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专题1.33 特殊平行四边形中考真题专练（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．（2022·海南·中考真题）如图，菱形 中，点E是边 的中点， 垂直
交 的延长线于点F，若 ，则菱形 的边长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
2．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图，矩形纸片 ，点M、N分别
在矩形的边 、 上，将矩形纸片沿直线 折叠，使点C落在矩形的边 上，记为
点P，点D落在G处，连接 ，交 于点Q，连接 ．下列结论：①四边形
是菱形；②点P与点A重合时， ；③ 的面积S的取值范围是 ．其中
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
3．（2021·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，在矩形纸片 中， ，
点 分别是矩形的边 上的动点，将该纸片沿直线 折叠．使点 落在矩形边
上，对应点记为点 ，点 落在 处，连接 与 交于点 ．则下列结论成立的是（ ）
① ；
②当点 与点 重合时 ；
③ 的面积 的取值范围是 ；
④当 时， ．
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
4．（2021·贵州黔西·中考真题）如图，在正方形 中， ， 分别是 ，
的中点， ， 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③
．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合
的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d，点F、G与点C的距离分别为d，d，则d
1 2 3 1
＋d＋d 的最小值为( )
2 3A． B． C． D．
6．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，在矩形 中，点M在 边上，把
沿直线 折叠，使点B落在 边上的点E处，连接 ，过点B作 ，垂足为
F，若 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·山东泰安·中考真题）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于
点O．点E为 的中点，连接 并延长交 于点F， ， ．下列
结论：① ；② ；③四边形 是菱形；④ ．其中正确
结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2021·安徽·中考真题）如图，在菱形ABCD中， ， ，过菱形
ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·四川广安·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的
一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A．2 B． C．1.5 D．
10．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如
A B C D
1 1 1 1
下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形 ；第二次，顺次
A B C D
连接四边形 1 1 1 1各边的中点，得到四边形 ；…如此反复操作下去，则第n次
操作后，得到四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，在矩形 中， 是边 上一点， ，分别是 ， 的中点，连接 ， ， ，若 ， ， ，矩形
的面积为________．
12．（2022·广东广州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上
的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在
边BC上时，∠PP'C的度数为________； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为
________
13．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在菱形 中， ， 为 中点，
点 在 延长线上， 、 分别为 、 中点， ， ，则
_____．
14．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝ ，AD＝
，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA'
交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________15．（2021·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形 中，连接 ，过点C作
平分线 的垂线，垂足为点E，且交 于点F；过点C作 平分线 的垂线，垂
足为点H，且交 于点G，连接 ，若 ， ，则线段 的长度为
_________．
16．（2021·浙江杭州·中考真题）如图是一张矩形纸片 ，点 是对角线 的
中点，点 在 边上，把 沿直线 折叠，使点 落在对角线 上的点 处，连
接 ， ．若 ，则 _____度．
17．（2021·天津·中考真题）如图，正方形 的边长为4，对角线 相交于
点O，点E，F分别在 的延长线上，且 ，G为 的中点，连接 ，
交 于点H，连接 ，则 的长为________．18．（2021·云南·中考真题）已知 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，
的平分线与线段 交于点D．若 的一条边长为6，则点D到直线 的距离为
__________．
三、解答题
19．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD
的垂线交AB于点E，连接DE．
(1) 如图1，若 ，求证：四边形BCDE是菱形；
(2) 如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．20．（2022·福建·中考真题）已知 ，AB＝AC，AB＞BC．
(1) 如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
(2) 如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE
的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
(3) 如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若
，求∠ADB的度数．
21．（2022·海南·中考真题）如图1，矩形 中， ，点P在边 上，
且不与点B、C重合，直线 与 的延长线交于点E．
(1)当点P是 的中点时，求证： ；
(2)将 沿直线 折叠得到 ，点 落在矩形 的内部，延长 交直线
于点F．
①证明 ，并求出在（1）条件下 的值；
②连接 ，求 周长的最小值；
③如图2， 交 于点H，点G是 的中点，当 时，请判断
与 的数量关系，并说明理由．22．（2021·甘肃兰州·中考真题）已知正方形 ， ， 为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当点 在边 上时， ，且 ， ， 三点共线．求证：
；
【类比应用】
（2）如图2，当点 在正方形 外部时， ， ，且 ， ， 三
点共线．猜想并证明线段 ， ， 之间的数量关系；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点 在正方形 外部时， ， ， ，且， ， 三点共线， 与 交于 点．若 ， ，求 的长．
23．（2021·江苏徐州·中考真题）如图1，正方形 的边长为4，点 在边 上
（ 不与 重合），连接 ．将线段 绕点 顺时针旋转90°得到 ，将线段
绕点 逆时针旋转90°得到 ．连接 ．
（1）求证：
① 的面积 ；
② ；
（2）如图2， 的延长线交于点 ，取 的中点 ，连接 ，求 的取值范围．
24．（2021·山东枣庄·中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形 中， ， ，问四边形
是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形 的对角线 ， 交于点 ．猜想：
与 有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形
和正方形 ，连结 ， ， ．已知 ， ，求 的长．参考答案
1．B
【分析】
过C作CM⊥AB延长线于M，根据 设 ，由菱形的性质表
示出BC=4x，BM=3x，根据勾股定理列方程计算即可．
解：过C作CM⊥AB延长线于M，∵
∴设
∵点E是边 的中点
∴
∵菱形
∴ ，CE∥AB
∵ ⊥ ，CM⊥AB
∴四边形EFMC是矩形
∴ ，
∴BM=3x
在Rt△BCM中，
∴ ，解得 或 （舍去）
∴
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个
知识点在本题的灵活运用．属于拔高题．
2．C
【分析】
根据矩形的性质与折叠的性质，证明出 ， ，通过等量代换，
得到PM=CN，则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理 ，
，由菱形的性质对角线互相垂直，再用勾股定理求出 ；当
过点D时，最小面积 ，当P点与A点重合时，S最大为，得出答案．
解：①如图1，
∵ ，
∴ ，
∵折叠，∴ ，NC=NP
∴ ，
∴ ，
∴PM=CN，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 为菱形，
故①正确，符合题意；
②当点P与A重合时，如图2所示
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ，
∴
∴ ，
故②错误，不符合题意．
③当 过点D时，如图3所示：
此时， 最短，四边形 的面积最小，则S最小为
，
当P点与A点重合时， 最长，四边形 的面积最大，则S最大为
，
∴ ，故③正确，符合题意．
故答案为：①③．
故选：C
【点拨】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练
掌握菱形的判定定理与性质定理、勾股定理是解决本题的关键．3．D
【分析】
①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则
BG=2AB=6，又因为点E是AD边上的动点，所以3<BG< ．从而判断①不正确；
②如图，过点E作EH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可；
③当点E与点A重合时， 的面积 有最小值 ，当点G与点D重合时
的面积 有最大值 ．故 < < ．
④因为 ，则EG=BF=6- = ．根据勾股定理可得ME= ，
从而可求出△MEG的面积．
解：①根据题意可知四边形BFGE为菱形，
∴EF⊥BG且BN=GN，
若BN=AB，则BG=2AB=6，
又∵点E是AD边上的动点，
∴3<BG< ．
故①错误；
②如图，过点E作EH⊥BC于点H，则EH=AB=3，
在Rt△ABE中
即
解得：AE= ，
∴BF=DE=6- = ．
∴HF= - = ．
在Rt△EFH中= ；
故②正确；
③当点E与点A重合时，如图所示， 的面积 有最小值=
= ，
当点G与点D重合时 的面积 有最大值= = ．
故 < < ．
故③错误．
④因为 ，则EG=BF=6- = ．根据勾股定理可得ME= ，
∴ ．
故④正确．
故选D．
【点拨】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质
等知识，掌握相关知识找到临界点是解题的关键．
4．D【分析】
根据正方形的性质得到 AB=BC=CD=AD， ∠B＝∠BCD＝90°，得到 ，
，根据全等三角形的性质得到 ∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；求得
∠CGD＝90°，根据垂直的定义得到 CE⊥ DF，故②正确；延长CE交DA的延长线 于
H，根据线段中点的定义得到AE=BE，根 据全等三角形的性质得到BC=AH=AD，由AG
是斜边的中线，得到 ， 求得∠ADG＝∠AGD，根据余角的性质得
到 ∠AGE＝∠CDF，故③正确．
解： 四边形 是正方形，
， ，
， 分别是 ， 的中点，
， ，
，
在 与 中，
，
，
， ，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
，
如图，延长 交 的延长线于 ，点 是 的中点，
，
， ， ，
，
，
是斜边的中线，
，
，
， ，
．故③正确；
故选：D．
【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等
知识，此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
5．C
【分析】
连接CF、CG、AE，证 可得 ，当A、E、F、C四点共线
时，即得最小值；
解：如图，连接CF、CG、AE，∵
∴
在 和 中，
∵
∴
∴
∴
当 时，最小，
