文档内容
专题 1.1-3 锐角三角函数
一、基础知识点
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
∠A的对边 a
sinA= =
斜边 c
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即
∠A的邻边 b
cosA= =
斜边 c
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即
∠A的对边 a
tanA= =
∠A的邻边 b
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
1 √2 √3
sinα 0 1
2 2 2
√3 √2 1
cosα 1 0
2 2 2√3
tanα 0 1 √3 不存在
3
4、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
二、热门考点训练
考点1：正弦定义及应用
典例：如图，在 中， ，E为 上一点， 交 于D，若 ，
求 的值．
【答案】
【分析】首先证明 ，得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
方法或规律点拨
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·浙江·金华市南苑中学九年级阶段练习）已知在 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定义解答，正弦定义是在 中， ，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正
弦．
【详解】解：∵ 中， ， ， ，
∴ ,
故选A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正弦，解决问题的关键是熟练掌握正弦的定义．
2．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当
AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为 ，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的
正弦值为 ，如图2，则支撑柱OH的高为（ ）米．
A．0.4 B．0.5 C． D．0.6
【答案】D
【分析】根据正弦的定义得到OA＝2OH，OB＝3OH，根据题意列式计算即可．【详解】解：在Rt AOH中，sinA ，
△
∴OA＝2OH，
在Rt BOH中，sinB ，
△
∴OB＝3OH
∵AB＝3米，
∴2OH+3OH＝3，
解得：OH＝0.6（米），
故选：D．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该
起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B， 垂直地面，垂足为点D， ，垂足为
点C．设 ，下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．
【详解】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．
4．（2022·湖北湖北·模拟预测）如图，在 中， 是斜边 上的高， ，则下列比值中
等于 的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；
【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠A=∠DBC，
A． =cosA，不符合题意；
B． =tanA，不符合题意；
C． =cos∠DBC=cosA，不符合题意；
D． =sin∠DBC=sinA，符合题意；
故选： D．
【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．
5．（2021·安徽省马鞍山市第七中学九年级期中）在 中， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】D
【分析】由 中， ， ，可得此时 不唯一，从而可得答案.
【详解】解： 中， ， ，
两条边无法确定一个三角形，则 的大小不能确定，故无法求解 ，
所以 不能确定，故选D
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟悉“锐角三角函数是在直角三角形中定义的”是解题的关
键.
6．（2022·山东·招远市教学研究室九年级期中）正方形网格中， 如图放置，则 的值为（
）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】连接 根据勾股定理可以得到 ，则 是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一
定理，可以得到 是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．
【详解】如图，连接 ，设正方形的网格边长是1，则根据勾股定理可以得到：
， ，
在 中，由等腰三角形三线合一得： ，
则 ，
∴ ，
故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数的概念，注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键．
7．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）在 中， ，若 ， ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义，可直接进行求解．
【详解】解：由题意得： ；
故选C．
【点睛】本题主要考查求锐角三角函数值，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）如图，在边长为1的小正方形网格中， 的三个顶点均在
格点上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知， 是直角三角形， ， ， ，由此即可求解．
【详解】解：由题知 为直角三角形， ，其中 ， ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查直角三角形的正切值，理解和掌握直角三角形的正余切的计算方法是解题的关键．
9．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，
AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AC后，利用勾股定理求出所需的线段长度即可．
【详解】解：如图，连接AC
在Rt BEC中，BC=
△
∵AD⊥BC，
∴ ×BC×AD=8，
即 ，
解得 ，
在Rt ADB中， ，
△
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数值的求解，能够构造直角三角形并用勾股定理求出线段长度是解题关键．
10．如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______．【答案】
【分析】利用勾股定理求出AO、BO的长，再由 = AB×2= AO⋅BC，得出BC，sin∠AOB可得答案．
【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，
过点B作BC⊥OA于点C．
由勾股定理，得AO= ，BO= ，
∵ = AB×OE= AO×BC，
∴BC= = ，
∴sin∠AOB= = ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，熟练掌握正弦函数的意义、勾股定理的应用及三角形的面积
求法是解题的关键．
11．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如果 是锐角，且 ，那么 的值是
_____．【答案】 ##
【分析】在Rt ， ， ，由 ，可设 ，则 ,勾股定理求出
，即可得到答案．
【详解】解：如图，在Rt ， ， ，
∵ ，
∴设 ，则 ,
