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专题 11 一次函数中特殊三角形存在性的四类综合
题型
目录
典例详解
类型一、等腰三角形存在性问题
类型二、直角三角形存在性问题
类型三、等腰直角三角形存在性问题
类型四、特殊角存在性问题
压轴专练
类型一、等腰三角形存在性问题
例1-1．（位置不确定）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交A、B两点，与
直线相交于点 ．
(1)求m和b的值；
(2)若直线 与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，
设点P的运动时间为t秒．
①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ；②若点P在线段 上，且 的面积为10时，求t的值；
③直接写出t为何值时， 为等腰三角形．
例1-2．（腰确定）如图，直线 ： 交y轴于点 ，直线 ： 交x轴于点
，两直线交于点P，解答下列问题：
(1)求m，n的值和点P的坐标；
(2)若E是x轴上的动点，当以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，求点E的坐标；
(3)若F是y轴上的动点，当以A，P，F为顶点的三角形是以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条
件的点F的坐标．
变式1-1．如图，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，并与直线 相交于点 ．
(1) ______， ______；
(2)点D是线段 上一动点，过点D作y轴的平行线，交直线 于点E，交直线 于点F．①若 ，求点D的坐标；
②若点D坐标是 ，M是直线 上一点，当 是等腰三角形，请直接写出点M的坐标．
变式1-2．如图，直线 与直线 交于点E．
(1)求E点坐标；
(2)若P为直线 上一点，当 面积为6时，求P的坐标；
(3)若点M是x轴上一点，当 为等腰三角形时，直接写出点M的坐标．
变式1-3．如图甲所示，已知直线 与x轴和y轴分别相交于点A，B，直线
与y轴相交于点C，两直线交于点P．
(1)求 的面积；
(2)如图乙所示，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，若点B，C关于直线 对称，求点C的坐标；(3)当 是以BC为腰的等腰三角形，求直线 的函数解析式．
类型二、直角三角形存在性问题
例2-1．（位置不确定）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ： 相
交于点 ，与x轴交于点 ，直线 与x轴交于点C．
(1)填空： ， ， ；
(2)如图2，点D为线段 上一动点，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交x轴于点F．
①求线段 的长度；
②当点E落在y轴上时，求点E的坐标；
③若 为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标．
例2-2．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋4交y轴于点A，直线l：y＝﹣x与l 交于点B．
1 2 1
（1）求点B的坐标；
（2）在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与l，l 交于点M、N，且点M在点N的上方．
1 2
①当MN＝2时，求△BMN的面积；
②点Q为y轴上一动点若△MNQ是以NQ为直角边的直角三角形，且两直角边长之比为3∶4，求出满足条
件所有点Q的坐标．变式2-1．如图，已知直线 经过点 ，交x轴于点 ，直线 交直线 于点B．
(1)求直线 的函数表达式和点B的坐标；
(2)求 的面积；
(3)在x轴上是否存在点C，使得 是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由．
变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A、C坐标分别为(2，0)，(1，2)．
（1）直接写出点B的坐标，并求出直线AC的解析式；
（2）若D是直线AC上的一个动点（D与A、C不重合），当 DBC的面积是3时，请求出点D的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得 PAC是不以点P为直角顶点的直角三角形．若存在，请求出P的坐
标，若不存在，请说明理由．变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象与 轴， 轴分别交于点A，B，与函数
的图象交于点 ．
(1)求m和 的值；
(2)函数 的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿 方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点
A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①当 的面积为6时，求t的值；
②在点E运动过程中，是否存在t的值，使 为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，
请说明理由．
类型三、等腰直角三角形存在性问题
例3-1．（位置不确定）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，
点 在 轴的正半轴上，若将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴正半轴上的点 处．(1)如图1，求点 、 两点的坐标；
(2)如图2，求直线 的表达式；
(3)点 是 轴上一动点，若 ，求点 的坐标；
(4)连接 ，在第一象限内是否存在点 ，使 为等腰直角三角形，若存在，直接写出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
例3-2．（位置确定）如图1，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ，直线 与 和x轴相交
