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专题1.32 特殊平行四边形中考真题专练（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．（2022·四川自贡·中考真题）如图，菱形 对角线交点与坐标原点 重合，点
，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以
点A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，
BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，菱形 ，点 、 、 、 均在坐标轴上， ，点 ，点 是 的中点，点 是 上的一动点，则
的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
4．（2022·青海·中考真题）如图，在 中， ，D是AB的中点，延
长CB至点E，使 ，连接DE，F为DE中点，连接BF.若 ， ，则
BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．6 D．8
5．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆
心，大于 的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于
点M、N，连接BM、DN．若 ， ．则四边形MBND的周长为（ ）A． B．5 C．10 D．20
6．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在 中，D为斜边 的中点，E为
上一点，F为 中点．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
7．（2022·山东青岛·中考真题）如图，O为正方形 对角线 的中点，
为等边三角形．若 ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形 中， ，点E，F分别
在 边上， ，AF与 相交于点O，连接 ，若 ，则
与 之间的数量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，在边长为2的等边三角形 的外侧作正方形 ，过点 作 ，垂足为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形 是菱形， ，
点 是 中点， 是对角线 上一点，且 ，则 的值是（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题
11．（2022·甘肃武威·中考真题）如图，菱形 中，对角线 与 相交于点 ，
若 ， ，则 的长为_________cm．
12．（2022·陕西·中考真题）如图，在菱形 中， ．若M、N分别
是边 上的动点，且 ，作 ，垂足分别为E、F，则
的值为______．13．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，菱形 的对角线 相交于点
O，点E在 上，连接 ，点F为 的中点，连接 ，若 ， ， ，
则线段 的长为___________．
14．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形 为矩形， ，点
E为边 上一点，将 沿 翻折，点C的对应点为点F，过点F作 的平行线交
于点G，交直线 于点H．若点G是边 的三等分点，则 的长是____________．
15．（2022·黑龙江·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
， ，AH是 的平分线， 于点E，点P是直线AB上的一个
动点，则 的最小值是________．
16．（2022·海南·中考真题）如图，正方形 中，点E、F分别在边 上，，则 ___________ ；若 的面积等于1，则 的值是
___________．
17．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，
HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．
18．（2022·四川广元·中考真题）如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°
角的直角三角板CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．
当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A
时，点C运动的路径长为 _____cm．
三、解答题
19．（2022·北京·中考真题）如图，在 中， 交于点 ，点 在
上， ．
(1 )求证：四边形 是平行四边形；
(2) 若 求证：四边形 是菱形．20．（2022·山东临沂·中考真题）已知 是等边三角形，点B，D关于直线AC对
称，连接AD，CD．
(1) 求证：四边形ABCD是菱形；
(2) 在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，
使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，
的大小是否发生变化？说明理由．
(3) 在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
21．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
(1) 求证：AF与DE互相平分；
(2) 当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．22．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在正方形 中， 为 上一点，连接
， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，垂足为 ，点 在 上，且
．
(1) 求证： ；
(2) 若 ， ，求 的长．
23．（2022·贵州遵义·中考真题）将正方形 和菱形 按照如图所示摆放，
顶点 与顶点 重合，菱形 的对角线 经过点 ，点 ， 分别在 ， 上．
(1) 求证： ；
(2) 若 ，求 的长．24．（2022·河南·中考真题）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，
连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ
的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出
AP的长．
参考答案
1．B
【分析】
根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可．
解：∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，
∴A、C坐标关于原点对称，
∴C的坐标为 ，
故选C．
【点拨】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原
点对称点的坐标特点是解题的关键．
