文档内容
1．1 锐角三角函数
第 1 课时 正切与坡度
1．理解正切的意义，并能举例说明；(重点)
2．能够根据正切的概念进行简单的计算；(重点)
3．能运用正切、坡度解决问题．(难点)
一、情境导入
观察与思考：
某体育馆为了方便不同需求的观众，设计了不同坡度的台阶．
问题1：图①中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？
问题2：如何描述图②中台阶的倾斜程度？除了用∠A的大小来描述，还可以用什么方
法？
方法一：通过测量BC与AC的长度算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度；
方法二：在台阶斜坡上另找一点B ，测出BC 与AC 的长度，算出它们的比，也能说
1 1 1 1
明台阶的倾斜程度．
你觉得上面的方法正确吗？
二、合作探究
探究点一：正切
【类型一】 根据正切的概念求正切值
分别求出图中∠A、∠B的正切值(其中∠C＝90°)．由上面的例子可以得出结论：直角三角形的两个锐角的正切值互为________．
解析：根据勾股定理求出需要的边长，然后利用正切的定义解答即可．
解：如图①，tan∠A＝＝，tan∠B＝＝；如图②，BC＝＝48，tan∠A＝，tan∠B＝.
因而直角三角形的两个锐角的正切值互为倒数．
方法总结：求锐角的三角函数值的方法：利用勾股定理求出需要的边长，根据锐角三
角函数的定义求出对应三角函数值即可．
【类型二】 在网格中求正切值
已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在
小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．
解析：先证明△ACD≌△BCE，再根据tan∠ADC＝tan∠BEC即可求解．
解 ： 根 据 题 意 可 得 AC ＝ BC ＝ ＝，CD ＝ CE ＝ ＝，AD ＝ BE ＝ 5 ，
∴△ACD≌△BCE(SSS)．∴∠ADC＝∠BEC.∴tan∠ADC＝tan∠BEC＝.
方法总结：三角函数值的大小是由角度的大小确定的，因此可以把求一个角的三角函
数值的问题转化为另一个与其相等的角的三角函数值．
【类型三】 构造直角三角形求三角函数值
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，D为AC的中点，求tan∠ABD的值．
解析：设AC＝BC＝2a，根据勾股定理可求得AB＝2a，再根据等腰直角三角形的性质，
可得DE与AE的长，根据线段的和差，可得BE的长，根据正切三角函数的定义，可得答
案．
解：如图，过D作DE⊥AB于E.设AC＝BC＝2a，根据勾股定理得AB＝2a.由D为AC
中点，得AD＝a.由∠A＝∠ABC＝45°，又DE⊥AB，得△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝
AE＝.∴BE＝AB－AE＝，tan∠ABD＝＝.
方法总结：求三角函数值必须在直角三角形中解答，当所求的角不在直角三角形内时，
可作辅助线构造直角三角形进行解答．
探究点二：坡度
【类型一】 利用坡度的概念求斜坡的坡度 ( 坡比 )堤的横断面如图．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的
坡度是( )
A．1∶3 B．1∶2.6 C．1∶2.4 D．1∶2
解析：由勾股定理得AC＝12米．则斜坡AB的坡度＝BC∶AC＝5∶12＝1∶2.4.故选C.
方法总结：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，
反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1∶m的形式．
【类型二】 利用坡度解决实际问题
已知一水坝的横断面是梯形ABCD，下底BC长14m，斜坡AB的坡度为3∶，另
一腰CD与下底的夹角为 45°，且长为4m，求它的上底的长(精确到0.1m，参考数据：
≈1.414，≈1.732)．
解析：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，根据已知条件求出AE＝DF
的值，再根据坡度求出BE，最后根据EF＝BC－BE－FC求出AD.
解：过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC，垂足分别为E、F.∵CD与BC的夹角为
45°，∴∠DCF＝45°，∴∠CDF＝45°.∵CD＝4m，∴DF＝CF＝＝4(m)，∴AE＝DF＝
4m.∵斜坡AB的坡度为3∶，∴tan∠ABE＝＝＝，∴BE＝4m.∵BC＝14m，∴EF＝BC－BE
－CF＝14－4－4＝10－4(m)．∵AD＝EF，∴AD＝10－4≈3.1(m)．
所以，它的上底的长约为3.1m.
方法总结：考查对坡度的理解及梯形的性质的掌握情况．解决问题的关键是添加辅助
线构造直角三角形．
三、板书设计
正切与坡度
1．正切的概念
在直角三角形ABC中，tanA＝.
2．坡度的概念
坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，也就是坡角的正切值．
在教学中，要注重对学生进行数学学习方法的指导．在数学学习中，有一些学生往往不注
重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一
些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结
进一步帮助学生理解和掌握基本概念、基础知识
