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九年级数学·下 新课标[北师]
第一章 直角三角形的边角关系
1.经历探索直角三角形中边角之间关系,以及30°,45°,60°角的三角函数值的过程,发展观察、分析、发
现问题的能力.
2.理解锐角三角函数的意义,并能够通过实例进行说明.
3.会求解含30°,45°,60°角的三角函数值的问题.
4.能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值,或由已知三角函数值求出相应的锐角.
5.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.
6.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.
7.体会数形之间的关系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.
1.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.
2.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.
3.通过探索学习,使学生经历“观察——分析——发现——运用”的过程,掌握直角三角形边角之间的
关系,进一步体会数形之间的联系.
1.通过对直角三角形中边角之间关系的探究,进一步激发学生学习图形中各个元素之间关系的兴趣.
2.能够运用锐角三角函数解直角三角形,进一步养成分析问题、解决问题的良好学习习惯.
本章是在学习直角三角形的边、角知识的基础上,进一步探究直角三角形的边和角之间的关系.同时也
是正比例函数、一次函数、反比例函数等函数知识的延续.直角三角形中边角之间的关系在现实生活中应
用广泛.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中,人们常
常遇到距离、高度、角度的计算问题,一般来说,这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角
之间关系的问题.通过直角三角形中边角之间的关系的学习,学生将进一步体会数学知识之间的联系(边和
角之间的关系),把这种关系用数量的形式表示出来,是分析问题和解决问题过程中常用的方法.通过学习也
将为其他数学知识奠定基础.通过研究图形之中各个元素之间的关系,进一步感受数形结合思想,体会数形
结合的方法.
【重点】
1.三角函数及其有关的概念.
2.特殊角的三角函数值的探究及应用.
3.利用计算器求三角函数值或锐角的度数.
4.能够用锐角三角函数解直角三角形.5.能够运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.
【难点】
1.探索直角三角形中边角之间关系和30°,45°,60°角的三角函数值的过程.
2.解决与直角三角形有关的实际问题.
3.体会数、形之间的关系,掌握用数形结合思想分析问题和解决问题.
1.注重问题情境的创设.
在引入锐角三角函数时,要创设符合学生实际生活的情境,激发学生的学习兴趣,使学生感受到数学与现
实世界的联系.如通过梯子的情境问题,引出第一个三角函数——正切.对于这个问题,学生比较熟悉,而且属
于开放性问题,直观上又容易判断.又如,在学习特殊角的三角函数时,用学生熟悉的三角尺引入,使学生较快
进入30°,45°,60°角的三角函数值的探索.
2.鼓励学生有条理地进行思考和表达.
引导学生观察、分析、发现直角三角形中边角之间的关系,让他们学会有条理地思考和表达.例如,利
用相似的直角三角形,如何获得正切的概念?如何建立直角三角形中角和边之间的关系?如何类比正切的概
念获得正弦和余弦的概念?
3.重视渗透数学思想方法,促进学生思维水平的提高.
教学中应注重渗透数形结合的思想方法,引导学生逐步从对具体问题的研究中提炼出数学思想方法.在
形成正切概念的过程中,教师要给学生留有充分的时间,让学生利用前面学过的相似三角形的知识去探索对
边和邻边之比与角的大小的关系,进而获得正切的概念.在引出正弦和余弦的概念时,可以类比正切概念获
得的过程,从数学的角度直接引入.这样可以使学生从已学知识进行联想,加深对概念的理解,提升学生的思
想水平.在解直角三角形的过程中,要让学生体会计算过程所依据的算理,以及如何根据已知条件去探求结
论的思考过程.
4.关注问题解决的教学过程.
对于实际问题,首先要引导学生弄清实际问题的意义,然后逐步把实际问题转化为数学问题,帮助学生形
成模型思想.另外,教师要注意为学生的问题解决过程搭建“脚手架”:一是对一些术语(如仰角、俯角、坡
度、零部件截面图等)进行说明;二是对解决问题的策略、问题的发现和提出等,都要提供一定的帮助与支
持.
5.精心设计实践活动的教学流程.
对于第6节“利用三角函数测高”这样的实践活
动,建议首先将学生分组,各组分头准备测量所需的仪器;其次,由学生自己设计活动报告,教师给予必要
的指导;再次,尽量安排那些学生比较熟悉,且易于开展的小组活动,并能保证任务完成的质量;最后,在活动期
间,教师应在现场观察、指导各组的活动,同时应做必要的记录.
6.根据《标准》要求,把握好三角函数的定位.
教学中要把握好三角函数的定位.教科书上虽然称“锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函
数”,但实际上并没有特别明确地从函数的角度研究它们,也就是说没有研究随着角的变化,其三角函数值的
变化规律;而是研究当锐角一定时,直角三角形中相应边的比值是什么.教学中要把握好这个定位,切莫提高
要求.
1 锐角三角函数 2课时
2 30°,45°,60°角的三角函数值 1课时
3 三角函数的计算 1课时
4 解直角三角形 1课时
5 三角函数的应用 1课时
6 利用三角函数测高 1课时
回顾与思考 1课时1 锐角三角函数
1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.
2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.
3.能够运用tan A,sin A,cos A表示直角三角形中两边的比.
4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.
1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.
2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.
1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.
2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数
学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.
【重点】
1.理解锐角三角函数的意义.
2.能利用三角函数解三角形的边角关系.
【难点】 能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.
第 课时1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进
行简单的计算.
3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.
1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.
1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
【重点】
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.
【难点】 理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】
1.自制4个直角三角形纸板.
2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.
导入一:
课件出示:
你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托
斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起
便由于土层松软而倾斜.
【引入】 应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.
[设计意图] 创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出
课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.
导入二:
课件出示:
四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300 cm,250 cm,200 cm,200 cm;滑板与地面
所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.【问题】 四个滑梯中哪个滑梯的高度最高?
[设计意图] 利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生
的探究思路会比较顺畅.
[过渡语] 梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”,那个梯子放的
“平缓”,人们是如何判断的呢?“陡”和“平缓”是用来描述梯子什么的?
一、正切的定义
(一)探究新知
请同学们看下图,并回答问题.
探究一:
问题1
课件出示:
在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?
小组讨论后展示结果:
1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以
得到梯子AB较陡.
师:哪组还有不同的判定方法?
2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,
根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.
3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E作EG∥AB交FD
于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.
4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.
探究二:
问题2
课件出示:
在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.
问题3
课件出示:
在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?
多给学生思考和讨论的时间.
代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以
判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜
度一样.
教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题
2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.
问题4
课件出示:
在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?
教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的
探究中得到什么启示呢?
生讨论后得出:
思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.
ED AC
思路2:梯子EF较陡,因为 > ,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.
FD BC
师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB和EF的倾斜角大小,或垂直高
度和水平宽度的比的大小来判断.
做一做:请通过计算说明梯子AB和EF哪一个更陡呢?
生独立解答,代表展示:
AC 4 8 ED 3.5 35 8 35
∵ = = , = = , < ,
BC 1.5 3 FD 1.3 13 3 13
∴梯子EF比梯子AB更陡.[设计意图] 通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已
学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.
[知识拓展] 梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.
(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.
(二)再探新知
[过渡语] 在日常生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB和EF的倾斜角大小,或垂直高度和水
平宽度的比的大小来判断.可是小明和小亮在判断梯子AB 的倾斜程度时发生了矛盾,我们来看一看.
1
课件出示:
【想一想】 如图所示,小明想通过测量BC 及AC,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则
1 1 1
认为,通过测量BC 及AC,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?
2 2 2
(1)直角三角形ABC 和直角三角形ABC 有什么关系?
1 1 2 2
生很容易得出两个三角形相似.
由生说明理由:∵∠BAC=∠BAC,∠BCA=∠BCA=90°,∴Rt△ABC∽Rt△ABC.
2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2
B C B C
1 1 2 2
(2) 和 有什么关系?
AC AC
1 2
B C B C
2 2 1 1
由于Rt△ABC∽Rt△ABC,所以有 = .
1 1 2 2 AC AC
2 1
(3)如果改变B 在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?
2
生先独立思考后分组讨论.
生得出结论:改变B 在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.
2
想一想:现在如果改变∠A的大小,∠A的对边与邻边的比值会改变吗?
生讨论得出:∠A的大小改变,∠A的对边与邻边的比值会改变.∠A的对边与邻边的比只与∠A的大小有
关系,而与它所在直角三角形的大小无关.
【总结提升】 由于直角三角形中的锐角A确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如
下定义:
如图所示,在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A的正
∠A的对边
切(tangent),记作tan A,即tan A= .
∠A的邻边
当锐角A变化时,tan A的值也随之变化.
能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tan A与tan B有什么关系?
生讨论得出结论:
1
tan A= ,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.
tanB
【议一议】 前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?学生思考后,统一答案:
tan A的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tan A的值越大)
[设计意图] 此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操
作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.
[知识拓展] 正切的注意事项:(1)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号
“∠”.(2)tan A没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tan A不表示“tan”乘
以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.
(三)例题解析
[过渡语] 通过探究我们了解了正切的概念,下面就来进行“实战演习”,检验一下我们的理解能力.
课件出示:
(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?
生思考后得出:比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tan α,tan β的值进行比较大小即可,正
切值越大,扶梯就越陡.
要求学生独立解答,代表展示:
4 1
解:甲梯中,tan α= = .
8 2
5 5
乙梯中,tan β= = .
❑√132-52 12
因为tan α>tan β,所以甲梯更陡.
[设计意图] 通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同
时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.
二、正切的应用
[过渡语] 正切在日常生活中的应用很广泛,例如,在建筑、工程技术中,经常用正切描述山坡的坡度.
课件出示:
如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100 m就升高60 m,那么山坡的坡度 (即tan α)就是: i=tan α=
60 3
= .
100 5
结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tan α=
铅直高度
,即坡度等于坡角的正切.
水平宽度
[设计意图] 正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切
数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.
[知识拓展] 坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.∠A的对边
(1)正切的定义:tan A= .
∠A的邻边
(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.
铅直高度
(3)坡度(或坡比)的定义:i=tan α= .
水平宽度
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tan A等于 ( )
5 5 12 12
A. B. C. D.
13 12 13 5
5
解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tan A= .故选B.
12
2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是 ( )
2 3
A. B.
3 2
2❑√13 3❑√13
C. D.
13 13
3
解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB= .故选
2
B.
3.(2014·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是 .
BC 1 1
解析:tan A= = .故填 .
AC 2 2
4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5 m,迎水坡AB的坡度是1∶❑√3(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽
度AC之比),则AB的长是 .解析:在Rt△ABC中,BC=5,tan A=1∶❑√3,∴AC=5❑√3,∴AB=❑√52+(5❑√3)2=10(m).故填10 m.
第1课时
∠A的对边
(1)正切的定义:tan A= .
∠A的邻边
(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.
铅直高度
(3)坡度(或坡比)的定义:i=tan α= .
水平宽度
一、教材作业
【必做题】
1.教材第4页随堂练习第1,2题.
2.教材第4页习题1.1第1,2题.
【选做题】
教材第4页习题1.1第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tan A的值为 ( )
3 4
A. B.
5 5
3 4
C. D.
4 3
2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000 m,则他升高了( )
A.500 m B.200❑√5 m
C.500❑√3 m D.1000 m
3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2 m,那么这一斜坡的水平距离为 m.
【能力提升】4.(2015·山西中考)如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是(
)
2❑√5
A.2 B.
5
❑√5 1
C. D.
5 2
5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接
A'B,则tan∠A'BC'的值为 .
6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10 cm,BC=9 cm,△ABC的面积为27 cm2.求tan B的值.
7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯
的坡面长为13 m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.
【拓展探究】
8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.
【答案与解析】
BC 8 4
1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tan A= = = .故选D.)
AC 6 3
2.B(解析:设铅直高度为x m,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2x m,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=200❑√5.∴
他升高了200❑√5 m.故选B.)
斜坡的高度 1 2 1
3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴ = .∴ = ,∴斜坡的水平距离为
斜坡的水平距离 5 斜坡的水平距离 5
=10 m.故填10.)4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=❑√2,AB=2❑√2,BC=❑√10,∴△ABC为直角三角形,∴tan B=
AC 1
= .故选D.)
AB 2
1
5. (解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,
3
B'C' A'D A'D 1 1
∴A'D=B'D= .∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'= = = .故填 .)
2 BD BC+B'D 3 3
1
6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S =27,∴ ×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH=❑√AB2-AH2=
△ABC 2
AH 6 3
❑√102-62=8,∴tan B= = = .
BH 8 4
7.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),
∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加
部分BC的长为3 m.
8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点
H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH=❑√132-52=12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且
1 3 15 DF 4
D为AC中点,∴DF= AH=6,∴BF= BC= ,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC= = .
2 4 2 BF 5本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心
发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、
思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学
的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生
熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间
合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的
典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.
本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内
容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.
对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.
随堂练习(教材第4页)
BD 1.5
BD 3
1.解:能.tan C= =1 =1 = .
CD AC ×4 4
2 2
BC
2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC=❑√AB2-BC2=❑√2002-552=5❑√1479,所以山的坡度为
AC
55
= ≈0.286.
5❑√1479
习题1.1(教材第4页)
BC 12 AC 5
1.解:∵BC=❑√AB2-AC2=❑√132-52=12,∴tan A= = ,tan B= = .
AC 5 BC 12
BC 5 12 36
2.解:∵tan A= = ,BC=3,∴AC= BC= .
AC 12 5 5
1
4.tan A= .
tanB
学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的
数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系),在探究的过
程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其
前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以
通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.
1
已知h=2 m,α=45°,tan β= ,CD=10 m.求路基底部AB的宽.
2
〔解析〕 如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt△BCF中,可根据h
的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.
解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.
∵四边形ABCD为梯形,
∴AB∥CD,∴EF=CD=10 m.
∴四边形DCFE为矩形.
在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2 m,∴CF=DE=h=2 m.
1
在Rt△BCF中,tan β= ,CF=2 m,∴BF=2CF=4(m).
2
故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).
答:路基底部AB的宽为16 m.
[解题策略] 此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,
必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.
第 课时
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦及三角函数的意义和与现实生活的联系.
2.能够用sin A,cos A表示直角三角形中直角边与斜边的比,能够用正弦、余弦进行简单的计算.
1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
2.体会数学来源于生活又服务于生活的理念.
1.在探究新知的过程中,培养与他人合作的意识.
2.激发学生探究新知的兴趣,让他们体会学习数学的快乐,培养应用数学的意识.【重点】
1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义,并能举例说明.
2.能用sin A,cos A表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.
【难点】 类比正切,用函数思想理解正弦和余弦.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习tan A的定义以及利用tan A表示直角三角形两边比的方法.
导入一:
如图所示,AC是旗杆AB的一根拉线,测得AB=6 m,∠ACB=α,同学们,你能用α表示出拉线AC的长度吗?
AB
【问题】 边AB和AC分别是∠ACB的什么边? 和我们上节课学习的正切一样吗?
AC
[设计意图] 通过与正切的对比,引出本节课要探究的问题,让学生体会类比思想的重要性.
导入二:
课件出示:
如图所示,我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角之间的关系——正切.由正切定义我们知
道正切是一个比值,并且得出了当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其对边与邻边的比值便随之确定.
【问题】 此时,其他边之间的比值也确定吗?
[设计意图] 引导学生回忆上节课学的正切后,开门见山,直入正题,让学生的思维很快进入今天的学习
内容.
[过渡语] 在直角三角形ABC中,除了两条直角边的比之外,还有没有利用其他边的比值来表示梯子
AB的倾斜程度的情况呢?
一、正弦、余弦、三角函数的定义
问题1
课件出示:如图所示,在直角三角形中,除了两直角边的比值外还有其他边之间的比值吗?
生观察后思考得出:还可以用直角边比斜边或斜边比直角边.(这里学生可能会提到多种情况,只要学生
回答的有道理就予以肯定和表扬)
教师引导:如果以∠A为例,总结一下共有几种情况.
【学生活动】 同伴交流,总结归纳出两种类型:对边与斜边的比、邻边与斜边的比.
【教师点评】 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比和邻边与斜边的比也随之
确定.
【师生活动】 共同总结:
∠A的对边
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sin A,即sin A= .
斜边
∠A的邻边
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine),记作cos A,即cos A= .
斜边
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.
提示:当锐角A变化时,相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.
[设计意图] 通过探究,引导学生类比正切的概念总结出正弦、余弦及三角函数的概念,为下面的学习
打下良好的基础.
二、sin A,cos A与梯子倾斜程度的关系
[过渡语] 通过上节课的学习我们知道了梯子的倾斜程度与tan A有关系:tan A的值越大,梯子越陡.由
此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sin A,cos A有关系呢?如果有关系,是怎样的关系?
问题2
【想一想】 在教材图1-3中,梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关系吗?
【教师活动】 要求小组合作交流,统一答案.
【学生活动】 小组同学认真思考,热烈讨论,积极总结.
思路一
教师引导学生分析:
BC B C
1 1
如图所示,AB=AB,在Rt△ABC中,sin A= ,在Rt△ABC 中,sin A= .
1 1 AB 1 1 1 1 A B
1 1
BC B C
1 1
∵AB=AB,∴ < ,即sin A ,即cos A>cos A,
AB 1 A B 1 1 AB A B 1
1 1 1 1
∴梯子的倾斜程度与cos A也有关系.cos A的值越小,梯子越陡.