2．B
【分析】
根据作图可得 ，且平分 ，设 与 的交点为 ，证明四边形
为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．
判断③，根据角平分线的性质可得 ，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求
解．
解：如图，设 与 的交点为 ，根据作图可得 ，且平分 ，
，
四边形 是矩形，
，
，
又 ， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
垂直平分 ，
，
四边形 是菱形，故①正确；
② ，
，
∠AFB＝2∠ACB；故②正确；
③由菱形的面积可得 AC•EF＝CF•CD；故③不正确，
④ 四边形 是矩形，
，
若AF平分∠BAC， ，
则 ，
，
，
，
，，
，
CF＝2BF．故④正确；
故选B
【点拨】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含
30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
3．A
【分析】
直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线
AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．
解：如图：连接BE，
，
∵菱形ABCD，
∴B、D关于直线AC对称，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD， ，点 ，
∴ ， ，
∴
∴△CDB是等边三角形
∴
∵点 是 的中点，∴ ,且BE⊥CD，
∴
故选：A．
【点拨】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求
线段长．
4．A
【分析】
利用勾股定理求得 ；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得
的长度；结合题意知线段 是 的中位线，则 ．
解： 在 中， ， ， ，
．
又 为中线，
．
为 中点， 即点 是 的中点，
是 的中位线，则 ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，
利用直角三角形的中线性质求出线段 的长度是解题的关键．
5．C
【分析】
先根据矩形的性质可得 ，再根据线段垂直平分线的性质可得
，根据等腰三角形的性质可得 ，从而
可得 ，根据平行线的判定可得 ，然后根据菱形的判定可得四边形
是菱形，设 ，则 ，在 中，利用勾股定理可
得 的值，最后根据菱形的周长公式即可得．
解： 四边形 是矩形，
，，
由作图过程可知， 垂直平分 ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 是菱形，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
则四边形 的周长为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线等
知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
6．D
【分析】
根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据
直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．
解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD＝ AC＝AD＝4，
故选：D．
【点拨】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本
题的关键是求出AD的长．7．B
【分析】
利用勾股定理求出AC的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题．
解：在正方形 中： ，
∴ ，
∵O为正方形 对角线 的中点，
∴ ，
∵ 为等边三角形, O为 的中点，
∴ ， ，
∴ ,
∴ ,
故选：B．
【点拨】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，掌握以上知识点
是解题的关键．
8．A
【分析】
过点O作OM⊥BC于点M，先证明四边形ABFE是正方形，得出 ，再
利用勾股定理得出 ，即可得出答案．
解：
过点O作OM⊥BC于点M，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，，
四边形ABFE是正方形，
，
，
，
，
由勾股定理得 ，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，
熟练掌握知识点是解题的关键．
9．D
【分析】
过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H，可得四边形AGFH是矩形，从而得到
FH=AG，再由△ABC为等边三角形，可得∠BAG=30°，BG=1，从而得到 ，再证
得∠DAH=∠BAG=30°，然后根据直角三角形的性质，即可求解．
解：如图，过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H，
∵DF⊥BC，
∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，
∴四边形AGFH是矩形，
∴FH=AG，
∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，BC=AB=2，
∴∠BAG=30°，BG=1，
∴ ，
∴ ，
在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°，
∴∠DAH=∠BAG=30°，
∴ ，
∴ ．
故选：D
【点拨】本题主要考查了等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握
等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
10．D
【分析】
取AC的中点M，连接EM设 由中位线性质可得
再根据 ， 可得出 从而
得到FC的长，即可得到 的结果．
解：如图所示：取AC的中点M，连接EM，DM ，设
∵点 是 中点，
∴EM是 的中位线，四边形 是菱形，
，∠AMD=90°，
，
∴DM= ，
∴AM=
故选：D．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的
关键．
11．8
【分析】
利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可．
解： 菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，AC=4，
， ，AO=OC= AC=2
，
，
，故答案为：8．
【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运
用勾股定理解直角三角形，是解题关键．
12．
【分析】
连接AC交BD于点O，过点M作MG//BD交AC于点G，则可得四边形MEOG是矩形，