由勾股定理得 ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．如图，在锐角 中，探究 ， ， 之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的
高．）【答案】 ．
【分析】分别作 ，垂足分别为 ，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示
出 ，进而将等式变形，即可求得 ．
【详解】解：如图，分别作 ，垂足分别为 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
，．
【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
考点2：余弦的定义及应用
典例：（2022·上海黄浦·九年级期中）已知：如图，已知 中， ，点 是边 上的一点，
且 ， ．
(1)求 的长；
(2)求 的余弦值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）首先证明 ，由相似三角形的性质可知 ，借助勾股定理计算出
，即可确定 的长；
（2）过点 作 于 ，首先由相似三角形的性质计算 ，即可确定 ，然后证明
，由相似三角形的性质求得 的值，然后计算 ，在 中求 的余弦值
即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）如图，过点 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ．
方法或规律点拨
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与
性质是解题关键．
巩固练习
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校九年级期中）在 中， ，则
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据三角函数计算即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在
中，若 ，则 的正弦等于 的对边比斜边， 的余弦等于 的邻边比斜边， 的正切
等于 的对边比邻边． 的余切等于 的邻边比对边， ， ，
， ．
2．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校九年级期中）在 中， ，若 ， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出 ，再根据锐角三角函数的定义得出 ，再代入求出答案即可．
【详解】解：由勾股定理得： ，
所以 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是能熟记锐角三角函数的定义．
3．（2022·江苏无锡·九年级期中） 是 的弦，点C在过点B的切线上，且 ， 交 于点
P．若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先说明 ，再根据 可得 ，设圆的半径为r， ，则
， ；然后由勾股定理可得 ，进而得到 ， ，最后根据余弦的
定义即可解答．
【详解】解：∵
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∵点C在过点B的切线上
∴ ，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
设圆的半径为r， ，则 ，
在 中， ,即 ，整理得：
∴ ，∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、正切、余弦的定义等知识点，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径
是解答本题的关键．
4．（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中
不等于 的是（ ） △
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】A．∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
在Rt ACD中，cos∠ACD= ，
△
∴cosB= ，
故A不符合题意；
B．在Rt DBC中，cosB= ，故B不符合题意；
△
C．在Rt DBC中，cos∠BCD= ，
△
∵∠A≠45°，∴∠B≠45°，
∴∠B≠∠BCD，
∴cosB≠ ，
故C符合题意；
D．在Rt ABC中，cosB= ，故D不符合题意；
△
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关
键．
5．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期末）在 中， 、 、 对边分别为 、 、 ，
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数定义得出 ， ，即可得出答案.
【详解】解：由题知， ，
∴ ，
∴ ，
故选C.
【点睛】本题是对三角函数知识的考查，熟练掌握锐角三家函数的定义是解决本题的关键.6．（2022·广西·南宁二中三模）如图，在 中， ，则 长为（ ）
A．4 B．8 C． D．12
【答案】B
【分析】根据余弦的定义即可求解．
【详解】解： ，
，
故选B．
【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键．
7．（2022·上海市民办明珠中学九年级期中）在 中， ， ，若点O是 的
重心，则 ______．
【答案】 ##
【分析】连接 并延长交 于E，根据重心的定义可知 ，可证 为等腰直角三角形，最后
根据锐角三角函数的定义进行求解．
【详解】解：如图，连接 并延长交 于E，
∵点O是 的重心，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的判定与性质和三角形重心的知识点，解答本
题的关键是掌握重心的定义和锐角特殊角的三角函数值．
8．（2022·上海市曹杨中学九年级期中）如图， 在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方
形顶点位置，那么 的值为____．
【答案】 ##0.8
【分析】连接格点A、D．先利用勾股定理求出 ，再利用直角三角形的边角间关系求出 的余弦．
【详解】解：如图，连接格点A、D．∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．
9．（2022·山东·招远市教学研究室九年级期中）已知等腰三角形两条边的长分别是 底角为 ，则
_____．
【答案】 或
【分析】分两种情况解答，即可求解．
【详解】解∶如图，当腰长为4时，过点A作 于点D，
∴ ，
∴ ；
如图，当腰长为6时，过点A作 于点D，
∴ ，
∴ ；故答案为： 或
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
10．（2022·安徽合肥·九年级期末）比较大小：sin48°___cos48°（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【分析】作一个含有48°的直角三角形，根据大角对大边可知， ，再根据三角函数的定义有
即可比较出大小．
【详解】解：作一个含有48°的直角三角形，如图，
∵ ，
∴ ，
∵
∴
故填：＞．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，解题关键是掌握三角函数的定义；在直角三角形中，任意一锐角
的对边与斜边的比叫做 的正弦，记作 ；在直角三角形中，任意一锐角 的邻边与斜边的比
叫做 的余弦，记作 ．
11．（2022·上海市建平实验中学九年级期中）在Rt ABC中， ， ， ，那么
________．
【答案】
【分析】先用 ， 求出 ，再由勾股定理求出 即可．
【详解】解：如图:
在 中，
，即 ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角函数，勾股定理解直角三角形，准确记住公式是解题的关键．
12．（2022·四川·成都西川中学九年级阶段练习）在 中， ，若 ，则 的值
