文档内容
2.1 函数及其表示
思维导图
知识点总结
(1)集合 A,B 及其对应关系 f:A→B 构成的函数中,函数的值域 C 不是
集合B,而是C B.
(2)两个函数的⊆值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,
函数f(x)=2x2,x∈[0,2]与函数f(x)=2x2,x∈[-2,0].
2.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对
应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,
但它表示的是一个函数.
分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定
义域的并集,值域是各段值域的并集.
与x轴垂直的直线与一个函数的图象至多有一个公共点.
典型例题分析
考向一 函数的定义域
典例一
1.函数f(x)= +ln(2x-x2)的定义域为( B )
A.(2,+∞) B.(1,2)
C.(0,2) D.[1,2]
解析:要使函数有意义则 解得 10), 则 f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)
+b=a2x+ab+b=4x+6,于是有 解得 或 (舍
去),所以f(x)=2x+2.
答案:f(x)=2x+2
解题分析与总结
1.已知 f(g(x))的解析式,求 f(x)的解析式,常用换元法或配凑法或
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两种方法并用,换元法更具有一般性,在使用时一定要注意新元的取
值范围.
2.换元法的一般方法是:令 t=g(x),从中求出 x= (t),然后代入表达
式求出f(t),再将t换成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值
范围.
考向三 分段函数及其应用
微考点 1 分段函数求值
已知f(x)= 则f[f( )]+f(- )的值等于 .
解析:由题意得f( )=2× = ,f[f( )]=f( )=2× = .
f(- )=f(- )=f( )=2× = ,
所以f[f( )]+f(- )= + = .
答案:
解题分析与总结
求分段函数的函数值的策略
(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,
然后代入该区间对应的解析式求值.
(2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
微考点 2 分段函数与方程
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】已知函数f(x)= 若f(a)=2,则实数a=( )
A.-1或2 B.2或4
C.-2或4 D.-1或4
解析:法一 当a<0时,由a2-a=2解得a=-1或a=2(舍去);
当a≥0时,由 =2可得a=4.故选D.
法二 结合选项可知 a=2 时 ≠2,因此排除 A,B.对于 a=-2 时,
(-2)2-(-2)=6≠2,排除C.故选D.
解题分析与总结
根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时,应根据分段函
数各段的定义域分类讨论,结合各段的函数解析式求解,要注意求出
的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域.
微考点 3 分段函数与不等式
函数 f(x)= 则满足 f(x)+f(x- )>1 的 x 的取值范围是
.
解析:当x> 时,f(x)+f(x- )=2x+ >2x> >1;
当02x>1;
当x≤0时,f(x)+f(x- )=x+1+(x- )+1=2x+ ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以f(x)+f(x- )>1 2x+ >1 x>- ,即- 0时,F(x)= +x≥2 =2,当且仅当 =x,即x=1时取等号;
当 x≤0 时,F(x)=ex+x,根据指数函数与一次函数的单调性得 F(x)是
增函数,F(x)≤F(0)=1,所以 F(x)的值域为(-∞,1]∪[2,+∞).故选
C.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解题分析与总结
分段函数的值域是各段函数值域的并集.
基础题型训练
一、单选题
1．下列各组函数中，是相等函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】D
【分析】依据各选项中两个函数的定义域和对应法则是否相同逐项检验即可.
【详解】对于A， ，对应法则不一致，故两个函数不是相等的函数，故
A错.
对于B， 的定义域为 ， 的定义域为 ，两个函数的定义域不一致，
故它们不是相同的函数，故B错.
对于C， 的定义域为 ， 的定义域为 ，
故两个函数不是同一函数，故C错误.
对于D，两个函数的定义域均为 ，且 ，故D正确.
故选：D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】本题考查函数相等的判断，一般依据函数三要素来判断，本题属于基础题.
2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】由相同函数有相同定义域及相同解析式判断各选项即可.
【详解】相同函数有相同定义域及相同解析式.
