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专题 1.3 勾股定理的应用
1．利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题；
教学目标 2．通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．
3．能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。
1.重点
（1）勾股定理的实际应用场景：理解勾股定理在解决实际问题（如测量距离、计算
几何图形边长、判断直角三角形等）中的作用，能将实际问题转化为数学模型；
（2）解题思路与方法：直角三角勾股定理。
2.难点
教学重难点 （1）实际问题的数学建模：将生活中的问题（如梯子滑动、蚂蚁爬行路径最短等）
抽象为直角三角形问题，准确找到三边对应的实际意义；
（2）立体图形与平面图形的转化：在圆柱、长方体等立体图形中，通过展开图确定
直角三角形的位置，避免空间想象偏差导致的错误；
（3）分类讨论与方程思想：当问题中边长关系不明确时，能运用分类讨论思想分析
多种情况，并通过列方程求解未知数。
知识点1：勾股定理应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在
具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第
三边的平方比较而得到错误的结论.
【即学即练1】
1．《西江月》中描述：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成
现代文为：如图，秋千 在静止的时候，踏板离地高一尺（ 尺），将秋千往前推进两步（
尺），此时踏板升高离地五尺（ 尺），求秋千绳索 的长度．
2．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段 上限速60千米小时，为了检测车
辆是否超速，在公路 旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知
， 米， 米．(1)请求出观测点C到公路 的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据： ， ）
知识点2 ：平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾
股定理求解
【即学即练2】
1．综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为 、 、 ，
和 是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到 点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接 ，经过计算得到
长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案）
【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是 厘米，高是 厘米，一只蚂蚁从点 出发
沿着玻璃杯的侧面到点 ，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高 厘米，底面周长为 厘米，在杯内壁离杯底 厘米的点 处有一滴
蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿 厘米，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁
处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
题型01 勾股定理应用之梯子滑落高度
【典例1】如图，一根长为 的梯子 斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B点离墙根E点的
距离为 ，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动 到D点处，试求梯子的顶端将沿墙向下移动的
距离 为多少？
【变式1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子 斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面 米，
米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面 米，则小巷的宽度为多少米？【变式2】如图所示，一架 长的梯子 斜靠在与地面 垂直的墙 上，此时梯子底端 离墙 ．
(1)求这架梯子的顶端距离地面的高度．
(2)如果梯子的顶端 沿墙下滑了 ，那么梯子底端水平外移了多少 ？
【变式3】梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块 ， ，由一
根连杆连接，滑块 分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几
何图，如图2所示，开始时，滑块 距 点 ，滑块 距 点 ．
(1)求 的长；
(2)当滑块 向下滑 至点 处时，滑块 滑动到点 的位置，则 的长为多少 ？
题型02 勾股定理应用之旗杆高度
【典例1】八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆 的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度
比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端 刚好接触地面时，此时绳子末端 与旗杆的距离为5米，
求旗杆 的高度．【变式1】小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度 ，他们进行了如下操作：
①测得水平距离 的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为 米．
(1)求风筝的垂直高度 ；
(2)如果小明想风筝沿 方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【变式2】学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆 的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离 为3米，到旗杆的距离 为10米（如
图2）．
根据以上信息，求旗杆 的高度．
【变式3】学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆 的高度．小华测得从旗
杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉
直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离 为1米，到旗杆的距离 为9米（如图2）．
(1)设 长为 米，绳子为_____米， 为_____米（用 的代数式表示）；(2)请你求出旗杆的高度 ．
题型03 勾股定理应用之小鸟飞行的距离
【典例1】如图，树根下有一个蛇洞，树高 ，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口
的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向
何处扑击才能恰好抓到蛇．
【变式1】如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高 ，两杆相距 ．现两杆上各有
一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果
两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？
【变式2】如图，小明操纵无人机从树尖 飞向旗杆顶端 ，已知树高 ，旗杆高 ，树与旗杆之间的
水平距离为 ，则无人机飞行的最短距离为多少？
【变式3】如图 ，有两棵树，一棵高 米（ 米），另一棵高 米（ 米），两树相距 米（
