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专题10 线段中的四种动点问题与四种数学思想 专项讲练
线段有关的动点问题（数轴动点题）是北师大版七年级上学期压轴题，而四种数学思想则一直贯穿我们整
个中学数学的学习，站在中考的角度看数学思想的重要性甚至超过线段的动点问题。本本专题主要介绍线
段相关的动点问题（与中点、和差倍分结合的动点问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）
等）和四种数学思想（分类讨论思想、整体思想、数形结合思想、方程思想）。
【知识储备】
1.在与线段长度有关的问题中，常常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，
常设x列方程；
2.线段等量代换模型：
若
EH=FG
，则
EH±HG=FG±HG
，即
EG=FH
3.定和型中点模型：
1
MN= AB
若M， N 分别是 AC ， BC 的中点，则 2
线段的动点问题解题步骤：
1.设入未知量t表示动点运动的距离；
2.利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3.根据题设条件建立方程求解；
4.观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
【动点问题】
题型1：线段中点有关的动点问题
例1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点 表示的数为8， 是数轴上一点，且 ，动
点 从点 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒：
（1）写出数轴上点 表示的数为______，点 表示的数为______ （用含 的代数式表示）；（2）动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点 、 同时出发，问点
运动多少秒时追上点 ？（3）若 为 的中点， 为 的中点，点 在运动的过程中，线段 的长
度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段 的长．
【答案】（1）-6， ；（2）点 运动7秒时追上点 ；（3）线段 的长度不发生变化，其值为7
【分析】（1）根据点 表示的数和AB的长度即可求解；（2）根据题意列出方程 ，求解即可；
（3）分类讨论即可：①当点 在点 、 两点之间运动时，②当点 运动到点 的左侧时，根据中点的定
义即可求解．
【详解】（1）解：∵数轴上点 表示的数为8，且 ，
∴点 表示的数为 ，点P表示的数为 ，故答案为：-6， ；
（2）设点 、 同时出发，点 运动时间 秒追上 ，依题意得， ，解得 ，
∴点 运动7秒时追上点 ；
（3）线段 的长度没有发生变化都等于7；理由如下：
①当点 在点 、 两点之间运动时：
，
②当点 运动到点 的左侧时：
，∴线段 的长度不发生变化，其值为7．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键．
变式1．（2022·河南·七年级期中）如图①，已知线段 ，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是
AC和BC的中点．
（1）若 ，则DE的长为_____________；（2）若 ，求DE的长；（3）如图②，动点P，Q
分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以
点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？【答案】（1）6；（2）6；（3） 或2
【分析】(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，
EC，再根据线段的和求出DE，(2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC
和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，
根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出．
【详解】解：如图
(1)∵AB= 12，AC=4 ∴BC= 8 ∵点D，E分别时AC和BC中点，
∴DC=2，BC=EC=4∴DE=DC+CE=6
(2)∵AB= 12， BC= m∴AC=12-m ∵点D， E分别时 AC和BC中点
∴DC=6- m，BC=EC= ∴DE=DC+CE=6
(3)由题意得，如图所示，
或
AP=3t，BQ= 6t∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12
∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12解得t= 或t= 2
故当t= 或t= 2时，P，Q之间的距离为6.
【点睛】本题考查线段的中点，线段的和差倍分，解题关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式．
题型2：线段和差倍分关系中的动点问题
例2．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点 在
点 的左侧．若 ， ，线段 在线段 上移动．
(1)如图1，当 为 中点时，求 的长；
(2)点 （异于 ， ， 点）在线段 上， ， ，求 的长．【答案】(1)7(2)3或5
【分析】（1）根据 ， ，可求得 ， ，根据中点的定义求出BE，由线段的
和差即可得到AD的长．
（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上， ， ，确定点F是BC的中点，即可求
出AD的长．
(1) ， ，
， ，
如图1，
为 中点，
，
，
∴ ，
∴ ，
(2)Ⅰ、当点 在点 的左侧，如图2，
或
∵ ， ，
点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点 在点 的右侧，
或， ，
∴ ，
∴ ，
．
∵ ，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述： 的长为3或5．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键．本题较难，需要
想清楚各种情况是否存在．
变式2．（2022·陕西岐山县·七年级期中）如图，点 ， 在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为
）， 是 ， 间一点， ， 两点分别从点 ， 出发，以 ， 的速度沿直线 向左运
动（点 在线段 上，点 在线段 上），运动的时间为 ．
（1） ______ ．（2）若点 ， 运动到任一时刻时，总有 ，请求出 的长．
（3）在（2）的条件下， 是数轴上一点，且 ，求 的长．
【答案】（1）12；（2）4cm；（3） 或
【分析】（1）由两点间的距离，即可求解；（2）由线段的和差关系可求解；
（3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点 在线段 上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然
后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点 在 的延长线上时，可得
．
【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7，
∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；故答案为：12
（2）根据点 ， 的运动速度知 ．
因为 ，所以 ，即 ，所以 ．
（3）分两种情况：如图，当点 在线段 上时，因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ，所以 ；
如图，当点 在 的延长线上时， ，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵
活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
题型3：线段上动点问题中的存在性（探究性）问题
例3．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段 ，动点P从A出发，以每秒2个
单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当 时， ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当 时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并
说明你的理由．
【答案】(1) (2)8或24(3) ，见解析
【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解；
（2）分点 在线段 上运动和线段 的延长线上运动进行讨论，从而求解；
（3）先将 和 表示出来，再求出线段 、 、 之间的数量关系．
（1）解：∵ M为AP的中点， ，∴ ，
∵线段 ，N为BP的中点，
∴ ．故答案是：2；
（2）解：①当点P在线段AB上， 时，如图，∵ ， ，
∴ ，解得： ．
②当点P在线段AB的延长线上， 时，如图，
∵ ， ，
∴ ，解得： ．
综上所述，当 时，点P的运动时间t的值为8或24．
