的面积为________．
12．（2022·广东广州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上
的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在
边BC上时，∠PP'C的度数为________； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为
________
13．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在菱形 中， ， 为 中点，
点 在 延长线上， 、 分别为 、 中点， ， ，则
_____．
14．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝ ，AD＝
，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA'
交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________15．（2021·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形 中，连接 ，过点C作
平分线 的垂线，垂足为点E，且交 于点F；过点C作 平分线 的垂线，垂
足为点H，且交 于点G，连接 ，若 ， ，则线段 的长度为
_________．
16．（2021·浙江杭州·中考真题）如图是一张矩形纸片 ，点 是对角线 的
中点，点 在 边上，把 沿直线 折叠，使点 落在对角线 上的点 处，连
接 ， ．若 ，则 _____度．
17．（2021·天津·中考真题）如图，正方形 的边长为4，对角线 相交于
点O，点E，F分别在 的延长线上，且 ，G为 的中点，连接 ，
交 于点H，连接 ，则 的长为________．18．（2021·云南·中考真题）已知 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，
的平分线与线段 交于点D．若 的一条边长为6，则点D到直线 的距离为
__________．
三、解答题
19．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD
的垂线交AB于点E，连接DE．
(1) 如图1，若 ，求证：四边形BCDE是菱形；
(2) 如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．20．（2022·福建·中考真题）已知 ，AB＝AC，AB＞BC．
(1) 如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
(2) 如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE
的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
(3) 如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若
，求∠ADB的度数．
21．（2022·海南·中考真题）如图1，矩形 中， ，点P在边 上，
且不与点B、C重合，直线 与 的延长线交于点E．
(1)当点P是 的中点时，求证： ；
(2)将 沿直线 折叠得到 ，点 落在矩形 的内部，延长 交直线
于点F．
①证明 ，并求出在（1）条件下 的值；
②连接 ，求 周长的最小值；
③如图2， 交 于点H，点G是 的中点，当 时，请判断
与 的数量关系，并说明理由．22．（2021·甘肃兰州·中考真题）已知正方形 ， ， 为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当点 在边 上时， ，且 ， ， 三点共线．求证：
；
【类比应用】
（2）如图2，当点 在正方形 外部时， ， ，且 ， ， 三
点共线．猜想并证明线段 ， ， 之间的数量关系；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点 在正方形 外部时， ， ， ，且， ， 三点共线， 与 交于 点．若 ， ，求 的长．
23．（2021·江苏徐州·中考真题）如图1，正方形 的边长为4，点 在边 上
（ 不与 重合），连接 ．将线段 绕点 顺时针旋转90°得到 ，将线段
绕点 逆时针旋转90°得到 ．连接 ．
（1）求证：
① 的面积 ；
② ；
（2）如图2， 的延长线交于点 ，取 的中点 ，连接 ，求 的取值范围．
24．（2021·山东枣庄·中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形 中， ， ，问四边形
是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形 的对角线 ， 交于点 ．猜想：
与 有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形
和正方形 ，连结 ， ， ．已知 ， ，求 的长．参考答案
1．B
【分析】
过C作CM⊥AB延长线于M，根据 设 ，由菱形的性质表
示出BC=4x，BM=3x，根据勾股定理列方程计算即可．
解：过C作CM⊥AB延长线于M，∵
∴设
∵点E是边 的中点
∴
∵菱形
∴ ，CE∥AB
∵ ⊥ ，CM⊥AB
∴四边形EFMC是矩形
∴ ，
∴BM=3x
在Rt△BCM中，
∴ ，解得 或 （舍去）
∴
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个
知识点在本题的灵活运用．属于拔高题．
2．C
【分析】
根据矩形的性质与折叠的性质，证明出 ， ，通过等量代换，
得到PM=CN，则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理 ，
，由菱形的性质对角线互相垂直，再用勾股定理求出 ；当
过点D时，最小面积 ，当P点与A点重合时，S最大为，得出答案．
解：①如图1，
∵ ，
∴ ，
∵折叠，∴ ，NC=NP
∴ ，
∴ ，
∴PM=CN，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 为菱形，
故①正确，符合题意；
②当点P与A重合时，如图2所示
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ，
∴
∴ ，
故②错误，不符合题意．
③当 过点D时，如图3所示：
此时， 最短，四边形 的面积最小，则S最小为
，
当P点与A点重合时， 最长，四边形 的面积最大，则S最大为
，
∴ ，故③正确，符合题意．
故答案为：①③．
故选：C
【点拨】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练
掌握菱形的判定定理与性质定理、勾股定理是解决本题的关键．3．D
【分析】
①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则
BG=2AB=6，又因为点E是AD边上的动点，所以3
