专题1.3动点中的定值和最值问题（强化）（解析版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练

专题 1.3 动点中的定值和最值问题 【例题精讲】 【例1】如图，矩形 对角线 、 相交于点 ，点 是 边上的一个动点，过 点 分别作 于点 ， 于点 ，若 ， ，则 的值为 A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4 【解答】解：连接 ， 矩形 的两边 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选： ． 【例2】如图，在周长为12的菱形 中， ， ，若 为对角线 上一动 点，则 的最小值为A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：作 点关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，则 ． ． 由两点之间线段最短可知：当 、 、 在一条直线上时， 的值最小，此时 ． 四边形 为菱形，周长为12， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ． 的最小值为3． 故选： ． 【例3】如图，在 中， ，且 ， ，点 是斜边 上的一 个动点，过点 分别作 于点 ， 于点 ，连接 ，则线段 的 最小值为 ． 【解答】解：连接 ， ，且 ， ，， ， ， ， 四边形 是矩形， ， 当 时， 的值最小， 此时， 的面积 ， ， 的最小值为 ； 故答案为： ． 【例4】如图，在正方形 中， ，点 ， 分别在 ， 上， ， ， 相交于点 ，连接 ．点 从点 运动到点 的过程中， 的最小值为 ． 【解答】解：如图，四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 的运动轨迹是以 为直径的 ， 当 ， ， 共线时， 的值最小，最小值 ， 故答案为 ． 【题组训练】 和为定值 1．如图，在菱形 中，点 是对角线 上一动点，过点 作 于点 ， 于点 ．若菱形 的周长为24，面积为24，则 的值为 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：延长 交 于点 ，如图所示：在菱形 中， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 菱形 的周长为24， ， 菱形 面积为24， ， ， 故选： ． 2．如图，在菱形 中， 是对角线 上一动点，过点 作 于点 ． 于点 ．若菱形 的周长为20，面积为24，则 的值为 A．4 B． C．6 D．【解答】解：连接 ，如图， 四边形 为菱形，菱形 的周长为20， ， ， ， ， ， 故选： ． 3．如图，在矩形 中， ， ，点 在 上， 于 ， 于 ，则 等于 A． B． C． D． 【解答】解：方法一：设 ， ． ， ； ，故 ①； 同理可得 ，故 ②． ① ②得 ，． 方法二：（面积法） 如图，作 于 ，则 ， ， ， ， ． 故选： ． 4．如图，在矩形 中， ， ， 为 上一动点， 于 ， 于 ，则 的值为 ． 【解答】解：连接 ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为 ． 5．如图，在正方形 中， ， 是 边上的动点， 于点 ， 于点 ，则 的值为 A．4 B． C． D．2 【解答】解：在正方形 中， ， ， ， ， 四边形 为矩形， 是等腰直角三角形， ， ， ， 正方形 的边长为2， ． 故选： ． 6．如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ，点 是 边上的一个动点，过点 分别作 于点 ， 于点 ．若 ， ，则 的值为A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4 【解答】解：连接 ， 矩形 的两边 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选： ． 7．如图，在边长为1的正方形 中，对角线 和 相交于点 ， 是 边上任 意一点， 于点 ， 于点 ，则 A． B． C． D． 【解答】解： 四边形 是正方形，， ， ， ， ， ， ， ， 于点 ， 于点 ， ， 是等腰直角三角形， 四边形 是矩形， ， ， ； 故选： ． 8．如图，在矩形 中， ， ，对角线 、 相交于点 ，点 是 上一动点（不与 、 重合），过点 作 和 的垂线，垂足分别为 、 ，则 的值是 A． B． C． D．3 【解答】解：如图所示，连接 ，过点 作 于 ， ， ， 由勾股定理可得 ， ， 即 ， 解得： ， 在矩形 中， ， ，． 故 ． 故选： ． 9．如图，菱形 的周长为16，面积为12， 是对角线 上一点，分别作 点到直 线 、 的垂线段 、 ，则 等于 A．6 B．3 C．1.5 D．0.75 【解答】解：连 ，如图， 菱形 的周长为16， ， ， ， 而 ， ， ， ， ， ． 故选： ．将军饮马最小值 11．