文档内容
专题 11 一次函数与正比例函数（综合题）
易错点拨
知识点01：正比例函数的图象与性质
y kx k k y kx k
正比例函数 （ 是常数， ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 .当
y kx x y k
＞0时，直线 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着 的增大 也增大；当 ＜0时，直线
y kx x y
经过第二、四象限，从左向右下降，即随着 的增大 反而减小.
知识点02：待定系数法求正比例函数的解析式
y kx k k k x y
由于正比例函数 （ 为常数， ≠0 ）中只有一个待定系数 ，故只要有一对 ， 的值或一
k
个非原点的点，就可以求得 值.
知识点03：一次函数的图象与性质
y kxb k b k
1.函数 （ 、 为常数，且 ≠0）的图象是一条直线 ；
b y kxb y kx b
当 ＞0时，直线 是由直线 向上平移 个单位长度得到的；
b y kxb y kx b
当 ＜0时，直线 是由直线 向下平移| |个单位长度得到的.
y kxb k b k
2.一次函数 （ 、 为常数，且 ≠0）的图象与性质：k b y kxb
3. 、 对一次函数 的图象和性质的影响：
k ykxb b y k b ykxb
决定直线 从左向右的趋势， 决定它与 轴交点的位置， 、 一起决定直线
经过的象限．
l y k xb l y k xb
4. 两条直线 1： 1 1和 2： 2 2的位置关系可由其系数确定：
k k l l k k b b l l
（1） 1 2 1与 2相交； （2） 1 2，且 1 2 1与 2平行；
知识点04：待定系数法求一次函数解析式
y kxb k b k k b
一次函数 （ ， 是常数， ≠0）中有两个待定系数 ， ，需要两个独立条件确定两个
k b x y
关于 ， 的方程，这两个条件通常为两个点或两对 ， 的值.
细节剖析：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方
y kxb k b
法，叫做待定系数法.由于一次函数 中有 和 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两k b
个条件列二元一次方程组（以 和 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
易错题专训
一．选择题
1．（2022春•承德期末）下列函数①y＝﹣5x；②y＝﹣2x+1；③y＝ ；④y＝ x﹣1；⑤y＝x2﹣1中，
是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①y＝﹣5x是正比例函数，也是一次函数；
②y＝﹣2x+1是一次函数；
③y＝ 是反比例函数；
④y＝ x﹣1是一次函数；
⑤y＝x2﹣1是二次函数．
是一次函数的有3个．
故选：C．
2．（2021秋•金水区校级期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x
的方程kx+b＝4的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
解：把P（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，解得m＝2，
所以一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象的交点P为（2，4），
所以关于x的方程kx+b＝4的解是x＝2．故选：B．
3．（2021秋•碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（1，2），C（5，
2），直线l经过点A，它将△ABC分成面积相等的两部分，则直线l的表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+6 B．y＝﹣2x+8 C．y＝2x+8 D．y＝﹣x+6
解：∵直线l平分△ABC面积，
∴直线l经过BC中点，
∵B（1，2），C（5，2），
∴BC中点坐标为（3，2），
设直线解析式为y＝kx+b，
将（2，4），（3，2）代入y＝kx+b得 ，
解得 ，
∴y＝﹣2x+8．
故选：B．
4．（2021•台儿庄区模拟）如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（ ，﹣2），点P在直线y
＝﹣x上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为（ ）A．（2，﹣2） B．（4，﹣4） C．（ ，﹣ ） D．（5，﹣5）