（3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时， ，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．
变式2．（2022·湖北青山区·七年级期中）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B
的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是
线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，
若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为
0．
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，
根据线段中点的定义，即可得到答案；②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，
∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，
∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点∴AM=CM= AC ，DN=BN= BD
∴MN=CM+CD+DN= AC+CD+ BD= AC + CD+ BD+ CD= (AC +CD+BD)+ CD= (AB
+CD)=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，
依题意有： 解得：a=2
在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点∴CE= BE= BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时
F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时
FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；
Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；
综合上述：在整个运动的过程中，FC 5 DE的值为定值，且定值为0．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等
知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．
题型4：阅读理解型（新定义）问题
例5．（2022·河南宛城七年级期中）如图一，点 在线段 上，图中有三条线段 、 和 ，若
其中一条线段的长度是另外一条线段长度的 倍，则称点 是线段 的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）（2）如图二，点 和 在数轴上表示的数分别是 和 ，点 是线段 的巧点，求点
在数轴上表示的数。
（应用拓展）（3）在（2）的条件下，动点 从点 处，以每秒 个单位的速度沿 向点 匀速运动，
同时动点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿 向点 匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点
运动同时停止，当 、 、 三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时
间 的所有可能值．
【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6； ；t=12； ； ．
【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即
可；（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；（3）根据题意先用t的代数
式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t的值．【解析】解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，答案为：是；
（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：
①当AB=2AC时，有60=2（x+20），解得，x=10；
②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），解得，x=0；
③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），解得，x=20．
综上，C点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得 ，
（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有
①当AQ=2AP时，60-4t=2×2t，解得， ，
②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t，解得，t=6；
③当AP=2PQ时，2t=2（60-6t），解得， ；
综上，运动时间 的所有可能值有 ；t=6； ；
（ii）、若10＜t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有
①当AP=2AQ时，2t=2×（60-4t），解得，t=12；
②当PQ=2AQ时，6t-60=2×（60-4t），解得， ；
③当AQ=2PQ时，60-4t=2（6t-60），解得， ．
综上，运动时间 的所有可能值有：t=12； ； ．
故，运动时间 的所有可能值有： ；t=6； ；t=12； ； ．
【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．
变式1．（2022·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】
如图1，点 在线段 上，图中共有3条线段： 、 和 ，若其中有一条线段的长度是另一条线段
长度的两倍，则称点 是线段 的“二倍点”.
（1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
②若线段 ， 是线段 的“二倍点”，则 （写出所有结果）
【深入研究】
如图2，若线段 ，点 从点 的位置开始，以每秒2 的速度向点 运动，当点 到达点 时
停止运动，运动的时间为 秒.
（2）问 为何值时，点 是线段 的“二倍点”；
（3）同时点 从点 的位置开始，以每秒1 的速度向点 运动，并与点 同时停止.请直接写出点
是线段 的“二倍点”时 的值.
【答案】（1）①是；②10或 或 ；（2）5或 或 ；（3）8或 或
【分析】（1）①可直接根据“二倍点”的定义进行判断；
②可分为三种情况进行讨论，分别求出BC的长度即可；
（2）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论得结果；
（3）用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论．
【详解】解：（1）①因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，
该线段等于2倍的中点一侧的线段长．
∴一条线段的中点是这条线段的“二倍点”
故答案为：是.
②∵ ， 是线段 的“二倍点”，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
故答案为：10或 或 ；
（2）当AM=2BM时，20-2t=2×2t，解得：t= ；
当AB=2AM时，20=2×（20-2t），解得：t=5；
当BM=2AM时，2t=2×（20-2t），解得：t= ；
答：t为 或5或 时，点M是线段AB的“二倍点”；
（3）当AN=2MN时，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8；
当AM=2NM时，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t= ；
当MN=2AM时，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t= ；
答：t为 或8或 时，点M是线段AN的“二倍点”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，
理解“二倍点”是解决本题的关键．
【数学思想】
1.分类讨论思想
分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干个不同的情形，然后逐类进行研究和求
解的一种解题思想。在线段计算中，由于线段及端点的不确定性往往需要分类讨论。
常见分类依据：①无图常需分类讨论； ②在不清楚点的具体位置的情况下，应注意分类讨论思想的应用，
即分点在线段上还是在线段的延长线上，在左侧还是右侧等情况。
例1．（2022·重庆初一期中）已知，点C在直线 AB 上， ACa ， BCb ，且 a≠b ，点 M是线段
AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或【答案】D
【分析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．
【解析】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b． ∵点M是AB的中点，∴AM AB= ，
∴MC=AC﹣AM= = ．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．∵点M是AB的中点，∴AM AB= ，
