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专题 20 立体几何综合大题必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
1．在棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 的中点.
（1）求点 到直线 的距离；
（2）求直线 到平面 的距离.
2．如图，正方形 的边长为2， 的中点分别为C， ，正方形 沿着 折起形成三棱
柱 ，三棱柱 中， .
（1）证明:当 时，求证： 平面 ；
（2）当 时，求二面角 的余弦值.3．如图，直三棱柱 的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱 的
长为5.
（1）求三棱柱 的体积；
（2）设M是BC中点，求直线 与平面ABC所成角的正切值.
4．如图，在三棱锥 中， 底面ABC， 点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，
M是线段AD的中点， ， .
（1）求证： 平面BDE；
（2）求二面角 的正弦值；（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长.
5．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设 ，OA、OB是底面半径，且 ，M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与OB
所成的角的余弦值.
6．如图所示，已知四棱锥 中，四边形 为正方形，三角形 为正三角形，侧面 底
面 ，M是棱 的中点．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的正弦值．7．已知点 ， 分别是正方形 的边 ， 的中点.现将四边形 沿 折起，使二面角
为直二面角，如图所示.
（1）若点 ， 分别是 ， 的中点，求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
8．已知如图1所示，等腰 中， ， ， 为 中点，现将 沿折痕 翻折
至如图2所示位置，使得 ， 、 分别为 、 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求四面体 的体积．9．在三棱柱ABC-ABC 中，AB=2，BC=BB=4， ，且∠BCC =60°.
1 1 1 1 1
（1）求证：平面ABC⊥平面BCC B：
1 1 1
（2）设二面角C-AC -B的大小为θ，求sinθ的值.
1
10．如图，四棱锥 中，底面 是直角梯形， ，∠BAD=90°，已知 ，
.
（1）证明： ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求四棱锥 的体积.
11．如图，四棱柱ABCD—ABC D 中，底面ABCD和侧面BCC B 都是矩形，E是CD的中点，
1 1 1 1 1 1
DE⊥CD，AB＝2BC＝2．
1（1）求证：平面CC DD⊥底面ABCD；
1 1
（2）若平面BCC B 与平面BED 所成的锐二面角的大小为 ，求线段ED 的长度．
1 1 1 1
12．如图，四棱锥 的底面 是边长为2的正方形，平面 平面 ， 是斜边
的长为 的等腰直角三角形， ， 分别是棱 ， 的中点， 是棱 上一点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的正切值为 ，求锐二面角 的余弦值．
13．如图所示，四棱锥 的底面 是边长为2的正方形，侧面 底面 ， ，F在侧棱 上，且 平面 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求点D到平面 的距离．
14．在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点
D到平面ABC的距离．
15．如图，在长方体 中， ， ， 为棱 的中点.（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的大小.
16．如下图，在四棱锥 中，底面 是正方形，平面 平面 ， ， ．
（1）求 与 所成角的余弦值；
（2）求证： ．
17．如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，M为 的中点，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 的体积．18．如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，
M，N分别为 的中点， .
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
19．如图，
（I）求证
（II）设20．如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，点 在线段 上，且 .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ， ， ， ，求四棱锥 的体积.
21．如图，直三棱柱 ， ， 点M，N分别为 和 的中点．
(Ⅰ)证明： ∥平面 ;
(Ⅱ)若二面角 为直二面角，求 的值．22．如图，在三棱锥 中, 侧面 与侧面 均为等边三角形, 为 中点.
（Ⅰ）证明： 平面
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
23．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为 的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝
，M，N分别为PB，PD的中点．
(1)证明：MN∥平面ABCD；
(2) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．24．如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离．
25．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E
为线段PC上一点.
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．26．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．
（Ⅰ）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（Ⅱ）证明：平面PAB⊥平面PBD．
27．如图，在三棱台ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
28．如图，在直三棱柱ABC-A B C 中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B B上，且 ，
1 1 1 1
.求证：（1）直线DE 平面A C F；
1 1
（2）平面B DE⊥平面A C F.
1 1 1
29．如图，在三棱锥 中， 在底面ABC的射影为BC的中
点，D为 的中点.