∴d＋d＋d 的最小值为 ，
1 2 3
故选：C．
【点拨】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解
本题的关键．
6．A
【分析】
先证明 BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE= ，从而可得
△
AD=BC= ，最后求得AE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠DEC=∠FCB，
∵ ，
∴∠BFC=∠CDE，
∵把 沿直线 折叠，使点B落在 边上的点E处，
∴BC=EC，
在 BFC与 CDE中，
△ △∴△BFC≌△CDE（AAS），
∴DE=CF=2，
∴ ，
∴AD=BC=CE= ，
∴AE=AD-DE= ，
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理
的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．
7．A
【分析】
通过判定 为等边三角形求得 ，利用等腰三角形的性质求得
，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱
形的性质和含 直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
解： 点 为 的中点，
，
又 ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
即 ，故①正确；
在平行四边形 中， ， ， ，
，
在 和 中，，
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，点 为 的中点，
，
平行四边形 是菱形，故③正确；
，
在 中， ，
，故②正确；
在平行四边形 中， ，
又 点 为 的中点，
，故④正确；
综上所述：正确的结论有4个，
故选：A．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，
含 的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．
8．A
【分析】
依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的
周长．
解：∵HF⊥BC,EG⊥AB,
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，
由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，
因为O点是菱形ABCD的对称中心，∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，
∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，
所以四边形EFGH是矩形；
设OE=OF=OG=OH=x，
∴EG=HF=2x， ，
如图，连接AC，则AC经过点O，
可得三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2,
∴OA=1,∠AOE=30°，
∴AE= ，
∴x=OE=
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE= ,
故选A．
【点拨】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾
股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析
并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力．
9．A
【分析】
取AB中点G点，根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称，即有
PE=PG，则当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，再证明四边形AGFD是平行四边形，即可求得FG=AD．
解：取AB中点G点，连接PG，如图，
∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，
∴AD=DC=AB=BC=2，
∵E点、G点分别为AD、AB的中点，
∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，
∴PE=PG，
∴PE+PF=PG+PF，
即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，
如下图，G、P、F三点共线，连接FG，
∵F点是DC中点，G点为AB中点，
∴ ，
∵在菱形ABCD中， ，
∴ ，
∴四边形AGFD是平行四边形，
∴FG=AD=2，
故PE+PF的最小值为2，
故选：A．
【点拨】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，
找到E点关于AC的对称点是解答本题的关键．
10．A
【分析】利用中位线、菱形、矩形的性质可知，每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面
积的一半，由此可解．
解：如图，连接AC，BD， ， ．
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ， ， ．
∵ ， ， ， 分别是矩形四个边的中点，
∴ ，
∴ ，
A B C D
1 1 1 1
∴四边形 是菱形，
∵ ， ，
∴四边形A B C D 的面积为： ．
1 1 1 1
同理，由中位线的性质可知，
， ，
， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，∴四边形 的面积为： ．
∴每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，
∴四边形 的面积是 ．
故选:A．
A B C D
1 1 1 1
【点拨】本题考查矩形的性质，菱形的性质以及中位线的性质，证明四边形
是菱形，四边形 是矩形是解题的关键．
11．48
【分析】
根据三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出相关线段长，
利用勾股定理逆定理判定 ，再结合 即
可得出结论．
解：在矩形 中， ，
在矩形 中， ， 分别是 ， 的中点， ，
是 的中位线，即 ，
在 中， 是的中点， ，
是 斜边上的中线，即 ，
，
在 中， 是的中点， ，
是 斜边上的中线，即 ，
，
在 中， ， ， ，即 ，
是直角三角形，且 ，
过 作 于 ，如图所示：，
故答案为： ．