对于选项A： 的定义域为R， 的定义域为 ，定义域不同，
不是同一函数，故A错误；
对于选项B：函数 与函数 的定义域都是 ，
又 ，则两函数解析式也相同，则为同一函数，故B正确.
对于选项C： 的定义域为R， 的定义域为 ，定义域不同，不是同一函数，
故C错误；
对于选项D： 的定义域为R， 的定义域为 ，定义域不同，
不是同一函数，故D错误．
故选：B
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快
速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】C
【分析】先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可
选出正确选项.
【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此
函数图象一定是下降的，由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵
塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，
之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正
确，B不正确．
故选C．
【点睛】本题考查函数的表示方法，关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属
于基础题.
4．函数 的值域为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 ，可得 ，两边平方，即可求解．
【详解】解：函数 ，可知函数的定义域为 ．
当 时，可知函数 是递增函数，可得
当 时，可得 ，
两边平方，
，
即 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
可得： ，
．得 ．
由 ，
．
可得：
综上可得 ．
函数 的值域为 ．
故选： ．
【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、
反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，
9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根
据题意选择．
5．若函数 在 上的最大值为4，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出分段函数 的图象，并计算得出 ， ，观察图象可得结果.
【详解】可知 在 单调递增， 在 单调递增，且 ，
，画出函数 图象，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】观察图象可知，要使 在 上的最大值为4，需满足 ．
故选：C.
6．下列各函数中，表示相等函数的是（ ）
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与 ( 且 )
【答案】D
【解析】本题可依次判断四个选项中函数的定义域、对应关系、值域是否相同，即可得出
结果.
【详解】A项：函数 定义域为 ，函数 定义域为 ，A错误；
B项：函数 定义域为 ，函数 定义域为 ，B错误；
C项：函数 值域为 ，函数 值域为 ，C错误；
D项：函数 与函数 ( 且 )定义域相同，对应关系相同，D正确.
故选：D
【点睛】方法点睛：判断两个函数是否相同，首先可以判断函数的定义域是否相同，然后
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】判断两个函数的对应关系以及值域是否相同即可，考查函数定义域和值域的求法，是中档
题.
二、多选题
7．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例
如函数 ， 与函数 ， 就是“同族函数”.下列可用来构造同族
函数的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】函数 与 是偶函数可判断出是同族函数，函数
关于 对称，在 的左右两边函数值相等，所以也可构成同族函数，函数 是
单调函数，所以不能构成同族函数.
【详解】函数 与 是偶函数，所以可构造“同族函数”，函数
在定义域 上为增函数，所以不满足“同族函数”，函数 ，
与函数 ， 的值域相同，所以是同族函数.
故选：ACD.
8．下列函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． 与 D． 与
【答案】BD
【解析】判断每个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为同一个函数，否
则不是同一个函数.
【详解】A中 的定义域为 ， 的定义域为R，定义域不同，
不是同一个函数；
B中 ， 的定义域都是R，定义域和对应关系都相同，表示同
一个函数；
C中 的定义域为R， 的定义域为 ，定义域不同，不是同一个函数；
D中 定义域为R， 的定义域为R，定义域和对应关系都相同，表示同一个
函数.
故选：BD
【点睛】方法点睛：判断两函数是否表示同一个函数的方法:看定义域和对应关系是否都相
同，当二者都相同时，函数为同一个函数，否则不是同一个函数.
三、填空题
9．已知 为一个确定的区间，则a的取值范围是________.
【答案】 .
【解析】利用区间的定义：右端点大于左端点即可求解.
【详解】解析由 为一个确定的区间知 ，解得 ，
因此a的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】本题考查区间的定义，需掌握区间的定义，属于基础题.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10．值域：与 的值____的 的值的集合 .
【答案】相对应
【分析】值域的定义
【详解】值域就是自变量 经过对应法则计算之后所对应的 的值的集合
故答案为：相对应
11． 表示不超过 的最大整数，如 ， ， ，若 ，则
的值域为___________.
