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专题10：二元一次方程组（2）
考点一：应用二元一次方程组
题型一：鸡兔同笼
例1．2019年12月3日，140余件从明末清初延续至民国时期的民间晋绣在山西省太原美术馆展出，这是
山西首次将这一传承百年的工艺品进行系统梳理．某校组织学生前去参观，原计划租用45座客车若干辆，
但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，其余客车恰好坐满．问这批学生的人
数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
【答案】学生人数为240人，原计划租用45座客车5辆
【分析】此题注意总人数是不变的，设原计划租用45座客车 辆，学生人数为 人．根据“原计划租用
45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，其余客车恰好坐
满”列出方程组并解答．
【详解】解：设原计划租用45座客车 辆，学生人数为 人．
根据题意，得 ． 解，得 ．
答：学生人数为240人，原计划租用45座客车5辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．此题要抓住不变量，可以有不同的解法，本题关键是找到等
量关系．
【练习1】某旅馆的客房有三人间和两人间两种．三人间每人每天80元，两人间每人每天100元，一个50
人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个房间正好住满，一天共花去住宿费4520元，两种客房
各租住了多少间？
【答案】三人间租住了8间，两人间租住了13间
【分析】设三人间租住了x间，两人间租住了y间，根据50人的旅游团共花费4520元的住宿费，即可得
出关于x，y的二元一次方程组，求解即可．
【详解】设三人间租住了 间，两人间租住了 间，
依题意，得： ，解得： ．
答：三人间租住了8间，两人间租住了13间．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【练习2】印江某中学为了提高学生的体育素质，加强排球和篮球练习．某班购买了排球和篮球，其中排
球的单价为45元/个，篮球的单价为80元/个，一共购买了40个，共用去了2430元，求该班购买的排球
和篮球各多少个？
【答案】该班购买排球22个，篮球18个
【分析】根据题意，找出等量关系，列出方程组，然后解方程，即可得到答案．
【详解】解：设该班购买排球x个，篮球y个，根据题意得：
解得： ；
答：该班购买排球22个，篮球18个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确列出方程组，从而进行解
题．
题型二：增收节支
例2．某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和销售价如下表：（注：获利
＝售价一进价）
A B
进价/（元/件） 1200 1000
售价/（元/件） 1380 1200
（1）设商场购进x件A商品，请用x的代数式表示购进B商品的件数．
（2）求商场购进A、B两种商品各多少件?
（3）该商场购进A、B两种商品，购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种
商品按原售价出售，而B种商品要打折销售，若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利81600元，B
种商品的售价为每件多少元？
【答案】（1）360﹣1.2x；（2）该商场购进A种商品200件，B种商品120件；（3）B种商品打折后的售
价为每件1080元．
【分析】（1）购进B商品的件数＝（总共钱数﹣购进x件A商品的钱数）÷B商品的进价，依此列式计算
即可求解；
（2）题中有两个等量关系：购买A种商品进价+购买B种商品进价＝360000，出售A种商品利润+出售B种
商品利润＝6000，由此可以列出二元一次方程组解决问题；
（3）根据等量关系：出售A种商品利润+出售B种商品利润＝81600，可以列出一元一次方程解决问题．【详解】解：（1）购进B商品的件数：（360000﹣1200x）÷1000＝360﹣1.2x；
（2）设商场购进A种商品x件，B种商品y件，根据题意得：
，解得： ．
答：该商场购进A种商品200件，B种商品120件；
（3）设B种商品打折后的售价为每件a元．则
（1380﹣1200）×200×2+（a﹣1000）×120＝81600，解得 a＝1080．
答：B种商品打折后的售价为每件1080元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是将现实生活中的事件与数学
思想联系起来，读懂题意，找出等量关系，列方程求解．
【练习3】某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为120元/件，售件为130元/件，乙种商品
的进价为100元/件，售件为150元/件．
（1）若商场用36000元购进这两种商品，销售完后可获得利润6000元，则该商场购进甲、乙两种商品各
多少件？
（2）若商场要购进这两种商品共200件，设购进甲种商品x件，销售后获得的利润为W元，试写出利润W