为 __．
【答案】
【分析】根据勾股定理以及锐角三角函数的定义进行计算即可．
【详解】解：在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
∵ ， ，
设 ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和勾股定理，理解和掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的
关键．
13．（2022·吉林·长春高新兴华学校九年级期中）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段 的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不
要求写出画法）．
(1)在图①中，在线段AB上找到一点E，使 ；
(2)在图②中，画出一个以A、B、C为顶点的三角形，且 ；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形相似的判定和性质作图即可；
（2）由 ，即得出 ，即画出底角为 的等腰直角三角形即可．
【详解】（1）如图，点E即为所作．
（2）如图， 即为所作．【点睛】本题考查作图—格点作图题，三角形相似的判定和性质，余弦的定义，等腰直角三角形的性质以
及勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键．
14．（2022·北京西城·二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延
长线上，且BE⊥ED，CF=AE．
(1)求证：四边形EBFD是矩形；
(2)若 ， ，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)BF的长为 ．
【分析】（1）利用“SAS”证明 ABE≌ CDF，得到BE=DF，∠E=∠F=90°，即可证明四边形EBFD是矩
形； △ △
（2）在Rt BCO中，利用余弦函数求得OB的长，在Rt BDF中，再利用余弦函数即可求得BF的长．
（1）证明：△∵四边形ABCD是菱形， △
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAB=∠ADC，∠FCD=∠ADC，
∴∠EAB=∠FCD，
∵AE= CF，
∴ ABE≌ CDF(SAS)，
∴△BE=DF，△∠F=∠E=90°，∴BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠E=90°，
∴四边形EBFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB=5，
∴OB=OD，AC⊥BD，AB=BC=5，
在Rt BCO中， ，BC=5，
△
∴ ，
∴OB=4，则BD=2OB=8，
在Rt BDF中， ，BD=8，
△
∴ ，
∴BF= ×8= ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；
熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
考点3：正切定义及应用
典例：（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）图①、图②是两张形状、大小完全相同的方
格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1 ， 点A、点B和点C在小正方形的顶点上. 请在图①、图
②中各画一个图形， 满足以下要求：
(1)在图①中以 和 为边画四边形 ， 点 在小正方形的顶点上， 且此四边形有两组对边相等．(2)在图②中以 为边画 ， 使 ．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析．
【分析】（1）根据该四边形有两组对边相等可知这个四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边互相
平行即可作出；
（2）根据正切值的定义即可作出 ．
（1）解：作图如下：
根据该四边形有两组对边相等可知这个四边形是平行四边形，
再由平行四边形的对边互相平行可知，AD∥BC，
由BC平移可以得到AD，
∵点B向上平移三个单位，向右平移一个单位，得到点A，
∴点C向上平移三个单位，向右平移一个单位，即可得到点D．
（2） 如下图，
BE=3，DE=4，∠BED=90°，
．
方法或规律点拨本题考查在网格中作图，需要熟练掌握平行四边形的对边平行且相等，正切值的定义．
巩固练习
1．（2022·山东·东平县青峰山实验学校九年级阶段练习）如图，在 中， 于
D，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理证明 ，求 即可．
【详解】解：由勾股定理知， ，
∴ ，
根据同角的余角相等， ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题利用了等角进行转换求解，考查三角函数，准确的计算是解决本题的关键．
2．（2022·四川·成都西川中学九年级阶段练习）在 中， ， ， ，那么
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用正切的定义求解．【详解】解： ，
．
故选D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义．熟练掌握正切等于对边比邻边是解题的关键．
3．（2022·黑龙江大庆·九年级阶段练习）在 中， 、 、 ，则 的值是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由勾股定理求出 ，再由正切的定义完成求解．
【详解】解：由勾股定理知：
，
，
故答案选：A．
【点睛】本题考查勾股定理和正切的定义，准确求解 是解题的关键．
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 中， ，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义解答．
【详解】解：在Rt ABC中，∠B=90°，
△
则 ．
故选：C．【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
5．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，
则∠APD的正切值为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．
【答案】A
【分析】过C作CM∥AB，过D作DN⊥MC于N，从而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理求出
CN、DN的值，最后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】：连接CM，DN，
由题意得：CM∥AB，
∴∠APD＝∠NCD，
由题意得：
CN2＝12+12＝2，
DN2＝32+32＝18，
∴ ，
∴tan∠DCN＝ ＝ ＝3，
∴∠APD的正切值为：3，故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数与勾股定理的综合应用，熟练掌握平行线的性质、勾股定理的应用、正切
函数的概念是解题关键 ．
6．（2022·山东·招远市教学研究室九年级期中）已知 中， ， ， ，则
等于（ ）
A．6 B． C．10 D．8
【答案】C
【分析】直接利用锐角三角三角函数关系得出BC的长，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示：
， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角三角函数关系及勾股定理解三角形，正确画出图形是解题关键．
7．（2022·山东潍坊·九年级阶段练习）如图，已知 ， 是斜边 边上的高，那么下列结论正
确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由 ， 是斜边 边上的高，可得 再利用锐角三角函数
的定义逐一分析即可.