【答案】
【解析】利用分离常数法可求得 的值域，根据新定义运算可化简 为 ，
从而利用 的值域求得结果.
【详解】由题意得： ，
， ， ，
， ， ， ，
，又 ， ，即 的值域为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查函数值域的求解问题，涉及到分离常数法求解函数值域、函数新定义运
算问题的求解等；解题关键是能够准确理解新定义运算的含义，从而将所求函数解析式进
行化简.
12．函数 的定义域为 ，则 的定义域为________.
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据抽象函数的定义域求 的定义域即可.
【详解】由于函数 的定义域为 ，则 ，所以函数 的定义
域为 ，
则函数 中 ，所以 ，即 的定义域为 .
故答案为： .
四、解答题
13．设函数
(1)求函数的定义域；
(2)求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数 的解析式，结合函数定义域的定义，即可求解；
（2）根据函数 的解析式，分别代入 ，即可求解 的值.
【详解】（1）解：由函数 ，可得函数 的定义域为 .
（2）解：由 ，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．（1）已知函数 ，求 的解析式；
（2）已知 为二次函数，且 ， ，求 的解析式.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）利用换元法可求得函数 的解析式；
（2）设 ，由 可求得 的值，即可的函数 的解析
式.
【详解】（1）设 ，可得 ，则 ，
故 ；
（2）因为 ，可设 ，
则 ，解得 ，因此， .
15．已知函数 .
（1）求 ， 的值；
（2）求证 是定值；
（3）求： 的值.
【答案】（1）1；1；（2）1；（3） .
【分析】（1）由 ，将 代入计算求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由 ，将 代入计算求解.
（3）根据（2）的结论，由原式的规律和 的个数计算求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ， ；
（2） ；
（3）由 ，
所以 ，
，
【点睛】关键点点睛：本题关键是论证 的值.
16．已知函数 .
（1）求 的值；
（2）当 时，求 的值域.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）求出 的取值范围，再结合函数 的解析式，可计算出 ；
（2）分别求出函数 在 、 、 时的值域，取并集即可得出函
数 在区间 上的值域.
【详解】（1） ，
当 时， ，所以 ；
（2）①当 时， ，所以 ；
②当 时， ；
③当 时， ，此时 ，所以 .
综上所述，当 时，函数 的值域是 .
【点睛】本题考查分段函数值的计算，同时也考查了分段函数值域的计算，解题时要对自
变量的取值进行分类讨论，并选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题.
提升题型训练
一、单选题
1．已知 ，则 的值为（ ）
A．4 B． C．16 D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【分析】根据函数解析,先求得 的值,再代入即可求解.
【详解】根据题意令
解得
所以
故选:C
【点睛】本题考查了复合函数函数值的求法,属于基础题.
2．函数 的最大值是
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】D
【解析】利用换元法,可设 ,则 ,代回可得 ,
由二次函数的性质解得最值即可
【详解】设 ,则 ,
所以 ,
则当 时, ,
故选:D
【点睛】本题考查换元法求函数最值,使用换元法时要注意新元的取值范围
3．二次函数 的图象如图所示，则反比例函数 与一次函数 在
同一坐标系下中的大致图象是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线开口向下，可得 ，可排除A，C，根据抛物线过点 得 ，可
知 过原点可排除B，进而可得正确选项.
【详解】因为二次函数 开口向下，所以 ，
所以 的图象必在二四象限，可排除选项A，C
因为 过点 ，所以 ，所以 ，
所以 即 过点 ，故选项B不正确，选项D正确；
故选：D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．定义：若函数 的图象经过变换 后所得的图象对应的函数与 的值域相同，则
称变换 是 的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：
① 将函数 的图象关于 轴对称；
② 将函数 的图象关于 轴对称；
③ 将函数 的图象关于点 对称.
④ 将函数 的图象关于点 对称.