（元）与x（件）函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；并指出购进甲种商品件数x逐渐增加
时，利润W是增加还是减少？
【答案】（1）进购甲商品240件，乙商品72件；（2） ，当x逐渐增加时，利润W减
少
【分析】（1）设进购甲商品x件，乙商品y件，再求出甲和乙的单件利润，列二元一次方程组解决问题；
（2）设购进甲种商品x件，则乙商品是 件，根据（1）中求出的甲和乙的单件利润，列出函数
解析式，根据一次项系数的正负判断W是增加还是减少．
【详解】解：（1）设进购甲商品x件，乙商品y件，
甲商品单件利润是 元，乙商品单件利润是 元，
，解得 ，
答：进购甲商品240件，乙商品72件；
（2）设购进甲种商品x件，则乙商品是 件，，
∵ ，∴当x逐渐增加时，利润W减少．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用和一次函数的应用，解题的关键是能够根据题意列出方程和一次函
数．
【练习4】金鑫服装店老板到厂家选购A，B两种型号的服装，若购进A种型号服装3件，B种型号服装2
件，需要470元；若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元．
（1）求A，B两种型号的服装每件进价分别为多少元？
（2）若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，
购进A型服装的数量的7倍与购进B型服装的数量的4倍之和为100件，问有几种进货方案？哪种方案获
利最多？
【答案】（1）A，B两种型号的服装每件进价分别为90、100元；（2）有4种方案，见解析；当进货0件
A型服装，25件B型服装时，利润最大．
【分析】（1）设A型服装每件进价x元，B型服装每件进价y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设进货A型服装数量为a件，B型服装数量为b件，依题意可得7a+4b=100,由a,b为整数，即可求出
a,b的值进行求解 ．
【详解】（1）设A型服装每件进价x元，B型服装每件进价y元，
根据题意可得 解得
答：A，B两种型号的服装每件进价分别为90、100元；
（2）设A型服装数量为a件，B型服装数量为b件，依题意可得7a+4b=100,
由a,b为整数，故可得4种情况：
当a=0时，b=25，即进货0件A型服装，25件B型服装，利润为18×0+25×30=750（元）
当a=4时，b=18，即进货4件A型服装，18件B型服装，利润为18×4+18×30=612（元）；
当a=8时，b=11，即进货8件A型服装，11件B型服装，利润为18×8+11×30=474（元）；
当a=12时，b=4，即进货12件A型服装，4件B型服装，利润为18×12+4×30=336（元）；
故进货0件A型服装，25件B型服装时，利润最大．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解．
题型三：里程碑上的数
例3．A、B两地相距工40千米，甲、乙两人分别同时从A、B两地出发，相向而行，两小时后两人相遇，
然后甲立即返回A地，乙继续前进，当甲回到A地时，乙离A地还有4千米，求甲、乙两人的速度【答案】甲的速度为11 千米/时，乙的速度为9千米/时
【分析】设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据甲、乙的路程和＝A、B两地距离，结合2
小时甲比乙多行4千米，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设甲的速度为x 千米/时，乙的速度为y千米/时，由题可得：
解得
答：甲的速度为11 千米/时，乙的速度为9千米/时
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【练习5】一个两位数，十位数与个位数的和是7，把这个两位数加上45后，结果恰好成为数字对调后组
成的两位数，则这个两位数是_______．
【答案】16
【分析】根据已知分别设十位数是a，个位数是b,列出方程组即可求解.
【详解】解：设这个数为10a+b，那么十位数就是a，个位数就是b
∵十位数与个位数的和是7，这个两位数加上45后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，
∴ 解方程组a=6,b=1∴这个两位数是16.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的求解,属于简单题,认真审题,找到等量关系是解题关键.
【练习6】某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0~5 ，超过5 的部分按每千米另收费．甲说：
“我乘这种出租车走了11 ，付了17元．”乙说：“我乘这种出租车走了23 ，付了35元．”
（1）出租车的起步价是多少元？超过5 后每千米的收费多少元？
（2）小李从学校乘这种出租车车回到家付费14元，学校到小李家的路程是多少千米？
【答案】（1）出租车的起步价是8元，超过 后每千米的收费1.5元；（2）学校到小李家的路程是9
千米
【分析】（1）由题意设出租车的起步价是 元，超过 后每千米的收费 元，并根据题意建立方程组
与求解方程组即可；
（2）根据题意设学校到小李家的路程是 千米，建立一元一次方程并求解即可.