【详解】解：∵ ， 是斜边 边上的高，
∴
∴
∴
故A不符合题意，B符合题意；
而
∴
故C，D不符合题意；
故选B.
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义并予以应用是解本题的关键.
8．（2022·上海市民办明珠中学九年级期中）已知 ，如果 ，那么 ______．
【答案】
【分析】由 设出直角三角形的邻边和斜边长，由勾股定理求出另一直角边的长，再根据正切定义
求值即可.
【详解】解：如图：
在 中， ，
设 ，则 ，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了锐角三角函数的求值，掌握定义是解答此题的关键.
9．（2022·河南南阳·九年级期中）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则 的值为
_______．
【答案】
【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求 、 ，再根据三角函数的意义可求出 的值．
【详解】解：如图，连接 ，由网格的特点可得， ，
， ，
，
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造
直角三角形是解决问题的关键．10．（2022·山东威海·九年级期中）如图，直线 过点 ，则 ________．
【答案】 ##
【分析】作 轴，在 中根据三角函数的定义求解即可；
【详解】解：如图，作 轴；
在 中，
故答案为：
【点睛】本题考查了锐角三角函数、点的坐标与坐标轴的关系；根据点的坐标构造直角三角形是解题关键．
11．（2022·上海黄浦·九年级期中）在 中， ，如果 ， ，那么
___________．
【答案】 ##4.5##
【分析】根据锐角三角函数定义得出 ，代入求出即可．
【详解】如图：∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数定义是解此题的关键，在直角三角形中，锐
角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
12．（2022·四川·成都西川中学九年级阶段练习）如图，点 、 分别是 的 、 边上的点，
， ， 于 ，四边形 的面积为8， ， __．
【答案】5
【分析】过 作 于 ，过 作 于 ，由 ，设 ，则 ，
，根据 即得 ， ，而 是等腰
直角三角形，知 ，由 ，即得 ， ，
又四边形 的面积为8，即得 ，解得 ，从而 ．【详解】解：过 作 于 ，过 作 于 ，如图：
，
，
设 ，则 ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在 中， ，
是等腰直角三角形，
，
， ， ，
，
，
在 中， ，
四边形 的面积为8，
，
，即 ，
解得 或 （舍去），
，故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作
辅助线，构造直角三角形，用含字母的式子表示相关线段的长度．
13．（2022·山东·东平县青峰山实验学校九年级阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正
半轴上，反比例函数 在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若
，则k的值为 ___________．
【答案】
【分析】由 ，可设 ，表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点
D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴设 ，
则 ，点D坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴点 ，
∵反比例函数 经过点D、E，
∴ ，解得： 或 （舍），
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及
反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．
14．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）如图，在 中， ， 的正切值等于2，直
尺的一边与 重合，另一边分别交 ， 于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，
1，则直尺宽 的长为______．
【答案】1
【分析】根据 ， 的正切值等于2，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，得到
，得到 ，结合 计算即可．
【详解】因为 ， 的正切值等于2，
所以 ，
因为直尺的对边平行，
所以 ，
所以 ，
因为点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，
所以 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了三角函数的计算，熟练掌握正切的意义是解题的关键．
15．（2022·山东·龙口市教学研究室九年级期中）在 中， ， ， ．
(1)求 的长；
(2)求 的值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）利用勾股定理即可求解；
（2）根据正切值的含义即可求解．
【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ ，
即 的长为3；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
即 的值为： ．
【点睛】本题主要考查了求解角的正切值以及勾股定理的知识，掌握正切的含义是解答本题的关键．
考点4：特殊角三角函数的计算
典例：（江西省宜春市丰城市第九中学2021-2022学年八年级下学期期末检测A卷数学试题）先化简，再求代数式 的值，其中 ， ．
【答案】 ，
【分析】先根据分式的混合运算法则计算，再求出m，n的值代入计算即可．
【详解】原式=
=
= ．
因为 ， ，
所以原式= ．
方法或规律点拨
本题主要考查了分式的化简求值，根据特殊角三角函数值确定m，n的值是解题的关键．
巩固练习
1．（陕西省西安碑林区交大附中2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题） 的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由特殊角的三角函数值直接可得答案．
【详解】解： ，
故选：B
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．
2．（陕西省西安铁一中滨河学校2022-2023学年九年级上学期期中数学考试卷） （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可解答．
【详解】解： ．
故选D．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角形函数值，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
3．（江苏省无锡市锡山高级中学实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题） 的值为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据特殊角的三角形函数值进行计算即可．
【详解】解： ；
故选C．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．
4．（江苏省苏州市苏州高新区第一初级中学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）
的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：如图所示， ， ， ， ， ，
∴ ，故选： ．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解题的关键．
5．（上海市建平实验中学2022-2023学年九年级上学期期中考试试题数学）已知 ，则锐
角 ________．
【答案】
【分析】先由 变形为 ，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活变形，熟记公式是解题的关键．
6．（辽宁省大连市沙河口区第79中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）若 的度数是 ，
则 的值是_________．
【答案】
【分析】根据60度角的正弦值为 即可得到答案．
【详解】解：∵ 的度数是 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，熟知60度角的正弦值是解题的关键．
7．（山东省泰安市东平县青峰山实验学校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题）（1）
；（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．（黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学2022-2023学年九年级上学期期中数学（五四制）学科试题）先化
简，再求值： ，其中 .