【师生总结】 梯子的倾斜程度与sin A,cos A的关系:sin A的值越大,梯子越陡;cos A的值越小,梯子越
陡.
[设计意图] 此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过学生的参与、动手操
作让学生学会“由特殊到一般”“数形结合”的思想方法,提高分析问题和解决问题的能力.
例题解析
[过渡语] 通过探究我们掌握了正弦、余弦的定义,下面就通过例题检验一下我们对新知的理解能力.
课件出示:
(教材例2)如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sin A=0.6,求BC的长.
【师生活动】 生独立解答,师巡视观察学生解题的情况,随时进行指导.
BC BC
解:在Rt△ABC中,∵sin A= ,即 =0.6,∴BC=200×0.6=120.
AC 200
想一想:你还能求出cos A,sin C和cos C的值吗?
生认真思考,独立写解题过程.
代表展示:cos A=0.8,sin C=0.8,cos C=0.6.
[设计意图] 例题的安排既对学生学习的内容加以巩固,也让学生体会严谨的做题思路,并通过拓展得
出直角三角形的三角函数之间的关系.
[知识拓展] 1.若∠A+∠B=90°,一个锐角的正弦等于它余角的余弦,sin A=cos B;一个锐角的余弦等于它
余角的正弦,cos A=sin B.
2.锐角三角函数之间的关系:
sin A
(1)同一个角:①商的关系:tan A= ;②平方关系:sin2A+cos2A=1.
cosA
(2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sin A=cos B,cos A=sin B.
三、三角函数的运用
[过渡语] 灵活运用三角函数能提高我们的解题效率.
课件出示:
12
【做一做】 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A= ,AC=10,AB等于多少?sin B呢?
13
【学生活动】 要求学生独立完成,代表展示解题过程.
代表展示:
解:在Rt△ABC中,AC 10 12
∵cos A= = = ,
AB AB 13
10×13 65
∴AB= = .
12 6
10
AC 12
∴sin B= =65= .
AB 13
6
[设计意图] 在学习前边知识的基础上,巩固运用正弦、余弦及正切表示直角三角形中两边的比,体验
数形之间的联系,学习利用数形结合思想分析问题和解决问题,提高解决实际问题的能力.
∠A的对边 ∠A的邻边
(1)三角函数的概念:正弦:sin A= .余弦:cos A= .
斜边 斜边
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.
(2)梯子的倾斜度与三角函数之间的关系:
sin A的值越大,梯子越陡;cos A的值越小,梯子越陡.
(3)锐角三角函数之间的关系:
sin A
(1)同一个角:①商的关系:tan A= ;②平方关系:sin2A+cos2A=1.
cosA
(2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sin A=cos B,cos A=sin B.
2
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cos B= ,则BC的长为 ( )
3
A.4 B.2❑√5
18❑√13 12❑√13
C. D.
13 13
2 CB 2 2
解析:∵cos B= ,∴ = .∵AB=6,∴CB= ×6=4.故选A.
3 AB 3 3
2
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若cos A= ,则tan B的值是 ( )
3
2❑√5 ❑√5 3❑√5 ❑√5
A. B. C. D.
5 5 5 2AC AC 2
解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴cos A= ,tan B= ,AC2+BC2=AB2.∵cos A= ,∴设AC=2x(x>0),则
AB BC 3
2x 2❑√5
AB=3x,BC=❑√5x,∴tan B= = .故选A.
❑√5x 5
3.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sin B的值是 .
AC 3 3
解析:∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,CD=2,∴AB=2CD=4,∴sin B= = .故填 .
AB 4 4
4.如图所示,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sin A= .
解析:过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D,如图所示,设小方格的边长为1,在Rt△ACD中,AC=
CD ❑√5 ❑√5
❑√AD2+CD2=2❑√5,∴sin A= = .故填 .
AC 5 5
5.如图所示,∠ACB=90°,DE⊥AB,垂足为点E,AB=10,BC=6,求∠BDE的三个三角函数值.
解:∵∠C=∠BED=90°,∠B=∠B,
∴△ACB∽△DEB,∴∠BDE=∠A,
3 4 3
∴sin∠BDE=sin A= ,cos∠BDE=cos A= ,tan∠BDE=tan A= .
5 5 4
第2课时
1.三角函数的概念:
∠A的对边
(1)∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,即sin A= .∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余
斜边
∠A的邻边
弦,即cos A= .锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.
斜边
2.梯子的倾斜度与三角函数之间的关系:sin A的值越大,梯子越陡;cos A的值越小,梯子越陡.一、教材作业
【必做题】
1.教材第6页随堂练习第1,2题.
2.教材第6页习题1.2第1,2,3,4题.
【选做题】
教材第7页习题1.2第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cos A的值是 ( )
3 4
A. B.
4 3
3 4
C. D.
5 5
2.(2015·广西中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是 (
)
12 12
A.sin A= B.cos A=
13 13
5 12
C.tan A= D.tan B=
12 5
3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sin A= .
4.如图所示,在直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(3,m),且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是
4
,则sin α的值为 .
3
【能力提升】5.(2015·乐山中考)如图所示,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cos A的值为 ( )
❑√3 ❑√5
A. B.
3 5
2❑√3 2❑√5
C. D.
3 5
2
6.在△ABC中,∠C=90°,BC=6,sin A= ,则AB边的长是 .
3
2
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin A= ,求BC的长和tan B的值.
5
8.如图所示,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE.求sin∠ECM的值.
【拓展探究】
9.(2014·贺州中考)网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC每个顶点都在网格的交点处,则sin A=
.
【答案与解析】
AC 4
1.D(解析:∵AB=5,BC=3,∴AC=4,∴cos A= = .故选D.)
AB 5
BC 12
2.A(解析:∵∠ACB=90°,AB=13,BC=12,∴AC=❑√AB2-BC2=❑√132-122=5.A,sin A= = ,故本选项正
AB 13
AC 5 BC 12 AC 5
确;B,cos A= = ,故本选项错误;C,tan A= = ,故本选项错误;D,tan B= = ,故本选项错误.故
AB 13 AC 5 BC 12
选A.)4 ∠A的对边
3. (解析:首先由勾股定理求得斜边AC=5,然后由锐角三角函数的定义知sin A= ,最后将相
5 斜边
关线段的长度代入计算即可.)
4 PE 4
4. (解析:如图所示,过点P作PE⊥x轴于点E,则可得OE=3,PE=m,在Rt△POE中,tan α= = ,解得m=4,
5 OE 3
4
则OP=❑√PE2+OE2=5,故sin α= .)
5
5.D(解析:过B点作BD⊥AC,如图所示,由勾股定理,得AB=❑√12+32=❑√10,AD=❑√22+22=2❑√2,∴cos A=
AD 2❑√2 2❑√5
= = .故选D.)
AB ❑√10 5
2 2 6
6.9(解析:∵BC=6,sin A= ,∴ = ,解得AB=9.故填9.)
3 3 AB
BC 2
7.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin A= = ,∴BC=4,根据勾股定理,得AC=❑√AB2-BC2=2❑√21,则
10 5
AC 2❑√21 ❑√21
tan B= = = .
BC 4 2
8.解:设AE=x(x>0),则BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,∴CE=❑√(3x)2+(4x)2=5x,EM=❑√x2+(2x)2=❑√5
EM
x,CM=❑√(2x)2+(4x)2=2❑√5x,∴EM2+CM2=CE2,∴△CEM是直角三角形,∠EMC=90°,∴sin∠ECM= =
CE
❑√5x ❑√5
= .
5x 53
9. (解析:如图所示,作AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,由勾股定理得AB=AC=2❑√5,BC=2❑√2,AD=3❑√2,易知
5
1 1 2❑√2×3❑√2 6❑√5 CE
△ABC是等腰三角形,由面积相等可得 BC·AD= AB·CE,∴CE= = ,∴sin∠CAE= =
2 2 2❑√5 5 AC
6❑√5
3 3
5 = .故填 .)
5 5
2❑√5
上节课已经学习了三角函数中的正切,所以这节课根据初中学生身心发展的特点,运用了类比教学法,想
唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,运用直观教学,能使学生学
习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.用函数的
观点理解正弦、余弦和正切,是本节课的一个难点.为了更好地突破难点,在教学时发动学生及时进行讨论,
产生的效果较好.在探讨梯子的倾斜程度与sin A和cos A的关系时,鼓励学生利用类比tan A的方法进行探
究,可以比较直观地得出结论,学生比较容易接受.课堂练习题及检测题题量适中且有针对性,课后作业有分
层,适合不同程度的同学.在整个教学过程中,学生探究活动始终处于主导地位,培养了学生独立思考、合作
探究及分析问题、解决问题的能力.
在处理梯子的倾斜度与三角函数的关系的问题时,时间安排的不是很科学,导致后面的例题以及做一做
的处理稍显仓促.
在以后的教学中注意科学合理地安排课堂时间,并且大部分的知识让学生利用类比tan A的方法进行
自主探究.
随堂练习(教材第6页)
1 AD 4
1.解:过A点作AD⊥BC,垂足为D,BD= BC=3,AD=❑√AB2-BD2=❑√52-32=4,∴sin B= = ,cos B=
2 AB 5
BD 3 AD 4
= ,tan B= = .
AB 5 BD 320
BC BC
2.解:∵sin A= ,∴AB= = 4 =25,则AC=❑√AB2-BC2=❑√252-202=15,∴△ABC的周长
AB sin A
5
1 1
=AB+BC+AC=25+20+15=60,△ABC的面积= AC·BC= ×15×20=150.
2 2
习题1.2(教材第6页)
36 x
1.解:∵x= ❑
√
92-
(36) 2
=9 ❑
√
1-
16
=
27
,∴sin α=cos β=
x
=
3
,cos α=sin β= 5 =
4
,tan α=36=
3
,tan
5 25 5 9 5 5 4
9 5
36
4
β= 5 = .
3
x
2.提示:倾斜角的正弦值、正切值越大,梯子越陡;倾斜角的余弦值越小,梯子越陡.
BC BC
3.解:如图所示,∵sin A= ,cos B= ,∴sin A=cos B.
AB AB
4.解:如图所示,∵CD是AB边上的中线,且CD=5,∴AB=2CD=10.∵BC=8,∴AC=❑√AB2-BC2=6,∴sin A=
BC 8 4 DE
= = .过点D作DE⊥AC于E,∵sin A= ,∴DE=5sin A=4,∴AE=❑√AD2-DE2=3,∴CE=6-
AB 10 5 AD
DE 4 CE 3 DE 4
3=3,∴sin∠ACD= = ,cos∠ACD= = ,tan∠ACD= = .
CD 5 CD 5 CE 3
2 ❑√17
5.解:当∠BAC>90°时,CD=10,sin C=
❑√29.当∠BAC<90°时,CD=16,sin
C= .
29 17
本节课的学习,学生可以类比上节课所学的正切的探究方法对正弦、余弦的知识进行探究.在探究的过
程中要及时进行总结,得出直角三角形中的三个三角函数之间的关系,这也是本节课的难点,其突破方法就是在自主探究和合作交流的过程中寻求它们之间的联系,而熟练运用三角函数进行相关的计算是对所学知识
的巩固提高.当然和上节课一样,在探究的过程中数形结合思想和转化思想的运用可以使问题得以简化.
容易混淆sin 和cos 的概念.
在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,则cos A的值是 .
2
【错解】
3
【错解分析】 容易把sin A和cos A的概念颠倒而得出相反的结论.
❑√5
【正解】
3
AC ❑√5
【正解分析】 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,∴AC=❑√9-4=❑√5,∴cos A= = .
AB 3
2 30°,45°,60°角的三角函数值
1.经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程,能够进行有关推理,进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°,45°,60°角的三角函数值,说出相应的锐角的大小.
通过交流探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程,发展学生观察、分析、发现问题的能力,培养学生把
实际问题转化为数学问题的能力.
通过数学活动,产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯,锻炼克服困难的意志,建立学好数学的自信
心.
【重点】 探索30°,45°,60°角的三角函数值,能够进行含30°,45°,60°角的三角函数值的计算.
【难点】 进一步体会三角函数的意义.【教师准备】 教学用三角板一副和多媒体课件.
【学生准备】
1.一副三角板.
2.复习三角函数的概念.
导入一:
课件出示:
同学们,老师用我们常用的三角板拼成一棵松树,你从图片中发现了哪些锐角呢?
生很容易得出:30°角,45°角,60°角.
【引入】 前面我们已经学会了用锐角三角函数表示直角三角形的边角关系,这节课我们将利用我们
常用的三角板的两个特殊的三角形探讨30°,45°,60°角的三角函数值.
[设计意图] 利用三角板组成的松树图形创设情境,引导学生发现三角板中的特殊锐角,使他们对本节
课的学习目标和学习任务一目了然.
导入二:
课件出示:
动手做一做:请测量出你们手中的三角板中30°角的对边和斜边的长度.
【问题】
1.你能利用你测量的边长求出sin 30°的值吗?cos 30°和tan 30°呢?
2.类比上面的做法,你们能得出45°角和60°角的三角函数值吗?
[设计意图] 通过动手操作,既引入了课题,又初步掌握了30°,45°,60°角的三角函数值的探究方法,一举
两得.
[过渡语] 三角板我们经常用,但是你们知道这两个三角板的边和角之间存在什么样特殊的关系吗?
探究活动(一) 30°角的三角函数值
课件出示:
一副三角板图片有关这副三角板的边角关系的知识,你已经了解哪些?
生回忆后得出结论:
(1)直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半;
(2)45°角所在的直角三角形的两直角边相等.
师出示:除了利用测量的方法外,你能利用上面的性质得出sin 30°等于多少吗?你是怎样得到的?
1
生很容易得出:sin 30°= .
2
【教师强调】 sin 30°表示在直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值,与直角三角形的大小无关.
【师生活动】 我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示),根据“直角三角形中30°角所对的直角边
a 1
等于斜边的一半”的性质,可得斜边等于2a,所以sin 30°= = .
2a 2
【思考】 类似地,你能计算出cos 30°等于多少吗?tan 30°呢?
学生思考后,独立解答,代表展示:
❑√3a ❑√3 a 1 ❑√3
根据勾股定理得较长的直角边长为❑√3a,所以cos 30°= = ,tan 30°= = = .
2a 2 ❑√3a ❑√3 3
[设计意图] 因为三角板是学生非常熟悉的学习用具,所以学生在探究30°角的三角函数值时就会有一
种亲切感,为60°角和45°角的三角函数值的探究做好准备.
探究活动(二) 45°,60°角的三角函数值
[过渡语] 类比30°角的三角函数值,我们同样可以得出45°,60°角的三角函数值.
课件出示:
【做一做】
(1)60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?
【学生活动】 生先独立思考,然后小组交流.
代表发言:求60°角的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别
是60°角的邻边和对边.所以很容易求得:
❑√3a ❑√3 a 1 ❑√3a
sin 60°= = ,cos 60°= = ,tan 60°= =❑√3.
2a 2 2a 2 a
(2)45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?
【学生活动】 生稍加思考,代表板演:如图所示,设其中一条直角边为a,则另一条直角边也为a,根据勾股定理可得斜边为❑√2a.由此可求得:
a 1 ❑√2 a 1 ❑√2 a
sin 45°= = = ,cos 45°= = = ,tan 45°= =1.
❑√2a ❑√2 2 ❑√2a ❑√2 2 a
(3)完成下表.
【学生活动】 学生独立完成上表,可能会有学生出现三角函数值混淆的情况.
【教师强调】 这个表格中的30°,45°,60°角的三角函数值需熟记,另一方面,要能够根据30°,45°,60°角
的三角函数值说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆,我们来一起观察总结表格中三角函数值的特点.
①先看第一列30°,45°,60°角的正弦值,你能发现什么规律呢?
生观察后发现:30°,45°,60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为❑√1,❑√2,❑√3,随着角度的增大,正
弦值在逐渐增大.
②再来看第二列函数值,有什么特点呢?
生观察后发现:第二列是30°,45°,60°角的余弦值,它们的分母也都是2,分子从大到小分别为❑√3,❑√2,❑√1,
余弦值随角度的增大而减小.
③第三列呢?
生观察后发现:第三列是30°,45°,60°角的正切值,函数值依次扩大❑√3倍,并且随着角度的增大,正切值在
逐渐增大.
❑√3 ❑√9 ❑√27
【教师点拨】 第三列的函数值可以变为 , , .所以第三列的规律可以总结为它们的分母
3 3 3
都是3,而分子从小到大分别为❑√3,❑√9,❑√27.
由于30°,45°,60°三个特殊角的三角函数值的分母都可以变化成一样的,只是分子不同,所以30°,45°,60°
角的三角函数值可以利用口诀“一二三,三二一,三九二十七”进行记忆.
[设计意图] 运用三角函数之间的关系,引导学生推导出了9个特殊值,并利用口诀记忆三个特殊角的
三角函数值,帮助学生把枯燥无味的记忆变得生动有趣,节约了学生的时间.
(三)例题解析
[过渡语] 通过探究我们已经掌握了特殊角的三角函数值,下面我们就利用这些特殊角的三角函数值
解决一些相关的问题,以检验我们对新知的理解能力.
课件出示:
计算:
(1)sin 30°+cos 45°;
(2)sin260°+cos260°-tan 45°.
【教师提示】 sin260°表示(sin 60°)2,cos260°表示(cos 60°)2。
【学生活动】 生独立解答,两名学生板演,展示解题步骤:
1 ❑√2 1+❑√2
解:(1)sin 30°+cos 45°= + = .