【详解】解：（1）设出租车的起步价是 元，超过 后每千米的收费 元，
由题意，得： ，解方程组，得 ，
答：出租车的起步价是8元，超过 后每千米的收费1.5元．（2）设学校到小李家的路程是 千米，则： ，解得： ，
答：学校到小李家的路程是9千米．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并根据题建立方程组求解是解题的关键.
考点二：二元一次方程与一次函数
题型一：利用函数图象解方程组
例4．（1）如图 的图象经过 ，则关于 的方程 的解为 ．
【答案】
【分析】所求方程的解，即为函数 图象与 轴交点横坐标，确定出解即可．
【详解】解：方程 的解，即为函数 图象与 轴交点的横坐标，
的图象经过 ， 方程 的解是 ，故答案为： ．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为 ， 为常数，
的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0时，求相应的自变量的值．从
图象上看，相当于已知直线 确定它与 轴的交点的横坐标的值．
（2）如图，直线 ： 与直线 ： 交于点 ，则方程组 的解为
______．【答案】
【分析】根据两直线的交点坐标就是两直线对应方程组成的二元一次方程组的解集解答即可．
【详解】解：由题意，直线 ： 与直线 ： 交于点 ，则方程组
的解为 ．
【点睛】本题考查了函数解析式与图象的关系，熟练掌握函数图象的交点就是两函数解析式组成的方程组
的解是解答的关键．
（3）如图，函数 和 的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组
的解是__________．
【答案】
【分析】先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交
点坐标求解．
【详解】当y＝1时， ＝1，解得x＝−3，则点P的坐标为（−3，1），
所以关于x，y的二元一次方程组 中的解为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【练习7】（1）已知直线 和 交于点 ，则关于 的方程 的解为 ．
【答案】
【分析】利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解决问题．
【详解】解： 直线 和 交于点 ， 当 时， ，
即关于 的方程 的解为 ．故答案为 ．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组 ：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐
标．
（2）如图，已知函数 和 的图象交于点P，则二元一次方程组 的解是________．
【答案】
【分析】两个一次函数的交点就是两函数组成的方程组的解．
【详解】由图象可得，函数 和 的图象交于点P，P点坐标为 ，
则二元一次方程组的 的解为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解x、y对应两直线在同一坐标系的
交点的横、纵坐标是解答本题的关键．
（3）如图，直线y＝2x－4和直线y＝－3x＋1交于点(1，－2)，则方程组 的解是_________．【答案】
【分析】根据两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组方程组的解即可直接得到答案．
【详解】解：∵直线y＝2x－4和直线y＝－3x＋1交于点(1，－2)
∴方程组 的解是 故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握一次函数与方程组的关系．
题型二：方程组与一次函数的综合
例5．已知一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与正比例函数 的图象交
于点 ．
（1）求 ， 的值；
（2）方程组 的解为 ．
（3）在 的图象上是否存在点 ，使得 的面积比 的面积大5？若
存在，请求出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见详解
【分析】（1）把 分别代入 和 即可求得 、 的值；
（2）根据两函数的交点坐标，即可求得方程组的解；
（3）求得 、 的坐标，设点 的坐标为 ，作 轴于点 ， 轴于点 ，根据三角形面 积 公 式 得 到 的 面 积 为 ， 的 面 积 为
，根据题意得到 ，解得 ，从而求得点 的坐标为
或 ．
【详解】解：（1）由题知，点 在 的图象上，所以， ，所以，点 的坐标为 ，
因为，点 在 的上，所以， ，所以， ；
（2） 一次函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 ，
方程组 的解为 ，故答案为 ；
（3）存在，理由： 点 在在 的图象上， 设点 的坐标为 ，
一次函数为 ， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
作 轴于点 ， 轴于点 ， 的面积为 ， 的面
积为 ，当 时，解得 ， ，
点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一
次方程组的关系，三角形的面积，明确函数与方程组的关系是解题的关键．
例6．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y=x+4上的一个动点，若∠EAB=∠ABO，则点E的坐标为_____________．
【答案】(－12，－8)；(4,8)