于点A，与y轴相交于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)如图2，若直线 与y轴交于点C，判断 的形状，并说明理由；
(3)如图3，D是 的中点，坐标为 ，将直线 向上平移，使其经过点B，记为直线 ．若点M为y
轴正半轴上一点，点N为直线 上一点，使 是以 为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N
的坐标．变式3-1．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且与直线
交于点 ，点 的横坐标为2．
(1)求直线 的解析式；
(2)在 轴上取点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，交直线 于点 ．若 ，求点 的坐标；
(3)在第二象限内，是否存在点 ，使得 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 坐标；若不存
在，请说明理由．
变式3-2．【模型构建】
如图，将含有 的三角板的直角顶点放在直线 上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个
全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型
在数学解题中被广泛使用．
【模型应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，
①则点 坐标为______；点 坐标为______；
② ， 是正比例函数 图象上的两个动点，连接 ， ，若 ， ，则 的最小
值是______；
（2）如图2，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于 ， 两点．将直线 绕点 逆时针旋转
得到直线 ，求直线 对应的函数表达式；【模型拓展】
（3）如图3，直线 的图象与 轴， 轴分别交于 、 两点，直线 与 轴交于点 ．
点 、 分别是直线 和直线 上的动点，点 的坐标为 ，当 是以 为斜边的等腰直
角三角形时，直接写出点 的坐标．
变式3-3．【模型呈现】
（1）如图1，在 中， ， ，直线 经过点 ，过点 作 于点 ，过点
作 于点 ，求证： ．
【模型应用】
（2）如图2，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，过点 作线段 且
，直线 交 轴于点 ．求点 的坐标．
【模型迁移】
（3）如图3，在（2）的条件下，点 的坐标为 ， 是 轴上一个动点， 是直线 上一个动点，
若 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点 的坐标．类型四、特殊角存在性问题
例4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 与 轴交于点 ，与 轴交于点A．
(1)求A、 两点的坐标；
(2)若在直线 上有一点 ，使得 的面积为9，求点 的坐标；
(3)如图2，点 为线段 中点，过点 作 轴，垂足为 ，若点 为 轴负半轴上一点，连接
交 轴于点 ，且 ，在直线 上有一点 ，使得 最小，求 点坐标；
(4)如图3，直线 上存在点 使得 ，请直接写出点 的坐标．
变式4-1．在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，直线 交 轴于
点 ，交 轴于点 ．(1)如图1，连接 ，求 的面积．
(2)如图2，在直线 上存在点 ，使得 ，求点 的坐标．
变式4-2．如图，直线 与x轴、y轴分别交于点 、 ，且与直线 相交于点 ，已知直
线 经过点 ，且与 轴交于点 ．
(1)求点 、 的坐标以及直线 的解析式；
(2)若 为直线 上一动点， ，求点 的坐标；
(3)点 在直线 上，当 时，求所有符合条件的点 的坐标．
1．如图所示，在平面直角坐标系中，点 ，连接 ，将线段 绕点O顺时针旋转 到 ，将
点B向左平移5个单位长度至点C，连接 ．(1)求点B、点C的坐标；
(2)将直线 绕点C顺时针旋转 ，交x轴于点D，求直线 的函数表达式；
(3)现有一动点P从C出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线 运动，运动时间为t秒．请探究：当t等
于多少时， 为等腰三角形．
2．如图，直线 与x轴交于点 ，直线 与x轴、y轴分别交
于B、C两点，直线 与直线 相交于点D，且 ．
（1）分别求出直线 和直线 解析式．
（2）求四边形 的面积．
（3）若E为y轴上一点，且 为等腰三角形，请求出点E的坐标．
3．已知：直线 与 轴、 轴分别相交于点 和点 ，点 在线段 上．将 沿 折叠后，
点 恰好落在 边上点 处．(1)求出 、 两点的坐标；
(2)求出 的长；
(3)点 是坐标轴上一点，若 是直角三角形，求点 坐标．
4．【模型建立】
如图1，等腰直角三角形 中， ，直线 经过点C，过A作 于点D，过
B作 于点E，易证明 （无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就
利用这个模型来解决一些问题：
【模型运用】
(1)如图1，若 ，则 的面积为 ；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰 ，点C的坐标为 ，A点的坐
标为 ，求 与y轴交点D的坐标；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，直线 函数关系式为： ，点 ，在直线 上是否存在点B，
使直线 与直线 的夹角为 ？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于点 ， ，点C在y轴的负半轴上，若将 沿直线 折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
(1) 的长为______，点D的坐标是______．
(2)求点C的坐标；
(3)点M是y轴上一动点，若 ，求出点M的坐标；
(4)在第一象限内是否存在点P，使 为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