【答案】 ，
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法进行计算，最后代入求出答案即可．【详解】解：原式
∵
∴原式
【点睛】本题考查了特殊三角函数值和分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题
的关键，注意运算顺序．
9．（江苏省无锡市锡山高级中学实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、二次根式、绝对值的性质进行计算，再进行加减即可得结果；
（2）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质进行计算，再进行加减即可得结果．
【详解】（1）解：原式=
=
= ；
（2）解：原式=
=【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌
握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．
10．（陕西师范大学附属中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据乘方、立方根、特殊角度三角函数、负整数指数幂、实数的性质计算，即可得到答案；
（2）根据乘方、绝对值、二次根式、零指数幂的性质计算，即可得到答案.
【详解】（1）解：
（2）解：
.
【点睛】本题考查了实数、三角函数、负整数指数幂、零指数幂、立方根、二次根式、乘方的知识；解题
的关键是熟练掌握特殊角度三角函数的性质，从而完成求解.
11．（山东省济南市槐荫区济南阳光100中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）计算：
(1)(2) ．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）首先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘方，再计算乘法，最后从左向右依次计算，求
出算式的值是多少即可．
（2）首先计算绝对值、零指数幂、二次根式和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次
计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有
理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面
的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
12．（2022年黑龙江省哈尔滨市萧红中学中考九年级下学期最后一次模拟数学试题）先化简，再求代数式
的值，其中 ．
【答案】 ，
【分析】先将原式括号中两项通分，利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出答案．
【详解】解：
，
∵ ，
∴原式 ．
【点睛】本题综合考查了分式的化简与特殊角的三角函数值．解题的关键是利用分解因式的方法化简分式，
将已知量与未知量联系起来．
13．（山东省济南市槐荫区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）计算：
．
【答案】
【分析】代入特殊角的三角函数值，然后先算乘法，再算减法
【详解】解：原式
=
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，特殊角三角函数值，掌握二次根式混合运算的顺序和计算法则，
熟记特殊角三角函数值是解题关键．
考点5：由特殊角三角函数值判定三角形形状
典例：（2022·河南周口·九年级期末）在 中， 都是锐角，且满足，则三角形的形状是__．
【答案】钝角三角形
【分析】根据题意非负数之和为零，只有一种情况，即零加零等于零；利用特殊角锐角三角函数值分别求
出 ,再根据三角形内角和定理求得 ,判断三角形的形状即可．
【详解】
,
是钝角三角形．
故答案为：钝角三角形．
方法或规律点拨
本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的分类，绝对值的非负性，实数平方的非负性，熟练特殊角
的锐角三角函数值是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·河南·辉县市太行中学九年级期中）若 ，则 的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根据非负数的性质得到 ，再由特殊角的三角函数值求出 的度数，再判
断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，由特殊角的三角函数值可知此时 ，
此时 ，
则 的形状是钝角三角形，
故选C．
【点睛】本题考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．（2020·山东烟台·九年级期中）若 ，则 ABC的形状是（ ）
A．含有60°直角三角形 B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得 ，从而得到 ，即可
求解．
【详解】解∶∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴∠C=90°，
∴ ABC是含有60°直角三角形．
故选：A
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，绝对值和平方的非负性，熟练掌握特殊角锐角三角函数
值是解题的关键．
3．（2021·贵州黔西·模拟预测）在 中，若 ， 都是锐角，且 ， ，则
的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值可判断 ， ，从而可求出 ，即证明 的形
状是直角三角形．【详解】∵ ， 都是锐角，且 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的形状是直角三角形．
故选D．
【点睛】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值
是解题关键．
4．（2022·广西来宾·九年级期末）在 中，若 ，则 是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形
【答案】B
【分析】根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求得角度，进而判断三角形的性质即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，
，
是等腰直角三角形．
故选B
【点睛】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
5．（2022·广西贺州·九年级期末）在 ABC中， ，则 ABC一定是（ ）
△ △
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
【答案】D
【分析】根据平方和绝对值的非负性，得 ，从而求出 ，根据
特殊角的三角函数的值，得 ， ，即可得到答案．