∴MC=AC﹣AM= = ．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵点M是AB的中点，∴AM AB= ，
∴MC=AM﹣AC= = ．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．
∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a． ∵点M是AB的中点，∴AM AB= ，∴MC=AC+AM= = ．
综上所述：MC的长为 或 （a＞b）或 （a＜b），即MC的长为 或 ．故选D．
【点睛】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨
论的数学思想是解题的关键．
变式1．（2022·江苏·七年级期中）把根绳子对折成一条线段 ，在线段 取一点 ，使 ，从
处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为 ，则绳子的原长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况讨论，讨论中抓
住最长线段即可解决问题．
【详解】解：如图
∵ ，∴2AP= ＜PB
①若绳子是关于A点对折，
∵2AP＜PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=30cm，
∴绳子全长=2PB+2AP=24×2+ ×24=64cm；
②若绳子是关于B点对折，
∵AP＜2PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cm
∴PB=12 cm∴AP=12× cm∴绳子全长=2PB+2AP=12×2+4×2=32 cm；故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维的严密性，在今
后解决类似的问题时，要防止漏解．
变式2．（2022·沙坪坝区·七年级月考）如图，数轴上有两点 ，点C从原点O出发，以每秒 的速度
在线段 上运动，点D从点B出发，以每秒 的速度在线段 上运动．在运动过程中满足 ，若点M为直线 上一点，且 ，则 的值为_______．
【答案】1或
【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC
得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，
②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、
BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算 的值即可．
【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴
③若点M在线段OA上时，如图3所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合题意舍去，
综上所述， 的值为1或 ．
【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整
体代入在解题中起到至关重要的作用．
2.数形结合思想
以图形的认识为主，这是几何研究的主要特点。同时我们也要联系到数量，使两者一致，达到数与形的
完美结合。数与形是数学的两块基石，它们常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上相互渗透，在
一定条件下可以相互转化。 在解题时，必须注意把数和形结合起来，把形的问题转化为数的问题，或
者把数的问题转化为形的问题。利用数研究形，关键在于创设条件，使几何图形数量化；运用数形结合思
想求最值和定值是常考点。
例2．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）（1）如图1，请利用无刻度的直尺和圆规，连接 ，在线
段 上求作线段 ，使 ；
（2）如图2，点 是 的中点， 、 分别是线段 、 上的点，且 ， ．若
，求线段 的长．
【答案】（1）作图见解析；（2）线段CE的长为 ，详见解析
【分析】（1）根据尺规作图，以B为圆心，AC为半径画弧，交BD于点E，DE即为所求；（2）根据题意，结合图形可求出AC=BC= ， ， ，可求出BE，即可
求出CE的长．
【详解】解：（1）如图所示，连接AC，以B为圆心，AC为半径画弧，交BD于点E，DE即为所求，
；
（2）由题意可知，AC=BC= ，
∴ ， ，
∴BE=AB-AD-DE= ，
∴CE=BC-BE= ，
即：线段CE的长为 ．
【点睛】本题主要考查的是尺规作图，以及线段求值，数形结合是解题的关键．
变式1．（2022·福建·福州华伦中学七年级期末）如图直线l上有AB两点， ，点O是线段AB上
的一点， ，若点C是射线AB上一点，且满足 ，则OC＝______cm．
【答案】 或
【分析】根据题意可求出 ， ．设 ，分类讨论①当点C在AO之间时；②当点
C在OB之间时；③当点C在点B右侧时，利用x可分别表示出AC，CB的长，根据 ，即得
出关于x的等式，解出x即可．
【详解】∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB，
∴ ， ．
设 ，分类讨论：①当点C在AO之间时，如图，
由图可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
故此时 ；
②当点C在OB之间时，如图，
由图可知， ， ．
∴此时不成立；
③当点C在点B右侧时，如图，
由图可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
故此时 ；
综上可知OC的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查线段n等分点的有关计算，与线段有关的动点问题的计算．利用数形结合和分类讨论的
思想是解题的关键．
变式2.（2022·山东·七年级期末）如图1，将一段长为60cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠
处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处．
①如图2，若A'、B'恰好重合于点O处，MN＝ cm；
②如图3，若点A'落在点B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度；
③若A'B'＝ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处，在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳
子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．
1 1
【解题思路】（1）①由题意可得：AM＝MO= AO，ON＝BN= OB，再结合图形可求得答案；
2 2
②先结合图形可求得AA′+BB′＝40 cm，再根据中点性质和线段和差关系计算即可；
③分两种情况分别计算即可：当点A′落在点B′的左侧时，当点A′落在点B′的右侧时；
（2）根据三段的长度由短到长的比为3：4：5，分别按以下几种情况进行计算：①当B′D：CD：AC＝3：
4：5时，②当B′D：AC：CD＝3：4：5时，③当CD：B′D：AC＝3：4：5时，④当CD：AC：B′D＝3：
4：5时，⑤当AC：B′D：CD＝3：4：5时，⑥当AC：CD：B′D＝3：4：5时．
【解答过程】（1）①∵绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处，A'、B'恰好重合于点O处，
1 1
∴AM＝MO= AO，ON＝BN= OB，
2 21 1
∴MN＝MO+ON= （AO+OB）= AB＝30；故答案为：30．
2 2
②∵AB＝60 cm，A′B′＝20cm，
∴AA′+BB′＝AB﹣A′B′＝60﹣20＝40 cm．
根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，
1 1
∴AM= AA'，BN= BB'，
2 2
1 1 1 1
∴AM+BN= AA'+ BB'= (AA'+BB')= ×40=20cm，
2 2 2 2
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝60﹣20＝40 cm．
③如∵M、N分别为AA′、BB′的中点，
1 1
∴AM＝MA′= AA'，BN＝B′N= BB'．
2 2
当点A′落在点B′的左侧时，如第（1）小题②图，
1 1 1 1 1 1
∴MN ＝ MA′+A′B′+B′N= AA′+A′B′+ B′B= （ AA′+A′B′+B′B ） + A′B′= （ AB+A′B′ ） ＝ （ 30+ n ）
2 2 2 2 2 2
（cm）；
当点A′落在点B′的右侧时，如（1）③图，
∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝（60+n）cm．
1 1 1 1 n
∴AM+BN= AA'+ BB'= (AA'+BB')= ×(60+n)=(30+ )cm．
2 2 2 2 2
n n
∴MN＝AB﹣（AM+BN）=60−(30+ )=(30− )（cm）．
2 2
n n
综上，MN的长度为(30+ )cm或(30− )cm．
2 2
1
（2）由于三段的长度由短到长的比为3：4：5，CN= CD，
2
所以可分为以下几种情况：
5 1
①当B′D：CD：AC＝3：4：5时，AC= AB，CD= AB，
12 3
5 1 7
∴AN= AB+ CD= AB＝35（cm），
12 2 12
1 5
