专题1.3勾股定理应用（专项训练）-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练

专题 1.3 勾股定理应用 （专项训练） 1．（2021秋•济宁期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷 径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 步路．（假 设2步为1米） 2．如图，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB＝12cm，BC＝ 13cm，则FC的长度是 ． 3．（东台）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向 航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km． （1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间． （2）C岛在A港的什么方向？4．（福田）如图，一架长为5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离AC 为3米． （1）求BC的长； （2）如果梯子的顶端B沿墙向下滑动2米，问梯子的底端向外移动了多少米？ 5．滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱 BC，DE垂直于地面AF，滑 道AC的长度与点A到点E的距离相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的 长度． 6．如图，点A是华清池景点所在位置，游客可以在游客观光车站B或C处乘车前往，且 AB＝BC，因道路施工，点C到点A段现暂时封闭，为方便出行，在BC这条路上的D 处修建了一个临时车站，由 D 处亦可直达 A 处，若 AC＝1km，AD＝0.8km，CD＝ 0.6km． （1）判断△ACD的形状，并说明理由； （2）求路线AB的长． 7.（2020春•霸州市期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长． 8．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1） 班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 CE，他们进行了 如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 9．（武汉）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB ＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村 到E站的距离相等，求AE的长． 10．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m （水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得 很直，求绳索AD的长度．11.如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC 5m，它们都要到A处吃 东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D 处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm． （1）请用含有x的整式表示线段AD的长为 m； （2）求这棵树高有多少米？ 12．如图，AOB90，OA9cm，OB3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点 A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球， 恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行 走的路程BC是多少？ 13．（2020秋•成都期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范 围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿 AB由点A向点B移动， 已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又 AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 14．（2021秋•泗县期末）如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂 蚁从点A出发，沿棱柱外表面到点C'处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A．2 cm B．14cm C．（2 +4）cm D．10cm 15.（2021秋•汝州市期末）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常 绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，如果 把树干看成圆柱体，其底面周长是0.5m，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的 长是（ ）m． A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8 16．（2021秋•高州市期末）国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱 子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点， 如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（ ） A． 米 B． 米 C． 米 D．5米 17．（2021秋•普宁市期末）如图，圆柱的底面半径为 cm，AC是底面圆的直径，点P 是BC上一点，且PC＝4cm，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短 距离是（ ） A．4 cm B．2 cm C．5 cm D．10cm 18．（2022春•连江县期中）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、 2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口 的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ） A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm 专题 1.3 勾股定理应用（专项训练） 1．（2021秋•济宁期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷 径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 步路．（假 设2步为1米） 【答案】8 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m， ∴AB＝ ＝10（m）， 则（8+6﹣10）×2＝8， ∴他们仅仅少走了8步， 故答案为：8． 2．如图，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB＝12cm，BC＝ 13cm，则FC的长度是 ． 【答案】 8 cm 【解答】解：沿AE折叠后，有△ADE≌△AFE， AF＝AD＝13cm， 在Rt△ABF中，AF＝13cm，AB＝12cm， ∴BF＝ ＝5cm∴FC＝BC﹣BF＝8cm． 故答案为 8cm． 3．（东台）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向 航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km． （1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间． （2）C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1)3小时 (2)C岛在A港的北偏西42°． 【解答】解：（1）由题意AD＝60km， Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002． ∴BD＝80（km）． ∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）． ∴AC＝ ＝75（km）． 75÷25＝3（小时）． 答：从C岛返回A港所需的时间为3小时． （2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625， ∴AB2+AC2＝BC2． ∴∠BAC＝90°． ∴∠NAC＝180°﹣90°﹣48°＝42°． ∴C岛在A港的北偏西42°． 4．（福田）如图，一架长为5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离AC 为3米． （1）求BC的长； （2）如果梯子的顶端B沿墙向下滑动2米，问梯子的底端向外移动了多少米？【答案】（1）4m（2）（ ﹣3）米． 【解答】解：（1）∵一架长5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离 AC＝3米， ∴BC＝ ＝4（m）， 答：BC的长为4m； （2）∵B点下移2米， ∴CD＝2米， 在Rt△CED中，已知DE＝5米，CD＝2米， 则根据勾股定理CE＝ （米）， ∴AE＝CE﹣AC＝（ ﹣3）米， 所以梯子底端A将向左滑动（ ﹣3）米． 5．滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱 BC，DE垂直于地面AF，滑 道AC的长度与点A到点E的距离相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的 长 度 ．【解答】解：设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣0.5）m， 由题意得：∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，（x﹣0.5）2+1.52＝x2， 解得x＝2.5 故滑道AC的长度为2.5m． 6．