2 2 23 1
(2)sin260°+cos260°-tan 45°= + -1=0.
4 4
[设计意图] 通过不同类型题目的练习,帮助学生巩固特殊角的三角函数值,让学生能更加熟练地进行
三角函数值的计算.
[知识拓展] 计算含三角函数值的代数式的步骤:(1)求出特殊角的三角函数值;(2)根据实数的运算顺序
进行计算.
如图(1)所示,一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,
且两边的摆动角相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01 m).
〔解析〕 让学生探讨解决实际应用问题的关键,并结合图形说出题目的已知条件和未知条件.
【学生活动】 学生以抢答的形式回答:解决实际应用问题的关键是将实际问题转化为数学问题,如图
(2)所示,已知OB=OA=OD=2.5,∠BOD=60°,OA⊥BD,求AC的长.而AC=OA-OC,所以求出OC是解此题的关键.
【师生活动】 要求学生先独立解答,有困难的和同伴交流或向老师求助.
代表展示,师出示解题步骤:
解:如图(2)所示,根据题意可知:
1
∠AOD= ×60°=30°,OD=2.5 m,
2
❑√3
∴OC=OD·cos 30°=2.5× ≈2.165(m) ,
2
∴AC≈2.5-2.165≈0.34(m).
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m.
[设计意图] 通过对实际问题的解决,进一步帮助学生巩固特殊角的三角函数值,并培养学生把实际问
题转化为数学问题的能力.
1.30°,45°,60°三个特殊锐角的三角函数值.
2.运用30°,45°,60°角的三角函数值进行相关的计算.
1.计算6tan 45°-2cos 60°的结果是 ( )
A.4❑√3 B.4 C.5❑√3 D.5
1
解析:原式=6×1-2× =5.故选D.
2
2.式子2cos 30°-tan 45°-❑√(1-tan60°)2 的值是 ( )
A.2❑√3-2 B.0 C.2❑√3 D.2❑√3
解析:原式=2× -1-(❑√3-1)=❑√3-1-❑√3+1=0.故选B.
2
❑√3 1
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sin A= ;②cos B= ;
2 2
❑√3
③tan A= ;④tan B=❑√3.其中正确的结论是 .(只需填上正确结论的序号)
3
BC 1 1
解析:如图所示,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,∴sin A= = ,故①错误;∵sin A=
AB 2 2
1 ❑√3
,∴∠A=30°,∴∠B=60°,∴cos B= ,故②正确;∵∠A=30°,∴tan A=tan 30°= ,故③正确;∵∠B=60°,∴tan B=tan
2 3
60°=❑√3,故④正确.故填②③④.
4.如图(1)所示,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以A为圆心,AO长为半径画弧,两
弧交于点B,画射线OB,则cos∠AOB的值等于 .
解析:如图(2)所示,连接AB,由画出图形的过程可知OA=OB,AO=AB,∴OA=AB=OB,即三角形OAB为等边
1 1
三角形,∴∠AOB=60°,∴cos∠AOB=cos 60°= .故填 .
2 2
5.如图所示,小明在公园里放风筝,拿风筝线的手B离地面的高度AB为1.5 m,风筝飞到C处时的线长
BC为30 m,这时测得∠CBD=60°,求此时风筝离地面的高度.(结果精确到0.1 m,❑√3≈1.73)
CD
解:在直角三角形BCD中,sin∠CBD= ,
BC
∴CD=BC·sin∠CBD=30×sin 60°=15❑√3≈25.95(m).
∴CE=CD+AB≈25.95+1.5=27.45≈27.5(m).
答:此时风筝离地面的高度约是27.5 m.2 30°,45°,60°角的三角函数值
30°,45°,60°角的三角函数值
一、教材作业
【必做题】
1.教材第9页随堂练习第1,2题.
2.教材第10页习题1.3第1~4题.
【选做题】
教材第10页习题1.3第5,6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·玉林中考)计算cos245°+sin245°等于 ( )
1
A. B.1
2
1 ❑√2
C. D.
4 2
❑√2
2.如果在△ABC中,sin A=cos B= ,那么下列最确切的结论是 ( )
2
A.△ABC是直角三角形
B.△ABC是等腰三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.△ABC是锐角三角形
❑√3 1
3.(2014·白银中考)在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,若sin A= ,cos B= ,则∠C= .
2 2
| 1|
4.(2015·武威中考)已知α,β均为锐角,且满足 sinα- +(tan β-1)2=0,则α+β= .
2
【能力提升】
5.点(-sin 60°,cos 60°)关于y轴对称的点的坐标是 ( )
(❑√3 1) ( ❑√3 1)
A. , B. - ,
2 2 2 2(❑√3 1) ( 1 ❑√3)
C. ,- D. - ,
2 2 2 2
6.如图所示,在正方形网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都是格点,则cos∠BAC= .
7.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AB=8,∠ABD=30°,∠CAD=45°,求BC的长.
8.(2014·东营中考)如图所示,热气球的探测器显示,从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋
楼底部的俯角为60°,热气球A处与高楼的水平距离为120 m,这栋高楼有多高(❑√3≈1.732,结果保留到小数
点后一位)?
【拓展探究】
9.如图所示,等边三角形ABC中,D,E分别为边AB,BC上的点,AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,求
AG
的值.
AF
【答案与解析】
❑√2 (❑√2) 2 (❑√2) 2 1 1
1.B(解析:∵cos 45°=sin 45°= ,∴cos245°+sin245°= + = + =1.故选B.)
2 2 2 2 2
❑√2
2.C(解析:∵sin A=cos B= ,∴∠A=∠B=45°,∴△ABC是等腰直角三角形.故选C.)
2
❑√3 1
3.60°(解析:∵在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,sin A= ,cos B= ,∴∠A=∠B=60°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-
2 2
60°=60°.故填60°.)| 1| 1
4.75°(解析:∵ sinα- +(tan β-1)2=0,∴sin α= ,tan β=1,∴α=30°,β=45°,则α+β=30°+45°=75°.故填75°.)
2 2
❑√3 1 ( ❑√3 1)
5.A(解析:∵sin 60°= ,cos 60°= ,∴(-sin 60°,cos 60°)= - , ,易知点(-sin 60°,cos 60°)关于y轴对称
2 2 2 2
(❑√3 1)
的点的坐标是 , .故选A.)
2 2
❑√2
6. (解析:由勾股定理得AB=BC=❑√12+22=❑√5,AC=❑√12+32=❑√10,易知
2
❑√2 ❑√2
AB2+BC2=5+5=10=AC2,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC=45°,∴cos∠BAC= .故填 .)
2 2
1
7.解:∵AD⊥BC于点D,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD中,∵AB=8,∠ABD=30°,∴AD= AB=4,BD=❑√3AD=4
2
❑√3.在Rt△ADC中,∵∠CAD=45°,∠ADC=90°,∴DC=AD=4,∴BC=BD+DC=4❑√3+4.
❑√3
8.解:过A作AD⊥BC,垂足为D.在Rt△ABD中,∵∠BAD=30°,AD=120 m,∴BD=AD·tan 30°=120× =40❑√3
3
(m).在Rt△ACD中,∵∠CAD=60°,AD=120 m,∴CD=AD·tan 60°=120×❑√3=120❑√3(m),∴BC=40❑√3+120❑√3
≈277.12≈277.1(m).答:这栋楼高约为277.1 m.
9.解:在△CAD与△ABE中,
AC=AB,∠CAD=∠ABE=60°,AD=BE,∴△CAD≌△ABE.∴∠ACD=∠BAE.∵∠BAE+∠CAE=60°,∴∠ACD+∠CAE=60°.
AG AG ❑√3
∴∠AFG=∠ACD+∠CAE=60°.∴易知在直角三角形AFG中,sin∠AFG=sin 60°= ,∴ = .
AF AF 2
由于本节课的知识点比较单一,就是掌握并运用30°,45°,60°角的三角函数值解决相关问题,所以让学生
通过自主探究基本上可以掌握所学的知识点.通过引导学生利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于
斜边的一半”“45°角所在的直角三角形的两直角边相等”的性质以及勾股定理探究三个特殊角的三角函
数值,并利用口诀法帮助记忆,使学生感觉在轻松愉快的学习气氛中熟记了9个三角函数值.接下来的例1由
于学生已经熟练掌握了三个特殊角的三角函数值,所以学生只要掌握运算顺序,圆满完成任务就是水到渠成
的事情了.对于例2的教学,要让学生把握实际应用问题的关键:把实际问题转化成数学问题,让学生在图中
找出对应的已知条件和所求条件,这是解决问题的前提条件.
没有绝对从学生的角度去考虑设计,会有一点美中不足的感觉,有待改善.关于例2的教学想做以下尝试:题目出示之后,让学生独立完成画图,这样可以使学生的印象更加深刻.
但是这样就加大了题目的难度,可能会让部分学生感觉很吃力,所以可以根据学生的程度进行选择.
随堂练习(教材第9页)
❑√3-2 1+2❑√3 1+❑√3-2❑√2
1.解:(1) . (2) . (3) .
2 2 2
7
7
2.解:扶梯的长度为 =1=14(m).
sin30°
2
习题1.3(教材第10页)
1 1 1 ❑√2 ❑√3 3+3❑√2-2❑√3 (❑√3) 2 ❑√3 ❑√2
1.解:(1)原式=1- = . (2)原式= + - = . (3)原式=6× -❑√3× -2×
2 2 2 2 3 6 3 2 2
3 1-2❑√2
=2- -❑√2= .
2 2
AB AB 12 12
2.解:在Rt△ABC中,∵∠BCA=60°,tan∠BCA= ,∴BC= = = =4❑√3≈7(m).
BC tan∠BCA tan60° ❑√3
1 AO AO
3.解:∵∠ASB=120°,∴∠ASO= ∠ASB=60°.∵AB=54,∴AO=27.在Rt△ASO中,tan 60°= ,∴SO= =9
2 SO tan60°
.
❑√3
4.树高约4.6 m.[提示:树高=5tan 30°+1.75≈4.6(m).]
1
5.最多蓄水2400 m3.[提示:水渠蓄水量= ×[1.2+(0.8+1.2+0.8)]×0.8×1500=2400(m3).]
2
1 1 3❑√2 BD+CE
6.至少有13个台阶.[提示:BD=AD=1.5 m,CE= BC= AB= m, ≈13.]
2 2 4 0.2
本节课的知识比较简单,学生通过自主学习完全可以领会,重点是对30°,45°,60°角的三角函数值的探究,
学生可以利用学过的直角三角形的边和角之间的关系再结合勾股定理进行探究.而三个特殊角的9个三角
函数值的记忆是本节课的难点,要突破这一难点,学生可以采用适合自己的方法进行记忆,如:口诀记忆法、
形象记忆法等.而最好的记忆方法是通过大量的练习题进行巩固,这样的记忆更加深刻.| 1|
(2014·凉山中考)在△ABC中,若 cosA- +(1-tan B)2=0,则∠C的度数是 ( )
2
A.45° B.60°
C.75° D.105°
1
解析:由题意,得cos A= ,tan B=1,∴∠A=60°,∠B=45°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°.故选C.
2
[解题策略] 此题考查了特殊角的三角函数值及绝对值、偶次方的非负性,属于基础题,关键是熟记一
些特殊角的三角函数值,也要注意运用三角形的内角和定理.
混淆特殊角的三角函数值
| 1| ( ❑√3) 2
在△ABC中,若∠A,∠B满足 cosA- + sinB- =0,则∠C= .
2 2
【错解】 90°
1
【错解分析】 往往会因为对特殊角的三角函数值记忆不牢固,而出现由cos A= 得到∠A=30°的错误
2
结论.
【正解】 60°
1 ❑√3
【正解分析】 根据绝对值及偶次方的非负性,可得cos A= ,sin B=
2 2
,∴∠A=60°,∠B=60°.∴∠C=180°-60°-60°=60°.
3 三角函数的计算
1.经历用计算器由已知锐角求三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程,进一步体会三角函数
的意义.
2.能够运用计算器进行有关三角函数的计算.
3.能够运用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.
1.借助计算器,解决含三角函数的实际问题,提高用现代工具解决实际问题的能力.2.发现实际问题中的边角关系,提高学生有条理地思考和表达的能力.
1.通过积极参与数学活动,体会解决问题后的快乐.
2.感悟计算器的计算功能和三角函数的应用价值.
【重点】
1.用计算器由已知锐角求三角函数值.
2.能够用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.
【难点】 用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】
1.科学计算器.
2.复习三角函数的计算方法.
导入一:
同学们小的时候都玩过跷跷板吧?如图所示,跷跷板AB的一端B碰到地面时,AB与地面的夹角为15°,
且OA=OB=3 m.你能求出此时另一端A离地面的高度吗?
【问题】 要求A离地面的高度,实际上就是求直角三角形的直角边,所以只要求出sin B的值即可,但
是15°不是特殊角怎么办呢?可以使用计算器进行解决.
[设计意图] 用多媒体演示学生熟悉的现实生活中的问题,进而引出非特殊角的三角函数值,自然地引
出本节课的课题.
导入二:
如图所示,已知一商场自动扶梯的长l为13 m,高度h为5 m,自动扶梯与地面所成的夹角为θ,你能求出
夹角θ的度数吗?
【教师活动】 要求学生注意观察夹角θ,l,h三者之间的关系,确定夹角θ的三角函数.h 5 5
【学生活动】 通过观察发现sin θ= = ,由于 不是特殊角的三角函数值,尝试使用科学计算器
l 13 13
求夹角θ的方法.
[设计意图] 通过对非特殊角的三角函数值的分析,让学生初步感知非特殊角的三角函数的计算方法
——使用科学计算器,在引出课题的同时,又引导学生初步掌握了利用三角函数值求角度的方法.
[过渡语] 日常生活中我们经常会遇到含有角度的运算,并且有些角度并非我们上节课所学的
30°,45°,60°角等特殊角,对于非特殊角我们如何求出它们的三角函数值呢?
一、用计算器计算非特殊角的三角函数值
课件出示:
如图所示,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹
角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少?(结果精确到0.01 m)
教师引导学生回答:
1.缆车垂直上升的距离是线段 .
2.本题的已知条件是 ,需要求出的条件是 .
3.这三个量之间的关系是 .
学生思考并反馈:
1.缆车垂直上升的距离是线段BC.
2.已知条件是∠α=16°,AB=200 m,需要求出的是线段BC的长.
BC
3.这三个量之间的关系为sin α= .
AB
根据学生分析,师课件出示解题过程:
解:在Rt△ABC中,∠α=16°,AB=200 m,
BC BC
根据正弦的定义,得sin 16°= = ,
AB 200
∴BC=ABsin 16°=200·sin 16°.
想一想:200·sin 16°中的“sin 16°”是多少呢?我们需借助于科学计算器求出这个锐角的三角函数值,怎
样用科学计算器求三角函数值呢?用科学计算器求三角函数值时,需要用到sin,cos键和tan键.
【教师活动】 例如,求sin 16°,cos 72°38'25″,tan 85°的按键顺序如下表所示.
(课件演示操作步骤)【学生活动】 同学们用自己的计算器按上述按键顺序计算sin 16°,cos 72°38'25″,tan 85°.看显示的结
果是否和表中显示的结果相同.
【教师强调】
1.不同的计算器按键方式可能不同,所以同学们可以利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的
具体步骤,也可以和其他同学互相交流其他计算器计算三角函数值的方法.
2.用计算器求三角函数值时,计算结果一般精确到万分位.
【做一做】 下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题.
生得出:BC=200sin 16°≈55.12(m).
[设计意图] 引导学生利用计算器求三角函数值的具体步骤,并注意在使用计算器求值的过程中出现
的问题.
[知识拓展] 用计算器求三角函数值的按键顺序:
第一步:按相应的三角函数键,即按下“sin,cos或tan”键;
第二步:按下角度;
第三步:按“=”键得到相应的三角函数值.
二、用计算器计算非特殊角的三角函数值的运用
[过渡语] 看来同学们已经能熟练地用计算器计算一个锐角的三角函数值了.下面我们运用计算器辅
助解决一个含有三角函数值计算的实际问题.
课件出示:
【议一议】 在本节一开始的问题中,当缆车继续由点B到达点D时,它又走过了200 m,缆车由点B到
点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°,由此你还能算出什么?
【教师活动】 留出时间和空间让学生思考问题如何解决,不要代替学生思考,进而培养学生的思维能
力.
【学生活动】 生独立思考后,小组交流,代表发言:
思路一
缆车从A→B→D上升的垂直高度:
在Rt△DBE中,∠β=42°,BD=200 m,
所以缆车上升的垂直高度DE=BDsin 42°=200sin 42°≈133.83(m),
所以缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC+DE≈55.12+133.83=188.95(m).
思路二
缆车从A→B→D移动的水平距离:在Rt△ABC中,∠α=16°,AB=200 m,AC=ABcos 16°≈192.25(m).
在Rt△DBE中,∠β=42°,BD=200 m,BE=BD·cos 42°≈148.63(m).
所以缆车从A→B→D水平移动的距离为AC+BE≈192.25+148.63=340.88(m).
[设计意图] 让学生学会从数学角度提出问题、分析问题,并能综合运用所学知识解决问题,发展学生
的应用意识,让学生进一步体会在实际问题中用计算器求锐角三角函数值的过程.
三、利用计算器根据三角函数值求锐角的度数
[过渡语] 同学们已经掌握了用计算器计算一个锐角的三角函数值.如果知道了一个角的三角函数值,
那么我们如何运用计算器求出这个角度呢?