解：作A关于直线y＝﹣x对称点C，易得C的坐标为（﹣1，0）；连接BC，可得直线BC的方程为y＝
﹣ x﹣ ；
求BC与直线y＝﹣x的交点，可得交点坐标为（4，﹣4）；
此时|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC取得最大值，其他BCP不共线的情况，根据三角形三边的关系可得|PC﹣
PB|＜BC；
故选：B．
5．（2021春•饶平县校级期末）已知2y﹣3与3x+1成正比例，则y与x的函数解析式可能是（ ）
A．y＝3x+1 B． C． D．y＝3x+2
解：∵2y﹣3与3x+1成正比例，则2y﹣3＝k（3x+1），当k＝1时，2y﹣3＝3x+1，即y＝ x+2．
故选：C．
6．（2018秋•南山区期末）如图是一次函数y＝kx+b与y＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞
1 20；③b＞0：④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵一次函数y＝kx+b经过第一、二、四象限，
1
∴k＜0，b＞0，所以①③正确；
∵直线y＝x+a的图象与y轴的交点在x轴下方，
2
∴a＜0，所以②错误；
∵一次函数y＝kx+b与y＝x+a的图象的交点的横坐标为3，
1 2
∴x＝3时，kx+b＝x+a，所以④正确．
综上所述，错误的个数是1．
故选：A．
7．（2017春•钦州期末）等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的
是（ ）
A．y＝﹣0.5x+20（0＜x＜20） B．y＝﹣0.5x+20（10＜x＜20）
C．y＝﹣2x+40（10＜x＜20） D．y＝﹣2x+40（0＜x＜20）
解：根据三角形周长等于三边之和可得：2y＝40﹣x
∴y＝20﹣0.5x，又知道x为底边⇒x＜2y，x＞y﹣y
∴可知0＜x＜20
故选：A．
二．填空题
8．（2022•岷县开学）若y＝（m+ ）x+m2﹣3是关于x的正比例函数，则常数m＝ ．
解：由题意得，m+ ≠0且m2﹣3＝0．
∴m＝ ．
故答案为： ．
9．（2021秋•岑溪市期末）已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示，则关于x的
方程kx+b＝0的解是x＝ 3 ．解：从图象可知：直线y＝kx+b与x轴的交点坐标是（3，0），
所以关于x的方程kx+b＝0的解是x＝3，
故答案为：3．
10．（2022春•海港区期末）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达式
是 y ＝﹣ x ．
解：设函数解析式为y＝kx，将（﹣2，3）代入函数解析式，得
﹣2k＝3．
解得k＝﹣ ，
函数解析式为y＝﹣ x，
故答案为：y＝﹣ x．
11．（2020秋•玄武区期末）已知一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数，且k≠0，b≠0）与y＝ x的图象相
交于点M（a，1），则关于x的方程（k﹣ ）x＝b的解为x＝ 3 ．
解：把M（a，1）代入y＝ x得：1＝ a，
解得a＝3，
∴M（3，1），
∴根据图象信息可得关于x的方程kx﹣b＝ x的解为3，
∴关于x的方程（k﹣ ）x＝b的解为x＝3．
故答案为：3．12．（2021•永嘉县校级模拟）如图，在直角坐标系中，过点A（6，6）分别向x轴，y轴作垂线，垂足分
别为点B，C，取AC的中点P，连接OP，作点C关于直线OP的对称点D，直线PD与AB交于点Q，则线段
PQ的长为 5 ，直线PQ的函数表达式为 y ＝﹣ x +1 0 ．
解：连接OQ，
∵点A（6，6），
∴AC⊥y轴，AB⊥x轴，
∴AC＝AB＝OC＝OB＝6，
∵点P是AC的中点，
∴CP＝AP＝3，
∵点C关于直线OP的对称点D，
∴OD＝OC＝OB＝6，PD＝PC＝3，∠PCO＝∠PDO＝∠ABO＝∠QDO＝90°，
在Rt△ODQ与Rt△OBQ中， ，
∴Rt△ODQ≌Rt△OBQ（HL），
∴DQ＝BQ，
设DQ＝BQ＝x，
∴AQ＝6﹣x，PQ＝3+x，
∵PA2+AQ2＝PQ2，
∴32+（6﹣x）2＝（3+x）2，∴x＝2，
∴PQ＝5，BQ＝2，
∴Q（6，2），
设直线PQ的函数表达式为y＝kx+b，
把P（3，6），Q（6，2）代入得， ，
解得： ，
∴直线PQ的函数表达式为y＝﹣ x+10，
故答案为：5，y＝﹣ x+10．
三．解答题
13．（2022春•郴州期末）已知一次函数的图象过点（3，5）与点（﹣4，﹣9），求这个一次函数的解析
式．
解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意得 ，解得 ，