【分析】分两种情况：当点E在y轴右侧时，由条件可判定AE∥BO，容易求得E点坐标；当点E在y轴左
侧时，可设E点坐标为（a，a+4），过AE作直线交x轴于点C，可表示出直线AE的解析式，可表示出C点
坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC=BC，可得到关于a的方程，可求得E点坐标．
【详解】(1)当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，
∵∠EAB=∠ABO，∴AE∥OB，
∵A（0，8），∴E点纵坐标为8，
又E点在直线y=x+4上，把y=8代入可求得x=4，∴E点坐标为（4，8）；
(2)当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，
设C（m，0），
∵∠EAB=∠ABO，∴AC=BC，∴（4-m）2=m2+82，
解得m=-6，∴C（6,0）∴直线AC的解析式为 ，
∵E是直线AC与y=x+4的交点
∴联立 ，解得 ∴E（-12，-8）．
综上可知，E点坐标为（4，8）或（-12，-8）．故答案为：（4，8）或（-12，-8）．
【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、
分类讨论思想等知识点．确定出E点的位置，由条件得到AE∥OB或AC=BC是解题的关键．本题难度未大，
注意考虑全面即可．
【练习8】已知点 、 在直线 上， 和函数 的图象交于点 ．（1）求直线 的表达式；
（2）若点 的横坐标是1，求关于 、 的方程组 的解及 的
值．
（3）在（2）的条件下，若点 关于 轴的对称点为 ，求 的面积．
【答案】见详解
【分析】（1）由于点 、 在直线上，可用待定系数法确定直线 的表达式；
（2）先求出点 的坐标，即得方程组的解．代入组中方程求出 即可；
（3）由于 ，分别求出 和 的面积即可．
【详解】解：（1） 点 、 在直线 上，
，解得 ，所以直线 的表达式为： ；
（2）由于点 在直线 上，当 时， ，所以点 的坐标为 ，
所以关于 、 的方程组 的解为 ，因为点 是直线 与直线
的交点，
把 ， 代入 中，求得 ．
（3）因为点 与点 关于 轴对称，所以点 ，所以 ，
，
所以 ．
【点睛】本题考查了待定系数法确定函数解析式、三角形的面积、直线与方程组的关系等知识点．方程组
的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一
次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【练习9】已知：k为正数，直线l：y=kx+k-1与直线l：y=(k+1)x+k及x轴围成的三角形的面积为S，
1 2 k则S+S+S+....+S 的值为______.
1 2 3 2016
【答案】
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出两直线与x轴的交点坐标，进而可得出两点间的距离，
联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出两直线的交点坐标，然后根据三角形的面积公式计算
S+S+S+....+S 即可．
1 2 3 2016
【详解】解：对直线l：y=kx+k－1，当y=0时，有kx+k－1=0，解得： ，
1
∴直线l与x轴的交点坐标为（ ，0），同理可得出：直线l与x轴的交点坐标为（ ，0），
1 2
∴两直线与x轴交点间的距离 ．
联立直线l、l成方程组，得： ，解得： ，
1 2
∴直线l、l的交点坐标为（－1，－1）．
1 2
∴S+S+S+....+S = + + +……+
1 2 3 2016
= =
= = = . 故答案为： .
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的
坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离、找准计算规律是解题的关键．
1．学校八年级师生共468人准备乘车到兰山教育实践基地参加研学活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车 辆，37座客车 辆，根据题意可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：由题意可得 故选B．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
2．《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，
问人数，物价各几何?设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，由“每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，
则差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：根据题意可知， 故答案为：D.
【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的
关键．
3．某公司2018年的利润为200万元，2019年的总产值比2018年增加了12%，总支出比2018年减少了
8%，2019年的利润为500万元，若设2018年的总产值是 万元，2018年的总支出是 万元，则所列方程
组正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由2019年总产值、总支出相比2018年的增长率可表示出2019年的总产值和总支出，根据利润
总产值 总支出列方程即可.