【详解】∵
∴ ，解得： ，
∴ ， ，
∴
故 一定是钝角三角形．
故选D．
【点睛】本题考查非负数的性质，特殊角的三角函数的值；解题的关键是掌握平方和绝对值的非负性，并
熟记特殊角的函数值．
6．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期中）在 ABC中， ，则 ABC一
定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得 ， ，从而得 ，
，根据特殊角度三角函数的性质，得 ， ；根据等腰三角形和三角形内角和性质
计算，即可得到答案．
【详解】解：∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ABC一定是等腰直角三角形
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对
值、三角函数的性质，从而完成求解．7．（2022·浙江·九年级专题练习）若∠A，∠B都是锐角，且tanA＝1，sinB＝ ，则 ABC不可能是（
△
）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角三角形 D．直角三角形
【答案】C
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：∵∠A，∠B都是锐角，且tanA＝1，sinB＝ ，
∴∠A=45°，∠B=45°．
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
∴ ABC不可能是锐角三角形
故△选：C．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
8．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级阶段练习）在 中， ，则
的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【分析】计算出∠A和∠C的角度来即可确定．
【详解】解：∵sinA=cos（90°-C）= ，
∴∠A=45°，90°-∠C=45°，
即∠A=45°，∠C=45°，
∴∠B=90°，
即△ABC为直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查特殊角三角函数，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
9．（2022·山东·东平县青峰山实验学校九年级阶段练习）若 ，则以为内角的 的形状是 ___________．
【答案】直角三角形
【分析】直接利用非负数的性质得出 ，进而得出 的形状．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
则 ， ，
∴ ，
∴以 为内角的 的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键．
10．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校九年级阶段练习）锐角 中， ，则
的形状是___________.
【答案】等边三角形
【分析】根据特殊角的三角函数判断 和 的大小，再断三角形的形状即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的形状是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和等边三角形的判定，根据已知角的三角函数值判断出角的大小
是解答本题的关键．11．（2022·四川乐山·九年级期末）在 中，若 ， ， 都是锐角，
则 是______三角形．
【答案】等边
【分析】根据非负数的性质分别求出∠A和∠B，继而可判断 的形状．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴ 是等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三
角函数值．
12．（2022·河南开封·九年级期末）在 中， 与 都是锐角，且 ，则
的形状是________．
【答案】等腰三角形
【分析】根据非负数的性质可得： ，由此可求出 ，即
为等腰三角形．
【详解】根据绝对值的非负性可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴ 为等腰三角形．故答案为：等腰三角形．
【点睛】本题考查绝对值的非负性，特殊角的三角函数值以及等腰三角形的判定．熟记特殊角的三角函数
值是解题关键．
13．（2021·山东临沂·九年级期末）在△ABC中，（2cosA﹣ ）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是：
_____．
【答案】等腰直角三角形
【分析】根据非负数的意义和特殊锐角的三角函数值求出角A和角B，进而确定三角形的形状．
【详解】解：因为（2cosA﹣ ）2+|1﹣tanB|＝0，
所以2cosA﹣ ＝0，且1﹣tanB＝0，
即cosA＝ ，tanB＝1，
所以∠A＝45°，∠B＝45°，
所以
所以△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值以及三角形的判定，掌握特殊锐角的三角函数值是正确判断的前提．
考点6：用计算器求锐角三角函数值
典例：求满足下列条件的∠A的度数（精确到1″）：
（1）cosA=0.8607；
（2）tanA=56.78．
【答案】（1）30°36′18″；（2）88°59′28″
【详解】试题分析：（1）熟练应用计算器，使用2nd键，然后按cos-1 0.8607，即可求出∠A的度数，对
计算器给出的结果，用四舍五入法取近似数．
（2）方法同（1）．
试题解析：
解：（1）∵cosA=0.8607，
∴∠A≈30.605°=30°36′18″；
（2）∵tanA=56.78，∴∠A≈88.991°≈88°59′28″．
方法或规律点拨
此题考查了利用计算器求角的度数和度分秒的互化，熟悉计算器的用法是解决此题的关键．
巩固练习
1．已知 ，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】已知 ，一般先按键“2ndF”，再按键“tan”，输入“0.85”，再按键“=”即可得到结果．
【详解】解：已知 ，用计算器求锐角A的大小，按键顺序“2ndF”，“tan”，“0.85”，“=”．
故选：A
【点睛】本题主要考查计算器的使用，掌握计算器上三角函数的计算方法是解题的关键．
2．已知 ，则锐角 的度数大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用计算器计算判断即可．
【详解】用计算器计算可得， ．
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，会用计算器计算三角函数值是解题的关键．
3．锐角 满足 ，利用计算器求 时，依次按键 ，则计算器上显示的
结果是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知， ，根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：由题意可知， ，由特殊角的三角函数值可知