如图，正方形 边长为 1，点 ， 分别是边 ， 上的两个动点，且 ，连接 ， ，则 的最小值为 A． B． C． D． 【解答】解：连接 ，如图1， 四边形 是正方形， ， ． 又 ， ． ． 所以 最小值等于 最小值． 作点 关于 的对称点 点，如图2， 连接 ，则 、 、 三点共线， 连接 ， 与 的交点即为所求的 点． 根据对称性可知 ， 所以 ． 在 中， ， ， ， 最小值为 ． 故选： ．13．如图，菱形 中，对角线 、 交于点 ， ， ，点 是 的中点，点 在 上，则 的最小值为 A． B． C． D．13 【解答】 解：如图，连接 交 于点 ，连接 ，作 于点 ，四边形 是菱形， ，且 ，即 是 的垂直平分线， 且值最小 是 的中点， ， ， ， ， 故选： ． 14．如图，菱形 的边长为 ， ，点 、 在对角线 上运动，且 ，连接 、 ，则 周长的最小值是 A．4 B． C． D．6 【解答】解：如图作 ，使得 ，连接 交 于 ，则 的 值最小，即 的周长最小． ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ，菱形 的边长为 ， ， ， 四边形 是菱形， ， ， ， ， 在 中， ， 的最小值4， 的周长的最小值 ， 故选： ． 垂线段最小值 16．如图，在 中， ， ， ， 是 上一动点，过点 作 于点 ， 于点 ，连接 ，则线段 的最小值是 ． 【解答】解：如图，连接 ． ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， 由垂线段最短可得 时，线段 的值最小， 此时， ， 即 ，解得： ， ． 故答案为： ． 17．如图，在 中， ，点 在边 上（不与点 ， 重合）， 于点 ， 于点 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为 ． 【解答】解：连接 ，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， 由垂线段最短可得 时，线段 的值最小， 此时， ， 即 ， 解得： ，， 故答案为： ． 18．如图，在 中， ， ， ， 为 边上的一动点， 于点 ， 于点 ， 为 的中点，则 的最小值为 ． 【解答】解：过点 作 于点 ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， 于 ， 于 ， ， 四边形 是矩形， ， 与 互相平分， 为 的中点， ，当 最小时， 最短，此时点 与 重合， ， 故答案为： ． 19．如图，在 中， ， ， ， 为边 上一动点． 于 ， 于 ， 为 的中点，则 长的最小值是 ． 【解答】解：连接 ，如图所示： ， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， 与 互相平分， 是 的中点， 为 的中点， ， 时， 最短，同样 也最短， 当 时， ， 最短时， ， 当 最短时， ，即 长的最小值为 ． 20．如图，在 中， ， ， ， 为边 上一动点， 于 ， 于 ， 为 中点，则 的最小值为 A． B． C． D． 【解答】解：设 的斜边 上的高为 ． 在 中， ， ， ， ， ， 即 ． 又 于 ， 于 ， 四边形 是矩形， ． 是 的中点， ． 因为 的最小值即为直角三角形 斜边上的高，即等于 ， 的最小值是 ． 故选： ．21．如图，在 中， ， ， ， 为边 上一动点， 于 ， 于 ，则 的最小值为 A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 【解答】解：连接 ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， 要使 最小，只要 最小即可， 过 作 于 ，此时 最小， 在 中， ， ， ，由勾股定理得： ， 由三角形面积公式得： ， ， 即 ， 故选： ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/24 8:51:29；用户：丛老师；邮箱：18805277597；学号：35667739 轨迹最值 22．如图，在边长为2的菱形 中， ， 是 边的中点， 是 边上的 一动点，将 沿 所在直线翻折得到△ ，连接 ，则 长度的最小值是 ．【解答】解：如图所示： 是定值， 长度取最小值时，即 在 上时， 过点 作 于点 ， 在边长为2的菱形 中， ， 为 中点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 23．如图，在等边 中， ， ，则 的最小值为 A．3 B． C． D． 【解答】解：如图取 的中点 ，连接 、 ．是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 、 、 共线时， 的值最小，最小值为 ， 故选： ． 24．如图，在矩形纸片 中，边 ， ，点 为 边上的动点（点 不 与点 ， 重合），将纸片沿 折叠，则 的最小值为 8 ． 【解答】解：连接 ，当点 在 上时， 有最小值， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， 由折叠性质得： ， ，的最小值 ， 故答案为：8．