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专题 1.4 证明综合
【例题精讲】
【例1】在 中， ， 是 的中点， 是 的中点，过点 作
交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）证明四边形 是菱形；
（3）若 ， ，求菱形 的面积．
【题组训练】
1．如图，在四边形 中， ， ，对角线 ， 交于点 ， 平
分 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接
DF．
（1）求证：∠BAC＝∠DAC．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．3．如图，已知 中， 是 的中点，过点 作 交 于点 ，过点 作
交 于点 ，连接 、 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ， ，求 的长．
4．如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点 ，过点 作 于点 ，延长
至 ，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求 的长．
5．已知：如图，平行四边形 中， 为对角线 、 的交点， 平分 ．
在 上截取 ，在 上截取 ．连结 、 、 、 ．
（1）求证： 是菱形．
（2）判断四边形 的形状并证明．6．如图，在矩形 中， ， ，点 是 边上一点（不与 ， 重合），
连接 ，过点 作 交 边于点 ，连接 ．
（1）当 时，求 的长；
（2）取 的中点 ，连接 ， ， ，求 的长．
7．在 中， ， 是 的中点， 是 的中点，过点 作
交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）证明四边形 是菱形；
（3）若 ， ，求菱形 的面积．
8．如图，在 中， ， 为 的中线，过点 作 于点 ，过
点 作 的平行线，交 的延长线于点 ，在 的延长线上截取 ，连接
、 ．
（1）求证： ；
（2）求证：四边形 为菱形；
（3）若 ， ，求四边形 的周长．9．如图，在 中， 于点 ，延长 至 点使 ，连接 ， ，
．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ， ，求 的长．
10．如图，在 中， ， 分别是 ， 上的点，且 ， ．求
证：四边形 是菱形．
11．如图， 、 相交于点 ，且 是 、 的中点，点 在四边形 外，且
，求证：四边形 是矩形．
12．如图，在边长为4的正方形 中，点 为对角线 上一动点（点 与点 、
不重合），连接 ，作 交射线 于点 ，过点 作 分别交 、
于点 、 ，作射线 交射线 于点 ．
（1）求证： ；（2）当 时，求 的长．
13．如图，在四边形 中， ， ，对角线 、 交于 ， 平
分 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ，若 ， ，求
的长．
14．如图，在 中， ， 是 的中点， 是 的中点，过点 作
交 的延长线于点 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求菱形 的面积．
15．如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ， ， ， 与
交于点 ．
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）若 ， ，求菱形 的面积．16．如图，在四边形 中，对角线 与 交于点 ，已知 ， ，
过点 作 ，分别交 、 于点 ， ，连接 ， ， ．
（1）求证：四边形 是菱形：
（2）设 ， ， ，求 的长．
17．如图，在正方形 中，点 、 分别为边 、 上两点， ，过点
作 ，且点 为边 延长线上一点．
① 吗？说明理由．
②若线段 ， ，求线段 的长度．
③若 ， ．求线段 的长度．
18．如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ，且
．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求 的度数．19．如图， 中， 是 上一点， 于点 ， 是 的中点， 于
点 ，与 交于点 ，若 ， 平分 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）小亮同学经过探究发现： ．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若 ，判定四边形 是否为菱形，并说明理由．
20．在 中， ， 是 边上的中线，点 为 的中点，过点 作
交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）填空：①当 时，四边形 为正方形；
②连接 ，当 时，四边形 为菱形．
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