【点拨】本题考查矩形面积，涉及到中位线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半、矩形的性质、勾股定理逆定理、三角形等面积法等知识，熟练掌握相关性质，
准确作出辅助线表示是解决问题的关键．
12． 120°##120度 75°##75度
【分析】
由旋转性质及旋转角知△BPP′为等边三角形，得到∠PP′B=60°；当点P' 落在边BC上
时，∠PP'C=180°-∠PP′B=120°；将线段BA绕点B逆时针旋转60°后点A落在点E，连接
BE，得到△ABP≌△EBP′(SAS)，再证明△ABP为等腰直角三角形，进而得到
∠EP′B=∠APB=45°，
最后当CP′⊥EF于H时，CP′有最小值，由此可以求出∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-
15°=75°．
解：由线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'可知，△BPP′为等边三角形，
∴∠PP′B=60°，
当点P' 落在边BC上时，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；
将线段BA绕点B逆时针旋转60°，点A落在点E，连接BE，设EP′交BC于G点，
如下图所示：则∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，
∴∠ABP=∠EBP′，
且BA=BE，BP=BP′，
∴△ABP≌△EBP′(SAS),
∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，
由点P' 落在边BC上时，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，
∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，
∴△EBG于△P′CG均为30°、60°、90°直角三角形，
设EG=x，BC=2y，
则BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′= CG=y-x，
∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y= BC，
又已知AB= BC，
∴EP′=AB，
又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，
∴AB=AP，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，
当CP′⊥EF于H时，CP′有最小值，
此时∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，
故答案为：120°，75°．
【点拨】本题考察了三角形全等的判定方法、矩形的性质、旋转的性质及等腰三角形
的性质，属于四边形的综合题，难度较大，熟练掌握各图形的性质是解题的关键．
13．4
【分析】
连接CG，过点C作CM AD，交AD的延长线于M，利用平行线的性质和三角形中
位线定理可得CG= 2HF= ，由AB CD，得 CDM= A= 60°，设DM= x，则
CD= 2x，CM= x，在Rt△CMG中，借助勾股定理得 ，即可求出x的值，从而解决问题．
解：如图，连接CG，过点C作CM AD，交AD的延长线于M，
F、H分别为CE、GE中点，
FH是△CEG的中位线，
HF= CG，
四边形ABCD是菱形，
AD BC，AB CD，
DGE = E，
EHF= DGE，
E= EHF，
HF = EF = CF，
CG= 2HF = ，
AB CD，
CDM= A = 60°，
设DM= x，则CD= 2x，CM= x，
点G为AD的中点，
DG= x，GM=2x，
在Rt△CMG中，由勾股定理得：
，
x=2，
AB = CD= 2x= 4．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，有一定综合性，作辅助线，构造直角三角形，利用方程思想是解题的关键．
14．
【分析】
如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法
求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．
解：如图，作点A关于BC的对称点T，
取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠RAT＝90°，
∵AR＝DR＝ ，AT＝2AB＝4 ，
∴RT＝ ，
∵A，A′关于DP对称，
∴AA′⊥DP，
∴∠AMD＝90°，
∵AR＝RD，
∴RM＝ AD＝ ，
∵MT≥RT−RM，
∴MT≥4 ，
∴MT的最小值为4 ，
∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT，
∴QA＋QM≥4 ，∴QA＋QM的最小值为4 ．
故答案为：4 ．
【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出
MT的最小值，属于中考常考题型．
15．
【分析】
先证明 ，可得CE=FE，BF= ，同理：CH=GH，DG=
，从而得HE= ，再利用勾股定理得BD= ，进而即可求解．
解：∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE=∠FBE，
∵CF⊥BE，
∴∠BEC=∠BEF=90°，
又∵BE=BE，
∴ ，
∴CE=FE，BF=
同理：CH=GH，DG= ，
∴HE是 的中位线，
∴HE= ，
∵在矩形 中， ， ，
∴BD= ，
∴GF= BF+ DG-BD= ，∴ = ．
【点拨】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中位线的
性质，推出HE是 的中位线，是解题的关键．
16．18
【分析】
连接MD，设∠DAF=x，利用折叠与等腰三角形的性质，用x的代数式表示出
∠ADC=90°，列出方程解方程即可．
解：连接MD，设∠DAF=x
根据矩形的基本性质可知AM=MD，AD∥BC，∠BCD=∠ADC=90°
∴∠MDA=∠DAF=x，∠ACB=∠DAC=x
∴∠DMF=2x
∵△DCE折叠得到△DFE
∴DF=CD=AB，DE⊥FC，∠FDE=∠CDE
又MF=AB
∴MF=DF
∴∠MDF=2x
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∠EDC+∠FCD=90°
∴∠CDE=∠ACD=x
∴∠FDE=∠CDE=x
∴∠ADC=∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=x+2x+x+x=5x=90°
∴x=18°
故∠DAF=18°
故答案为18．
【点拨】本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用∠DAF表示出∠ADC
