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专题 11 一次函数与正比例函数（综合题）
易错点拨
知识点01：正比例函数的图象与性质
y kx k k y kx k
正比例函数 （ 是常数， ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 .当
y kx x y k
＞0时，直线 经过 ，从左向右上升，即随着 的增大 也 ；当 ＜0时，直线
y kx x y
经过 ，从左向右下降，即随着 的增大
知识点02：待定系数法求正比例函数的解析式
y kx k k k x y
由于正比例函数 （ 为常数， ≠0 ）中只有一个待定系数 ，故只要有一对 ， 的值或一
k
个非原点的点，就可以求得 值.
知识点03：一次函数的图象与性质
y kxb k b k
1.函数 （ 、 为常数，且 ≠0）的图象是一条直线 ；
b y kxb y kx
当 ＞0时，直线 是由直线 向上平移 个单位长度得到的；
b y kxb y kx
当 ＜0时，直线 是由直线 向下平移 个单位长度得到的.
y kxb k b k
2.一次函数 （ 、 为常数，且 ≠0）的图象与性质：k b y kxb
3. 、 对一次函数 的图象和性质的影响：
k ykxb b k b ykxb
决定直线 的趋势， 决定 的位置， 、 一起决定直线
经过的 ．
l y k xb l y k xb
4. 两条直线 1： 1 1和 2： 2 2的位置关系可由其系数确定：
k k l l k k b b l l
（1） 1 2 1与 2 ； （2） 1 2，且 1 2 1与 2 ；
知识点04：待定系数法求一次函数解析式
y kxb k b k k b
一次函数 （ ， 是常数， ≠0）中有两个待定系数 ， ，需要两个独立条件确定两个
x y
关于 ， 的方程，这两个条件通常为两个点或两对 ， 的值.
细节剖析：先设出 ，再根据条件确定解析式中 ，从而具体写出这个式子的方法，
y kxb k b
叫做待定系数法.由于一次函数 中有 和 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条k b
件列 （以 和 为未知数）， 后就能具体写出一次函数的解析式.
易错题专训
一．选择题
1．（2022春•承德期末）下列函数①y＝﹣5x；②y＝﹣2x+1；③y＝ ；④y＝ x﹣1；⑤y＝x2﹣1中，
是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021秋•金水区校级期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x
的方程kx+b＝4的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
3．（2021秋•碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（1，2），C（5，
2），直线l经过点A，它将△ABC分成面积相等的两部分，则直线l的表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+6 B．y＝﹣2x+8 C．y＝2x+8 D．y＝﹣x+64．（2021•台儿庄区模拟）如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（ ，﹣2），点P在直线y
＝﹣x上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为（ ）
A．（2，﹣2） B．（4，﹣4） C．（ ，﹣ ） D．（5，﹣5）
5．（2021春•饶平县校级期末）已知2y﹣3与3x+1成正比例，则y与x的函数解析式可能是（ ）
A．y＝3x+1 B． C． D．y＝3x+2
6．（2018秋•南山区期末）如图是一次函数y＝kx+b与y＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞
1 2
0；③b＞0：④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2017春•钦州期末）等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的
是（ ）
A．y＝﹣0.5x+20（0＜x＜20） B．y＝﹣0.5x+20（10＜x＜20）
C．y＝﹣2x+40（10＜x＜20） D．y＝﹣2x+40（0＜x＜20）
二．填空题
8．（2022•岷县开学）若y＝（m+ ）x+m2﹣3是关于x的正比例函数，则常数m＝ ．
9．（2021秋•岑溪市期末）已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示，则关于x的
方程kx+b＝0的解是x＝ ．10．（2022春•海港区期末）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达式
是 ．
11．（2020秋•玄武区期末）已知一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数，且k≠0，b≠0）与y＝ x的图象相
交于点M（a，1），则关于x的方程（k﹣ ）x＝b的解为x＝ ．
12．（2021•永嘉县校级模拟）如图，在直角坐标系中，过点A（6，6）分别向x轴，y轴作垂线，垂足分
别为点B，C，取AC的中点P，连接OP，作点C关于直线OP的对称点D，直线PD与AB交于点Q，则线段
PQ的长为 ，直线PQ的函数表达式为 ．
三．解答题
13．（2022春•郴州期末）已知一次函数的图象过点（3，5）与点（﹣4，﹣9），求这个一次函数的解析
式．
14．（2022春•武威期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并
且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△AOB的面积．15．（2021春•绥宁县期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过（2，4）、（0，2）两点，与x轴相交
于点C．求：
（1）此一次函数的解析式；
（2）△AOC的面积．
16．（2021春•德城区校级期中）已知y＝y+y，y与x2成正比例，y与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝
1 2 1 2
5；当x＝﹣1时，y＝11，求y与x之间的函数表达式，并求当x＝2时y的值．
17．（2022春•柳州期末）已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求：
（1）这个一次函数的解析式．（2）当x＝﹣3时，y的值．
18．（2021春•思明区校级期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作
AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
19．（2020秋•武侯区校级期中）如图所示，过点A（2，0）的直线l交y轴于点B，点B在原点上方，已
1
知OA＝2OB．
（1）求点B的坐标；
（2）若过点A的直线l交y轴于点C，△ABC的面积为3，求直线l的函数表达式．
2 2
20．（2021秋•吉安期中）已知y﹣2与3x﹣5成正比例，且当x＝3时，y＝﹣6．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若点（﹣1，y）与（2，y）在该函数图象上，比较y与y的大小关系．
1 2 1 2