（1）证明： ；
（2）求直线 和平面 所成的角的正弦值.30．如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，
是 的中点．
（Ⅰ）证明 ；
（Ⅱ）证明 平面 ；
（Ⅲ）求二面角 的大小．任务二:中立模式(中档)30-70题
31．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形， PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F
分别是AD，CD的中点. △
（1）证明：BD⊥PF；
（2）若AD=DB=2，求点C到平面PBD的距离；
32．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F
分别是AD，CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；
（2）若∠BAD=60°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值；
33．如图，在四棱锥E-ABCD中，AB CE，AE CD， ，AB=3，CD=4，AD=2BC=10.
（1）证明：∠AED是锐角；
（2）若AE=10，求二面角A-BE-C的余弦值.
34．如图，在直四棱柱 中，（1）若 为 的中点，试在 上找一点 ，使 平面 ；
（2）若四边形 是正方形，且 与平面 所成角的余弦值为 ，求二面角 的余
弦值.
35．如图1，已知 为等边三角形，四边形 为平行四边形， ，把
沿 向上折起，使点E到达点P位置，如图2所示；且平面 平面 ．
（1）证明： ；
（2）在（1）的条件下求二面角 的余弦值．36．如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ，四边形 为梯形， ，
， ， ， ， ，点 在 上，满足 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若点 为 的中点，求平面 与平面 所成角的余弦值.
37．在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， 为 的中点，在平面 内作 于点 .
（1）求证：平面 平面 ；（2）求二面角 的余弦值.
38．在正方体 中，点 、 分别在 、 上，且 ， ．
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
39．如图，在多面体 中， 均垂直于平面 ， ，
， ， .（1）证明： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的余弦值.
40．某商品的包装纸如图1，其中菱形 的边长为3，且 ， ，
，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如
图2的四棱锥形的包裹．
（1）证明 底面 ；
（2）设点T为BC上的点，且二面角 的正弦值为 ，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．
41．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，侧面 底面 ，且PA=AB，
.（1）证明： ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
42．1.如图，正方形 所在平面与等边 所在平面成的锐二面角为 ，设平面 与平面
相交于直线 ．
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
43．如图，在四棱锥 中， ， ，平面 平面ABCD，点E在AD上，且
， .（1）求证： .
（2）设平面 平面 ，求二面角 的余弦值.
44．如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， ，M，N分别为 ，
的中点， ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
45．如图，已知点 在圆柱 的底面圆 上， ，圆 的直径 ，圆柱的高 .（1）求点 到平面 的距离；
（2）求二面角 的余弦值大小.
46．如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，AC⊥BC，AC=BC=AA=2，点P为棱BC 的中点，点Q为线段AB
1 1 1 1 1 1 1
上的一动点.
（1）求证:当点Q为线段AB的中点时，PQ⊥平面ABC；
1 1
（2）设 =λ ，试问:是否存在实数λ，使得平面APQ与平面BPQ的夹角的余弦值为 ？若存在，
1 1
求出这个实数λ；若不存在，请说明理由.47．如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，过点 作 于 ，求直线 与平面 所成角的大小．
48．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， ， .
（1）求证：直线 平面 ；
（2）设点 在线段 上，且二面角 的余弦值为 ，求点 到底面 的距离.49．如图，在三棱锥 中，底面 是边长2的等边三角形， ，点F在线段BC上，
且 ， 为 的中点， 为的 中点.
(Ⅰ)求证： //平面 ；
(Ⅱ)若二面角 的平面角的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
50．如图，直四棱柱 的底面是菱形，侧面是正方形， ，经过对角线 的平面
和侧棱 相交于点 ，且 ．（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
51．直角梯形 绕直角边 旋转一周的旋转的上底面面积为 ，下底面面积为 ，侧面积为
，且二面角 为 ， ， 分别在线段 ， 上．（Ⅰ）若 ， 分别为 ， 中点，求 与 所成角的余弦值；
（Ⅱ）若 为 上的动点、 为 的中点，求 与平面 所成最大角的正切值，并求此时二面角
的余弦值．
52．正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体
（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已
经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已
知一个正四面体 和一个正八面体 的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表
面重合，得到一个新多面体．
（1）求新多面体的体积；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）求新多面体为几面体？并证明．
53．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥 ，
其中 于 ， ， ， 平面 ．（1）求证： ；
（2）试验表明，当 时，风筝表现最好，求此时直线 与平面 所成角的正弦值．
54．在陕西汉中勉县的汉江河与定军山武侯坪一带，经常出土有铜、铁扎马钉等兵器文物.扎马钉（如题
21图（1））是三国时蜀汉的著名政治家、军事家诸葛亮所发明的一种对付骑兵的武器，状若荆刺，故学
名蒺藜，有铜、铁两种.扎马钉有四个锋利的尖爪，随手一掷，三尖撑地，一尖直立向上，推倒上尖，下尖
又起，始终如此，使触者不能避其锋而被刺伤.即总有一个尖垂直向上，三尖对称支承于地.简化扎马钉的
结构，如图（2），记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为 ，钉尖为 （ ）．
（Ⅰ）判断四面体 的形状特征；
（Ⅱ）若某个出土的扎马钉因年代久远，有一尖爪受损，其长度仅剩其他尖爪长度的 （即 ），
如图（3），将 ， ， 置于地面，求 与面 所成角 的正弦值.55．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体
（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经
证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一
个正四面体 和一个正八面体 的棱长都是 （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重
合，得到一个新多面体.