其中 是 的同值变换的有（ ）
A．①② B．①③④ C．①④② D．①③
【答案】B
【解析】根据同值变换的定义，先求出对应的函数解析式，求出相应的值域，结合值域关
系进行判断即可.
【详解】解：① 的值域为 将函数 的图象关于 轴对称得到
的值域为 ，值域相同是同值变换.
② ，值域为 ，将函数 的图象关于 轴对称得到
，即 ，两个函数的值域不相同，不是同值变换.
③ ，函数关于 对称，函数值域为 ，将函数
的图象关于点 对称后函数是自身，满足值域相同，是同值变换
④ 的值域为 ，则 的图象关于点 对称后的值域仍然为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则两个函数的值域相同，是同值变换.
故 是 的同值变换的有①③④，
故选：B.
【点睛】本题主要考查函数图象变换以及函数值域的求解判断，结合新定义求出函数的解
析式以及值域是解决本题的关键.
5．定义区间 ， ， ， 的长度均为 ，用 表示不超过 的最大
整数，例如 ， ，记 ，设 ， ，若用
表示不等式 解集区间的长度，则当 时有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化简 ，再化简 ，再分类讨
论，当 时，当 时，当 时，最后根据讨论的结果求出区间长度即可.
【详解】 ，
由 得 ，即 ，
当 时， ，不等式为 ，即 ，则 为 ；
当 时， ，不等式为 ，则 为 ；
当 时， ，不等式为 ，则 为 ，
此时区间 的长度为 .
故选： .
6．函数 = ，若方程 有且只有两个不相等的实数根，则实数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的取值范围是
A．（－ ，1） B．（－ ，1]
C．（0，1） D．[0，+ ）
【答案】A
【解析】根据分段函数的表达，画出函数的图像，结合函数 和 的图像有且只
有两个交点，来求得实数 的取值范围.
【详解】当 时， ，故 .当 时，
，故 .以此类推，当 时， .由
此画出函数 和 的图像如下图所示，由图可知 的取值范围是 时，
和 的图像有且仅有两个交点.即方程 有且只有两个不相等的实数
根.故本小题选A.
【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查方
程的根和函数的零点问题，综合性较强，属于中档题.
二、多选题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．具有性质： 的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足
“倒负”变换的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据“倒负”变换的函数的定义依次判断即可得答案.
【详解】解：对于A， ， ，满足题意；
对于B， ，则 ，不满足；
对于C， ， ，不满足；
对于D， ，即 ，则 满足“倒负”
变换.
故选：AD.
8．设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
．若对任意 ，都有 ，则 的值可以是（ ）．
A． B．1 C． D．2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】CD
【分析】根据 得 ，进一步求出其他区间的函数表达式，
再结合图形和不等式即可求解.
【详解】由 得 ，则 .
当 时， 在 上递增，在 上递减，所以 .
当 时， ，其最大值为1，
同理当 时， ,依此类推，可知当 时， 恒成立.
又 时， ，当 时，得 或 ，
结合图象，知 .
所以 恒成立时 ，故选项C，D正确.
故选：CD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是通过迭代求函数的最值，然后再结合图形解不等式.
三、填空题
9．设函数 ，则 __________．
【答案】-2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】直接代入解析式求解即可.
【详解】因为函数 ，且
所以 ，故答案为 .
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于基础题.
10．函数 在区间 上的值域是______.
【答案】
【分析】根据函数单调性，从而求出函数的值域即可．
【详解】 在区间 单调递减，则当 时， 当 时，
故值域为
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的单调性应用，考查求函数的值域问题，是一道基础题．
11．定义 ，若 ，则使不等式 成立
的 的取值范围是____
【答案】
【分析】首先利用题中所给函数的条件，确定出函数的解析式，画出函数的图象，从图象
中判断出自变量离1越近，函数值越大，得到等价的不等式，求解即可得结果.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
画出函数图象如图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】不等式 等价于如下不等式： ，
即 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 ，
即答案是： .