【详解】解： 2019年的总产值为 ，总支出为
根据题意可得 故选：A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，找准题中等量关系是解题的关键.
4．一个两位数，数字之和为11，若原数加45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少．若设原数十位
数字为x，个位数字为y，根据题意，列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】关键描述语是：数字之和为11；原数加45，等于此两位数字交换位置．
等量关系：个位数字+十位数字=11；十位数字×10+个位数字+45=个位数字×10+十位数字．
根据这两个等量关系，可列方程组．
【详解】设原数十位数字为x，个位数字为y．根据题意列出方程组为 ．
故选：C．
【点睛】此题考查二元一次方程的应用，解题关键在于需注意两位数的表示方法为：十位数字×10+个位
数字．5．已知直线 与 的交点坐标为 ，则方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由 与坐标 得交点坐标为（1，2），根据两条直线的交点坐标与二元一次方程组的
解的关系，即可得出结论．
【详解】解：∵直线y＝2x经过（1，a），∴a＝2．∴交点坐标为（1，2）．
∵两条直线的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，∴方程组的解为 ．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系，解题的关键是理解二元一次方程组的解就是相应的
一次函数图象的交点坐标．
6．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这个两位数的数字对换位置，那么所得的新
数与原数的和是143，则这个两位数是_________．
【答案】49
【分析】设个位数字是x，十位数字是y，根据新数与原数的和是143列方程解答即可得到答案.
【详解】设个位数字是x，则十位数字是y，
，解得 ，∴这个两位数是49，故答案为：49.
【点睛】此题考查一元二次方程组的应用，正确理解新数与原数的表示方法是解题的关键.
7．用 块 型钢板可制成 件甲种产品和 件乙种产品;用 块 型钢板可制成 件甲种产品和 件乙种产
品;要生产甲种产品 件，乙种产品 件，则恰好需用 两种型号的钢板共__________块．
【答案】
【分析】设需用A型钢板x块，B型钢板y块，然后根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，求得x、y
的值，最后再求x+y即可．
【详解】解：设需用A型钢板x块，B型钢板y块根据题意得： ，解得 则x+y=3+11=14．故答案为14．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系并列出二元一次方程组是解答本题的关键．
8．甲、乙两种商品原来的单价和为 元，因市场变化，甲商品降价 ，乙商品提价 ，调价后两
种商品的单价和比原来的单价和提高了 ，求甲、乙两种商品原来的单价．现设甲商品原来的单价 元，
乙商品原来的单价为 元，根据题意可列方程组为_____________；
【答案】
【分析】根据“甲、乙两种商品原来的单价和为100元”可得出方程为x+y=100．根据“甲商品降价10%，
乙商品提价40%，调价后两种商品的单价之和比原来的单价和提高了20%”，可得出方程为
，联立即可列出方程组．
【详解】解：根据题意可列方程组： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些
关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
9．甲、乙两地相距 ，一轮船在两地间航行，顺流用 ，逆流用 ．则这艘轮船在静水中的速
度为__________．
【答案】
【分析】设轮船在静水的速度为 ，水流速度为 ，据此进一步表示出轮船顺流速度与逆流速
度，然后结合两地距离进一步列出方程组求解即可.
【详解】设轮船在静水的速度为 ，水流速度为 ，
则：轮船顺流速度为： ，逆流速度为： ，
∴ ，解得： ，∴轮船在静水中速度为 ，故答案为： .
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键.