以及 ，从而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，运用勾股定理求出AO
的长即可．
解：连接AC交BD于点O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO= ，AD//BC，
∴
在Rt 中，AB=4，BO= ，
∵ ，
∴
过点M作MG//BD交AC于点G，
∴ ,
∴
又
∴ ，
∴四边形MEOG是矩形，∴ME=OG，
又
∴
∴
在 和 中，
,
∴ ≌
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线
构造全等三角形是解答本题的关键．
13．
【分析】
先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长
BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长．
解：已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，
∵OE=3，OA=4，
∴根据勾股定理得 ，
∵AE=BE，
∴ ，
在Rt△AOB中 ，
即菱形的边长为 ，∵点F为 的中点，点O为DB中点，
∴ ．
故答案为
【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性
质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．
14． 或
【分析】
过点 作 于点 ，根据题意可得四边形 是平行四边形，证明
，等面积法求得 ，勾股定理求得 ，可得 的长，进而即可求解．
解：①如图，过点 作 于点 ，
，
四边形 是平行四边形
折叠
即
，四边形 是矩形
中，
，
中，
②如图，当 时，
同理可得 ，
，
，中，
故答案为： 或
【点拨】本题考查了勾股定理，折叠，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握
以上知识，注意分类讨论是解题的关键．
15．
【分析】
作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，
则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股
定理，求出OF，OE长，再证明 EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可．
解：如图，作点O关于AB的△对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于
P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴ ABD是等边三角形，
∴△BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB= ，
∴OA= ，
∴点O关于AB的对称点F，∴OF⊥AB，OF=2OG=OA= ，
∴∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA= ，
∵AH平分∠BAC，
∴∠CAE=15°，
∴∠AEC=∠CAE=15°，
∴∠DOE=∠AEC+∠CAE=30°，
∴∠DOE+∠AOG=30°+60°=90°，
∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF= ,
∴PO+PE最小值= ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾
股定理，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接
PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最小值=EF是解题的关键．
16． 60
【分析】
由正方形的性质证明 ，即可得到 ，再由 可得
，即可求出 ．设 ，表示出 的面积，解方
程即可．
解：∵正方形
∴ ，
∵
∴ （HL）∴ ，
∵ ，
∴
∴
设
∴
∴
∵ 的面积等于1
∴ ，解得 ， （舍去）
∴
故答案为：60； ．
【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、30°直角三角形的性质，
熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
17．1
【分析】
连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得
CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可．
解：连接AG，EG，如图，
∵HG垂直平分AE，∴AG=EG，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，
∵点E是CD的中点，
∴CE=4，
设BG=x，则CG=8-x，
由勾股定理，得
EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，
∴（8-x）2+42=82+x2，
解得：x=1，
故答案为：1．
【点拨】本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方
形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键．
18．
【分析】
由题意易得 cm，则当点D沿DA方向下滑时，得到 ，
过点 作 于点N，作 于点M，然后可得 ，进而可知
点D沿DA方向下滑时，点C′在射线AC上运动，最后问题可求解．
解：由题意得：∠DEC=45°，DE＝12cm，
∴ cm，
如图，当点D沿DA方向下滑时，得到 ，过点 作 于点N，作
于点M，∵∠DAM=90°，
∴四边形NAMC′是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 平分∠NAM，
即点D沿DA方向下滑时，点C′在射线AC上运动，
∴当 时，此时四边形 是正方形，CC′的值最大，最大值为
，
∴当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为 ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的
性质及角平分线的判定定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直
角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题的关键．
19．(1)见分析(2)见分析
【分析】
（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，得出 ， ，再根据，得出 ，即可证明结论；
（2）先证明 ，得出 ，证明四边形ABCD为菱形，得出
，即可证明结论．
(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴四边形ABCD为菱形，
∴ ，
即 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质和性质，菱形的判定和性质，平行线的性
质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键．