【点睛】该题考查的是有关利用函数值的大小确定自变量大小的问题，涉及到的知识点有
新函数的定义，在解题的过程中，注意应用函数的图象，解决利用函数值的大小得自变量
大小的问题，属于简单题目.
12．函数 的定义域为 ，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题意可得 恒成立，分 和 两种情况分别考虑，解不等
式即可得到所求范围．
【详解】因为函数 的定义域为 R，所以 的解为R，
即函数 的图象与x轴没有交点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）当 时，函数 与x轴没有交点，故 成立；
（2）当 时，要使函数 的图象与x轴没有交点，则 ，
解得 .
综上：实数 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义域问题，注意运用分母不为 ，以及二次不等
式恒成立问题解法，属于中档题．
四、解答题
13．若函数 .
（1）求 、 ；
（2）求函数 的定义域.
【答案】（1） , ；（2） .
【解析】（1）利用函数 的解析式可求得 、 的值；
（2）根据函数解析式有意义可得出关于实数 的不等式组，进而可求得函数 的定义
域.
【详解】（1） ， ，
；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）对于函数 ，则有 ，解得 且 .
因此，函数 的定义域为 .
【点睛】本题考查函数值的计算，同时也考查了函数定义域的求解，考查计算能力，属于
基础题.
14．给定函数 ， ， .
(1)在所给坐标系（1）中画出函数 ， 的大致图象；（不需列表，直接画出.）
(2) ，用 表示 ， 中的较小者，记为 ，请分别
用解析法和图象法表示函数 .（ 的图象画在坐标系（2）中）
(3)直接写出函数 的值域.
【答案】(1)图象见解析.
(2) ，图象见解析.
(3) .
【分析】（1）根据函数的解析式，在坐标系中分别描出5个点，再将各点连接起来，即可
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得 ， 的大致图象；
（2）根据函数的定义，结合（1）所得图象写出解析式，进而画出 的图象.
（3）由（2）所得图象直接写出 的值域.
【详解】（1）
-2 -1 0 1 2
-6 0 2 0 -6
-6 -3 0 3 6
∴函数 ， 的大致图象如下图示：
（2）由 ，可得 或 ，结合（1）的图象知：
，则 的图象如下：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）由（2）所得图象知： 的值域为 .
15．已知函数 的定义域为集合 ，集合 ，
.
(1)求集合 和 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ， 或
(2) 或 .
【分析】（1）求出函数 的定义域 ，结合集合 ，进而结合集合交集，
并集，补集的定义，可得答案．
（2）若 ，则 ，分 和 ，两种情况讨论满足条件的实数
的取值，最后综合讨论结果，可得答案．
（1）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，得： ，∴ ，
或 或 ，
（2）
由已知得： ，
①若 ，则 ，∴ ，符合题意；
②若 ，则 ，解得：
综上，实数 的取值范围为 或 .
16．设 是定义在 上的函数，满足 ，当 时，
．
（ ）求 的值，试证明 是偶函数．
（ ）证明 在 上单调递减．
（ ）若 ， ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；证明见解析.
(2) 证明见解析.
(3) .
【详解】分析：（1）先求得 ，再求得 ，令 ，则
，从而可得结论；（2）设 ， ， ，
，∵ ，则 ，即 ，从而可得结果；(3)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】求得 ，
可得 ，化为 ，从而可得结果.
详解：（ ）∵
令 得
∴ ．
令 ，， ， ，
令 ，则 ．
即 是定义在 上的偶函数．
（ ）∵ ，
∴ ，
设 ， ， ，
，
∵ ，
则 ，
即 ，
即 在 上单调递减．
（ ）∵ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
∴ ，
∵ 为偶函数，且在 上单调递减，
∴ ，
综上， 的取值范围为 ．
点睛：本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性，属于难题. 利用定义法判断函数的单
调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取 ；（2）作差 ；（3）判断
的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得
在已知区间上是增函数， 可得 在已知区间上是减函数.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