米）．(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图 ，台风过后，高 米的树 在点 处折断，大树顶部落在点 处，则树 折断处 距离地面
多少米？
题型04 勾股定理应用之大树折断前的高度
【典例1】如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，
大树折断之前有多高？
【变式1】如图，一根直立的旗杆高 ，因刮大风旗杆从点 处折断，顶部 着地且离旗杆底部 的距离
为 ．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)在折断点 的下方 的点 处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点 处吹断，那么行人在距
离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？
【变式2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破
坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点 处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部
处，已知点 距离甲树的根部 处 为 米，甲、乙两树根部的距离 为 米，两棵树的株距（两棵树
的水平距离） 为 米，且点 ， ， 在一条直线上， ，求甲树原来的高度．
【变式3】如图，在倾斜角为 （即 ）的山坡 上有一棵树 ，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树 的根部C处，已知 ， ．
(1)求这两棵树的水平距离 ；
(2)求树 的高度．
题型05 勾股定理应用之水杯中的筷子问题
【典例1】如图，一根长为 的牙刷置于底面直径为 、高为 的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子
外面的长度 ，则 的取值范围是 ．
【变式1】如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的
长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是 cm．
【变式2】如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为 ，现将一根长为 的筷子插
入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分 的取值范围是 ．【变式3】如图，将一根长 的筷子，置于底面直径为 ，高 的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子
外面的最短长度是
题型06 勾股定理应用之航海问题
【典例1】有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达 点后熄灭发动机，在离水面高度为 的岸上，工作人员用
绳子牵引靠岸，开始时绳子 的长为 ．（假设绳子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以 的速度收绳． 后船移动到点 的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？
(2)若游轮熄灭发动机后保持 的速度匀速靠岸， 后船移动到 点，工作人员手中的绳子被收上来
多少米？
【变式1】如图，一艘轮船先从A地出发行驶到B地，又从B地行驶到C地，B地在A地南偏西的方向，
距离A地80海里，C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里．
(1)表示出B地相对于C地的位置；
(2)求A，C两地之间的距离．
【变式2】如图，一艘轮船由 港口沿着北偏东 的方向航行 到达 港口，然后再沿北偏西 方
向航行 到达 港口．(1)求 ， 两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2) 港口在 港口的什么方向上？
【变式3】钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘
海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口 出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航
行6海里，乙船每小时航行8海里．
(1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于 、 处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东
方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由．
(2)若甲船沿北偏东 方向航行（图2），从港口 离开经过两个小时后位于点 处，此时船上有名乘客需
要以最快的速度回到 海岸线上，若他从 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟
内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据： ）
题型07 勾股定理应用之河的宽度
【典例1】如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道 ，测得 ， ， ，
，若每天开凿隧道 ，需要几天才能把隧道 凿通？
【变式1】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边 远的水底，竹竿高出水面 ，
把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？【变式2】如图，池塘边有两点 ，点 是与 方向成直角的 方向上一点，测得 长为 米，
长为 米．求 两点间的距离（ 取 ）．
【变式3】某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身
步道（局部）如图，从A地分别往北偏东 方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对
面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得 米．（参考数
据： ）
(1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米）
(2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择 路线，小明决定
选择 路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？
题型08 勾股定理应用之台阶上地毯长度
【典例1】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，
已知 ， ， ．(1)求BC的长；
(2)若已知楼梯宽 ，需要购买________ 的地毯才能铺满所有台阶．
【变式1】如图，要修建一个育苗棚，棚高 ，棚宽 ，棚的长为 ，现要在棚顶上覆盖塑料
薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
【变式2】如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两
个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
【变式3】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．
(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的
高为多少分米？
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食
物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
题型09 勾股定理应用之汽车是否超速问题
【典例1】为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道