【想一想】 为了方便行人推自行车过天桥,市政府在10 m高的天桥两端修建了40 m长的斜道(如图
所示).这条斜道的倾斜角是多少?
【教师活动】 由已知条件如何求出倾斜角∠A的度数?
【学生活动】 生思考后,展示:
BC 10 1
解:如图所示,在Rt△ABC中,BC=10 m,AC=40 m,∴sin A= = = .
AC 40 4
【议一议】 我们知道,给定一个锐角的度数,这个锐角的三角函数值都唯一确定.给定一个锐角的三
角函数值,这个锐角的大小也唯一确定吗?为什么?
【教师总结】 我们曾学习过两个直角三角形的判定定理——HL定理.在上图中,斜边AC和直角边
BC是定值,根据HL定理可知这样的直角三角形形状和大小是唯一确定的,当然∠A的大小也是唯一确定的.
【教师点拨】 和第一部分探究活动一样,如果已知三角函数值我们同样可以利用计算器求角度.
【师生活动】 探究学习用科学计算器根据已知锐角三角函数值求相应锐角的大小的方法.
已知三角函数值求角度,要用到sin,cos,tan键的第二功能 “sin-1,cos-1,tan -1”和2ndf键.
例如,已知sin A,cos B,tan C,求∠A,∠B,∠C的度数的按键顺序如下表所示.
学生根据课本和说明书,自己探究计算器的操作方法:
给学生充分交流的时间和空间,及时引导学生根据自己使用的计算器,探索具体操作步骤.
学生按照教师展示的按键顺序,进行练习.
【教师强调】
1.显示结果是以“度”为单位的.再按°'″ 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.
2.以后在用计算器求角度时如果没有特别说明,计算结果精确到1″即可.
【做一做】 你能求出上图中∠A的大小吗?1
【学生展示】 sin A= =0.25.按键顺序为:2ndf sin 0 · 2 5 =,显示结果为sin-1 0.25=14.47751219,再
4
按°'″键 可显示14°28'39.04″,即∠A≈14°28'39″.
[设计意图] 相信学生完全可以通过自学、互助,求出锐角的度数,可由学生讲解调动其主动性,尤其让
那些动手能力强的来做这项工作.然后再总结利用计算器由三角函数值求角度的按键顺序,让学生学会及时
总结规律,为进一步的学习与应用做好基础.
[知识拓展] 用计算器根据三角函数值求角度的按键顺序:
第一步:按2ndf键;
第二步:按相应的三角函数键,即按下“sin,cos或tan”键;
第三步:按已知的三角函数值;
第四步:按“=”键得到相应角度;
第五步:按°'″键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.
1.运用计算器求锐角的三角函数值及根据三角函数值求角度的方法.
2.运用三角函数解决实际问题的方法.
1.四位学生用计算器求sin 62°20'的值正确的是(小数点后保留四位) ( )
A.0.8857B.0.8856
C.0.8852 D.0.8851
解析:根据科学计算器给出的结果进行判断,sin 62°20'≈0.8857.故选A.
2.在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中,某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°,此时旗
杆在水平地面上的影子的长度为24 m,则旗杆的高度约为 ( )
A.24 m B.20 m
C.16 m D.12 m
解析:如图所示,∵AB⊥BC,BC=24 m,∠ACB=27°,∴AB=BC·tan 27°,把BC=24,tan 27°≈0.51代入,得
AB≈24×0.51≈12(m).故选D.
3.利用计算器求下列各角(精确到1').
(1)sin A=0.75,求∠A;
(2)cos B=0.8889,求∠B;
(3)tan C=45.43,求∠C;
解:(1)∵sin A=0.75,∴∠A≈48°35'.
(2)∵cos B=0.8889,∴∠B≈27°16'.
(3)∵tan C=45.43,∴∠C≈88°44'.4.有人说,数学家就是不用爬树或者把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高,如
图所示,她测得BC=10 m,∠ACB=50°,请你帮助她算出树高AB约为多少米?(注:①树垂直于地面;②供选用数
据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.2)
解:在Rt△ABC中,BC=10,∠ACB=50°,
则AB=BC×tan 50°≈12,即树高约为12 m.
3 三角函数的计算
1.用计算器求锐角的三角函数值
2.用计算器根据三角函数值求锐角的度数
一、教材作业
【必做题】
1.教材第14页随堂练习第1~4题.
2.教材第15页习题1.4第1~3题.
【选做题】
教材第15页习题1.4第4,5,6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·威海中考)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5,若用科学计算器求边AC的长,则下列
按键顺序正确的是 ( )
2.用计算器求sin 20°+tan 54°33'的结果等于(结果精确到0.01) ( )
A.2.25 B.1.55
C.1.73 D.1.75
3.(2014·陕西中考)用科学计算器计算:❑√31+3tan 56°≈ .(结果精确到0.01)
4.如图所示,为测量旗杆AB的高度,在与B距离为8 m的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°,那么旗杆的高度
约是 m(结果保留整数).(参考数据:sin 56°≈0.829,cos 56°≈0.559,tan 56°≈1.483)
【能力提升】
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC∶AC=3∶4,运用计算器计算,则∠A的度数是(精确到1°) ( )A.30° B.37° C.38° D.39°
6.(2015·南昌中考)如下左图所示的是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如下右图所示的几
何图形,已知BC=BD=15 cm,∠CBD=40°,则点B到CD的距离为 cm.(参考数据:sin 20°≈0.342,cos
20°≈0.940,sin 40°≈0.643,cos 40°≈0.766,结果精确到0.1 cm,可用科学计算器)
7.用计算器求下列各式的值(结果精确到0.0001):
(1)sin 47°;
(2)cos 25°18';
(3)tan 44°59'59″.
8.如图所示,在△ABC中,AB=8,AC=9,∠A=48°.求:
(1)AB边上的高;(精确到0.01)
(2)∠B的度数.(精确到1')
9.如图所示,益阳市梓山湖中有一孤立小岛,湖边有一条笔直的观光小道AB,现决定从小岛架一座与观光小
道垂直的小桥PD,小张在小道上测得如下数据:AB=80.0 m,∠PAB=38.5°,∠PBA=26.5°.请帮助小张求出小桥
PD的长并确定小桥在小道AB上的位置(以A,B为参照点,结果精确到0.1 m).(参考数据:sin 38.5°≈0.62,cos
38.5°≈0.78,tan 38.5°≈0.80,sin 26.5°≈0.45,cos 26.5°≈0.89,tan 26.5°≈0.50)
【答案与解析】
AC
1.D(解析:由tan B= ,得AC=BC·tan B=5×tan 26°.故选D.)
BC
2.D(解析:sin 20°+tan 54°33'≈0.3420+1.4045=1.7465≈1.75.故选D.)
3.10.02(解析:❑√31≈5.5678,tan 56°≈1.4826,则❑√31+3tan 56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02.故填10.02.)
4.12(解析:由题意知BC=8,∠C=56°,故AB=BC·tan 56°≈8×1.483≈12(m).故填12.)
BC 3
5.B(解析:∵BC∶AC=3∶4,∴设BC=3x,则AC=4x,由勾股定理得AB=5x,∴sin A= = =0.6,运用科学计算器得
AB 5
∠A≈37°.故选B.)BE
6.14.1(解析:如图所示,作BE⊥CD于E,∵BC=BD,∠CBD=40°,∴∠CBE=20°.在Rt△CBE中,cos∠CBE=
BC
,∴BE=BC·cos∠CBE≈15×0.940=14.1(cm).故填14.1.)
7.解:(1)sin 47°≈0.7314. (2)cos 25°18'≈0.9041. (3)tan 44°59'59″≈1.0000.
CH
8.解:(1)如图所示,过C作AB边上的垂线CH,垂足为H,∵在Rt△ACH中,sin A= ,∴CH=AC·sin A=9sin
AC
AH CH
48°≈6.69. (2)∵在Rt△ACH中,cos A= ,∴AH=AC·cos A=9cos 48°,∴在Rt△BCH中,tan B= =
AC BH
CH 9sin48°
= ≈3.382,∴∠B≈73°32'.
AB-AH 8-9cos48°
x x x
9.解:设PD=x,∵PD⊥AB,∴∠ADP=∠BDP=90°,在Rt△PAD中,tan∠PAD= ,∴AD= ≈ =
AD tan38.5° 0.80
5 x x x 5
x,在Rt△PBD中,tan∠PBD= ,∴DB= ≈ =2x.又∵AB=80.0,∴ x+2x=80.0,解得
4 DB tan26.5° 0.50 4
x≈24.6,即PD≈24.6 m,∴DB≈2x=49.2(m).答:小桥PD的长度约为24.6 m,小桥位于AB上距B点约49.2 m处.
本节是学习用计算器求三角函数值并加以实际应用的内容,通过本节的学习,使学生充分认识了三角函
数知识在现实世界中有着广泛的应用.虽然本节课的知识点不是很多,但是学生通过积极参与课堂活动,提
高了分析问题和解决问题的能力,并且在意志力、自信心和理性思维等方面得到了良好的发展.教学时把激
发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习,帮
助学生形成积极主动的求知态度.对于新知的应用,由于学生缺乏经验和思考能力,容易产生困惑,所以教师
要恰当地利用好信息技术,既有利于及时点拨和调控,又有利于学生的“直接体验”,增加学生空间想象能力
以及解题能力,有利于学生突破难点、提高学习效率,更有助于减轻学生的压力,进而改善教学的效果.
由于学生使用的科学计算器型号不统一,所以按键的顺序不一样,这样就给教学工作带来了麻烦,要分别
给学生说明,耽误了一些时间,造成后面的教学环节处理得稍显紧张.
第一,力争使用型号统一的科学计算器;第二,对于计算器的使用,再多给学生一些练习的时间,使学生对
计算器的操作达到熟练的程度.随堂练习(教材第14页)
1.(1)0.8290 (2)0.9367 (3)1.0000 (4)4.7544
2.∠θ≈56°1″
3.山高约242.8 m.
4.约为51°19'4″
习题1.4(教材第15页)
1.(1)0.6249 (2)0.9097 (3)0.8844 (4)0.8291
2.(1)1.5087 (2)-0.2432
3.(1)71°30'2″ (2)23°18'35″ (3)38°16'46″ (4)41°53'54″
4.解:如图所示,在Rt△ADB中,BD=ADtan 45°=60×1=60(m).在Rt△ADC中,DC=ADtan
37°≈60×0.7536≈45.22(m),∴BC=BD+DC≈105.2(m).答:大厦的高度约为105.2 m.
5.约2°51'58″
6.甲、乙两地间的坡角为5°8'34″.
本节课学生学习的重点是熟练掌握利用计算器求三角函数值和根据三角函数值求角度的操作步骤,在
学习的过程中,一定要通过对计算器的实际操作,体会其操作步骤,并进行及时总结,力求做到熟练运用;在利
用非特殊角的三角函数值解决实际问题时,要掌握分析问题的基本步骤和选用合适的三角函数求未知量的
方法,锻炼综合分析问题的能力.
(2014·荆门中考)钓鱼岛自古以来就是中国的领土.如图所示,我国甲、乙两艘海监执法船某天
在钓鱼岛附近海域巡航,某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处,这时两船同
时接到立即赶往C处海域巡查的任务,并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向.若
甲、乙两船分别沿AC,BC方向航行,其平均速度分别是20 n mile/h,18 n mile/h,试估算哪艘船先赶到C处.
(参考数据:cos 59°≈0.52,cos 44°≈0.72)
〔解析〕 过点C作CD⊥AB于点D,如图所示,由题意得∠ACD=59°,∠DCB=44°,设CD的长为a n
mile,分别在Rt△ACD中和Rt△BCD中,用a表示出AC和BC,然后除以速度即可求得时间,比较即可确定答案.解:如图所示,过点C作CD⊥AB于点D,
由题意得∠ACD=59°,∠DCB=44°.
设CD的长为a n mile,
CD
∵在Rt△ACD中,cos∠ACD= ,
AC
CD a
∴AC= ≈ ≈1.92a.
cos∠ACD 0.52
CD
∵在Rt△BCD中,cos∠BCD= ,
BC
CD a
∴BC= ≈ ≈1.39a.
cos∠BCD 0.72
∵其平均速度分别是20 n mile/h,18 n mile/h,
∴1.92a÷20=0.096a,1.39a÷18≈0.077a.
∵a>0,∴0.096a>0.077a,
∴乙船先到达C处.
4 解直角三角形
1.了解解直角三角形的概念,使学生理解直角三角形中五个元素的关系.
2.经历解直角三角形的过程,掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角
三角形的方法.
1.在研究问题的过程中思考如何把实际问题转化为数学问题,进而把数学问题具体化.
2.通过利用三角函数解决实际问题的过程,进一步提高学生的逻辑思维能力和解决问题能力.1.在解决问题的过程中引导学生形成数形结合的数学思想,体会数学与实践生活的紧密联系.增强学生
的数学应用意识,激励学生敢于面对数学学习中的困难.
2.通过获取成功的体验和克服困难的经历,增进学生学习数学的信心,养成学生良好的学习习惯.
【重点】 理解并掌握直角三角形边角之间的关系,运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角
三角函数求直角三角形中的未知元素.
【难点】 从已知条件出发,正确选用适当的边角关系或三角函数解题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习三角函数和勾股定理的相关知识.
导入一:
课件出示:
在日常生活中,我们常常遇到与直角三角形有关的问题,知道直角三角形的边可以求出角,知道角也可以
求出相应的边.如图所示,在Rt△ABC中共有几个元素?我们如何利用已知元素求出其他的元素呢?
【师生活动】 复习直角三角形的性质(两锐角互余和勾股定理)和三角函数的概念.
【学生活动】 通过独立思考和与同伴交流,分析出Rt△ABC中的6个元素,并尝试利用已知元素求未
知元素.
[设计意图] 在学生分析直角三角形6个元素的过程中,学生自然而然地会想到直角三角形的相关性
质,在复习旧知的同时,又为学习新知奠定了良好的基础.
导入二:
课件出示:
如图所示,AC是电线杆AB的一根拉线,测得拉线AC=12 m,AB=6❑√3 m,你能求出拉线底端到电线杆底
端的长度BC吗?能求出拉线AC与地面BC所成角的度数和拉线AC与电线杆AB所成角的度数吗?
学生分析:可以利用勾股定理求拉线AC的长度,易知拉线与地面所成角为∠BCA,拉线与电线杆所成角
为∠BAC,利用三角函数知识和计算器即可求出∠BCA和∠BAC的度数.【引入】 这节课我们就综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的知识探
究直角三角形中的边和角的求解方法.
[设计意图] 通过生活中实际情境的引入,使学生对本节课的学习任务一目了然,学生在探究的过程中
就可以抓住重点和难点.
[过渡语] 我们已经了解了直角三角形中6个元素分别是三条边和三个角,那么至少要知道几个元素,
才可以求出其他元素呢?下面我们进行分类探究.
一、已知两条边解直角三角形
【做一做】 在Rt△ABC中,如果已知其中两边的长,你能求出这个三角形的其他元素吗?
课件出示:
(教材例1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a=❑√15,b=❑√5,求这个三角形的其
他元素.
思路一
教师引导学生分析:
1.直角三角形中已知两边可以利用 定理求出第三条边.
2.直角三角形中,已知两边可以利用 求∠A(或∠B)的度数.
3.再利用 求∠B(或∠A)的度数.
【师生活动】 教师引导学生分析,得出解直角三角形的方法,理清解题思路.
【学生活动】 得出结论:1.勾股定理 2.三角函数 2.两锐角互余
解:在Rt△ABC中,a2+b2=c2,a=❑√15,b=❑√5,∴c=❑√a2+b2=❑√(❑√15)2+(❑√5)2=2❑√5.
b ❑√5 1
在Rt△ABC中,sin B= = = ,
c 2❑√5 2
∴∠B=30°,∴∠A=60°.
思路二
分组探究,思考下面的问题:
1.由两个已知条件a=❑√15,b=❑√5能不能求出其中的一个锐角?
2.如何再求出另外一个锐角的度数 ?
3.如何再求出第三条边的长?
【师生活动】 学生先独立思考,然后小组讨论.教师巡视,及时发现问题,予以纠正.完成后各小组展示
解题的方法和步骤,师生共同验证.
解:在Rt△ABC中,a=❑√15,b=❑√5,
a ❑√15
∴tan A= = =❑√3,
b ❑√5
∴∠A=60°,∴∠B=30°.
b
在Rt△ABC中,sin B=sin 30°= ,
c
1 ❑√5
即 = ,∴c=2❑√5.
2 c
【教师小结】 解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有的未知元素的过程,叫做解
直角三角形.
[设计意图] 通过对直角三角形6个元素的分析及对猜测的探究活动,自然而然地引出解直角三角形
的概念,并让学生及时总结解题方法,加深对概念的理解.[知识拓展] 已知直角三角形两条边求其他元素的方法:
方法1:已知两条边的长度,可以先利用勾股定理求出第三边,然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角,
再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角.
方法2:已知两条边的长度,可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角,然后根据直角三角形中两锐角
互余求出另外一个锐角,再利用锐角三角函数求出第三条边.
二、导入题再现
[过渡语] 你现在可以解决导入二中的问题了吗?
【师生活动】 要求学生独立完成,进行小组比赛,找代表板演,师生共同订正.
解:在Rt△ABC中,AC=12,AB=6❑√3,由勾股定理得BC=6.