（1）求新多面体的体积；
（2）求正八面体 中二面角 的余弦值；
（3）判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）
56．如图，已知在四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ， ， 为棱 上一点，
与 交于点 ，且 ， ， ， ．（1）证明： ；
（2）是否存在点 ，使二面角 的余弦值为 ？若存在，求出 点位置，若不存在，请说明
理由．
57．如图，在三棱柱 中点， 在棱 上，点F在棱CC 上，且点 均不是棱的端点，
1
平面 且四边形 与四边形 的面积相等.
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，求平面 与平面 所成角的正弦值.58．如图，在三棱台 中， 侧棱 平面 点
在棱 上，且
（1）证明： 平面 ；
（2）当二面角 的余弦值为 ，求 的值.
59．在直四棱柱 中，底面ABCD为平行四边形， ，点M在棱
上，点N是BC的中点，且满足 .（1）证明：AM⊥平面 ；
（2）若M是 的中点，求二面角 的正弦值.
60．在四棱锥 中，四边形 是边长为4的菱形， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）如图，取 的中点为 ，在线段 上取一点 使得 ，求二面角 的大小.
61．如图，在底面是菱形的四棱柱 中， ， ，点在 上．
（1）求证： 平面 ；
（2）当 为线段 的中点时，求点 到平面 的距离．
62．已知四棱锥 的底面是菱形，对角线 、 交于点 ， ， ， 底面
，设点 满足 ．
（1）若三棱锥 体积是 ，求 的值；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值是 ，求 的值．63．光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两
个部分，然后在截面上涂抹一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三
棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA'＝a，现经过AB作与底面ABC所成角为θ的截面，且截面与
B'C'，A'C'分别交于不同的两点E，F．
（1）试求截面面积S随θ变化的函数关系式S（θ）；
（2）当E和F分别为 和 的中点时，需要在线段AF上寻找一个点Q，用纳米纤维导管连接EQ，
使得EQ与AB'所在直线的夹角最小，试求出纤维导管EQ的长．
64．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，且E，M分别为BC，
PD的中点，点F为棱PC上一动点．（1）证明：平面AEF⊥平面PAD．
（2）若AB＝PA，在线段PC上是否存在一点F，使得二面角F﹣AE﹣M的正弦值为 ？若存在，试确
定F的位置；若不存在，说明理由．
65．如图，三棱柱 中， ， ， ．
（1）求证： 为等腰三角形；
（2）若 ， ，点 在线段 上，设 ，若二面角
的余弦值为 ，求 的值．66．如图，四棱锥 中，底面 为菱形， ， ， 平面 ，
．
（1）点E在线段PC上， ，点F在线段PD上， ，求证： 平面 ；
（2）设M是直线AC上一点，求CM的长，使得MP与平面PCD所成角为 ．
67．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧棱 底面 ， ， ， 为
的中点，点 在棱 上，且 ．（1）求直线 与直线 所成角的余弦值；
（2）当直线 与平面 所成的角最大时，求此时 的值．
68．如图，在四棱锥 中，四边形 为直角梯形， ， ，且 ，
， ，M为 的中点，平面 平面 ，直线 与平面 所成角的正切值为
.
（1）求四棱锥 的体积；
（2）在棱 上(不含端点)是否存在一点Q，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，请确定点
Q的位置；若不存在，请说明理由.