②当B′D：AC：CD＝3：4：5时，AC= AB，CD= AB，
3 121 1 13
∴AN= AB+ CD= AB＝32.5（cm），
3 2 24
5 3
③当CD：B′D：AC＝3：4：5时，AC= AB，CD= AB，
12 12
5 1 13
∴AN= AB+ CD= AB＝32.5（cm），
12 2 24
1 3
④当CD：AC：B′D＝3：4：5时，AC= AB，CD= AB，
3 12
1 1 11
∴AN= AB+ CD= AB＝27.5 cm，此时B′D＞AC，不符合题意，舍去；
3 2 24
1 5
⑤当AC：B′D：CD＝3：4：5时，AC= AB，CD= AB，
4 12
1 1 11
∴AN= AB+ CD= AB＝27.5 cm，此时B′D＞AC，不符合题意，舍去；
4 2 24
1 1
⑥当AC：CD：B′D＝3：4：5时，AC= AB，CD= AB，
4 3
1 1 5
∴AN= AB+ CD= AB＝25 cm；此时B′D＞AC，不符合题意，舍去；
4 2 12
综上所述，AN所有可能的长度为：32.5 cm或35cm．
3.整体思想整体思想就是通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。运
用整体思想计算线段的长或求定值，注意设字母参数 x，并用x表示有关线段。在线段计算中，求
一条线段上的两个中点之间的距离时常用到整体的思想。
例3．（2022·陕西咸阳·七年级期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），
且CD＝2，E为BC的中点．
(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．
(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，
请说明理由；若不会，请求出EF的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的
长；
（2）由题意可得 ，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出 ，
代入 ，即可求出EF长．
（1）
∵AB＝16，CD＝2，AC＝4，
∴ ， ,
∵E为BC的中点，
∴ ，
∴ ；
（2）
线段EF的长度不会发生变化， ，
∵AB＝16，CD＝2，
∴ ，
∵F为AD的中点，E为BC的中点，∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之
间的数量关系．
变式1．（2022·辽宁抚顺·九年级）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，
C，D四点，且AB＝BC＝CD，点P沿直线l从左向右移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个
点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，而
图中共有六条线段，由此可以得到出现报警的最多次数．
【详解】解：根据题意可知：
当点P经过任意一条线段中点时会发出报警，
∵图中共有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，
∵AD和BC的中点是同一个，
∴直线l上会发出警报的点P有5个．故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减
去不必要的讨论与分类．
变式2．（2022·河南三门峡·七年级期末）如图，点B在线段AC的延长线上，M、N分别是线段AC、CB
的中点．
(1)若 ， ，求线段MN的长；(2)若 ， ，求线段MN的长．
【答案】(1)线段MN的长度为7cm(2)线段MN的长度为 (a+ b)
【分析】(1) 根据点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可
求出MN的长度即可；(2)根据点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用
MN=CM+CN即可求出MN的长度即可．（1）解：∵AC=10cm，点M是AC的中点，∴CM= AC= 5cm，
∵CB=4cm，点N是BC的中点，
∴CN= BC=2cm ，∴MN=CM+CN=7cm，
∴线段MN的长度为7cm；
（2）∵ AC=a，点M是AC的中点，∴CM = AC=
∵CB=b，点N是BC的中点，∴CN= BC= b；
∴MN=CM+CN= (a+b)，∴线段MN的长度为 (a+ b)．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，难度较大．
4.方程思想
方程思想是指把数学问题通过适当的途径转化为方程，从而使问题得到解决的思想方法，运用方程思
想计算线段的长，巧设未知数，一般设和其它多数线段相关的线段为x.有关线段比的问题（或倍分关
系）常用方程思想求解。
例4．（2022·山东烟台·期中）如图线段 ，点 在射线 上从点 开始，以每秒 的速度沿着
射线 的方向匀速运动，则 时，运动时间为（ ）
A． 秒 B．3秒 C． 秒或 秒 D．3秒或6秒
【答案】C
【分析】根据题意可知，当PB= AB时，点P可以位于点B两侧，则通过分类讨论问题可解．
【详解】解：由已知当PB= AB时，PB= ，
设点P运动时间为t秒，则AP=2t
当点P在B点左侧时2t+ =8 解得t= ，当点P在B点左侧时2t- =8 解得t=
所以t= 或t= ．故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程以及分类讨论的数学思想，解答时注意根据已知的线段数量关系构造方程．
变式1．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数
互为相反数， ， ．
(1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______
秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB
的中点为M，当 时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
【答案】(1)-6(2)8(3) 秒或 秒
【分析】（1）根据 ，且 ， 两点表示的数互为相反数，直接得出即可；
（2）设经过 秒点 是 的中点，根据题意列方程求解即可；
（3）设点 运动了 秒时 ，分情况列方程求解即可．
（1）AB=12，且 ， 两点表示的数互为相反数，
点 表示的数是 ，故答案为： ；
（2）AB=12， ， ， ，设经过 秒点 是 的中点，
根据题意列方程得 ，解得 ，故答案为：8；
（3）设点 运动了 秒时 ，
①当 点在 点左侧时，即 ，
根据题意列方程得 ，解得 ；
②当 点在 点右侧时，即 ，根据题意列方程得 ，解得 ；
综上，当 运动了 秒或 秒时 ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
变式2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，
．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C
出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，
机器狗和机械猫同时停止运动．
(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点
处？(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．
【答案】(1)16，24．
(2)当x= ，即运动 秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．
(3)当x= 或x= 或x= ，即运动x= 或x= 或x= 秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．
【分析】（1）由 且AC=8cm得8+BC= ，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可；
（2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之
前，再根据线段AP= AQ列方程求出x的值即可；
（3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且
点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可．
(1)解：∵ ，AB=AC+BC，AC=8m，
∴8+BC= ，解得：BC=16m，∴AB= ×16=24m．故答案为：16，24．
(2)解：由题意可得：：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一
次相遇之前，∴6x= {8+2x），解得x= ．
答：当x= ，即运动 秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．
(3)解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x= ；
当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x= 或x= ．
答：当x= 或x= 或x= ，即运动x= 或x= 或x= 秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正
确地用含x的代数式表示线段A P和AQ的长是解答本题的关键.