AB 6❑√3
在Rt△ABC中,tan∠BCA= = =❑√3,
BC 6
∴∠BCA=60°,∴∠BAC=30°.
∴拉线底端到电线杆底端的长度BC是6 m,∠BCA和∠BAC的度数分别是60°和30°.
[设计意图] 通过对导入题的解答,加深学生对解直角三角形概念的理解,提高解题的综合能力.
三、已知一条边和一个角解直角三角形
[过渡语] 在Rt△ABC中,如果已知一边和一个锐角,你能求出这个三角形的其他元素吗?请看下面的问
题:
(教材例2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=30,∠B=25°.求这个三角形的其
他元素(边长精确到1).
〔解析〕 在直角三角形中可以利用两锐角互余求另外一个锐角的度数,然后利用与锐角∠B和边b有
关的三角函数先求出其中一条边a或c,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边c或a.
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,
∴∠A=65°.
b b 30
∵sin B= ,b=30,∴c= = ≈71.
c sinB sin25°
b b 30
∵tan B= ,b=30,∴a= = ≈64.
a tanB tan25°
【教师设疑】 此题还有其他解法吗?
【学生活动】 学生相互交流他们的解法.
[设计意图] 通过对学习活动的探究,学生逐步掌握了解直角三角形所要具备的条件,并在探究的过程
中及时总结归纳出解直角三角形的思路和方法,为后面的练习和应用打下了良好的基础.
[知识拓展] 已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素的方法:
已知一个锐角的度数,先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角的度数;又知道一条边的长度,根
据三角函数的定义可以求出另外两条边的长度;也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长度,再利
用三角函数或勾股定理求出第三条边的长度.
四、解直角三角形需要满足的条件
[过渡语] 除了已知“两边”和“一边一角”解直角三角形外,还有其他的情况解直角三角形吗?
问题1
在Rt△ABC中,如果已知两个锐角,可以解直角三角形吗?
【学生活动】 学生先独立判断,再分组讨论.
学生小结:只知道角度是无法求出直角三角形的边长的.
问题2
只给出一条边长这一个条件,可以解直角三角形吗?
学生小结:只给出一条边长,不能解直角三角形.
【教师点评】 解直角三角形必须满足的一个条件是已知“一条边”.
【师生总结】 解直角三角形需要满足的条件:在直角三角形的6个元素中,直角是已知元素,如果再知道一条边和第三个元素,那么这个三角形的所有
元素就都可以确定下来.
【教师提示】 第三个元素既可以是角也可以是边.
[知识拓展] 解直角三角形的思路和方法:
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则有:
(1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).
(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.
a b a b a b
(3)边角之间的关系:sin A= ,cos A= ,tan A= ,sin B= ,cos B= ,tan B= .
c c b c c a
1 1
(4)面积的不同表示法:S = ab= ch(h为斜边上的高).
△ABC 2 2
1.解直角三角形的概念:
由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.
2.解直角三角形的类型:
(1)已知直角三角形两条边求其他元素.
(2)已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素.
3.解直角三角形需要满足的条件:
除直角外,再知道一条边和第三个元素,就可以解直角三角形.
❑√3
1.如图所示的是教学用直角三角板,边AC=30 cm,∠C=90°,tan∠BAC= ,则边BC的长为 ( )
3
A.5❑√3 cm B.10❑√3 cm
C.20❑√3 cm D.30❑√3 cm
BC ❑√3
解析:在直角三角形ABC中,根据三角函数定义可知tan∠BAC= ,∵AC=30 cm,tan∠BAC=
AC 3
❑√3
,∴BC=AC·tan∠BAC=30× =10❑√3(cm).故选B.
3
2.如图所示,在Rt△ABO中,斜边AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,则 ( )
A.点B到AO的距离为sin 54°
B.点B到AO的距离为tan 36°
C.点A到OC的距离为sin 36°·sin 54°
D.点A到OC的距离为cos 36°·sin 54°解析:根据图形得出点B到AO的距离是指BO的长,根据锐角三角函数定义得出BO=ABsin 36°,即可判
断A,B错误;过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,根据锐角三角函数定义得出AD=AOsin
36°,AO=AB·sin 54°,所以AD=sin 36°·sin 54°,即可判断C正确,D错误.故选C.
4
3.如图所示,已知在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B= ,则AC= .
5
AB 4 AC 3 AC 3
解析:∵在Rt△ABC中,cos B= = ,∴sin B= = ,tan B= = .∵在Rt△ABD中,AD=4,∴AB=
BC 5 BC 5 AB 4
4
AD 20 AC 3 20 3
=3= .∵tan B= = ,∴AC=ABtan B= × =5.故填5.
sinB 3 AB 4 3 4
5
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8,则BC= .
AD
解析:如图所示,过点A作AD⊥BC于D,∵AB=AC,∴BD=CD,在Rt△ABD中,∵sin∠ABC=
AB
=0.8,∴AD=5×0.8=4,则BD=❑√AB2-AD2=3,∴BC=2BD=6.故填6.
4
5.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cos A= ,求BC的长和tan B的值.
5
AC AC 4
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cos A= = = ,∴AC=4,
AB 10 5
根据勾股定理,得BC=❑√AB2-AC2=6,
AC 8 4
∴tan B= = = .
BC 6 3
4 解直角三角形
解直角三角形:一、教材作业
【必做题】
教材第17页习题1.5第1,2题.
【选做题】
教材第18页习题1.5第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=50°,BC=5,则AC等于 ( )
A.3sin 50° B.3sin 40°
C.3tan 50° D.3tan 40°
1
2.如图所示,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A= ,则AB的长是 ( )
2
A.2 B.8 C.2❑√5 D.4❑√5
3.(2015·桂林中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,垂足为D,则tan∠BCD的值是
.
4.要用8 m长的梯子爬到4❑√3 m高的墙上,则梯子与地面的夹角为 度.
【能力提升】
5.如图所示的是一张简易活动餐桌,测得OA=OB=30 cm,OC=OD=50 cm,B点和O点是固定的.为了调节餐桌
高矮,A点有3处固定点,分别使∠OAB为30°,45°,60°,则这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是(不考虑
桌面厚度) ( )
1
A.40 cm B.40 cm
2
1
C.30 cm D.30 cm
2❑√2 3
6.如图所示,在△ABC中,cos B= ,sin C= ,AC=5,则△ABC的面积是 .
2 5
1 ❑√2
7.(2015·湖北中考)如图所示,AD是△ABC的中线,tan B= ,cos C= ,AC=❑√2,求:
3 2
(1)BC的长;
(2)sin∠ADC的值.
8.张大爷家有一块三角形土地如图所示,测得∠A=30°,∠B=45°,BC=20 m.请你帮助张大爷计算这块土地有多
少平方米.
9.如图所示,沿AC方向开山修一条公路,为了加快施工速度,要在小山的另一边寻找点E同时施工.从AC上
的一点B取∠ABD=127°,沿BD的方向前进,取∠BDE=37°,测得BD=520 m,并且AC,BD和DE在同一平面内.
(1)施工点E离D多远正好能使A,C,E成一条直线(结果保留整数)?
(2)在(1)的条件下,若BC=80 m,求公路段CE的长(结果保留整数).(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan
37°≈0.75)
【拓展探究】
10.(2014·宁波中考)如图所示,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10 km,∠CAB=25°,∠CBA=37°,因城
市规划的需要,将在A,B两地之间修建一条笔直的公路.
(1)求改直的公路AB的长;
(2)公路改直后比原来缩短了多少千米?(参考数据:sin 25°≈0.42,cos 25°≈0.91,sin 37°≈0.60,tan 37°≈0.75)
【答案与解析】AC
1.D(解析:∵在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A=50°,∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°.∵tan B= ,∴AC=BC·tan
BC
B=3tan 40°.故选D.)
BC 1
2.C(解析:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴tan A= .∵AC=4,tan A= ,∴BC=AC·tan A=2,∴AB=❑√AC2+BC2=
AC 2
❑√42+22=2❑√5.故选C.)
3 BC 6
3. (解析:在Rt△ABC与Rt△BCD中,∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°,∴∠A=∠BCD,∴tan∠BCD=tan A= = =
4 AC 8
3 3
.故填 .)
4 4
4.60(解析:要用8 m长的梯子爬到4❑√3 m高的墙上,梯子、地面和墙正好构成直角三角形,∴梯子与地面的
4❑√3 ❑√3 ❑√3
夹角的正弦值为 = .∵sin 60°= ,∴梯子与地面的夹角为60°.故填60.)
8 2 2
5.B(解析:过点D作DE⊥AB于点E,易知∠OAB=30°时,桌面离地面最低,∴DE的长即为最低长度.
1
∵OA=OB=30 cm,OC=OD=50 cm,∴AD=OA+OD=80 cm.在Rt△ADE中,∵∠OAB=30°,AD=80 cm,∴DE=
2
AD=40 cm.故选B.)
21 ❑√2 3 BD ❑√2
6. (解析:过点A作AD⊥BC,∵在△ABC中,cos B= ,sin C= ,AC=5,∴cos B= = ,∴∠B=45°.∵sin
2 2 5 AB 2
AD AD 3
C= = = ,∴AD=3,∴在Rt△ADC中,CD=❑√52-32=4,∴在等腰直角三角形ADB中,BD=AD=3,则
AC 5 5
1 1 21 21
△ABC的面积是 ×BC×AD= ×(3+4)×3= .故填 .)
2 2 2 2
❑√2
7.解:过点A作AE⊥BC于点E,∵cos C= ,∴∠C=45°.在Rt△ACE中,CE=AC·cos C=1,∴AE=CE=1.在Rt△ABE
2
1 AE 1
中,tan B= ,即 = ,∴BE=3AE=3,∴BC=BE+CE=4.
3 BE 3
1
(2)由(1)知BC=4,∵AD是△ABC的中线,∴CD= BC=2,∴DE=CD-
2
❑√2
CE=1.∵AE⊥BC,DE=AE,∴∠ADC=45°,∴sin∠ADC= .
2❑√2 CD
8.解:如图所示,过点C作CD⊥AB于D.易知CD=BD=BC·sin 45°=20× =10❑√2,∴AD= =
2 tan30°
10❑√2
1 1
❑√3 =10❑√6,∴AB=AD+BD=10(❑√2+❑√6),∴S = AB·CD= ×10(❑√2+❑√6)×10❑√2≈273.2(m2).答:这块
△ABC 2 2
3
土地约有273.2 m2.
9.解:(1)若使A,C,E成一条直线,则需∠ABD是△BDE的外角,∴∠BED=∠ABD-∠D=127°-37°=90°,∴DE=BD·cos
37°≈520×0.80=416(m),∴施工点E离D距离约为416 m时,正好能使A,C,E成一条直线. (2)由(1)得在
Rt△BED中,∠BED=90°,∵∠D=37°,∴BE=BD·sin 37°≈520×0.60=312(m).∵BC=80 m,∴CE=BE-BC≈312-
80=232(m),∴公路段CE的长约为232 m.
10.解:(1)如图所示,过点C作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中,CH=AC·sin∠CAB=AC·sin
25°≈10×0.42=4.2(km),AH=AC·cos∠CAB=AC·cos 25°≈10×0.91=9.1(km),在Rt△BCH中,
BH=CH÷tan∠CBA≈4.2÷tan 37°≈4.2÷0.75=5.6(km),∴AB=AH+BH≈9.1+5.6=14.7(km).故改直的公路AB的长
约为14.7 km. (2)在Rt△BCH中,BC=CH÷sin∠CBA≈4.2÷sin 37°≈4.2÷0.60=7(km),则AC+BC-AB≈10+7-
14.7=2.3(km).答:公路改直后比原来缩短了约2.3 km.
为使学生迅速掌握本节课的知识,上课开始就对解直角三角形所用到的知识点:直角三角形中三边之间
的关系,两锐角之间的关系,边角之间的关系等知识点进行了复习回顾,因为合理选用这些关系是正确、迅速
解直角三角形的关键.解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用.因
此,在处理例题时,首先,应让学生独立完成,培养学生分析问题、解决问题的能力,同时渗透数形结合思想.本
节课力求给学生更多自主探索的时间,让其在宽松和谐的氛围中学习,使他们学得更主动、更轻松,力求在探
索知识的过程中培养学生探索能力、创新精神、合作精神,激发学生学习数学的积极性、主动性.同时,在
学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中,鼓励学生通过多种解法去解答.
在选用合适的三角函数解决问题时,要引导学生总结出分析问题的方法,巧妙联系已知和未知之间的函
数关系,选取合适的三角函数求解.
再教时,增加解实际问题中直角三角形的例题的练习,因为学生对把实际问题转化成数学问题的能力还
不太强.随堂练习(教材第17页)
10❑√3 20❑√3
(1)c=4❑√5,∠A≈27°,∠B≈63°. (2)a= ,c= ,∠A=30°. (3)a=10❑√3,b=10,∠B=30°.
3 3
习题1.5(教材第17页)
1.(1)b=19,∠A=45°,∠B=45°. (2)c=12❑√2,∠A=30°,∠B=60°.
2.(1)a=10❑√2,b=10❑√2,∠B=45°. (2)b=12❑√3,c=24❑√3,∠A=60°.
AD 10
3.解:tan∠ACD= = ,∴∠ACD≈27.5°,∠ACB=2∠ACD≈2×27.5°=55°.
CD 19.2
2.4
4.解:(1)墙高=6sin 75°≈6×0.966≈5.8(m). (2)cos α= ,解得α≈66°.∵50°<66°<75°,∴此时人能够安全使用
6
这个梯子.
本节课学生学习的重点是解直角三角形的方法,所以理解解直角三角形的概念是掌握解直角三角形方
法的前提,而熟练运用勾股定理、两锐角互余以及锐角三角函数的定义则是解直角三角形的关键,学生要做
好复习和预习工作,把握好各个元素之间的关系.此外,在没有直角三角形的图形中,通过作垂线或其他辅助
线构造直角三角形也是学生要重点掌握的能力和技巧.
解非直角三角形时,构造直角三角形的方法:
(1)利用作高构造直角三角形,如下图所示.
(2)利用勾股定理或逆定理构造直角三角形,如下图所示.
(3)利用已知角构造直角三角形,如下图所示.5 三角函数的应用
1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行
说明.
3.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.
1.从实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学思想.
2.进一步感受数形结合思想(方程方法与画图法),力图引导学生从三个例题解答中归纳并建构数学模型
思想,即抽象成平面图形(直角三角形)后,再利用三角函数解决问题.
1.发展学生的数学应用意识和解决实际问题的能力.
2.能将实际问题抽象成数学问题(数学符号或图形).
3.让学生在探索活动中相互合作与交流,进一步发展学生的合作交流能力和数学表达能力.
【重点】
1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的作用.
2.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.
【难点】 灵活将实际问题转化为数学问题,建立数学模型,并选择适当三角函数来解决.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习解直角三角形的相关知识.
导入一:
课件出示:
《盘点1833年以来重大海难》2015年6月1日约21时28分,一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”号在长江中游沉没.出事船舶
载客458人,其中内宾406人、旅行社随行工作人员5人、船员47人.仅14人生还.
历史上的海难事件非常多,最著名的海难事件应属1912年的泰坦尼克号沉没,但实际上,遇难人数远超
泰坦尼克号的遇难船只并不罕见.在这一统计所含的75起海难中,遇难人数超过1000人的共有18起.随着
时间的推移,因袭击所致的海难逐渐减少.但21世纪以来,海难仍时有发生,如:2014年韩国“岁月号”客轮,
2008年菲律宾“群星公主号”客轮,2006年埃及客轮“萨拉姆98号”,2002年的塞内加尔“乔拉号”等船
只遇难都造成了巨大的人员伤亡.
【引入】 今天我们就探究与轮船航行有关的知识.
[设计意图] 通过对历史上海难事件的了解,使学生对本节课所要探究的知识有一个初步了解,在揭示
本课主题的同时,也对学生进行了安全教育,一举两得.
导入二:
课件出示:
多媒体播放:《泰坦尼克号》3D版预告片视频.
音频介绍:泰坦尼克号(RMS Titanic)是一艘奥林匹克级游轮,由位于北爱尔兰贝尔法斯特的哈兰·沃尔夫
船厂兴建,是当时最大、最豪华的客运轮船.在泰坦尼克号的处女航中,因为船长的大意、舵手没有能够分
清方向、没有准确计算距离等人为错误,于1912年4月14日船上时间夜里11点40分撞上冰山,2小时40
分钟后,船分裂成两半后沉入大西洋.泰坦尼克号海难为和平时期死伤人数(船上2208名船员和旅客中,只有
705人生还)最惨重的海难之一,同时也是最广为人知的海上事故之一.
【引入】 如果你是船长,怎样才能利用我们所学的知识躲开冰山,进而避免像泰坦尼克号这样的灾难
发生呢?
[设计意图] 通过一段视频,进行音乐与3D影片的欣赏,让学生有一些听觉与视觉的冲击,感受现代科
技手段为影片带来的美感,感受生活是美的,我们的身边处处都是美,树立对美的追求.
[过渡语] 三角函数知识在我们日常生活中的用处非常多,今天我们就利用三角函数的知识解决与方
向角、仰角和俯角、倾斜角等有关的实际问题.
一、利用方向角解决实际问题
课件出示:
如图所示,海中有一个小岛A,该岛四周10 n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西
55°的B处,往东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西25°的C处.之后,货轮继续往东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是怎样想的?与同伴进行交流.