依次按键，显示的是 的值，即 的度数为 ．
故选C
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
4．如果 ，那么锐角 的度数大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】使用 键，然后按 即可求出 的度数．
【详解】解：使用 键，然后按
∵ ，
∴ ．
故选C
【点睛】此题考查了使用计算器解决三角函数问题，解题关键是正确使用计算器．
5．已知 ，则a约为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】一般先按键“SHIFT”，再按键“tan”，输入“0.3249”，再按键“=”即可得到结果．
【详解】tanα=0.3249，
α约为18°．
故选B．
【点睛】考查了计算器的应用，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二
功能键．
6．在 中， ，则 ，则 __．
【答案】 ．【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，可
求出各边的长，代入三角函数进行求解．
【详解】在 中，因为 ， ，
设 ， ，
，
，
故答案为
【点睛】本题考查锐角三角函数和勾股定理解直角三角形，解直角三角形，解题关键在于由直角三角形已
知元素求未知元素的过程．
7．根据条件求锐角：
（1） ，求 ；
（2） ，求 ；
（3） ，求 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】根据计算器求锐角 的度数，注意按键顺序，按完 显示的是以度为单位，再按
即显示以度分秒为单位的角度．
【详解】（1） ，按键顺序是 显示 ，则
（2） ，按键顺序是 显示 ，则
（3） ，按键顺序是 显示 ，则
【点睛】本题考查了用计算器求角度，掌握按键顺序是解题的关键．
8．已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ．【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） ，
【分析】利用计算器完成即可．
【详解】（1）由计算器可得： ， ；
（2）由计算器可得： ， ；
（3）由计算器可得： ，
【点睛】本题考查了在已知三角函数值的情况下用计算器求锐角，关键是会使用计算器．
9．利用计算器求满足下列条件的锐角 的度数．（精确到 ）
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】（1）熟练应用计算器，使用2nd键，然后按 ，即可求出∠A的度数，对计算器给出
的结果，用四舍五入法取近似数．
（2）、（3）、（4）方法同（1）．
【详解】（1）∵ ，∴ ；
（2）∵ ，∴ ；
（3）∵ ，∴ ；
（4） ，∴ ．
【点睛】此题考查了利用计算器求角的度数，本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力．
10．利用计算器求下列各角(精确到1′)．
(1)sinA＝0.75，求∠A的度数；
(2)cosB＝0.888 9，求∠B的度数；
(3)tanC＝45.43，求∠C的度数；
(4)tanD＝0.974 2，求∠D的度数．
【答案】(1)∠A≈48°35′(2)∠B≈27°16′(3)∠C≈88°44′(4)∠D≈44°15′
【分析】直接利用计算器计算即可．
【详解】解：（1）∵sinA=0.75，
∴∠A≈48.59°≈48°35′24″≈48°35′；（2）∵cosB=0.888 9，
∴∠B≈27°16′12″≈27°16′；
（3）∵tanC=45.43，
∴∠C≈88°44′24″≈88°44′；
（4）∵tanD=0.974 2，
∴∠D≈44°15′6″≈44°15′．
【点睛】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力．
三、效能测试（50分）
一、单选题（每题3分）
1．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期中）在直角三角形中，若各边都扩大为原来的2倍，则其锐角
的三角函数值（ ）
A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的一半
C．都没有变化 D．不能确定
【答案】C
【分析】在直角三角形中，锐角三角函数值即为边的比值；根据锐角三角函数值的概念进行分析即可得到
答案．
【详解】解：根据锐角三角函数的概念，知：
如果各边都扩大原来的2倍，则其锐角的三角函数值不变．
故选：C．
【点睛】此题考查的是锐角三角函数的概念，掌握三角函数值只与角的大小有关，与角的边长无关是解决
此题关键．
2．（2022·山东·乳山市乳山寨镇中心学校九年级阶段练习）在 ABC中，∠A=105°，∠B=45°， 的值
是（ ） △
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】先求出∠C=30°，再求出 的值即可．
【详解】解： ABC中，∵∠A=105°，∠B=45°，
∴∠C=180°-105△°-45°=30°，
∴故选：A
【点睛】本题主要考查三角形内角和公式，正弦定理，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
3．（2022·上海奉贤·九年级期中）如图，在 中， ， ，那么下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数的概念求解即可．
【详解】∵
∴ 是直角三角形
∴
∴ ．
故选：B．
【点睛】此题考查了锐角三角函数的概念，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念．
4．（2022·江苏·靖江市实验学校九年级阶段练习）下列各式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据特殊锐角三角函数值，代入计算即可．
【详解】A． ，此选项不符合题意；
B． ， ，所以 ，此选项不符合题意；C． ， ，所以 ，此选项不符合题意；
D． ，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．
5．（2022·上海市市北初级中学九年级期中）如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离 ，线
段OP与x轴正半轴的夹角为 ，且 ，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意作x轴的垂线，根据 ，且 ，从而求出横坐标，再求点P的坐标就容易了．
【详解】过P作x轴的垂线，交x轴于点A，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
∴点P的坐标是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义和坐标与图形的性质，此题比较简单，解题的关键是熟练掌握锐
角三角函数的定义．
6．（2022·新疆师范大学附属中学九年级期末）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，边心距OH＝