课后专项训练
1．（2022•武侯区期末）已知线段AB＝10cm，点C为直线AB上一点，且AC＝2cm，点D为线段BC的
中点，则线段AD的长为（ ）A．4cm B．6cm C．4cm或5cm D．4cm或6cm
解：如图1所示，
∵线段AB＝10cm，AC＝2cm，∴BC＝AB﹣AC＝10﹣2＝8（cm），
∵点D为线段BC的中点，∴CD＝ BC＝4（cm），
∴AD＝AC+CD＝2+4＝6（cm），
如图2所示，
∵线段AB＝10cm，AC＝2cm，∴BC＝AB+AC＝12（cm），
∵点D为线段BC的中点，∴CD＝ BC＝6（cm），
∴AD＝CD﹣AC＝4（cm）；
综上所述，线段AD的长为6cm或4cm，故选：D．
2．（2022·重庆梁平·七年级期末）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，
C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个
点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有______个．
【答案】5
【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据
此解答即可．
【详解】解：根据题意可知：
当点P经过任意一条线段中点时会发出报警，
∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA，
∵BC和AD中点是同一个，
∴发出警报的点P最多有5个．故答案为：5．
【点睛】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去
不必要的讨论与分类．3.（2022·福建漳州·七年级期末）如图，AB＝12cm，C为线段AB上一点，且AC＝2BC．(1)求AC的长；
(2)若D为BC的中点，点E在直线AB上，且AE＝3cm．请你把图形补充完整；并求DE的长．
【答案】(1)8cm；
(2)补全图形见解析，7cm或13cm．
【分析】（1）由 和 ，即可求出AC的长；
（2）分类讨论当点E在点A右侧时和当点E在点A左侧时，画出图形．根据D为BC的中点，即可求出
CD的长，从而可求出AD的长，再根据所画图形，即可求出DE的长．
(1)∵ ，即 ，
∴ cm，
解得： cm；
(2)①当点E在点A右侧时，如下图即为补全的图形，
∵ ，
∴ ．
∵D为BC的中点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ cm；
②当点E在点A左侧时，如下图即为补全的图形，
同理，可求出
∵ ，∴ cm．
【点睛】本题考查线段的中点的性质，线段的和与差．利用数形结合的思想是解题的关键．
4．（2022•临淄区期末）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其
它条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出你的答案．（3）若C在线段AB的延长线上，且满足
AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并
说明理由．
解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝ AC、CN＝ BC，
∵AC＝9cm，CB＝6cm，
∴MN＝MC+CN＝ AC+ BC＝ （AC+BC）＝ （9+6）＝7.5cm；
（2）∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝ AC、CN＝ BC，
∵AC+CB＝acm，
∴MN＝MC+CN＝ （AC+CB）＝ a（cm）；
（3）MN＝ b，
如图，
∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝ AC、CN＝ BC，
∵AC﹣BC＝b cm，
∴MN＝MC﹣CN＝ AC﹣ BC＝ （AC﹣BC）＝ b．
5.（2022·成都市·七年级期中）已知：点C在直线AB上，点D、E分别是AC、BC的中点．
（1）当点C在线段AB上时，如图（1），
①若AC＝5，BC＝3，则DE＝ 4 ；②若AC+BC＝a，你能猜想出DE的长度吗？写出你的猜想并说明理由；
（2）当点C在线段BA的延长线上，且AC＝m，BC＝n时，你能猜想出DE的长度吗？请在图（2）上画
出图形，并直接写出你的猜想结果．
1 1 1 1 1
【解题思路】（1）①由中点的性质得 DC= AC、CE= BC，根据 DE＝DC+CE= AC+ BC=
2 2 2 2 2
（AC+BC）可得答案；
②与①同理；
1 1 1 1 1
（2）根据中点的性质得DC= AC、CE= BC，结合图形依据DE＝CE﹣CD= BC− AC= （BC﹣AC）
2 2 2 2 2
可得答案．
【解答过程】解：（1）①∵点D、E分别是AC、BC的中点，
1 1
∴DC= AC、CE= BC，
2 2
∵AC＝5，BC＝3，
1 1 1 1
∴DE＝DC+CE= AC+ BC= （AC+BC）= （5+3）＝4，
2 2 2 2
故答案为：4；
②∵点D、E分别是AC、BC的中点，
1 1
∴DC= AC、CE= BC，
2 2
∵AC+CB＝a，
1 1 1 1
∴DE＝DC+CE= AC+ BC= （AC+BC）= a；
2 2 2 2
1
（2）DE= （n﹣m），
2
如图（2），
∵点D、E分别是AC、BC的中点，
1 1
∴DC= AC、CE= BC，
2 2∵AC＝m，BC＝n，
1 1 1
∴DE＝CE﹣CD= BC− AC= （n﹣m）．
2 2 2
6.（2022·山东·七年级期中）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左
侧．若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长．
【解题思路】①根据AC＝2BC，AB＝18，可求得BC＝6，AC＝12，根据中点定义求出BE，由线段的和差
即可得到AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，确定点F是BC的中点，即可求AD的
长．
【解答过程】解：①AC＝2BC，AB＝18，
∴BC＝6，AC＝12，
如图1，
∵E为BC中点，
∴CE＝BE＝3，
∵DE＝8，
∴BD＝DE+BE＝8+3＝11，
∴AD＝AB﹣DB＝18﹣11＝7；
②Ⅰ、当点E在点F的左侧，如图2，
或
∵CE+EF＝3，BC＝6，
∴点F是BC的中点，
∴CF＝BF＝3，
∴AF＝AB﹣BF＝18﹣3＝15，1
∴AD= AF＝5；
3
∵CE+EF＝3，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点E在点F的右侧，
或
∵AC＝12，CE+EF＝CF＝3，
∴AF＝AC﹣CF＝9，
∴AF＝3AD＝9，
∴AD＝3．
∵CE+EF＝3，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述：AD的长为3或5．
7.（2022·广东·七年级期中）如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．
（1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝4cm，则线段AB的长 1 6 cm；
（2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长；
（3）小明由（1）（2）猜想到，若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝12cm，线段MN的长与（2）中
结果一样，你同意他的猜想吗？说明你的理由．
【解题思路】（1）根据线段中点的定义可求解AP的长，进而可求解AB的长；
（2）根据线段中点的定义可求得AB＝2MN，即可求解MN的值；
（3）可分两种情况：当P点在线段AB延长线上时，当P点在线段BA延长线上时，根据中点的定义求解
M，N两点间的距离．
【解答过程】解：（1）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP＝2MP，BP＝2PN，
∵MP＝4cm，
∴AP＝8cm，
∵P为AB的中点，
∴AB＝2AP＝16cm，
故答案为16；
（2）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP＝2MP，BP＝2PN，
∴AP+BP＝2MP+2PN＝2MN，
即AB＝2MN，
∵AB＝12cm，
∴MN＝6cm；
（3）同意．
理由：当P点在线段AB延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP＝2MP，BP＝2PN，