是解题关键．17．
【分析】
先作辅助线构造直角三角形，求出CH和MG的长，再求出MH的长，最后利用勾股
定理求解即可．
解：如图,作OK⊥BC，垂足为点K，
∵正方形边长为4，
∴OK=2，KC=2，
∴KC=CE，
∴CH是△OKE的中位线
∴ ，
作GM⊥CD，垂足为点M，
∵G点为EF中点，
∴GM是△FCE的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
在Rt△MHG中， ，
故答案为： ．
【点拨】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定
理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等．
18．3或 或 或
【分析】
将△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分别分AB=BC=6，AC=6，进
行解答．
解：∵△ABC三个顶点都是同一个正方形的顶点，
如图，若∠ABC=90°，
则∠ABC的平分线为正方形ABCD的对角线，D为对角线交点，
过点D作DF⊥AB，垂足为F，
当AB=BC=6，
则DF= BC=3；
当AC=6，
则AB=BC= = ，
∴DF= BC= ；
如图，若∠BAC=90°，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，AD=DF，
又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD，
∴△BAD≌△BFD（AAS），
∴AB=BF，当AB=AC=6，
则BC= ，
∴BF=6，CF= ，
在正方形ABEC中，∠ACB=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，则CF=DF=AD= ；
当BC=6，
则AB=AC= = ，
同理可得： ，
综上：点D到直线AB的距离为：3或 或 或 ，
故答案为：3或 或 或 ．
【点拨】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，
勾股定理，全等三角形的判定和性质，知识点较多，解题时要结合题意画出符合题意的图
形，分情况解答．
19．(1)见分析(2)（ⅰ） ；（ⅱ）见分析
【分析】
（1）先根据DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明 ，
得出DE=BC，得出四边形BCDE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱
形，得出四边形BCDE为菱形；（2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明
∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出 ；
（ⅱ）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出 ，得出
，证明 ，再证明 ，即可证明结论．
(1)证明：∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵ ，
∴ ， ，
∴ （AAS），
∴ ，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴四边形BCDE为菱形．
(2)（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO，
∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴ ．
（ⅱ）连接EF，
∵EG⊥AC，
∴ ，
∴ ，
∵
∵AE=AF，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
，
，
，
∴ ，，
∴ （AAS），
．
【点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等
的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，得出 ，得出
，是解题的关键．
20．(1)见分析(2) ，见分析(3)30°
【分析】
（1）先证明四边形ABDC是平行四边形，再根据AB＝AC得出结论；（2）先证出
，再根据三角形内角和 ，得到
，等量代换即可得到结论；（3）在AD上取一点M，使得
AM＝CB，连接BM，证得 ，得到 ，设 ，
，则 ，得到α+β的关系即可．
解：(1)∵ ，
∴AC＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，
∵CB平分∠ACD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形ABDC是平行四边形，
又∵AB＝AC，
∴四边形ABDC是菱形；
(2)结论： ．
证明：∵ ，
∴ ，
∵AB＝AC，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
(3)在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，
∵AB＝CD， ，
∴ ，
∴BM＝BD， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ， ，则 ，
∵CA＝CD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即∠ADB＝30°．
【点拨】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理
等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键．21．(1)见分析(2)①见分析； ；②12,；③ ，见分析
【分析】
（1）根据矩形的性质得到 ，再结合P是 的中点证明 ；
（2）①设 ，在 中，表示出三角形的其他两边，再由勾股定理列方程
计算即可；
②当点 恰好位于对角线 上时， 最小，利用勾股定理计算即可；
③过点 作 ，交 于点M，证明 ，再由
即可得到 ．
(1)解：如图9-1，在矩形 中， ，
即 ，
∴ ．
∵点P是 的中点，
∴ ．
∴ ．
(2)①证明：如图9-2，在矩形 中， ，∴ ．
由折叠可知 ，
∴ ．
∴ ．
在矩形 中， ，
∵点P是 的中点，
∴ ．
由折叠可知 ， ．
设 ，则 ．
∴ ．
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
②解：如图9-3，由折叠可知 ， ．
∴ ．
由两点之间线段最短可知，
当点 恰好位于对角线 上时， 最小．
连接 ，在 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