，则正六边形的面积为（ ）
A．6 B． C． D．8
【答案】C
【分析】连接OA、OB，由正六边形的性质和正切函数的性质可以得到△OAB的面积，然后可以得解．
【详解】解：如图，连接OA、OB，
由正六边形的性质可得：∠OAH=60°，AH=HB，
∵tan∠OAH= ,∴
∴
故选C．
【点睛】本题考查正六边形的应用，熟练掌握正六边形的性质和正切函数的定义是解题关键．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·浙江杭州·二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝_________________．
【答案】
【分析】运用三角函数定义求解．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90 ，BC＝6，AB＝10，
∴sinA＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义．
8．（2022·广东· 三模） =______．
【答案】
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函
数值计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后进行加减运算即可．
【详解】解： ，，
．
【点睛】本题考查了实数的运算，注意 ，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）已知 中， ， ， ，
则 的长为___________．
【答案】
【分析】由锐角三角函数定义可知，在直角三角形中，正切是该角的对边与邻边的比．利用正切函数得出
两直角边的关系，再由勾股定理即可求出另一直角边 的长．
【详解】解： 在 中， ， ，
，
∴
，
∵
根据勾股定理：
，
（负值舍去）．
故答案为： ．
【点睛】本题考查锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的计算是解答本题
的关键．
10．（2022·江苏·涟水县麻垛中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，则 ＝____．
【答案】 ##0.5
【分析】利用直角三角形的两锐角互余求得∠ABC的度数，再利用特殊角的三角函数即可求得
的值．
【详解】解：依照题意画出图形，如图所示．
∵在Rt△ABC中， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为∶ ．
【点睛】考查了直角三角形的性质及特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关
键．
11．（2022·山东·冠县东古城镇第二中学九年级阶段练习）在 中， ，则
一定是______．
【答案】等边三角形
【分析】先根据非负数的性质求出 ， ，再根据三角函数作答．
【详解】∵ ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ， ，
∴ ，则 一定是等边三角形，
故答案为等边三角形．
【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题
的关键．
12．（2022·湖北·大悟县实验中学九年级阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交BC于点D，
设 ，则 ________．
【答案】
【分析】根据勾股定理，结合已知条件，可求得 ，再运用角的余弦的定义求得 ．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，在 中， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了锐角余弦的定义，准确理解角的余弦的定义是解题的关键．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）13．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）先化简，再求代数式 的值，其中a＝tan60°﹣
6sin30°．
【答案】 ；
【分析】将原式括号中两项并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形并利用平方差公式
化简，最后把a代入求值即可．
【详解】解：
= ，
= ，
= ，
= ，
= ，
当a=tan60°－6sin30°= 时，
原式= ．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练的掌握运算法则是解题的关键．
14．（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作
AE BD，交CB的延长线于点E．(1)求证：AE=AC；
(2)若cos∠E= ，CE=12，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)矩形ABCD的面积为48
【分析】（1）由矩形的性质，可得AC=BD，AD BC，故可证四边形AEBD是平行四边形，从而得出
AC=AE的结论；
（2）首先根据等腰三角形的性质得到EB的长，然后利用锐角三角函数求得AE的长，从而利用勾股定理
求得AB的长,最后求得面积即可．
（1）
证明：在矩形ABCD中，AC=BD，AD BC，
又∵ ，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴BD=AE，
∴ AC=AE；
（2）
解：在矩形ABCD中，
∴AB⊥EC，
∵AE=AC，
∴EB=BC，
∵CE=12，
∴EB=6，
∵ ，
∴AE=10，
由勾股定理得： ．∴矩形ABCD的面积为8×6=48
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识．解此题的
关键是能灵活运用矩形的性质，以及能利用锐角三角函数求线段．
15．（2022·吉林·长春博硕学校九年级阶段练习）如图，在平行四边形 中， ，点 是 的
中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，则 的值为 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）先证 ，得出 ，又 则四边形 是平行四边形，又
即可得出结论；
（2）根据直角三角形的性质和解直角三角形即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
又∵ ,
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵四边形 是平行四边形， ，∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ,
在 中，∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】此题考查菱形的判定和性质、锐角三角函数的应用，解题的关键是根据 证明解答．