路上行驶的速度不得超过 ．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方 的 处，过了 后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离 为 ．这辆观光电瓶车
超速了吗？
【变式1】某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80千米/时，如图，一辆小汽
车在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测
得小汽车与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？
【变式2】为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公
路 的一侧有一报亭A，报亭A到公路 的距离 为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广
播宣传，宣讲车P在公路 上沿 方向行驶．
(1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；
(2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？
【变式3】五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一
辆移动广播车在笔直的公路 上，沿东西方向由 向 行驶．小丽的家在公路的一侧点 处，且点 与
直线 上的两点 的距离分别为 ，又 ，假如移动广播车周边250
米以内能听到广播宣传．
(1)求 的度数．
(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？
(3)若移动广播车在笔直的公路 上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点 时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点 时，小网在家刚好不再听到广播，即 米，问小丽在家
听到广播宣传的时长是多长？
题型10 勾股定理应用之是否受台风影响问题
【典例1】如图，某沿海城市 接到台风预警，在该市正南方向 的 处有一台风中心，沿 方向
以 的速度移动，已知城市 到 的距离 为 ．
(1)台风中心经过多长时间从 点移到 点？
(2)如果在距台风中心 的圆形区域内都将受到台风的影响，那么 市受到台风影响的时间持续多少
小时？
【变式1】如图， ， ， 是我国南部的三个岛屿，已知 ， 两岛的距离为 ， ， 两岛的距
离为 ， ， 两岛的距离为 ．2024年9月，超强台风“摩羯”登陆岛屿 ，台风中心由 向
移动，风力影响半径为 ．
(1)请判断岛屿 是否会受到台风的影响？并说明理由
(2)若台风影响岛屿 的时长是 小时，求台风中心的移动速度．
【变式2】2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来
对我国影响最大的台风，风力影响半径 （即以台风中心为圆心， 为半径的圆形区域都会受台
风影响），如图，线段 是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且
．若A，C之间相距 ，A，B之间相距 ．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．(2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？
【变式3】第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15
级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（ ）方向以 的速度向 移动，
地在距离 地 的正北方，已知 地到 的距离 ．
(1)台风中心经过多长时间从 点移到 点？
(2)如果在距台风中心 的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在 点休闲的游客在接到台风警
报后的几小时内撤离才可脱离危险？
题型11 勾股定理应用之选扯距离相离问题
【典例1】如图 ，铁路上有 、 两点（看作直线上两点）相距 千米， 、 为两村庄（看作两个
点）， ， ，垂足分别为 、 ， 千米， 千米，现在要在铁路旁修建一个
煤栈，使得 、 两村到煤栈的距离相等．
设煤栈应建在距 点 千米处的点 处，如图 ，则 千米．
(1) （______）千米；
(2)煤栈应建在距 点多少千米处？
【变式1】如图，已知某学校A与直线公路 相距300米（即 米， ），且与该公路上
一个车站D相距500米（即 米），现要在公路边 建一个超市C，使之与学校A及车站D的距
离相等，那么该超市 C 与车站D的距离 是多少米?【变式2】如图，铁路上A，B两点相距 ，C，D两点为两村庄， 于点A， 于点B，
已知 ， ，现在要在铁路 上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离
相等，则E站应建在距A点多少千米处？
【变式3】如图，小区A与公路l的距离 米，小区B与公路l的距离 米，已知
米．
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求 的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求 的最小值，求出此最
小值．
题型12 勾股定理应用之几何图形中最短路径问题
【典例1】【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬
到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米；
第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米；
第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B，研究其最短路径情况．
【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为 厘米，通过计算即可求得最短路径长度．
(1)根据题意知圆柱底面半径 厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形（ 取3），其中一条直角边（圆
柱侧面展开后长方形的高）为 厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为 厘米；
(2)在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接 的线段长，请你计算蚂蚁从点 爬到点 的最短路程．
【变式1】如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从点 开始经过4个侧面爬行一圈到达点 ，若蚂蚁的爬行速度为 内蚂蚁能否爬到点 ？
【变式2】【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
和 是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到 点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，若蚂蚁从点 出发沿着玻
璃杯的侧面到点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此
时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬
行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
【变式3】如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最
短的金属丝．(1)现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A． B． C． D．
(2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
(3)现有一个长、宽、高分别为 的无盖长方体木箱（如图3，
）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种
捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计）
1．如图，强台风时一棵大树在距离地面 的点C处折断，大树顶端的着地点A与大树底端B的距离为
，则这棵大树折断前的高度为（ ）
A． B． C． D．
2．在棱长为1的正方体中，顶点 ， 的位置如图所示， 处有一小虫，它沿正方体表面爬到点 处，则
小虫爬行的最短距离是（ ）
A．3 B． C． D．
3．如图，将一根长 的筷子置于圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为 ，且 的取值范围
是为 ，则圆柱形水杯的底面直径为（ ）A． B． C． D．
4．如图，圆柱形玻璃杯的底面直径 ．当吸管直立于杯底时，高出杯口 ，当吸管与点A，C
接触时，杯外部分长 ，则吸管长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，某港口 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定
方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行 海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行
海里．它们离开港口 小时后分别位于点 处，此时两船的距离是（ ）
A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里
6．如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高 的树顶飞到一棵高 的树顶上，两棵树相距 ，则喜
鹊至少要飞 ．
7．数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水
一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈
等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，
则水深为 尺．8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿
不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度
和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比
门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为 尺，可列方程为 ．
9．如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（ 地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地
面）的根部C处．若 米， 米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米．
10．如图，一架梯子 斜靠在一竖直的墙 上， ， ．
（1） m；
（2）若梯子的顶端 下滑 ，则梯子的底端向外移动了 ．
11．如图，某地方政府决定在相距 的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使
C、D两村到点E的距离相等，已知 于A， 于B， ， ，那么基地E
应建在离A站多少 的地方？12．如图，在笔直的河边 的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边 饮马，然后前往
草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中 的长度， ，垂足为D）为12米，B处到河边
的距离（即图中 的长度， ，垂足为E）为28米，且 两处相距30米．
(1)在图中画出从A到 再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）；
(2)C是河边 上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，
行走路程比（1）中的最短路径长多少？
13．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端 的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳
子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是 ；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点 ，再测量绳子底端 与旗杆根部点 之间的距
离，测得距离为 ．
【解决问题】设旗杆的高度 为 ，通过计算即可求得旗杆的高度．
(1)用含 的式子表示 为_____ ；
(2)请你求出旗杆的高度．
14．如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以
每小时12海里的速度沿北偏东 方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小
时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．求：
(1)两船分别航行了多少海里？
(2)“小蛮腰号”的航行方向．
15．在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住
了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点
与风筝的水平距离 为 ；根据手中余线长度，计算出 的长度为 ；牵线放风筝的手到地面的距
离 为 ．已知点A，B，C，D在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度 ；
(2)在余线仅剩 的情况下，若想要风筝沿射线 方向再上升 ，请问能否成功？请运用数学知识说
明．
16．【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，
如图，已知一架云梯 长 斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离 ， ．
【深入探究】
（1）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部 下滑到 位置上（云梯长度不改变），则底部 沿水平方
向向前滑动到 位置上，若 ，求 的长度；
【问题解决】
（2）在演练中，墙边距地面 的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠
墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提
下，云梯的顶端能否到达 高的窗口去救援被困人员？
17．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用一：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点 沿圆柱侧面爬到相对一侧中点 处，如果圆柱的高为 ，圆柱的底面半径为
，那么最短的路线长是______；
(2)应用二：解决实际问题．
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推 至 处时，即水平
距离 ，踏板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，求绳索 的长．
18．如图1，在棱长为 的立方体纸盒的顶点 处有一只蚂蚁，在另一顶点 处有一粒糖．
(1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点
处，如图 所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？
(2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为 ， ， 的长方体纸盒（如图3），其他条件不
变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程．