69．已知四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， 分别是
的中点， .（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
70．如图，矩形 中， ，将其沿 翻折，使点 到达点 的位置，且二面角
为直二面角.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设 是 的中点，二面角 的平面角的大小为 ，当 时，求 的取值范围.任务三:邪恶模式(困难)70-100题
71．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 底面 ，
， 分别为 中点， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）在棱 上是否存在一点 ，使 平面 ？若存在，指出点 的位置；若不存在，说明理由．
72．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.
① ；② ；③点 在平面 的射影在直线 上.如图，平面五边形 中，
是边长为 的等边三角形， ， ， ，将 沿 翻折成四棱锥
， 是棱 上的动点（端点除外）， 分别是 的中点，且___________.（1）求证： ；
（2）当 与平面 所成角最大时，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
73．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥
， ， ，再分别以 ， ， 为轴将 ， ， 分别向上翻转
，使 ， ， 三点重合为点 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的
弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率
规定等于 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表
示）．
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点 的曲率的余弦值．74．2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙
面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划
痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形
双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱
等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国
数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积
公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶
父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原
理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.
（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为 的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体 ，几何体 的底
面半径和高都为 ，其底面和半球体的底面同在平面 内.设与平面 平行且距离为 的平面 截两个几何
体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（Ⅱ）现将椭圆 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球 ，
（如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球 的体积公式，并写出椭球 ， 的体积之比.
75．如图，已知边长为2的正方形材料 ，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封
闭容器.设 .
（1）用 表示此容器的体积；
（2）当此容器的体积最大时，求 的值.
76．如图，在四面体 中， ，平面 与平面 垂直且 .（1）若 ，证明： ；
（2）若 ，当 与 面积之和最大时，求二面角 的余弦值.
77．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD﹣A B C D ，其底面边长为
1 1 1 1
4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为 的圆柱体的四分之一．
（1）当圆弧E F （包括端点）上的点P与B 的最短距离为5 时，证明：DB ⊥平面D EF．
2 2 1 1 2
（2）若D D ＝3．当点P在圆弧E E （包括端点）上移动时，求二面角P﹣A C ﹣B 的正切值的取值范围．
1 2 2 2 1 1 178．平面凸六边形 的边长相等,其中 为矩形, ．将 ,
分别沿 , 折至 , ,且均在同侧与平面 垂直,连接 ,如图所示,E,G分别是 , 的
中点．
（1）求证：多面体 为直三棱柱；
（2）求二面角 平面角的余弦值．
79．如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点，直线 平面 ， 分别是 的
中点.（1）记平面 与平面 的交线为 ，试判断直线 与平面 的位置关系，并加以证明；
（2）设（1）中的直线 与圆 的另一个交点为 ，且点 满足 .记直线 与平面 所成的
角为 ，异面直线 与 所成的角为 ，二面角 的大小为 ，求证： .
80．已知，图中直棱柱 的底面是菱形，其中 .又点 分别在棱
上运动，且满足： ， .
（1）求证： 四点共面，并证明 ∥平面 .（2）是否存在点 使得二面角 的余弦值为 ？如果存在，求出 的长；如果不存在，请说明
理由.
81．如图1， 与 是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，
， ，连接是 边 上一点，过 作 ，交 于点 ，沿 将
向上翻折，得到如图2所示的六面体
（1）求证：
（2）设 若平面 底面 ，若平面 与平面 所成角的余弦值为 ，求
的值；
（3）若平面 底面 ，求六面体 的体积的最大值.82．设三棱锥 的每个顶点都在球 的球面上， 是面积为 的等边三角形， ，
，且平面 平面 .
（1）确定 的位置（需要说明理由），并证明：平面 平面 .
（2）与侧面 平行的平面 与棱 ， ， 分别交于 ， ， ，求四面体 的体积的最大
值.
83．如图，在三棱柱 中， 平面 ， 是 的中点， ， ，
.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所成锐二面角的平面角的余弦值.84．如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， 为底面圆 的内接正三角形，
且边长为 在母线 上，且 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设线段 上动点为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
85．如图，三棱柱 的底面是边长为4的正三角形，侧面 底面 ，且侧面
为菱形， .
（1）求二面角 所成角 的正弦值.