师引导学生思考:
问题1
货轮要向正东方向继续行驶,有没有触礁的危险是由什么决定的?
【学生活动】 学生分组讨论,统一答案:根据题意知小岛四周10 n mile内有暗礁,那么货轮继续向东
航行,如果到A的最短距离大于10 n mile,则无触礁的危险,如果小于10 n mile,则有触礁的危险.过A作
AD⊥BC,D为垂足,A到BC所在直线的距离为即为AD的长度.我们需根据题意计算出AD的长度,然后与10
n mile比较.
问题2
如何利用已知条件求出AD的长度呢?
【学生活动】 先独立思考,然后小组交流,统一想法,代表发言:
在Rt△ADB和Rt△ADC中,AD是它们的公共直角边,而且BC是这两个直角三角形中直角边BD与CD
的差,即BC=BD-CD,BD与CD的对角是已知的,可以利用两个直角三角形的三角函数分别表示出BD和CD,
BD CD
即在Rt△ADB中,tan 55°= ,BD=ADtan 55°.在Rt△ADC中,tan 25°= ,CD=ADtan 25°.这样可以列出关
AD AD
于AD的一元一次方程,即ADtan 55°-ADtan 25°=20.
【教师点评】 在我们解决数学问题时,很多地方都会用到方程,因此方程思想是我们初中数学中最重
要的数学思想之一.
【师生活动】 学生独立解答,师巡视,对有困难的学生给予及时帮助,代表板演展示,师生共同订正,规
范学生的解题过程.
解:过A作BC的垂线,交BC于点D.
BD
在Rt△ABD中,易知tan 55°= ,
AD
∴BD=ADtan 55°.
CD
在Rt△ACD中,易知tan 25°= ,
AD
∴CD=ADtan 25°.
设AD=x,则BD=tan 55°x,CD=tan 25°x.
∵BC=BD-CD,∴tan 55°x-tan 25°x=20,
20
解得x= ≈20.79,即AD≈20.79 n mile.
tan55°-tan25°
∵20.79>10,∴货轮没有触礁的危险.
【讨论】 此题的其他解法.
【学生活动】 分组相互讨论、交流,各组组长展示本组的解题方法,师生共同探讨其方法的可行性,统
一做法,代表板演:
CD x
解:设CD=x,则BD=x+20.在Rt△ACD中,tan 25°= ,∴AD= .
AD tan25°
BD
在Rt△ABD中,tan 55°= ,
ADx
∴BD=ADtan 55°= ·tan 55°.
tan25°
x
∴x+20= ·tan 55°,
tan25°
20tan25°
∴x= ≈9.70,
tan55°-tan25°
x
∴AD= ≈20.79(n mile).
tan25°
∵20.79>10,∴货轮没有触礁的危险.
[设计意图] 在“货轮有触礁的危险吗?”的探讨过程中,学生入手感到困难,所以精心设计了一系列问
题,将难点分解,逐步引导学生总结出应用数学知识解决实际问题的一般步骤,进一步培养了学生的探究、归
纳能力和解决实际问题的能力.
[知识拓展] 应用三角函数知识解决实际问题的步骤:(1)根据题意,画出示意图,将实际问题转化为数学
问题;(2)用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题;(3)解释结果的合理性.
二、利用仰角和俯角解决实际问题
课件展示:
【想一想】 如图所示,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前
进50 m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1 m)
教师引导学生思考并回答:
1.在这个图中,仰角为30°、仰角为60°分别指哪两个角?
2.此题的示意图和“船触礁”问题的示意图一样吗?它们有什么共同点?
【学生活动】
1.学生分析题目中的两个仰角的对应情况,并相互订正.得出结论:∠DAC=30°,∠DBC=60°.
2.两题的示意图都含有两个直角三角形,所以解答方法类似.
【教师活动】 要求学生类比“船触礁”问题的解答方法,对本题进行解答.
【师生活动】 学生思考后,独立完成,然后与同伴交流,代表展示,师生共同订正.
CD
解:在Rt△ACD中,tan 30°= ,
AC
CD
即AC= .
tan30°
CD CD
在Rt△BCD中,tan 60°= ,即BC= .
BC tan60°
CD CD
由AB=AC-BC=50,得 - =50,解得CD≈43,即塔CD的高度约为43 m.
tan30° tan60°
[知识拓展] 在“测量塔高”的问题中,小明的身高忽略不计,而在实际测量时,应该考虑小明的身高,更
准确一点应考虑小明在测量时,眼睛离地面的距离.如果小明测量时,眼睛离地面的距离为1.6 m,其他数据不
变,此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?
【师生活动】 引导学生画出示意图后,由学生自己解答.【学生活动】 口述解答过程:如图所示,由前面的解答过程可知CD≈43 m,则C'D≈43+1.6=44.6(m),即
如果考虑小明的高度,塔的高度约为44.6 m.
[设计意图] 直角三角形的边角关系在航海、工程测量等问题中有着广泛应用,通过“测量塔高”的
问题进一步让学生巩固如何用直角三角形的边角关系解决实际问题,提高学生的建模、转化能力,通过问题
的变式训练让学生了解更贴近实际生活的数学问题,也为第6节“利用三角函数测高”打下了铺垫.
三、利用倾斜角解决实际问题
课件展示:
【做一做】 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由40°减至35°,已知原楼梯长为4 m,调整
后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01 m)
【教师活动】 要求学生根据题意,画出示意图,将这个实际问题转化成数学问题,并进行解答.
【学生活动】 先独立完成,然后相互交流,讨论各自的想法.
【师生活动】 师生共同画出示意图:
代表展示解题过程:
AB
解:如图所示,在Rt△ABC中,sin 40°= ,
AC
∵AC=4 m,∴AB=4sin 40° m,原楼梯占地长BC=4cos 40° m.
AB
调整后,在Rt△ADB中,sin 35°= ,
AD
AB 4sin40° 4sin40°
则AD= = (m),楼梯占地长DB= m,
sin35° sin35° tan35°
4sin40°
∴调整后楼梯加长:AD-AC= -4≈0.48(m).
sin35°
4sin40°
楼梯比原来多占地面:DC=DB-BC= -4cos 40°≈0.61(m).
tan35°
【教师点评】 本节课所探究的内容是从实际问题中抽象出的数学模型——双直角三角形.[设计意图] 本环节的难点在于是否能利用掌握的“双直角三角形”模型,借助方程思想解决问题.处
理这个环节时,要给学生充分思考的时间和空间,发挥学生潜在的能力,通过小组合作交流,完善自己的想法,
并在教师的指导下,规范地表述思考过程.
[知识拓展] 形如“双直角三角形”的图形的解题规律:
设∠C=α,∠ADB=β,CD=a.
tanα·tanβ
1.非特殊角的组合(α和β组合):AB= a.
tanβ-tanα
2.特殊角的组合(α和β组合):
❑√3
(1)30°与60°组合:AB= a.
2
❑√3+1
(2)30°与45°组合:AB= a.
2
❑√3+3
(3)45°与60°组合:AB= a.
2
方向角
{
1.三角函数的应用 仰角、俯角
倾斜角
2.两个转化:(1)是把实际问题的图形转化为数学图形;(2)是把已知条件转化为数学图形中的边角关系.
1.渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上,渔船向正东方向航行了12 n mile到达B处,在B处看到
灯塔C在正北方向上,这时渔船与灯塔C的距离是 ( )
A.6 n mile B.8❑√3 n mile
C.2❑√3 n mileD.4❑√3 n mile
❑√3
解析:由已知得∠BAC=90°-60°=30°,在直角三角形ABC中,BC=AB·tan 30°=12× =4❑√3(n mile).故选
3
D.
2.如图所示,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20 m,到达点
C,再次测得点A的仰角为60°,则物体AB的高度为 ( )
A.10❑√3 m B.10 m20❑√3
C.20❑√3 m D. m
3
AB
解析:∵在直角三角形ADB中,∠D=30°,∴BD= =❑√3AB.∵在直角三角形ABC中,
tan30°
AB ❑√3 ❑√3
∠ACB=60°,∴BC= = AB.∵CD=20,∴CD=BD-BC=❑√3AB- AB=20,解得AB=10❑√3.故选A.
tan60° 3 3
3.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高
了 m.
❑√2 ❑√3
解析:由题意知调整前梯高为4·sin 45°=4× =2❑√2(m),调整后梯高为4·sin 60°=4× =2❑√3(m),∴梯
2 2
子升高了2(❑√3-❑√2)m.故填2(❑√3-❑√2).
4.如图所示,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30 m/min的速度沿与地面成75°角
的方向飞行,25 min后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A,B两
点间的距离为 m.
解析:过点A作AD⊥BC,垂足为D,在Rt△ACD中,∠ACD=75°-30°=45°,AC=30×25=750(m),∴AD=AC·sin
45°=375❑√2(m).在Rt△ABD中,易知∠B=30°,∴AB=2AD=750❑√2(m).故填750❑√2.
5.小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤岛,妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如下左图所
示).小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行200 m到A处,接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小
亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多远(精确到1 m)?(参考数据:sin
37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,❑√2≈1.41,❑√3≈1.73)
解:过点P作PC⊥AB于C,如上右图所示,
在Rt△APC中,AP=200 m,∠ACP=90°,∠PAC=60°,
❑√3
∴PC=200×sin 60°=200× =100❑√3.
2PC
∵在Rt△PBC中,sin 37°= ,
PB
PC 100×1.73
∴PB= ≈ ≈288(m).
sin37° 0.60
答:小亮与妈妈相距约288 m.
5 三角函数的应用
方向角
{
1.三角函数的应用 仰角、俯角
倾斜角
2.两个转化:(1)是把实际问题的图形转化为数学图形;(2)是把已知条件转化为数学图形中的边角关系.
3.一个构造:若原图形不是直角三角形,可添加辅助线构造直角三角形.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第20页随堂练习第1,2题.
2.教材第21页习题1.6第1,2题.
【选做题】
教材第21页习题1.6第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·哈尔滨中考)如图所示,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度
AC=1200 m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为 ( )
A.1200 m B.1200❑√2 m
C.1200❑√3 m D.2400 m
2.(2014·苏州中考)如图所示,港口A在观测站O的正东方向,OA=4 km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向
航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的
长)为 ( )
A.4 km B.2❑√3 km
C.2❑√2 km D.(❑√3+1)km3.如图所示,小明为了测量河宽AB,先在BA延长线上取一点D,再在同岸取一点C,测得
∠CAD=60°,∠BCA=30°,AC=15 m,那么河AB宽为 m.
4.如图所示,在东西方向的海岸线上有A,B两个港口,甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4 n mile/h的速度
匀速航行,同时乙货船从B港沿西北方向匀速航行,2 h后两货船相遇在点P处,则乙货船每小时航行
n mile(用根号表示).
【能力提升】
5.(2015·泰安中考)如图所示,轮船从B处以每小时60 n mile的速度沿南偏东20°方向匀速航行,在B处观测
灯塔A位于南偏东50°方向上,轮船航行40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上,则C处
与灯塔A的距离是 ( )
A.20 n mile B.40 n mile
20❑√3 40❑√3
C. n mile D. n mile
3 3
6.如图所示,路边路灯的灯柱BC垂直于地面,灯杆BA的长为2 m,灯杆与灯柱BC成120度角,锥形灯罩轴线
AD与灯杆AB垂直,且灯罩轴线AD正过道路路面的中心线(D在中心线上),已知点C与D点之间的距离为
12 m,则BC的高是 m.
7.如图所示的是某滑板爱好者训练时的斜坡示意图,出于安全因素考虑,决定将训练的斜坡的倾角由45°降
为30°,已知原斜坡坡面AB的长为5 m,点D,B,C在同一水平地面上.
(1)改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB加长多少米?(精确到0.01 m)(2)若斜坡的正前方能有3 m长的空地就能保证安全,已知原斜坡AB的前方有6 m长的空地,进行这样的改
造是否可行?说明理由.
8.(2014·南充中考)马航MH370失联后,我国政府积极参与搜救.某日,我国两艘专业救助船A,B同时收到有
关可疑漂浮物的讯息,可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上,在救助船B的西北方向上,船B在船
A正东方向140 n mile处.(参考数据:sin 36.5°≈0.6,cos 36.5°≈0.8,tan 36.5°≈0.75)
(1)求可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离;
(2)若救助船A和救助船B分别以40 n mile/h,30 n mile/h的速度同时出发,匀速直线前往搜救,试通过计算判
断哪艘船先到达P处.
【拓展探究】
9.如图所示,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°,再沿山坡向上走到P处测得该建筑
1 1
物顶点A的仰角为45°.已知BC=90 m,且B,C,D在同一条直线上,山坡坡度为 (即tan∠PCD= ).
2 2
(1)求该建筑物的高度(即AB的长);
(2)求此人所在位置点P的铅直高度.(测量角度的仪器的高度忽略不计,结果保留根号形式)
【答案与解析】
1200
AC
1.D(解析:易知∠ABC=∠α=30°,∴AB= = 1 =2400(m),即飞机A与指挥台B的距离为2400 m.故
sin30°
2
选D.)
1
2.C(解析:过点A作AD⊥OB于D.在Rt△AOD中,易知∠ADO=90°,∠AOD=90°-60°=30°,OA=4,∴AD= OA=2.
2
在Rt△ABD中,易知∠ADB=90°,∠B=∠CAB-∠AOB=(90°-15°)-30°=75°-30°=45°,∴BD=AD=2,∴AB=❑√2AD=2❑√2
.即该船航行的距离(即AB的长)为2❑√2 km.故选C.)
1 1
3.15(解析:过C作CE⊥AB,在Rt△ACE中,∵∠CAD=60°,AC=15 m,∴∠ACE=30°,AE= AC=
2 2
❑√3 15❑√3
×15=7.5(m),CE=AC·cos 30°=15× = (m).∵∠BCA=30°,∠ACE=30°,∴∠BCE=60°,∴BE=CE·tan 60°=
2 2
15❑√3
×❑√3=22.5(m),∴AB=BE-AE=22.5-7.5=15(m).故填15.)
24.2❑√2(解析:如图所示,过点P作PC⊥AB于点C,∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4 n mile/h的速度航
1
行,∴∠PAC=90°-60°=30°,AP=4×2=8,∴PC=AP×sin 30°=8× =4.∵乙货船从B港沿西北方向匀速航行,
2
❑√2
∴∠PBC=45°,∴PB=PC÷sin 45°=4÷ =4❑√2,∴乙货船每小时航行4❑√2÷2=2❑√2(n mile).故填2❑√2.)
2
40
5.D(解析:如图所示,作AM⊥BC于M.由题意得∠DBC=20°,∠DBA=50°,BC=60× =40(n mile),∠NCA=10°,则
60
∠ABC=∠ABD-∠CBD=50°-20°=30°.∵BD∥CN,∴∠BCN=∠DBC=20°,∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°
1
+20°=30°,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴AB=AC,∵AM⊥BC,∴CM= BC=20(n mile).在直角三角形ACM中,
2
20
CM 40❑√3
∵∠AMC=90°,∠ACM=30°,∴AC= =❑√3= (n mile).故选D.)
cos∠ACM 3
2
6.12❑√3-4(解析:设灯柱BC的长为h m,作AH⊥CD于点H,作BE⊥AH于点E.∴四边形BCHE为矩形.
∵∠ABC=120°,∴∠ABE=30°.又∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠ADC=60°.在Rt△AEB中,AE=ABsin 30°=1,BE=ABcos
AH h+1
30°=❑√3,∴CH=❑√3.又∵CD=12,∴DH=12-❑√3.在Rt△AHD中,tan∠ADH= = =❑√3,解得h=12❑√3
HD 12-❑√3
-4.故填12❑√3-4.)
5 AC
7.解:(1)在Rt△ABC中,BC=AC=AB·sin 45°= ❑√2(m),在Rt△ADC中,AD= =5❑√2(m),CD=
2 sin30°
AC 5
=
❑√6(m),∴AD-AB=5❑√2-5≈2.07(m).答:改善后的斜坡约加长2.07
m.
tan30° 2
5 5
(2)这样改造能行.由(1)可知CD-BC=
❑√6- ❑√2≈2.59(m),而6-3>2.59,∴这样改造能行.
2 28.解:(1)过点P作PE⊥AB于点E,如图所示,由题意得∠PAE=90°-53.5°=36.5°,∠PBA=45°,设PE为x n mile,则
BE=PE=x n mile.∵AB=140 n mile,∴AE=(140-x)n mile.在Rt△PAE
PE x
中, =tan∠PAE,即 =0.75,解得x=60,∴可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离为60 n mile.
AE 140-x
60❑√2
(2)由(1)知在Rt△PBE中,PE=60 n mile,∠PBE=45°,则BP=❑√2PE=60❑√2(n mile),B船需要的时间为
30
PE
≈2.83(h).在Rt△PAE中, =sin∠PAE,∴AP=PE÷sin∠PAE≈60÷0.6=100(n mile),∴A船需要的时间为
AP
100÷40=2.5(h).∵2.83>2.5,∴A船先到达P处.
9.解:(1)由题意可知AB⊥BC,在Rt△ABC中,BC=90 m,∠ACB=60°,∴AB=BC·tan 60°=90❑√3(m),故建筑物的高
度为90❑√3 m.
(2)如图所示,过点P作PE⊥BD于E,PF⊥AB于F.∵AB⊥BC于B,∴四边形BEPF是矩形,∴PE=BF,PF=BE.