如图，点A是华清池景点所在位置，游客可以在游客观光车站B或C处乘车前往，且 AB＝BC，因道路施工，点C到点A段现暂时封闭，为方便出行，在BC这条路上的D 处修建了一个临时车站，由 D 处亦可直达 A 处，若 AC＝1km，AD＝0.8km，CD＝ 0.6km． （1）判断△ACD的形状，并说明理由； （2）求路线AB的长． 【解答】解：（1）△ACD是直角三角形． 理由如下： ∵AC＝1 km，AD＝0.8 km，CD＝0.6 km， ∴AC2＝1，AD2＝0.82＝0.64，CD2＝0.62＝0.36， ∴AC2＝AD2+CD2， ∴△ACD是直角三角形； （2）∵△ACD是直角三角形， ∴AD⊥BC． 设AB＝BC＝x km，则BD＝BC﹣DC＝（x﹣0.6）km， 由勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，即x2＝0.82+（x﹣0.6）2， 解得x＝ ， ∴AB＝ km． 7.（2020春•霸州市期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm， 现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长． 【答案】CD的长为3cm 【解答】解：∵两直角边AC＝6cm，BC＝8cm， 在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10， 现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD＝DE，AE ＝AC＝6， ∴BE＝10﹣6＝4， 设DE＝CD＝x，BD＝8﹣x， 在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝x2+42， 解得x＝3． 即CD的长为3cm． 8．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1） 班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 CE，他们进行了 如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400， 所以，CD＝20（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6米， 答：风筝的高度CE为21.6米； （2）由题意得，CM＝12， ∴DM＝8， ∴BM＝ ， ∴BC﹣BM＝25﹣17＝8， ∴他应该往回收线8米． 9．（武汉）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB ＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村 到E站的距离相等，求AE的长．【答案】E应建在距A点13.3km 【解答】解：设AE＝x，则BE＝20﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2， 在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2， 由题意可知：DE＝CE， 所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3 所以，E应建在距A点13.3km． 10．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m （水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得 很直，求绳索AD的长度． 【解答】解：在Rt△ACB中， AC2+BC2＝AB2， 设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m， 故x2＝42+（x﹣1）2， 解得：x＝8.5，答：绳索AD的长度是8.5m． 11.如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC 5m，它们都要到A处吃 东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D 处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm． （1）请用含有x的整式表示线段AD的长为 m； （2）求这棵树高有多少米？ 【答案】15x 【解答】解：（1）设BD为x米，且存在BDDABCCA， 即BDDA15，DA15x， 故答案为：15x； （2） C 90 AD2  AC2 DC2 (15x)2 (x5)2 102 x2.5 CD52.57.5 答：树高7.5米； 12．如图，AOB90，OA9cm，OB3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点 A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球， 恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行 走的路程BC是多少？ 【答案】5cm 【解答】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，BC CA． 设AC 为x，则OC 9x， 由勾股定理得：OB2 OC2 BC2 ， 又 OA9，OB3， 32 (9x)2 x2 ， 解方程得出x5． 机器人行走的路程BC是5cm． 13．（2020秋•成都期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范 围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿 AB由点A向点B移动， 已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又 AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）海港 C受到台风影响 （2）5.6小时 【解答】解：（1）海港C受台风影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． ∴AC×BC＝CD×AB ∴300×400＝500×CD ∴CD＝ ＝240（km） ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， ∴海港C受到台风影响．（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口， ∵ED＝ ＝70（km）， ∴EF＝140km ∵台风的速度为25km/h， ∴140÷25＝5.6（小时） 即台风影响该海港持续的时间为5.6小时． 14．（2021秋•泗县期末）如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂 蚁从点A出发，沿棱柱外表面到点C'处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A．2 cm B．14cm C．（2 +4）cm D．10cm 【答案】D 【解答】解：当沿着平面ABB'A'、平面A'B'C'D'爬行时，如图所示， AC'＝ ＝2 （cm）， 当沿着平面ABB'A'、平面BB'C'C爬行时，AC'＝ ＝10（cm）， 因为10＜2 ， 所以蚂蚁需要爬行的最短路径的长是10cm， 故选：D． 15.（2021秋•汝州市期末）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常 绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，如果 把树干看成圆柱体，其底面周长是0.5m，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的 长是（ ）m． A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8 【答案】C 【解答】解：∵葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m， ∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m， 如图所示： AC＝ ＝ ＝1.3（m）． ∴这段葛藤的长＝2×1.3＝2.6（m）． 故选：C．16．（2021秋•高州市期末）国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱 子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点， 如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最 短长度为（ ） A． 米 B． 米 C． 米 D．5米 【答案】D 【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则彩灯带长为2个长方形的对角线长， ∵圆柱高3米，底面周长2米， ∴AC2＝22+1.52＝6.25， ∴AC＝2.5， ∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m． 故选：D． 17．（2021秋•普宁市期末）如图，圆柱的底面半径为 cm，AC是底面圆的直径，点P 是BC上一点，且PC＝4cm，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ） A．4 cm B．2 cm C．5 cm D．10cm 【答案】B 【解答】解：侧面展开图如图所示： ∵圆柱的底面半径为 cm， ∴圆柱的底面周长为12cm， ∴AC′＝6cm． 在Rt△ACP中，AP＝ ＝2 （cm）． 故选：B． 18．（2022春•连江县期中）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、 2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口 的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ） A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm【答案】B 【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 8dm，宽为（2+3）×3dm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：x2＝82+[（2+3）×3]2＝172， 解得x＝17． 故选：B．