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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.4解直角三角形
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020•吉林一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 过点 ，则 的值是
A． B． C． D．2
【分析】如图，作 轴于 ．利用勾股定理求出 ，根据三角函数的定义解决问题即可．
【解析】如图，作 轴于 ．
，
， ，
，
，
故选： ．
2．（2020秋•兰陵县期末）如图，在给出网格中，小正方形的边长为1，点 ， ， 都在格点上，则A． B． C． D．
【分析】过点 作 于 ．利用勾股定理求出 ，可得结论．
【解析】过点 作 于 ．
，
，
故选： ．
3．（2019 春•思明区校级月考）如图， 中， ， ，若 ，则
A． B． C． D．
【分析】先过点 作 于点 ，由等腰三角形的性质得出 ，得出 ．
再在 中，由勾股定理得 的长，利用锐角三角函数的定义，即可得出答案．【解析】过点 作 于点 ，如图所示：
，
， ，
，
．
在 中，由勾股定理得
，
．
故选： ．
4．（2021•雁塔区校级二模）如图，在 中， ， ， 为 边上一点，且
，若 ，则 的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】过点 作 ，垂足为 ．根据等腰三角形的性质先求出 ，再在直角 中求出 ，
求 与 的差可得结论．
【解析】过点 作 ，垂足为 ．
， ，．
在 中，
， ，
又 ，
．
．
故选： ．
5．（2020•安徽）如图， 中， ，点 在 上， ．若 ， ，
则 的长度为
A． B． C． D．4
【分析】在 中，由锐角三角函数求得 ，再由勾股定理求得 ，最后在 中由锐角三角函数
求得 ．
【解析】 ， ， ，
，
，．
，
，
故选： ．
6．（2021•黑龙江）如图，在 中， ，点 在 的延长线上，连接 ，若 ，
，则 的值为
A．1 B．2 C． D．
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出 ，再根据
，设参数表示 、 即可求出答案．
【解析】过点 作 ，交 的延长线于点 ，
， ，
，
，
，
，
在 中，由于 ，设 ，则 ，
又 ，
， ，
，
故选： ．
7．（2020秋•来宾期末）如图，在 中， ， ， 是 的中点， 交
于点 ，则 的值为
A． B． C． D．
【分析】先证 ．设 ，则 ，再证 ，由相似三角形的
性质可求出 的值，即可解决问题．
【解析】 在 中， ， ，
， ，
是 中点， ，
， ，，
，
，
设 ，则 ，
， ，
，
，
即 ，
解得： ， （舍去），
，
，
解法二： 在 中， ， ，
， ，
是 中点， ，
， ，
，
，
，
设 ，则 ，
， ，
，
，
，
为 上靠近 点的黄金分割点，，
，
，
，
故选： ．
8．（2021•句容市模拟）如图，在四边形 中， ， ， ， ，则
的值为
A． B． C． D．2
【分析】延长 、 ，两线交于 ，解直角三角形求出 ，求出 ，根据勾股定理求出 ，求出
，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
【解析】延长 、 ，两线交于 ，
在 中， ， ， ，
，，
，
在 中， ， ， ，由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
故选： ．
9．（2021•绍兴模拟）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 、 、 、 都在这些小正方形
的顶点上， 、 相交于点 ，则
A． B．3 C． D．2
【分析】根据网格，设出小正方形的边长为1，表示出 ，再根据平行线分线段成比例定理可
得出 ，进而在 中，由正切的意义求值即可．
【解析】设小正方形的边长为1，
由图形可知， ，
是等腰直角三角形，
．，
，
，
，
．
故选： ．
10．（2020•宁波模拟）如图， ， 为四边形 的对角线， ， ， ．
若 ．则 的值是
A． B． C． D．
【分析】根据 ，得出 的度数，则在 中，设 ，则 ；证明
为等边三角形，过点 作 ，交 于点 ，设 与 交于点 ，则 ，从而
，设 ，则 ，根据 列出关于 的方程，解得 值，
则可求得 的值．
【解析】 ，
，
，
，
设 ，则 ，，
，
，
，
为等边三角形，
过点 作 ，交 于点 ，设 与 交于点 ，如图，
则有： ， ，
设 ，则 ，
， ，
，
，
，
，
解得： ，
．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•滨湖区模拟）在 中， ， ， ，则 的面积是 ．【分析】首先作过 ，再利用 ， ，求出 ，即可得出结果．
【解析】过 作 于 ，如图所示：
在 中， ， ， ，
，
，
，
故答案为： ．
12．（2020秋•成都期末）在 中， ， 是 边上的中线， ， ，则
．
【分析】过 作 于点 ，则 是 的中位线，即可求得 的长，在直角 中．利用
勾股定理即可求得 的长，根据正切的定义即可求解．
【解析】如图，过 作 于点 ．
则 ．
是 边上的中线，是 的中位线．
．
在直角 中， ，
，
故答案是： ．
13．如图所示， 是 的中线， ， ， ，则 的面积为 84
．
【分析】延长 至 ，使 ，作 于点 ，判定 ．设 ，用含
的式子分别表示出 、 、 、 ，然后在 中，由勾股定理可得关于 的方程，解得 的
值，则可得 和 的长，则 的面积等于 面积的2倍，问题得解．
【解析】如图，延长 至 ，使 ，作 于点 ，
，
设 ， ，则 ，
在 和 中，