PE 1
设PE=x m,则BF=PE=x m.∵在Rt△PCE中,tan∠PCD= = ,∴CE=2x.∵在Rt△PAF中,∠APF=45°,∴AF=AB-
CE 2
BF=90❑√3-x,PF=BE=BC+CE=90+2x.又∵AF=PF,∴90❑√3-x=90+2x,解得x=30❑√3-30.答:此人所在位置点P的
铅直高度为(30❑√3-30)m.
本节课选用的教学素材来源于现实生活,船是否有触礁的危险、小明测塔高、怎样改造楼梯都是学生
关注和感兴趣的实例,使学生感受到了数学知识就在身边,与现实世界有着非常密切的联系.这些内容对一
部分学生来说会显得轻松自如,但对另外一部分学生来说,他们基础较差,对数学的应用不是那么得心应手,
关键是不会合理构造直角三角形,所以在学习时会有些困难.在教学时,注重引导学生在审清题意的基础上,
自己(或在老师的引导下)画出示意图,将实际问题转化为数学问题,通过亲身经历数学活动的过程,初步掌握
数学建模的方法,然后留时间给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以合作互助、优势互补的方
式突破难点.本节课的知识比较抽象,为了满足学生的认知规律和逻辑思维习惯,在内容设计上有一定的层
次性和弹性.此外,在教学过程中,把一个知识对象尽量用多样化的载体予以呈现,体现了知识发展的阶梯.
1.学生间差异较大,部分学生跟不上教学节奏,学习较吃力,需要课下加强辅导.
2.本节课设计的练习题的题量比较大,有部分学生没有当堂完成.
学生对数学建模思想理解得不透彻,再教时应该时刻提醒学生首先要建立数学模型,把实际问题转化为
数学问题.随堂练习(教材第20页)
1.约7.96 m.
2.(1)17°8'21″. (2)10182.34 m3.
习题1.6(教材第21页)
BC 20 1
1.解:∵sin A= = = ,∴∠A=30°,即斜坡的倾斜角为30°.
AB 40 2
2.解:如图所示,由题意得∠A=30°,AB=50 m,∠CBD=45°.∵CD⊥AD,∴CD=BD.设CD=x m,则BD=x m.在
CD x
Rt△ADC中,tan A= = =
AD 50+x
❑√3 50❑√3
,∴3x=50❑√3+❑√3x,∴x= ≈68.3(m).
3 3-❑√3
AE AE 70
3.解:过点A作AE⊥BC于E,∵tan B= ,∴BE= ≈ ≈49(mm),由题意知四边形ABCD是
BE tan55° 1.4281
等腰梯形,∴BC=AD+2BE≈180+2×49=278(mm).
2
4.33.94 n mile.[提示:(解法不唯一)方法1:过点B作AN的垂线,可得BCsin 75°-BCcos 75°=36× .方法2:过点
3
C作AB的垂线,得出两个特殊直角三角形,再利用∠A=45°,∠B=30°求得BC.]
1.运用直角三角形的边角关系解决实际问题的关键是掌握两个转化:实际问题 数学问题,已知条件
数学图形中的边角关系.
2.本节课的图形比较特别,为“双直角三角形”,准确把握此图形的特征是总结其规律的前提条件,熟记
“双直角三角形”的规律方法会让学生节省大量的时间,提高解题效率.
某船以每小时36 n mile的速度向正东方向航行,在点A测得某岛C在北偏东60°方向上,匀速
航行半小时后到达点B,测得该岛在北偏东30°方向上,已知该岛周围16 n mile内有暗礁.(1)试说明点B是否在暗礁区域外;
(2)若继续向东航行有无触礁危险?请说明理由.
〔解析〕 (1)求点B是否在暗礁区域内,其实就是求CB的距离是否大于16,如果大于则不在暗礁区域
内,反之,则在.可通过构造直角三角形来求CB的长,作CD⊥AB于D点,CD是直角三角形ACD和直角三角
形CBD的公共直角边,可先求出CD的长,再求出CB的长.(2)本题实际上是求C到AB的距离是否大于16,
如果大于则无触礁危险,反之,则有,C到AB的距离在(1)中已经求出,只要进行比较即可.
解:(1)如图所示,作CD⊥AB于D点,设BC为x,
在Rt△BCD中,∠CBD=90°-30°=60°,
1 ❑√3
∴BD= x,CD= x.
2 2
在Rt△ACD中,∠CAD=90°-60°=30°,
CD ❑√3
∴tan∠CAD= = ,
AD 3
30
由题意可知AB=36× =18(n mile),
60
❑√3
x
2 ❑√3
∴ = ,
1 3
18+ x
2
解得x=18,
∵18>16,∴点B在暗礁区域外.
(2)有.理由如下:
❑√3 ❑√3
由(1)可知CD= x= ×18=9❑√3≈15.6(n mile).
2 2
∵15.6<16,∴若继续向东航行,船有触礁的危险.
6 利用三角函数测高1.经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.
2.能够对得到的数据进行分析,能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正,进而得出所要求的结果.
3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.
让学生经历设计活动方案、自制仪器的过程,通过综合运用直角三角形边角关系的知识,利用数形结合
思想解决实际问题,提高学生解决实际问题的能力.
通过积极参与数学活动过程,培养学生不怕困难的品质,发展合作意识和科学精神.
【重点】 综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.
【难点】 设计活动方案、运用仪器的过程及学生学习品质的培养.
【教师准备】 测倾器、皮尺等测量工具;多媒体课件.
【学生准备】 复习三角函数的概念和解直角三角形的相关知识.
导入一:
一天课外活动课,数学兴趣小组的同学想去操场上测量学校旗杆的高度(如图所示).
以下是两位同学设计的测量方案:
方案1:用皮尺和标杆能测出旗杆的高度.
方案2:用皮尺和小平面镜能测出旗杆的高度.
【问题】 你认为这两位同学提出的方案可行吗?如果是阴天没有太阳光怎么办?
[设计意图] 通过生活中的实际问题引入课题,使学生认识到数学源于生活,增加学生学习数学的兴趣,
并让学生带着问题走进今天的学习.
导入二:
如图所示展示的是山东省青岛市电视塔夜晚的美丽景色,青岛电视塔坐落于市中心榉林公园内116 m
高的太平山上.由上海同济大学马人乐先生设计.由于其创意新、选点好、功能布局合理、色调协调及综合
规模宏大等,1995年被国务院发展研究中心选入《中华之最大荣誉》,认为是“中国第一钢塔”.某数学兴
趣小组的同学想测量该电视塔的高度.【问题】 测量电视塔的高度和测量旗杆的高度的方法一样吗?两者有什么区别?
[设计意图] 通过青岛市电视塔的介绍,既让学生增长了课外知识,又引出了新的疑问——测量方法的
区别,激发了学生的学习兴趣,为新知的探究奠定了良好的基础.
[过渡语] 日常生活中我们经常要测量一些物体的高度,对于一些高大的建筑物或无法直接测量的建
筑物如何进行测量呢?本节课我们就来设计它们的测量方案.
【活动一】 测量倾斜角
课件出示:
(一)测倾器的认识:
如图所示的是一个测倾器的外观图,它是测量倾斜角的仪器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.
【教师活动】 制作测倾器时应注意什么?
【学生活动】 学生观察、交流后得出:支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线要重合,否则测出的角度不
准确.度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线要互相垂直,并且度盘有一个旋转中心是铅垂线
与PQ的交点.当度盘转动时,铅垂线始终垂直向下.
(二)测倾器的使用方法和步骤:
【教师活动】 用测倾器如何测仰角?
【师生活动】 学生思考后,师生共同总结:
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:
1.把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时度盘的顶线PQ在水平
位置.
2.转动度盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数.
(三)测倾器的运用:
课件出示:
【做一做】 根据刚才测量的数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗?说说你的理由.
【师生活动】 根据操作步骤:当度盘的直径对准目标M时,铅垂线指向一个度数,即∠BOA的度数.根
据图形我们不难发现:
∵∠BOA+∠NOA=90°,∠MON+∠NOA=90°,∴∠BOA=∠MON.因此读出∠BOA的度数也就读出了仰角∠MON的度数.
∴测倾器上铅垂线所示的度数就是物体仰角的度数.
【思考】 根据上面的做法,如何用测倾器测量一个低处物体的俯角呢?
【学生活动】 生类比操作:和测量仰角的步骤是一样的,只不过测量俯角时,转动度盘,使度盘的直径
对准低处的目标,记下此时铅垂线所指的度数,同样根据“同角的余角相等”,铅垂线所指的度数就是低处的
俯角.
[设计意图] 了解测倾器的构造,学习其使用方法.目的是在测量时能正确地使用,特别注意测量过程中
要正确、规范地读数.
[过渡语] 前面同学们已经认识了测倾器,下面我们就来探究怎样利用测倾器测量物体的高度.
【活动二】 测量底部可以到达的物体的高度
【教师提示】 所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部
之间的距离.
师引导学生观察并思考下面的问题:
1.如图所示,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据?
2.请说出测量物体MN的高度的一般步骤,需要测得的数据用字母表示.
【学生活动】 学生思考后与同伴交流,统一答案:
1.测量A点到物体底部N点的距离AN、测倾器的高度AC的长以及测量仰角∠MCE的度数.
2.测量底部可以到达的物体的高度的步骤:
(1)在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α.
(2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l.
(3)量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ成水平位置时,它与地面的距离).
【做一做】 根据上面测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由.
【学生活动】 生独立解答后,代表展示:
解:在Rt△MCE中,ME=EC·tan α=AN·tan α=l·tan α,
∴MN=ME+EN=ME+AC=l·tan α+a.
[设计意图] 通过小组合作设计方案,培养学生科学的思维方式及归纳总结的能力,并积累“做数学”
经验.
【活动三】 测量底部不可以到达的物体的高度
【教师提示】 所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的
距离.
师引导学生观察,小组交流,思考下面的问题:
1.要测量物体MN的高度,使用测倾器测一次仰角够吗?
2.如图所示,你能类比活动二的方法得出测量底部不可以到达的物体的高度的一般步骤吗?需要测得的
数据用字母表示.
【师生活动】 学生交流后代表发言,师生共同订正:
1.要测量物体MN的高度,测一次仰角是不够的.2.测量底部不可以到达的物体的高度的步骤:
(1)在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α.
(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A,B与N都在同一条直线上),测得此时M的仰角∠MDE=β.
(3)量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b.
【做一做】 根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由.
【学生活动】 生独立解答后,代表展示:
ME
解:∵在Rt△MDE中,ED= ,
tanβ
ME
在Rt△MCE中,EC= ,∴EC-ED=b,
tanα
MEtanβ-MEtanα
∴ =b,
tanαtanβ
btanαtanβ btanαtanβ
∴ME= ,∴MN= +a.
tanβ-tanα tanβ-tanα
【议一议】 同学们知道了底部不可以到达的物体高度的测量方案,利用这种方案你们可以测量哪些
物体的高度?
【学生活动】 生发挥想象力,并分组讨论这些高度的测量方案和计算方法.
【议一议】
问题(1):到目前为止,有哪些测量物体高度的方法?
【师生小结】 测量物体的高度的方法:
(1)利用三角函数;
(2)利用三角形相似;
(3)利用全等三角形.
问题(2):如果一个物体的高度已知或容易测量,那么如何测量某测点到该物体的水平距离?
【师生小结】 以活动三中的图为例,可以测得M的仰角∠MCE=α,以及测倾器的高AC=a,然后根据
AN=EC即可求出测点A到物体MN的水平距离AN.
[设计意图] 引导学生设计测量底部不可以到达的物体的高度,在交流、展示自己设计的方案的过程
中完善方案,判断其可行性,为下面的实际操作做准备,同时培养学生科学、严谨的做事态度.
【活动四】 设计测量方案,撰写活动报告
你能根据我们学过的测量物体高度的方法完成下面的问题吗?
课件出示:
某校学生去春游,在风景区看到一棵汉柏树,不知这棵汉柏树有多高,下面是两位同学的一段对话:
小明:我站在此处看树顶仰角为45°.
小华:我站在此处看树顶仰角为30°.
小明:我们的身高都是1.6 m.
小华:我们相距20 m.
请你根据这两位同学的对话,计算这棵汉柏树的高度.(参考数据:❑√2≈1.414,❑√3≈1.732,结果保留三个
有效数字)
【教师活动】 引导学生判断是测量底部可以到达的物体的高度还是测量底部不可以到达的物体的
高度,然后从两名学生的对话中分析得到的信息:∠ABE=30°,∠ACE=45°,ED=1.6 m,BC=20 m.【师生活动】 生独立解答后,同伴交流.代表展示,师生共同订正.
解:如图所示,延长BC交DA于E.设AE的长为x m.
在Rt△ACE中,∠ACE=45°,∠AEB=90°,
则∠CAE=45°,∴CE=AE=x.
在Rt△ABE中,∠B=30°,AE=x,
AE x
tan B= ,即tan 30°= ,∴BE=❑√3x.
BE BE
∵BE-CE=BC,BC=20 m,
∴❑√3x-x=20,解得x=10❑√3+10,
∴AD=AE+DE=10❑√3+10+1.6≈28.9(m).
答:这棵汉柏树的高度约为28.9 m.
【学生活动】 撰写活动报告.
[设计意图] 在解决问题的过程中再一次验证测量方案的可行性,巩固新知的同时,利用生活情境设计
问题,培养学生的应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.
1.利用三角函数的知识可以测量物体的高度:
(1)测量倾斜角的方法.
(2)测量底部可以到达的物体的高度的方法和步骤.
(3)测量底部不可以到达的物体的高度的方法和步骤.
2.测量物体的高度的方法:
(1)利用三角函数;
(2)利用三角形相似;
(3)利用全等三角形.
1.(2015·长沙中考)如图所示,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30 m的B处,测得树顶
A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为 ( )
30
A. m B.30sin α m
tanα
C.30tan α m D.30cos α m
解析:在Rt△ABO中,∵BO=30 m,∠ABO为α,∴AO=BOtan α=30tan α(m).故选C.2.某市进行城区规划,工程师需测某楼AB的高度,工程师在D点用高2 m的测角仪CD,测得楼顶端A
的仰角为30°,然后向楼前进30 m到达E,又测得楼顶端A的仰角为60°,则楼AB的高为 .
AG AG AG
解析:在Rt△AFG中,∠AFG=60°,∠AGC=90°,tan∠AFG= ,∴FG= = .在Rt△ACG中,
FG tan∠AFG ❑√3
AG AG AG
∠ACG=30°,tan∠ACG= ,∴CG= =❑√3AG.∵CG-FG=30 m,∴❑√3AG- =30,解得AG=15
CG tan∠ACG ❑√3
❑√3,∴AB=(15❑√3+2)m.故填(15❑√3+2)m.
3.在一次综合实践活动中,小明要测某地一座古塔AE的高度,如图所示,已知塔基AB的高为4 m,他在C
处测得塔基顶端B的仰角为30°,然后沿AC方向走5 m到达D点,又测得塔顶E的仰角为50°.(人的身高忽
略不计)
(1)求AC的距离;(结果保留根号)
(2)求塔高AE.(结果保留整数)
解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=30°,AB=4,
AB AB 4
tan∠ACB= ,∴AC= = =4❑√3(m).
AC tan∠ACB tan30°
答:AC的距离为4❑√3 m.
AE
(2)在Rt△ADE中,∠ADE=50°,AD=5+4❑√3,tan∠ADE= ,
AD
∴AE=AD·tan∠ADE=(5+4❑√3)×tan 50°≈14(m).
答:塔高AE约为14 m.
6 利用三角函数测高
1.利用三角函数的知识可以测量物体的高度:
(1)测量倾斜角的方法.
(2)测量底部可以到达的物体的高度的方法和步骤.
(3)测量底部不可以到达的物体的高度的方法和步骤.
2.利用三角形相似的知识可以测量物体的高度.
3.利用全等三角形的知识也可以测量物体的高度.一、教材作业
【必做题】
教材第23页习题1.7第1,2题.
【选做题】
教材第23页习题1.7第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知A,B两点,如果A对B的俯角为α,那么B对A的仰角为 ( )
A.α B.90°-α
C.90°+α D.180°-α
2.如图所示,为了测量电线杆AB的高度,小明将测倾器放在与电线杆的水平距离为9 m的D处.若测倾器
CD的高度为1.5 m,在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°,则电线杆AB的高度约为 m(精确到0.1
m).(参考数据:sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan 36°≈0.73)
3.如图所示,两建筑物的水平距离BC为18 m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°.则
建筑物CD的高度为 m.(结果不作近似计算)
4.(2014·云南中考)如图所示,小明在M处用高1 m(DM=1 m)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°,再
向旗杆方向前进10 m到F处,又测得旗杆顶端B的仰角为60°,请求出旗杆AB的高度.(取❑√3≈1.73,结果保
留整数)
【能力提升】
5.(2015·衡阳中考)如图所示,为了测得电视塔的高度AB,在D处用高为1 m的测角仪CD,测得电视塔顶端A
的仰角为30°,再向电视塔方向前进100 m达到F处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°,则这个电视塔的高
度AB(单位:m)为 ( )A.50❑√3 B.51
C.50❑√3+1 D.101
6.在一次实践活动中,某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度,他们设计了如下的方案(如图(1)所
示):
(1)在测点A处安置测倾器,测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α;
(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m;
(3)量出测倾器的高度AC=h.
根据上述测量数据,即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变,请仿照上述过程,设计一个测量某小山(如
图(2)所示)高度的方案:
(1)在图(2)中,画出你测量小山高度MN的示意图(标上适当的字母);
(2)写出你的设计方案.