∴AP﹣BP＝2MP﹣2PN＝2MN，
即AB＝2MN，
∵AB＝12cm，
∴MN＝6cm；
当P点在线段BA延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP＝2MP，BP＝2PN，
∴BP﹣AP＝2PN﹣2MP＝2MN，
即AB＝2MN，
∵AB＝12cm，
∴MN＝6cm．
8．（2022·山东泰安·期中）如图，已知数轴上有两点A，B，它们的对应数分别是a，b，其中a＝12．
(1)在B左侧作线段BC＝AB，在B的右侧作线段BD＝3AB（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若点C对应的数是c，点D对应的数是d，且AB＝40，求c，d的值．
(3)在（2）的条件下，设点M是BD的中点，N是数轴上一点，且CN＝4DN，请直接写出MN的长．
【答案】(1)见解析
(2)c＝－68，d＝92
(3)MN＝28或【分析】（1）利用圆规量得AB的长度，以点B为圆心，AB为半径画弧，交点B左边的坐标轴于一点，
即为点C；再点A为圆心，AB为半径画弧，交点A右边的坐标轴于一点，再以此点为圆心，AB为半径画
弧，交圆心右边的坐标轴于另一点，则此交点为点D；
（2）根据线段之间的等量关系求得AC、AD的长度，从而得出点所表示的数；
（3）分两种情况分析：①点N在线段CD上；②点N在线段CD的延长线上．
（1）
解：线段BC、BD为所求线段，如图所示：
（2）
解：∵AB＝40，BC＝AB，
∴AC＝2AB＝80，
∵a＝12，
∴c＝12－80＝－68，
∵BD＝3AB，
∴BD＝120，
∴AD＝80，
设d为x则，x－12＝80，
解得：x＝92，
∴d＝92．
（3）
解：①当点N在线段CD上时，
由（2）得CD＝92﹣（﹣68）＝160，点B对应的数为12﹣40＝﹣28，
∴BD＝92﹣（﹣28）＝120，
∵点M是BD的中点，
∴点M对应的数为92﹣60＝32，
∵CN＝4DN，
∴DN＝ ，∴点N对应的数为 ，
∴MN＝ ；
②当点N在线段CD的延长线上时，
∵CN＝4DN，
∴CD＝3DN=160，
∴ ，
∴点N对应的数为 ，
∴ ；
故MN的长为28或 ．
【点睛】本题主要考查了数轴与有理数的关系和线段中点的有关计算，解题关键是抓住线段之间的关系，
体现了数形结合思想．
9．（2022·江西鹰潭·七年级期中）已知，点A，B，C在同一条直线上，点M为线段AC的中点、点N为线
段BC的中点，
(1)如图，当点C在线段AB上时；
①若线段AB=10，BC=4，求MN的长度；
②若 ，则MN=_______．
(2)若AC=10，BC=n，直接写出MN的长度．（用含n的代数式表示）
【答案】(1)①MN=5；② a
(2)MN的长度为 n+5或5- n或 n-5．
【分析】（1）①点M、N分别是AC、BC的中点，CM= AC，CN= BC，因此MN=CM+CN易求出答案；②类似①中方法，即可求解；
（2）分3种情况讨论：当点C在线段AB上时，MN=5- n，当点C在线段AB的延长线时，MN=5- n，
当点C在线段BA的延长线时，MN= n-5．
（1）
解：①∵点M是AC中点，且AC=AB-BC=6，
∴AM=CM= AC=3，
∵点N是BC中点，且BC=4，
∴BN=CN= BC=2，
∵MN=CM+CN，
∴MN=3+2=5；
②∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM= AC，CN= BC，
∴MN=CM+CN= AC+ BC= AB= a，
故答案为： a；
（2）
解：当点C在线段AB上时，MN= AC+ BC= ×10+ ×n= n+5，
当点C在线段AB的延长线时，MN= AC- BC= ×10- n=5- n，
当点C在线段BA的延长线时，MN= BC- AC= n-5= n-5．
综上，MN的长度为 n+5或5- n或 n-5．
【点睛】本题考查了线段的和差，线段中点的定义．分情况讨论是解题的关键．
10．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝ AB，此时点C就是点A关于点B的一个
“半距点”．
若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．
(1)
(2)若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度．
【答案】(1)3或9
(2) 或
【分析】（1）根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得 ，分两种情况画图求解
（2）根据点G是线段MP的中点，结合（1）分两种情况即可求得线段GN的长度
（1）
如图所示：
第一种情况：
∵ 点P是点M关于点N的“半距点”，
∴ ，
∵ ，
∴
第二种情况：
∵ ，∴
综上：MP的长度为3cm或9cm
（2）
如图所示：
第一种情况：
点 是线段 的中点，
∴
∴
第二种情况：
点 是线段 的中点，
∴
∴
综上：线段GN的长度为 或 ．
【点睛】本题考查了两点间的距离，准确理解概念并作出图形是解题关键．
11．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点
M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC
＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速
度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一
个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点
的线段的中点时，直接写出时间t．【答案】（1）MN=8厘米；（2）MN= a+ b；（3）所求时间t为4或 或 ．
【分析】（1）（2）根据线段中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，可分四种情况进行讨论：①
当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点；②当5＜t≤ 时，P为线段CQ的中点；③当 ＜t≤6时，Q为线段
PC的中点；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点．根据线段中点的定义，可得方程，进而求解．
【详解】解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC= AC=5厘米，CN= BC=3厘米，
∴MN=MC+CN=8厘米；
（2）∵AC=a，BC=b，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC= AC= a，CN= BC= b，
∴MN=MC+CN= a+ b；
（3）①当点P在线段AC上，即0＜t≤5时，
C是线段PQ的中点，得10-2t=6-t，解得t=4；
②当点P在线段BC上，即5＜t≤ 时，
P为线段CQ的中点，2t-10=16-3t，解得t= ；
③当点Q在线段BC上，即 ＜t≤6时，
Q为线段PC的中点，6-t=3t-16，解得t= ；
④当点Q在线段AC上，即6＜t≤8时，
C为线段PQ的中点，2t-10=t-6，解得t=4（舍），
综上所述：所求时间t为4或 或 ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，利用线段中点的定义得出关于t的方程是解题
关键，要分类讨论，以防遗漏．
12．（2022·新疆·乌鲁木齐市第136中学七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为
b，且a、b满足 ．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点A表示的数是____________，点B表示的数是______，点
P表示的数是____________（用含t的式子表示）；（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、
PB的中点，求PM－PN的值（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？
【答案】（1）10，-6，10-8t；（2）8；（3）t=3或5
【分析】（1）根据非负数的和等于0，则 =0， =0，进而即可求解；
（2）分别用含t的代数式表示PM=4t，PN=4t-8，进而即可求解；
（3）分别表示出P、Q所在点表示的数，再列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）∵ ， ≥0， ≥0，
∴ =0， =0，即：a=10，b=-6，
∴A表示的数是10，点B表示的数是-6，