，．
，
， ，
， ．
在 中， ，
解得： ，
，
的面积为： ．
故答案为：84．
14．（2020秋•成华区期末）如图，在 的正方形网格（每个小正方形的边长都是 中， 的顶点
都在小正方形的顶点上，则 ．
【分析】如图，过点 作 于 ．利用勾股定理求出 即可解决问题．
【解析】如图，过点 作 于 ．
在 中， ， ，
，
．
故答案为： ．15．（2020•杭州模拟）在 中， ， ， ， 为直线 上的一点，若 ，
则 的值为 或 ．
【 分 析 】 作 于 点 ， 根 据 ， ， ， 可 得 ， ，
， ，分两种情况画图：①如图1，点 在 边上时，②如图2，点 在 延长
线上时，进而可求 的值．
【解析】作 于点 ，
， ， ，
， ，
， ，
①如图1，点 在 边上时，
， ， ，
，
在 中，
；
②如图2，点 在 延长线上时，
，
在 中，
．
综上所述： 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
16．（2019•丹棱县模拟）如图，在 中， ， ，延长 至 ，使 ，则 的值是 ．
【分析】根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和可得 的度数为15度，进而可得 的
度数为75度，再根据锐角三角函数即可求出75度的正切值．
【解析】 ， ，
，
，
，
，
在 中， ，
．
故答案为： ．
17．（2021•山西模拟）如图，在 中， ， ，点 在边 上，点 在边 上，
， ，如果 的面积是6，那么 的长是 ．
【分析】如图，过点 作 于 ，过点 作 交 的延长线于 ．解直角三角形求出
， 即可解决问题．
【解析】如图，过点 作 于 ，过点 作 交 的延长线于 ．，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
18．（2021•江岸区模拟）如图，在 中， ， ，垂足为点 ，线段 与线段
相交于点 ，且 ，连接 ， ，若 ，则 的值为 ．【 分 析 】 在 上 取 一 点 ， 使 ， 连 接 ， 证 明 ， 得 出
，由勾股定理得出 ， ，再由
三角函数定义即可得出答案．
【解析】在 上取一点 ，使 ，连接 ，如图所示：
，
，
， ，
，
，
，
，
在 和 中， ，，
，
，
，
；
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•阜宁县期末）在 中， ， ， ，解这个直角三
角形．
【分析】利用三角形内角和定理构建方程组求出 ， 的值，推出 ，解方程组求出 ， ，即
可解决问题．
【解析】 ，
，
，
，
由 ，解得 ，
，
．
20．（2020秋•肃州区期末）在 中， 为直角， ， ， 所对的边分别为 ， ， ，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素：
（1）已知 ， ；
（2）已知 ， ．
【分析】（1）利用直角三角形的两个锐角互余，先求出 ，再根据直角三角形中 角所对的边等于斜
边的一半，求出边 的长，最后利用勾股定理求出边 的长；
（2）利用勾股定理先求出斜边 的长，再利用正弦求出一个锐角，最后利用两个锐角互余求出另一个的角．
【解析】（1） ， 为直角，
．
， ，
．
；
（2） 为直角， ， ，
．
，
．
．
21．（2021•鹿城区校级三模）如图， 中， ， 是 边上的中线，过点 作
于点 ， ．
（1）求 的长；
（2）若 ，求 的面积．【分析】（1）在直角 中，利用 的余弦函数求出 ；
（2）利用等腰直角三角形的性质先求出 ，再在直角 中利用 的正弦函数和勾股定理求出
、 ，最后求出 的面积．利用三角形中线的性质可得结论．
【解析】（1） ，
．
在 中，
，
．
（2） ， ．
．
．
，
．
．
．
．
是 边上的中线，
．22．（2021春•昌江区校级期末）如图，在 中， 是中线， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的度数．
【分析】（1）过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，解直角三角形分别求出 ， ，可得结论．
（2）如图，过点 作 于 ，连接 ．分别求出 ， ，可得结论．
【解析】（1）过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，
在 中，
，
，
，
在 中，
，
，
，；
（2）如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
23．（2019秋•锦江区校级期中）已知： 是四边形 的对角线， ， ， ，
，
（1）求 的值；
（2）求 的长．【分析】（1）过点 作 于点 ，根据 求出 、 ，再求出 ，从而得到
，然后求出 ，再求出 ，然后根据特殊角的三角函数值解答；
（2）过点 作 于点 ，求出 ，再求出 ，然后求出 ，在 中，利用
勾股定理列式计算即可得解．
【解析】（1）过点 作 于点 ，
在 中， ， ，
， ，
，
，
，
在 中， ，
， ，
；
（2）过点 作 于点 ．
在 中， ， ，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ．24．（2021•青浦区二模）如图，在 中， ， ， ， 是边 上一
点，且 ， ，垂足为点 ．
（1）求 的长；
（2）求 的正切值．
【分析】（1）过 点作 于 ，如图，利用等腰三角形的性质得到 ，再证明
，则 ，然后利用正弦的定义求出 ，从而得到 的长；
（2）在 中先求出 ，则 ，再证明 ，则 ，利用正弦
的定义求出 ，接着利用勾股定理计算出 ，然后根据正切的定义求解．
【解析】（1）过 点作 于 ，如图，
，
，
， ，
，
，
在 中， ，
；（2）在 中， ，
，
，
，
而 ，
，
，
，
，
在 中， ．