10．如图，直线 ：y=x+1与直线 ：y=mx+n相交于点P(1， )， 则关于x、y的方程组
1 2
的解为__________．
【答案】
【分析】首先利用待定系数法求出b的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成
的二元一次去方程组的解可得答案．
【详解】解：∵直线y=x+1经过点P（1，b），∴b=1+1，解得b=2，∴P（1，2），
∴关于x的方程组 的解为 ，故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数
组成的二元一次去方程组的解．
11．甲乙二人相距18千米，二人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小时可以追上
乙．求二人的平均速度各是多少？
【答案】甲的平均速度为12千米/小时，乙的平均速度为6千米/小时
【分析】设甲的平均速度为x千米/小时，乙的平均速度为y千米/小时，根据“甲乙二人相距18千米，二
人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小时可以追上乙”，即可得出关于x，y的二
元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设甲的平均速度为x千米/小时，乙的平均速度为y千米/小时，
依题意，得： ，解得： ．
答：甲的平均速度为12千米/小时，乙的平均速度为6千米/小时．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确分析是解题的关键．
12．如图，直线的函数解析式为 ，直线 与 轴交于点 ．直线 与 轴交于点 ，
且经过点 ，如图所示．直线 、 交于点 ．
（1）求点 、点 的坐标；
（2）求直线 的函数解析式；
（3）利用函数图象写出关于 、 的二元一次方程组 的解．
【答案】见详解
【分析】（1）求函数值为0时一次函数 所对应的自变量的值即可得到 点坐标，把 代入
求出 得到 点坐标；
（2）利用待定系数法求直线 的解析式；
（3）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】解：（1） 点 为直线 与 轴的交点， ， ，解得 ， ；
点 在直线 上， ，解得 ， 点 的坐标为 ；
（2） 点 、 在直线 上， ，解得 ，
直线 的解析式为 ；
（3）由图可知二元一次方程组 的解为 ．
【点睛】一次函数与二元一次方程（组 ：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的
值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数
图象的交点坐标．也考查了一次函数的性质．13．小张用60元购进A，B两种文具，按标价售出后可获得毛利40元（毛利＝售价﹣进价）．现已知A种
文具的进价是5元/件，标价是10元/件；B种文具的进价是10元/件，标价是16元/件．
（1）这两种文具各购进了多少件？
（2）如果A种文具按标价的8折出售，B种文具按标价的七五折出售，那么这批文具全部售完后，小张比
按标价出售少收入多少元？
【答案】（1） ；（2） （元）．
【分析】（1）设A种文具购进x件，B种文具购进y件，由总价=单价×数量，毛利=售价﹣进价建立方程
组求出其解即可；
（2）分别求出打折后的价格，再根据少收入的利润=总利润﹣打折后A种文具的利润﹣打折后B中文具的
利润，求出其解即可．
【详解】（1）设A种文具购进x件，B种文具购进y件，由题意，得：
解得： ．答：A种文具购进2件，B种文具购进5件；
（2）由题意，得：
= （元）．
答：文具比按标价售出少收入24元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
14．某班组织观看电影，有甲、乙两种电影票，甲种票每张 元，乙种票每张 元．如果全班 名同学
购票用去 元，那么甲、乙两种电影票各多少张？
【答案】甲种票买20张，乙种票买15张
【分析】设甲、乙两种票各买x张，y张，根据题意列出二元一次方程组即可求出结论．
【详解】解：设甲种票买x张，乙种票买y张，根据题意得
解得： 答：甲种票买20张，乙种票买15张．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
15．若正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，且点 的横坐标为 ．
（1）求该一次函数的表达式；（2）直接写出方程组 的解；
（3）在一次函数 的图象上是否存在点 ，使的 的面积为2，若存在，求出点 坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】见详解
【分析】（1）先求出 点的纵坐标，把 点的坐标代入 ，求出 即可；
（2）根据方程组的特点和 点的坐标得出答案即可；
（3）设直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ，则 ， ，求出 和
的面积，分为两种情况：①当 点在第一象限时，则 ，②当 点在第三象限时，则 ，根
据三角形的面积求出 点的纵坐标或横坐标，即可求出答案．
【详解】解：（1）将 代入 ，得 ，
则点 坐标为 ，
将 代入 ，得 ，
解得： ，
所以一次函数的解析式为 ；
（2） 方程组 的解为 ，
方程组 的解为 ；（3）
设直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ，则 ， ，
，
，
①当 点在第一象限时，则 ，
设 的横坐标为 ，
，
解得： ，
即点 的横坐标是1，
把， 代入 得： ，
；
②当 点在第三象限时，则 ，
设 的纵坐标为 ，
，
解得： ，
即点 的纵坐标是 ，
把 代入 得： ，，
综上，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与二次一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函
数的解析式，三角形的面积等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键，用了分类讨论思想．
