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专题10：二元一次方程组（2）
考点一：应用二元一次方程组
题型一：鸡兔同笼
例1．2019年12月3日，140余件从明末清初延续至民国时期的民间晋绣在山西省太原美术馆展出，这是
山西首次将这一传承百年的工艺品进行系统梳理．某校组织学生前去参观，原计划租用45座客车若干辆，
但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，其余客车恰好坐满．问这批学生的人
数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
【练习1】某旅馆的客房有三人间和两人间两种．三人间每人每天80元，两人间每人每天100元，一个50
人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个房间正好住满，一天共花去住宿费4520元，两种客房
各租住了多少间？
【练习2】印江某中学为了提高学生的体育素质，加强排球和篮球练习．某班购买了排球和篮球，其中排
球的单价为45元/个，篮球的单价为80元/个，一共购买了40个，共用去了2430元，求该班购买的排球
和篮球各多少个？
题型二：增收节支
例2．某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和销售价如下表：（注：获利
＝售价一进价）
A B
进价/（元/件） 1200 1000
售价/（元/件） 1380 1200
（1）设商场购进x件A商品，请用x的代数式表示购进B商品的件数．
（2）求商场购进A、B两种商品各多少件?
（3）该商场购进A、B两种商品，购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种
商品按原售价出售，而B种商品要打折销售，若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利81600元，B
种商品的售价为每件多少元？【练习3】某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为120元/件，售件为130元/件，乙种商品
的进价为100元/件，售件为150元/件．
（1）若商场用36000元购进这两种商品，销售完后可获得利润6000元，则该商场购进甲、乙两种商品各
多少件？
（2）若商场要购进这两种商品共200件，设购进甲种商品x件，销售后获得的利润为W元，试写出利润W
（元）与x（件）函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；并指出购进甲种商品件数x逐渐增加
时，利润W是增加还是减少？
【练习4】金鑫服装店老板到厂家选购A，B两种型号的服装，若购进A种型号服装3件，B种型号服装2
件，需要470元；若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元．
（1）求A，B两种型号的服装每件进价分别为多少元？
（2）若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，
购进A型服装的数量的7倍与购进B型服装的数量的4倍之和为100件，问有几种进货方案？哪种方案获
利最多？
题型三：里程碑上的数
例3．A、B两地相距工40千米，甲、乙两人分别同时从A、B两地出发，相向而行，两小时后两人相遇，
然后甲立即返回A地，乙继续前进，当甲回到A地时，乙离A地还有4千米，求甲、乙两人的速度．
【练习5】一个两位数，十位数与个位数的和是7，把这个两位数加上45后，结果恰好成为数字对调后组
成的两位数，则这个两位数是_______．
【练习6】某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0~5 ，超过5 的部分按每千米另收费．甲说：
“我乘这种出租车走了11 ，付了17元．”乙说：“我乘这种出租车走了23 ，付了35元．”
（1）出租车的起步价是多少元？超过5 后每千米的收费多少元？
（2）小李从学校乘这种出租车车回到家付费14元，学校到小李家的路程是多少千米？
考点二：二元一次方程与一次函数
题型一：利用函数图象解方程组
例4．（1）如图 的图象经过 ，则关于 的方程 的解为 ．（2）如图，直线 ： 与直线 ： 交于点 ，则方程组 的解为
______．
（3）如图，函数 和 的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组
的解是__________．
【练习7】（1）已知直线 和 交于点 ，则关于 的方程 的解为 ．
（2）如图，已知函数 和 的图象交于点P，则二元一次方程组 的解是________．
（3）如图，直线y＝2x－4和直线y＝－3x＋1交于点(1，－2)，则方程组 的解是_________．
题型二：方程组与一次函数的综合
例5．已知一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与正比例函数 的图象交
于点 ．
（1）求 ， 的值；（2）方程组 的解为 ．
（3）在 的图象上是否存在点 ，使得 的面积比 的面积大5？若
存在，请求出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
例6．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B
坐标为（4，0），点E是直线y=x+4上的一个动点，若∠EAB=∠ABO，则点E
的坐标为_____________．
【练习8】已知点 、 在直线 上， 和函数 的图象交于点 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）若点 的横坐标是1，求关于 、 的方程组 的解及 的
值．
（3）在（2）的条件下，若点 关于 轴的对称点为 ，求 的面积．
【练习9】已知：k为正数，直线l：y=kx+k-1与直线l：y=(k+1)x+k及x轴围成的三角形的面积为S，
1 2 k
则S+S+S+....+S 的值为______.
1 2 3 2016
1．学校八年级师生共468人准备乘车到兰山教育实践基地参加研学活动，现已预备了49座和37座两种客
车共10辆，刚好坐满，设49座客车 辆，37座客车 辆，根据题意可列出方程组（ ）
A． B． C． D．
2．《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，
问人数，物价各几何?设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（
）A． B． C． D．
3．某公司2018年的利润为200万元，2019年的总产值比2018年增加了12%，总支出比2018年减少了
8%，2019年的利润为500万元，若设2018年的总产值是 万元，2018年的总支出是 万元，则所列方程
组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一个两位数，数字之和为11，若原数加45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少．若设原数十位
数字为x，个位数字为y，根据题意，列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线 与 的交点坐标为 ，则方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
6．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这个两位数的数字对换位置，那么所得的新
数与原数的和是143，则这个两位数是_________．
7．用 块 型钢板可制成 件甲种产品和 件乙种产品;用 块 型钢板可制成 件甲种产品和 件乙种产
品;要生产甲种产品 件，乙种产品 件，则恰好需用 两种型号的钢板共__________块．
8．甲、乙两种商品原来的单价和为 元，因市场变化，甲商品降价 ，乙商品提价 ，调价后两
种商品的单价和比原来的单价和提高了 ，求甲、乙两种商品原来的单价．现设甲商品原来的单价 元，
乙商品原来的单价为 元，根据题意可列方程组为_____________；
9．甲、乙两地相距 ，一轮船在两地间航行，顺流用 ，逆流用 ．则这艘轮船在静水中的速度为__________．
10．如图，直线 ：y=x+1与直线 ：y=mx+n相交于点P(1， )， 则关于x、y的
1 2
方程组 的解为__________．
11．甲乙二人相距18千米，二人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小时可以追上
乙．求二人的平均速度各是多少？
12．如图，直线的函数解析式为 ，直线 与 轴交于点 ．直线
与 轴交于点 ，且经过点 ，如图所示．直线 、 交于
点 ．
（1）求点 、点 的坐标；
（2）求直线 的函数解析式；
（3）利用函数图象写出关于 、 的二元一次方程组 的解．
13．小张用60元购进A，B两种文具，按标价售出后可获得毛利40元（毛利＝售价﹣进价）．现已知A种
文具的进价是5元/件，标价是10元/件；B种文具的进价是10元/件，标价是16元/件．
（1）这两种文具各购进了多少件？
（2）如果A种文具按标价的8折出售，B种文具按标价的七五折出售，那么这批文具全部售完后，小张比
按标价出售少收入多少元？
14．某班组织观看电影，有甲、乙两种电影票，甲种票每张 元，乙种票每张 元．如果全班 名同学
购票用去 元，那么甲、乙两种电影票各多少张？
15．若正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，且点 的横坐标为 ．
（1）求该一次函数的表达式；（2）直接写出方程组 的解；
（3）在一次函数 的图象上是否存在点 ，使的 的面积为2，若存在，求出点 坐标；若
不存在，请说明理由．