【拓展探究】
7.如图所示,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼
亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的
仰角为60°.已知A点的高度AB为3 m,台阶AC的坡度为1∶❑√3(即AB∶BC=1∶❑√3),且B,C,E三点在同一条直
线上.请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).
【答案与解析】
1.A
2.8.1(解析:在Rt△ACE中,AE=CE·tan 36°=BD·tan 36°=9×tan
36°≈6.57,∴AB=AE+EB=AE+CD≈6.57+1.5≈8.1(m).故填8.1.)
3.12❑√3(解析:首先过点D作DE⊥AB于点E,可得四边形BCDE是矩形,然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE中,
利用正切函数的知识,求得AB与AE的长,进而可求得答案.)
BE
4.解:∵∠BDE=30°,∠BCE=60°,∴∠CBD=60°-∠BDE=30°=∠BDE,∴BC=CD=10 m,在Rt△BCE中,sin 60°= ,即
BC
❑√3 BE
= ,∴BE=5❑√3,AB=BE+AE=5❑√3+1≈10(m).答:旗杆AB的高度大约是10 m.
2 10AG AG ❑√3 AG
5.C(解析:设AG=x,在Rt△AEG中,∵tan∠AEG= ,∴EG= = x.在Rt△ACG中,∵tan∠ACG=
EG ❑√3 3 CG
x ❑√3
,∴CG= =❑√3x,∵CG-EG=100,∴❑√3x- x=100,解得x=50❑√3,则AB=50❑√3+1(m).故选C.)
tan30° 3
6.解:(1)画出示意图如图所示. (2)①在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α.②在测点B处安
置测倾器(A,B与N在同一条直线上),测得此时山顶M的仰角∠MDE=β.③量出测倾器的高度AC=BD=h,以及
测点A,B之间的距离AB=m.根据上述测量数据,即可求出小山的高度MN.
7.解:如图所示,过点A作AF⊥DE于F,则四边形ABEF为矩形,∴AF=BE,EF=AB=3.设DE=x,在Rt△CDE中,
DE ❑√3 AB 1
∠DCE=60°,∴CE= = x.在Rt△ABC中,∵ = ,AB=3,∴BC=3❑√3.在Rt△AFD中,DF=DE-
tan60° 3 BC ❑√3
x-3 ❑√3
EF=x-3,∠DAF=30°,∴AF= =❑√3(x-3).∵AF=BE=BC+CE,∴❑√3(x-3)=3❑√3+ x,解得x=9.∴DE=9
tan30° 3
m.答:树的高度为9 m.
这节课采用了学生分组活动与全班交流研讨相结合的方法探究测量物体高度的方案,并利用探索出的
方案解决生活问题.本节课给了学生足够多的活动空间,通过师生互动、生生互动等活动,让学生积极参与
到活动中来,激发学生学习的兴趣,让学生自主探究利用三角函数测高的步骤和方法,并会对测量物体的高度
的方案进行设计.让学生用已有的知识解决生活实际问题,体验数学来源于生活,应用于生活,进一步掌握从
实际问题到解直角三角形的建模过程.另外,通过小组合作交流形式,让学生积极参与数学活动,对数学产生
好奇心,培养学生独立思考问题的习惯,并在数学活动中获得成功的体验,建立自信心.
在探究时给学生充分的自主讨论交流时间,导致后面的当堂检测题处理得比较仓促,部分学生接受起来
可能有些困难.
针对每种测量方案都给出具体的事例让学生去实践,以检验自己所设计方案的可行性.复习题(教材第24页)
❑√2-1+2❑√3 3-2❑√3+3❑√2
1.解:(1) . (2)0. (3) .
2 6
2.解:(1)0.7841. (2)0.0374. (3)0.7566.
3.解:(1)∠A=45°. (2)a=4❑√3,∠A=60°. (3)a=b=4❑√2.
4 4
4.sin A= ,tan A= .
5 3
5.(1)∠A≈42°27'15″. (2)∠B≈85°28'29″. (3)∠C≈88°23'28″.
❑√3 ❑√2
-
cos30°-sin45° 2 2 (1) 2 ❑√3 (❑√3) 2 1
6.解:(1) = =1. (2)原式= +2× +1-❑√3+ = +❑√3+1-
sin60°-cos45° ❑√3 ❑√2 2 2 2 4
-
2 2
3
❑√3+ =2. (3)原式=❑√(1-tan60°)2-tan 60°=tan 60°-1-tan 60°=-1.
4
1 ❑√3
7.解:AC=2❑√3,BC=2,sin A= ,cos A= .
2 2
1 1 1
9.解:(1)tan∠ABC= tan∠ADC. (2)tan∠ABC= tan∠ADC. (3)tan∠ABC= ·tan∠ADC.
2 3 n+1
10.CD≈5.82 m[提示:CD=BD-BC=20tan 56°-20tan 50°≈5.82(m).]
100
11.船与观测者之间的水平距离约为173.2 m.[提示:水平距离= ≈173.2(m).]
tan30°
12.解:(1)如图所示,由两直线平行,内错角相等得∠ABD=60°.∵∠CBE=30°,∴∠ABC=90°.∵AB=BC=10 km,∴AC=
❑√AB2+BC2=10❑√2≈14.1(km). (2)∵AB=BC,∴∠CAB=∠C=45°,∴C港在A港北偏东60°-45°=15°的方向
上.
PT
13.解:依题意知PQ=180 m,∠PTQ=50°,∴∠PQT=40°.∵tan∠PQT= ,∴PT=PQ·tan 40°≈180×0.839≈151(m).
PQ
AC 6.3
14.解:在Rt△ABC中,AC=6.3,BC=9.8,∴tan B= = .∴∠B≈32°44'7″.因此射线与皮肤的夹角为32°44'7″.
BC 9.8
BC 1
15.解:(1)在Rt△ACB中,∵AB=4 m,∠ABC=60°,cos∠ABC= ,∴BC=AB·cos 60°=4× =2(m). (2)在Rt△DCE
AB 2
CD 2.3
中,∵CD=2.3 m,ED=4 m,∴sin∠DEC= = =0.575,∴∠DEC≈35°5'58.68″.
ED 4BC ❑√3
16.解:如图所示,在Rt△ACB中,∵AC=30 m,∠BAC=30°,tan∠BAC= ,∴BC=AC·tan 30°=30× =10❑√3
AC 3
≈17.3(m).∵CE=AD=40 m,∴BE=BC+CE=17.3+40≈57(m),∴乙楼高约57 m.
BE BC
17.解:在Rt△BED中,tan∠BDE= .在Rt△ACB中,tan∠BAC=
DE AC
BC-EC BC
.∵∠BDE=30°,∠BAC=60°,DE=AC,EC=AD=30 m,∴tan 30°= ,即BC-30=AC·tan 30°.又tan 60°= ,
AC AC
❑√3 2❑√3 45
即BC=AC·tan 60°,∴❑√3AC-30= AC,∴ AC=30,∴AC= =15❑√3≈25.98(m),∴BC≈25.98×❑√3
3 3 ❑√3
≈45.00(m).
18.解:设渔船到海岛A的最近距离为x n mile,由题意得❑√3(❑√3x-12)=x,解得x=6❑√3>8,所以渔船没有触礁
的危险.
AD DE 1 0.6
19.解:过点C作CF⊥AB于F,则△ADE∽△ACF,∴ = ,即 = ,∴CF=2.7 m.∵BC=2.8 m,∴sin
AC CF 4.5 CF
CF 2.7
α= = ≈0.9643,∴α≈74°38'39.14″.
CB 2.8
BE
20.解:如图所示,连接BD,过点B作BE⊥CD于E,过点D作DF⊥AB于F,在Rt△BEC中,sin C=
BC
❑√3 DF ❑√3
,∴BE=BC·sin 60°=20× =10❑√3(m).在Rt△AFD中,sin A= ,∴DF=AD·sin 60°=30× =15❑√3(m),∴S
2 AD 2 四
1 1 1 1
=S +S = AB·DF+ CD·BE= ×50×15❑√3+ ×50×10❑√3=625❑√3≈1082.53(m2).
边形ABCD △ABD △CBD 2 2 2 2
21.解:(1)如图所示,过A作AG⊥CD于G,过E作EF⊥CD于F,依题意知AB=5 m,BC=30
DF ❑√3
m,∠DEF=30°,EB=1.4 m.在Rt△DFE中,∵tan∠DEF= ,∴DF=BC·tan 30°=30× =10❑√3
EF 3(m),∴DC=DF+FC=DF+EB=10❑√3+1.4≈18.72(m). (2)∵GC=AB=5 m,∴DG=DC-GC≈18.72-
5=13.72(m).∵AG=BC=30 m,∴AD=❑√AG2+DG2≈❑√302+13.722≈32.99(m).
22.提示:各边长约为0.34 m,0.34 m,0.66 m.
A A 1
23.解:(1)由勾股定理可知OA=❑√2,OA=❑√3,OA=❑√4,…,OA=❑√n+1.∵tan∠AOA= 0 1 =
1 2 3 n 0 1 OA 1
0
A A 1 A A 1
1 2 2 3
,∴∠AOA=45°.∵tan∠AOA= = ,∴∠AOA≈35°15'51.8″.∵tan ∠AOA= =
0 1 1 2 OA ❑√2 1 2 2 3 OA ❑√3
1 2
A A 1 1
,∴∠AOA=30°. (2)∵tan 20°≈0.3640,tan∠A OA= n-1 n =
2 3 n-1 n OA ❑√n tan20°
n-1
≈2.7473,∴n>7.5477,∴n的值为8.
本节课探究学习的主要任务是掌握利用测倾器测倾斜角和测量物体高度的方法,所以前提条件是要对
测倾器有足够的了解,学生在课前可以自己制作一个简单的测倾器,这样就会非常熟悉其操作原理,对于活动
一,测量倾斜角就会感觉非常容易;对于活动二、三的探究,分组讨论和全班的交流讨论就显得尤为重要,要
积极投身其中,区分测量底部可以到达的物体的高度和底部不可以到达的物体的高度的方法,熟练掌握各种
方案的步骤,并利用所学知识解决实际问题,达到学以致用.
测量物体的高度时容易漏掉测倾器的高度.
李明带领小组成员做了测量电线杆高度的活动,在离电线杆21 m的D点,用高1.2 m的测角仪
CD测得电线杆顶端A的仰角α=30°,则电线杆AB的高为 m.
【错解】 7❑√3
【错解分析】 在利用三角函数计算出AE的长度后,忽略测倾器的高度,漏加CD,造成错误.
【正解】 7❑√3+1.2
【正解分析】 CE=DB=21 m,BE=CD=1.2 m.在Rt△ACE中,∠α=30°,CE=21 m,∴AE=CE·tan 30°=7❑√3
(m),∴AB=AE+BE=(7❑√3+1.2)m.(2014·绍兴中考)九(1)班同学在上学期的社会实践活动中,对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行
了测量.
(1)如图(1)所示,第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上,使得DB与CB的长度相等,如果测量得到
∠CDB=38°,求护墙与地面的倾斜角α的度数.
(2)如图(2)所示,第二小组用皮尺量得EF为16 m(E为护墙上的端点),EF的中点离地面FB的高度为1.9
m,请你求出E点离地面FB的高度.
(3)如图(3)所示,第三小组利用第一、第二小组的结果来测量护墙上旗杆的高度,在点P测得旗杆顶端A
的仰角为45°,向前走4 m到达Q点,测得A的仰角为60°,求旗杆AE的高度(精确到0.1 m).
备用数据:tan 60°≈1.732,tan 30°≈0.577,❑√3≈1.732,❑√2≈1.414.
〔解析〕 (1)根据∠α=2∠CDB即可得出答案.(2)设EF的中点为M,过M作MN⊥BF,垂足为点N,过点
E作EH⊥BF,垂足为点H,如图所示,根据EH=2MN即可求出E点离地面FB的高度.(3)延长AE,交PB的延长
AC x+3.8
线于点C,设AE=x,则AC=x+3.8,CQ=x-0.2,根据 =❑√3得出 =❑√3,求出x即可.
QC x-0.2
解:(1)∵BD=BC,∴∠CDB=∠DCB,
∴∠α=2∠CDB=2×38°=76°.
(2)设EF的中点为M,如图所示,过M作MN⊥BF,垂足为点N,过点E作EH⊥BF,垂足为点H,
∵MN∥EH,MN=1.9,∴EH=2MN=3.8(m),
∴E点离地面FB的高度是3.8 m.
(3)延长AE,交PB于点C,如图所示,设AE=x,则AC=x+3.8,
∵∠APB=45°,∴PC=AC=x+3.8.
∵PQ=4,∴CQ=x+3.8-4=x-0.2,
AC
∴tan∠AQC= =tan 60°=❑√3,
QC1
x+3.8 3.8+ ❑√3
∴ =❑√3,解得x= 5 ≈5.7,
x-0.2
❑√3-1
∴AE≈5.7 m.
答:旗杆的高度约是5.7 m.
[解题策略] 此题考查了解直角三角形的应用,用到的知识点是仰角的定义,能作出辅助线并借助仰角
构造直角三角形是解本题的关键.
1.经历回顾与思考,建立本章的知识框架图.
2.利用计算器,发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系.
3.进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用.
1.体会数形之间的联系,逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题.
2.进一步体会三角函数在现实生活中的广泛应用,增强应用数学的意识.
1.在独立思考问题的基础上,积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点,并尊重与理解他人的见
解,在交流中获益.
2.认识到数学是解决现实问题的重要工具,提高学习数学的自信心.
【重点】
1.建立本章的知识结构框架图.
2.应用三角函数解决现实生活中的问题,进一步理解三角函数的意义.
【难点】 应用三角函数解决相关的实际问题.对边
{正弦= }
{ 斜边
锐角三角 邻边 三角函
余弦=
函数的概念 斜边 数的关系
对边
正切=
邻边
特殊角的三角函数值
{
锐角三角 利用锐角求三角函数值
直角三角形的边角关系
函数的计算 利用三角函数值求锐角
解直角三角形
坡度
{ {
解决问题 仰角、俯角
应用 方向角
测物体{可以到达物体的底部
的高度 不可以到达物体的底部
一、锐角三角函数的意义
1.锐角三角函数的定义:
∠A的对边
(1)正切:tan A= (tan A>0).
∠A的邻边
∠A的对边
(2)正弦:sin A= (045,∴连接A,B两市的高速
tanα+tanβ 1.627+1.373 3
公路不穿过风景区.AC 4
20.解:(1)在Rt△ABC中,sin B= = .∵AC=8,∴AB=10,BC=❑√AB2-AC2=❑√102-82=6.又∵BD=BC-
AB 5
AC
CD,CD=2,∴BD=6-2=4. (2)在Rt△ACD中,AD=❑√AC2+DC2=❑√82+22=2❑√17,∴cos∠DAC= =
AD
8 4❑√17
= .
2❑√17 17
21.解:根据图形,得∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°,根据折叠的性质,得∠EFC=∠EDC=90°,即∠AFE+∠BFC=90°.在
Rt△BCF中,由∠BCF+∠BFC=90°,易得∠AFE=∠BCF.在Rt△BFC中,根据折叠的性质,得CF=CD.又
3 3
BC=8,CF=CD=10,由勾股定理,易得BF=6,则tan∠BCF= ,故tan∠AFE=tan∠BCF= .
4 4
22.解:(1)在Rt△ACD中,∵∠ADB=30°,AC=6 m,∴AD=2AC=12(m),∴AD的长度为12 m. (2)在Rt△ABC中,AB=
AC
=4❑√3(m),∴AD-AB=12-4❑√3≈5.1(m),∴改善后的滑梯会加长约5.1 m.
sin60°
BF
23.解:过B作BF⊥AD于F.在Rt△ABF中,∵sin∠BAF= ,∴BF=ABsin∠BAF=2.1sin 40°≈1.350,∴真空管上端
AB
AF
B到AD的距离约为1.350 m.在Rt△ABF中,∵cos∠BAF= ,∴AF=ABcos∠BAF=2.1cos
AB
40°≈1.609.∵BF⊥AD,CD⊥AD,又BC∥FD,∴四边形BFDC是矩形,∴BF=CD,BC=FD,∴AD=AF+FD≈1.809.在
ED
Rt△EAD中,∵tan∠EAD= ,∴ED=ADtan∠EAD≈1.809tan 25°≈0.843,∴CE=CD-ED≈1.350-
AD
0.843=0.507≈0.51.∴铁架垂直管CE的长约为0.51 m.
1
24.解:如图所示,过D作DF⊥AC,DE⊥BC,垂足分别为F,E,在Rt△AFD中,AD=200 m,∠DAF=30°,∴DF=
2
AD=100 m,∴AF=AD·cos 30°=100❑√3 m.又∵∠C=90°,∴四边形DFCE是矩形,∴EC=DF=100 m.设DE为x m,
则FC=x m,在Rt△DEB中,∵∠BDE=60°,∴BE=DE·tan 60°=❑√3
x(m).∵∠BAC=45°,∠C=90°,∴∠ABC=45°,∴AC=BC,而AC=AF+FC=100❑√3+x,BC=BE+EC=❑√3x+100,∴100❑√3
+x=❑√3x+100,∴(❑√3-1)x=100(❑√3-1),∴x=100,∴BC=BE+EC=100❑√3+100≈273(m).答:山的高度BC约为273
m.