所以一次函数的解析式为y＝2x﹣1．
14．（2022春•武威期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并
且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△AOB的面积．解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得 ，
解得 ．
所以一次函数解析式为y＝ x+ ；
（2）令y＝0，则0＝ x+ ，解得x＝﹣ ，
所以C点的坐标为（﹣ ，0），
把x＝0代入y＝ x+ 得y＝ ，
所以D点坐标为（0， ），
（3）△AOB的面积＝S +S
△AOD △BOD
＝ × ×2+ × ×1
＝ ．
15．（2021春•绥宁县期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过（2，4）、（0，2）两点，与x轴相交
于点C．求：
（1）此一次函数的解析式；
（2）△AOC的面积．解：（1）∵由图可知A（2，4）、B（0，2），
，
解得 ，
故此一次函数的解析式为：y＝x+2；
（2）∵由图可知，C（﹣2，0），A（2，4），
∴OC＝2，AD＝4，
∴S ＝ OC•AD＝ ×2×4＝4．
△AOC
答：△AOC的面积是4．
16．（2021春•德城区校级期中）已知y＝y+y，y与x2成正比例，y与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝
1 2 1 2
5；当x＝﹣1时，y＝11，求y与x之间的函数表达式，并求当x＝2时y的值．
解：设y＝kx2，y＝a（x﹣2），
1 2
则y＝kx2+a（x﹣2），
把x＝1，y＝5和x＝﹣1，y＝11代入得： ，
k＝2，a＝﹣3，
∴y与x之间的函数表达式是y＝2x2﹣3（x﹣2），把x＝2代入得：y＝2×22﹣3×（2﹣2）＝8．
17．（2022春•柳州期末）已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求：
（1）这个一次函数的解析式．
（2）当x＝﹣3时，y的值．
解：（1）设该直线解析式为y＝kx+b（k≠0）．则
，
解得 ．
故该一次函数解析式为：y＝2x+1；
（2）把x＝﹣3代入（1）中的函数解析y＝2x+1，得
y＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．
即：y的值为﹣5．
18．（2021春•思明区校级期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作
AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
解：（1）∵点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6，
∴ ×4•AH＝6，解得AH＝3，
∴A（4，﹣3），
把A（4，﹣3）代入y＝kx得4k＝﹣3，解得k＝﹣ ，
∴正比例函数解析式为y＝﹣ x；
（2）存在．设P（t，0），
∵△AOP的面积为9，
∴ •|t|•3＝9，
∴t＝6或t＝﹣6，
∴P点坐标为（6，0）或（﹣6，0）．
19．（2020秋•武侯区校级期中）如图所示，过点A（2，0）的直线l交y轴于点B，点B在原点上方，已
1
知OA＝2OB．
（1）求点B的坐标；
（2）若过点A的直线l交y轴于点C，△ABC的面积为3，求直线l的函数表达式．
2 2
解：（1）∵点A（2，0），已知OA＝2OB，
∴OB＝1，
∵点B在原点上方，
∴点B的坐标是（0，1）；
（2）∵△ABC的面积为3，OA＝2，
∴ BC•OA＝3，
解得BC＝3．
∴点C（0，4）或（0，﹣2）．
当点C在点B上方时，
设l的解析式为y＝kx+b，则
2
，
解得 ，
∴l的解析式为y＝﹣2x+4．
2
当点C在点B下方时，设l的解析式为y＝kx+b，则
2 1 1
，
解得 ，
∴l的解析式为y＝x﹣2．
2
综上所述，直线l的解析式为y＝﹣2x+4或y＝x﹣2．
2
20．（2021秋•吉安期中）已知y﹣2与3x﹣5成正比例，且当x＝3时，y＝﹣6．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若点（﹣1，y）与（2，y）在该函数图象上，比较y与y的大小关系．
1 2 1 2
解：（1）依题意得：设y﹣2＝k（3x﹣5）．
将x＝3时，y＝﹣6代入：得﹣6﹣2＝k（3×3﹣5）．
解得k＝﹣2．
所以，y＝﹣6x+12．
（2）由（1）知，一次函数解析式为y＝﹣6x+12．
因为﹣6＜0，
所以y随x的增大而减小，
因为﹣1＜2，
所以y＞y
1 2