∵动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数是：10-8t，
故答案是：10，-6，10-8t；
（2）当点P在点B的左侧运动时，PA=8t，PB=8t-16，
∵M、N分别是PA、PB的中点，
∴PM= PA=4t，PN= PB=4t-8，
∴PM－PN=4t-（4t-8）=8；
（3）设运动t秒，P所在点表示的数为：10-8t，Q所在点表示的数为：-6-4t，
∴（10-8t）-（-6-4t）=±4，解得：t=3或5．
【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，用代数式表示出两点间的距离公式，是解题的关键．
13．（2022·天津和平·七年级期末）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，
OA＝2OB．
（1）则OA＝ cm，OB＝ cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为
1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．
①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为 ；
此时，Q点所到的点表示的数为 ．（用含t的代数式表示）
②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．
【答案】（1）8，4；（2） cm；（3）①﹣8+2t，4+t；②1.6或8．
【分析】（1）由于AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB，则OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，依
此即可求解；
（2）根据图形可知，点C是线段AO上的一点，可设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段
OA上时；②点C在线段OB上时，根据AC＝CO+CB，列出方程求解即可；
（3）①根据路程＝速度×时间即可求解；
②分两种情况：0＜t＜4（P在O的左侧）；4≤t≤12（P在O的右侧）；进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，
∴OA+OB＝3OB＝AB＝12（cm），
解得OB＝4，
OA＝2OB＝8（cm）．
故答案为：8，4；
（2）设C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝﹣x+4﹣x，
3x＝﹣4，
解得x＝﹣ ；②点C在线段OB上时，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝4，
解得x＝﹣4（不符合题意，舍）．
故CO的长是 cm；
（3）①t（s）后，P点所到的点表示的数为﹣8+2t；此时，Q点所到的点表示的数为4+t．
故答案为：﹣8+2t，4+t；
②0＜t＜4（P在O的左侧），
OP＝0﹣（﹣8+2t）＝8﹣2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，则
2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，
解得t＝1.6；
4≤t≤12（P在O的右侧），
OP＝﹣8+2t﹣0＝﹣8+2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，则
2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
解得t＝8．
综上所述，t＝1.6或8时，2OP﹣OQ＝4cm．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离，数轴上点的表示，比较复杂，要认真
理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点
表示的数的差的绝对值．
14．（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形
完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B
两点之间的距离AB＝|a﹣b|．线段AB的中点表示的数为 ．
如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数
轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t
＞0）．
(1)填空：
①A、B两点之间的距离AB＝ ，线段AB的中点表示的数为 ．②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
③当t＝ 时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为 ．
(2)当t为何值时，PQ＝ AB．
(3)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，
请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【答案】(1)①10，3；② ， ；③2；4；
(2)当t＝1或3时， ；
(3)不发生变化， ，理由见解析．
【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；②根据数轴上点A表示
的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时
点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，进行求解即可得到结果；③当P、Q两点相
遇时，P、Q表示的数相等，根据此及②中结论得出方程求解即可；
（2）由（1）②得t秒后，点P表示的数 ，点Q表示的数为 ，则 ，再由
，可得 ，由此求解即可；
（3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，即可得出线段MN的长度．
(1)
解：①由题意得： ，线段AB的中点为 ，
故答案为：10，3；
②由题意得：t秒后，点P表示的数为： ，点Q表示的数为： ；
故答案为： ， ；
③∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等，
∴ ，
解得： ，
∴当 时，P、Q相遇，
此时， ，
∴相遇点表示的数为4；故答案为：2；4；
(2)
解：∵t秒后，点P表示的数 ，点Q表示的数为 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得：t＝1或3，
∴当t＝1或3时， ；
(3)
解：不发生变化，理由如下：
∵点M为PA的中点，点N为PB的中点，
∴点M表示的数为 ，点N表示的数为 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的
中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式．
15．（2022·江苏镇江·七年级期末）如图，线段 厘米，点D和点C在线段AB上，且 ，
．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即
按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方
向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒．
（1）求线段AD的长度；（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；（3）当 厘米时，求t的值．【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） 、 、8，
【分析】（1）先求出AC，再求出DC，根据AD=AC-DC即可；
（2）表示出CP、CQ的长度，再根据CP=CQ列方程即可，需要注意P到C之前和之后两种情况讨论；
（3）表示出BP、BQ的长度，再根据 列方程即可，需要注意P到C之前和之后以及P到D之前之
后的多种情况讨论；
【详解】（1）∵ ，
∴
∵
∴
∴
（2）∵点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，
∴ ，
P到达C之前时
∵点C恰好为PQ的中点
∴此时P在C左边，Q在C右边，且CP=CQ
∴
解得
P到达C之后时
∵点C恰好为PQ的中点
∴此时P在C左边，Q在C右边，且CP=CQ
∴
解得
故当点C恰好为PQ的中点时 或（3）当P、Q到达C之前时 ，
，
∴
解得
当P到达C之后、Q到达C之前时 ，