③解： 与 的数量关系是 ．
理由是：如图9-4，由折叠可知 ．
过点 作 ，交 于点M，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴点H是 中点．
∵ ，即 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵点G为 中点，点H是 中点，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点拨】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，根据等腰三角形的性质证明．
22．（1）见分析；（2） ；理由见分析（3）
【分析】
（1）根据正方形性质以及题意证明 即可得出结论；
（2）根据已知条件证明 ，然后证明 为等腰直角三角形即可
得出结论；
（3）先证明 ，得出 为等腰直角三角形，根据勾股定理以及等
腰直角三角形的性质求出 的长度，即可得出结论．
解：（1）∵四边形 是正方形， ， ， 三点共线，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ,
在 和 中，
,
∴ ,
∴ ;
（2）∵ ，四边形 是正方形，
∴ , ,
∴ ,
∵ ， ，
∴ ,
∴ ,
在 和 中，
,
∴ ,
∴ ,∴ 为等腰直角三角形，
∴ ,
即 ；
（3）过点D作 于点H，连接BD，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
在 和 中，
,
∴ ,
∴ ， ，
∵ 且 ,
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
在 中， ,
∴ ,
∵ 是正方 对角线，
∴ ,
∵
∴ ,∴ 为等腰直角三角形，
∴ ,
∴在 中， ,
∴ ．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角
三角形判定与性质，熟知性质定理是解本题的关键．
23．（1）①见详解；②见详解；（2）4≤MN＜
【分析】
（1）①过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，证明 ，即可得到结论；
②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，证明 ，结合 ，可
得GD=EH，同理：FG=AH，从而得 ，进而即可得到结论；
（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点
H，可得∠AMD=90°，MN= EF，HG= 2AD=8，EH+FG= AD=4，然后求出当点P与点D
重合时， EF最大值= ，当点P与AD的中点重合时，EF最小值= HG=8，进而即可得
到答案．
解：（1）①证明：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，
∴∠FPG=∠CPD，
又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，∴ （AAS），
∴FG=PD，
∴ 的面积 ；
②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，
∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH +∠BPA=90°，
∴∠PEH =∠BPA，
又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，
∴ （AAS），
∴EH=PA，
由①得：FG=PD，
∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，
由①得： ，
∴PG=CD，
∴PD+GD= CD= EH+FG，
∴FG+ GD= EH+FG，
∴GD=EH，
同理：FG=AH，
又∵∠AHE=∠FGD，
∴ ，
∴ ；
（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点
H，由（1）得： ，
∴∠HAE=∠GFD，
∵∠GFD+∠GDF=90°，
∴∠HAE+∠GDF=90°，
∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，
∴∠MAD+∠MDA=90°，
∴∠AMD=90°，
∵点N是EF的中点，
∴MN= EF，
∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，
∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，
当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，
此时EF最大值= ，
当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，此时EF最小值= HG=8，
∴ 的取值范围是：4≤MN＜ ．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的
性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．
24．（1）四边形 是垂美四边形，理由见分析；（2） ，
证明见分析；（3） ．
【分析】
（1）连接 ，先根据线段垂直平分线的判定定理可证直线 是线段 的垂直
平分线，再根据垂美四边形的定义即可得证；
（2）先根据垂美四边形的定义可得 ，再利用勾股定理解答即可；
（3）设 分别交 于点 ，交 于点 ，连接 ，先证明
，得到 ，再根据角的和差可证 ，即 ，
从而可得四边形 是垂美四边形，然后结合（2）的结论、利用勾股定理进行计算即可
得．
证明：（1）四边形 是垂美四边形，理由如下：
如图，连接 ，∵ ，
∴点 在线段 的垂直平分线上，
∵ ，
∴点 在线段 的垂直平分线上，
∴直线 是线段 的垂直平分线，即 ，
∴四边形 是垂美四边形；
（2）猜想 ，证明如下：
∵四边形 是垂美四边形，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
，
∴ ；
（3）如图，设 分别交 于点 ，交 于点 ，连接 ，
∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是垂美四边形，
由（2）得： ，
∵ 是 的斜边，且 ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 或 （不符题意，舍去），
故 的长为 ．
【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理与性质、线段垂直平分线
的判定、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键．