（2） 分别是棱 ， 的中点，又 .求经过 三点的平面截三棱柱 的
截面的周长.86．如图，在三棱台 中，底面 是边长为2的正三角形，侧面 为等腰梯形，且
， 为 的中点．
（1）证明： ；
（2）记二面角 的大小为 ， 时，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值
范围．
87．如图，在四棱锥 中， ， 分别是 ， 的中点， ， ， ，
， ， ， ， ．（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
88．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为
，其中Q（i＝1，2，…，k，k≥3）为多面体M的所
i
有与点P相邻的顶点，且平面QPQ，平面QPQ，…，平面Q PQ 和平面QPQ 遍历多面体M的所有
1 2 2 3 k﹣1 k k 1
以P为公共点的面．
（1）如图1，已知长方体ABC D﹣ABCD，AB＝BC＝1， ，点P为底面ABC D 内的一个动点，
1 1 1 1 1 1 1 1
则求四棱锥P﹣ABCD在点P处的离散曲率的最小值；
（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的
是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）
89．如图，四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， ．
（1）证明： ；
（2）当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时二面角 的大小．
90．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．
用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面
的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多
面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点
的曲率为 ，故其总曲率为 ．（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数 ，证明：这类多面体的总曲率是常数．
91．已知四棱锥 的底面是平行四边形，平面 与直线 ， ， 分别交于点 ， ， 且
，点 在直线 上， 为 的中点，且直线 平面 .
（1）设 ， ， ，试用基底 表示向量 ；
（2）证明，四面体 中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（3）证明，对所有满足条件的平面 ，点 都落在某一条长为 的线段上.
92．如图，在四棱台ABCD-A B C D 中，底面ABCD是菱形，∠ABC= ，∠B BD= ，
1 1 1 1 1
（1）求证：直线AC⊥平面BDB ；
1
（2）求直线A B 与平面ACC 所成角的正弦值.
1 1 1
93．如图1所示为一种魔豆吊灯，图2为该吊灯的框架结构图，由正六棱锥 和 构
成，两个棱锥的侧棱长均相等，且棱锥底面外接圆的直径为 ，底面中心为 ，通过连接线及吸盘
固定在天花板上，使棱锥的底面呈水平状态，下顶点 与天花板的距离为 ，所有的连接线都用特
殊的金属条制成，设金属条的总长为y．（1）设∠O AO = (rad)，将y表示成θ的函数关系式，并写出θ的范围；
1
（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，金属条总长y最小．
94．如图，菱形 的边长为2，现将 沿对角线AC折起至 位置，并使平面 平面
．
（1）求证： ；
（2）在菱形 中，若 ，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值；
（3）求四面体PABC体积的最大值．
95．在① 平面 ，②平面 平面 ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，
， ， 为 中点， 为 内的动点（含边界）．
（1）求点 到平面 的距离；
（2）若__________，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
96．如下图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角梯形，
， ， ．
（1）求平面 与平面 夹角的余弦值；（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此
定义求异面直线 与 之间的距离．
97．椭圆 的左、右焦点分别为 、 .经过点 且倾斜角为 的直线 与椭圆
交于A、B两点（其中点A在x轴上方）， 的周长为8.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，把平面 沿x轴折起来，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面，与y轴负半轴和x轴所确定
的半平面互相垂直：
①若 ，求异面直线 和 所成角的大小；
②若折叠后 的周长为 ，求 的大小.
98．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面
用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆 及其内接等腰三角形 绕底边 上的高所在直线 旋转 而成，如图2.已知圆 的半径为10cm，设 ， 圆锥的侧面积为
cm2.
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）为了达到最佳观赏效果，要求 最大，求 的最大值并求此时腰 的长度.
99．如图，在直四棱柱 中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2．
（1） 与 能否垂直？说明理由；（2）当 在 上变化时，求异面直线 与 所成角的取值范围．
100．如图，一条东西流向的笔直河流，现利用航拍无人机 监控河流南岸相距150米的 两点处（
在 的正西方向），河流北岸的监控中心 在 的正北方100米处，监控控制车 在 的正西方向，且在
通向 的沿河路上运动，监控过程中，保证监控控制车 到无人机 和到监控中心 的距离之和150米，
平面 始终垂直于水平面 ，且 ， 两点间距离维持在100米.
（1）当监控控制车 到监控中心 的距离为100米时，求无人机 距离水平面 的距离；
（2）若记无人机 看 处的俯角（ ），监控过程中，四棱锥 内部区域的体积为监控
影响区域 ，请将 表示为关于 的函数，并求出监控影响区域的最大值.