，
∴
解得
当P到达D点时此时 ， ， ，
当P到达D点以后、Q到达D之前， ，
解得
综上当 厘米时， 、 、8，
【点睛】此题考查线段和差计算、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是弄清点在运动时
的出发点、方向、速度以及两个动点的运动属于相遇问题还是追及问题等．
16．（2022·河南南阳·七年级期中）如图一，点 在线段 上，图中有三条线段 、 和 ，若其中
一条线段的长度是另外一条线段长度的 倍，则称点 是线段 的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
【问题解决】
（2）如图二，点 和 在数轴上表示的数分别是 和 ，点 是线段 的巧点，求点 在数轴上表示
的数。
【应用拓展】
（3）在（2）的条件下，动点 从点 处，以每秒 个单位的速度沿 向点 匀速运动，同时动点 从点
出发，以每秒 个单位的速度沿 向点 匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当
、 、 三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间 的所有可能
值．【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6； ；t=12； ； ．
【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即
可；
（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；
（3）根据题意先用t的代数式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出
t的值．
【详解】解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，
故答案为：是；
（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：
①当AB=2AC时，有60=2（x+20），
解得，x=10；
②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），
解得，x=0；
③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），
解得，x=20．
综上，C点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得 ，
（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有
①当AQ=2AP时，60-4t=2×2t，
解得， ，
②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t，
解得，t=6；③当AP=2PQ时，2t=2（60-6t），
解得， ；
综上，运动时间 的所有可能值有 ；t=6； ；
（ii）、若10＜t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有
①当AP=2AQ时，2t=2×（60-4t），
解得，t=12；
②当PQ=2AQ时，6t-60=2×（60-4t），
解得， ；
③当AQ=2PQ时，60-4t=2（6t-60），
解得， ．
综上，运动时间 的所有可能值有：t=12； ； ．
故，运动时间 的所有可能值有： ；t=6； ；t=12； ； ．
【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一
元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．
17．（2022·四川成都·七年级期末）已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重
合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；
(2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有
关？并说明理由.
(3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度
(用含m的代数式表示).
【答案】(1)6；(2) 无关，理由见解析；(3) m.【分析】（1）根据中点可得到AC、BC的长，再根据CN=3AN，CM=3BM，可计算出CN、CM，最后根
据线段的和差关系进行计算即可；
（2）根据线段之间的关系及CN=3AN，CM=3BM，分别表示出CN、AM及MN，再进行化简即可；
（3）分情况讨论，画出图形，根据线段之间的关系计算即可.
【详解】解：（1）∵点C恰好在线段AB中点，且AB=m=8，
∴AC=BC= AB=4，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN= AC，CM= BC，
∴CN=3，CM=3，
∴MN=CN+CM=3+3=6;
（2）若C在A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴MN=CM－CN=3BM－3AN，
∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN，
∴CN +2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN，
∴CN +2AM－2MN的值与m无关；
（3）①当点C在线段AB上时，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN= AC，CM= BC，
∴MN=CM+CN= BC+ AC= (BC+AC)= AB= m；
②当点C在点A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，∴CN= AC，BM= BC，
∴MN=BC－CN－BM=BC－ AC－ BC = (BC－AC)= AB= m；
③当点C在点B的右边，如图所示：
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴AN= AC，CM= BC，
∴MN=AC－AN－CM=AC－ AC－ BC = (AC－BC)= AB= m，
综上所述，MN的长度为 m.
【点睛】本题考查线段的计算，分情况讨论，正确找出线段之间的关系是解题的关键.
18．（2022·四川成都·七年级期末）如图，已知点C在线段AB上，AB=20，BC= AC，点D，E在射线AB
上，点D在点E的左侧．
(1)DE在线段AB上，当E为BC中点时，求CE的长；
(2)在（1）的条件下，点F在线段AB上，CF=3，求EF的长；
(3)若AB=2DE，线段DE在射线AB上移动，且满足关系式4BE=3（AD+CE），求 的值．
【答案】(1)CE=2.5；
(2)EF的长为0.5或5.5；
(3) ．
【分析】（1）根据AC=20，BC= AC可得BC的长度，再根据线段的中点可得答案；
（2）分两种情况：当点F在点E的右侧或当点F在点E的左侧，再根据线段的中点计算即可；
（3）根据DE的位置分情况计算即可．（1）
解：∵AB=20，BC= AC，
∴BC=5，AC=15，
∵E为BC中点，
∴CE=2.5；
（2）
解：当点F在点E的右侧，如图，
EF=CF-CE=3-2.5=0.5，
当点F在点E的左侧，如图，
EF=CF+CE=3+2.5=5.5，
综上：EF的长为0.5或5.5；
（3）
解：∵BC= AC，AB=2DE，满足关系式4BE=3（AD+CE），设CE=x，BC=5，AC=15，DE=10，
①当DE在线段AC上时，如图，
则AD=15-x-10=5-x，BE=5+x，
∵4BE=3（AD+CE），
即4（5+x）=3（5-x+x），
解得x=-1.25，不合题意，舍去；
②当点C在DE之间时，如图，
∴AD=15+x-10=5+x，BE=5-x，
∵4BE=3（AD+CE），
即4（5-x）=3（5+x+x），解得x=0.5，
∴CD=10-0.5=9.5，
∴ ；
③线段CB在线段DE上时，如图，
则AD=15+x-10=5+x，BE=x-5，即4（x-5）=3（5+x+x），
解得x=-17.5，不合题意，舍去；
④当D在CB之间时，如图，
AD=15+x-10=5+x，BE=x-5，即4（x-5）=3（5+x+x），
解得x=-17.5，不合题意，舍去；
⑤当D在B的右边时，如图，
AD=15+x-10=5+x，BE=x-5，即4（x-5）=3（5+x+x），
解得x=-17.5，不合题意，舍去．
综上， ．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键，注意分情况计算．