20．(1)见分析(2) 大小不变，理由见分析(3) ，证明见分析
【分析】
（1）连接BD，由等边三角形的性质可得AC垂直平分BD，继而得出
，便可证明；
（2）连接PB，过点P作 交AB于点E，PF⊥AB于点F，可证明 是等边
三角形，由等腰三角形三线合一证明 ， ，即可求解；
（3）由等腰三角形三线合一的性质可得AF = FE，QF = BF，即可证明．
解：(1)连接BD，
是等边三角形，
，
点B，D关于直线AC对称，
AC垂直平分BD，
，
，
四边形ABCD是菱形；
(2)当点Р在线段AC上的位置发生变化时， 的大小不发生变化，始终等于
60°，理由如下：
将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，
，
是等边三角形，
，
连接PB，过点P作 交AB于点E，PF⊥AB于点F，
则 ，
，
是等边三角形，
，，
，
点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，
PB = PD，∠DPA =∠BPA，
PQ = PD，
，
，
∠QPF -∠APF =∠BPF -∠EPF，
即∠QPA = ∠BPE，
∠DPQ =∠DPA - ∠QPA=∠BPA-∠BPE = ∠APE = 60°；
(3)AQ= CP，证明如下：
AC = AB，AP= AE，
AC - AP = AB – AE，即CP= BE，
AP = EP，PF⊥AB，
AF = FE，
PQ= PD，PF⊥AB，
QF = BF，
QF - AF = BF – EF，即AQ= BE，
AQ= CP．
【点拨】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱
形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键．
21．(1)见分析(2)AF= BC，理由见分析
【分析】
（1）易知点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，所以线段DF与EF也为△ABC的
中位线，由中位线定理证得四边形ADFE是平行四边形，因为平行四边形的对角线相互平
分，此题可证；
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形，结合已知条件可知，当AF= BC时，平
行四边形ADFE为矩形．
(1)证明：∵线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线，
∴D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴线段DF与EF也为△ABC的中位线，
∴DF AC，EF AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分．
(2)解：当AF= BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下：
∵线段DE为△ABC的中位线，
∴DE= BC，
由（1）知四边形ADFE为平行四边形，若 ADFE为矩形，则AF=DE，
∴当AF= BC时，四边形ADFE为矩形．
【点拨】此题考查了中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质；解
题的关键是数形结合，熟练运用上述知识．
22．(1)见详解(2)
【分析】
（1）先证明四边形ADFM是矩形，得到AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，再利用
MN⊥BE证得∠MBO=∠OMF，结合∠A=90°=∠NFM即可证明；
（2）利用勾股定理求得BE=10=MN，根据垂直平分线的性质可得BO=OE=5，
BM=ME，即有AM=AB-BM=8-ME，在Rt△AME中， ，可得
，解得： ，即有 ，再在Rt△BMO中利用勾股
定理即可求出MO，则NO可求．
解：(1)在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°， ，
，
∵ ，∠A=∠D=90°， ，
∴四边形ADFM是矩形，
∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，
∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴MN⊥BE，∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，
∴∠MBO=∠OMF，
∵ ，
∴△ABE≌△FMN；
(2)连接ME，如图，
∵AB=8，AE=6，
∴在Rt△ABE中， ，
∴根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴BO=OE= =5，BM=ME，
∴AM=AB-BM=8-ME，
∴在Rt△AME中， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴在Rt△BMO中， ，
∴ ，
∴ON=MN-MO= ．即NO的长为： ．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定
理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键．
23．(1)见分析(2)
【分析】
（1）根据正方形和菱形的性质可得 ，根据 即可
得证；
（2）连接 交 于点 ，勾股定理求得 ， ，根据菱形的性质可得
，进而求得正方形和菱形的对角线的长度，根据 即可求解．
(1)证明： 正方形 和菱形 ，
，
在 与 中
（ ）
(2)如图，连接 交 于点 ，
，
，
在 中，
，
，在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
．
【点拨】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理， ，掌握以上知识是
解题的关键．
24．(1) 或 或 或 (2)①15，15；② ，理由见
分析(3) cm或
【分析】
（1）根据折叠的性质，得 ，结合矩形的性质得 ，进而可得
；
（2）根据折叠的性质，可证 ，即可求解；
（3）由（2）可得 ，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F
的上方时，设 分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．
(1)解：(2)∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90
由折叠性质得：AB=BM，∠PM°B=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴
②
(3)当点Q在点F的下方时，如图，
，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
设
，
即
解得：∴ ；
当当点Q在点F的上方时，如图，
cm，DQ =3cm，
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴ ．
【点拨】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握
相关知识并灵活应用是解题的关键．
