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专题 1.4 证明综合
【例题精讲】
【例1】在 中， ， 是 的中点， 是 的中点，过点 作
交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）证明四边形 是菱形；
（3）若 ， ，求菱形 的面积．
【解答】（1）证明： ，
，
是 的中点，
，
在 和 中，
；
（2）证明：由（1）知， ，则 ．
为 边上的中线
，
．
，
四边形 是平行四边形，
， 是 的中点， 是 的中点，
，
四边形 是菱形；（3）连接 ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形，
．
【题组训练】
1．如图，在四边形 中， ， ，对角线 ， 交于点 ， 平
分 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明： ，
，
为 的平分线，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，是菱形；
（2）解： 四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
．
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接
DF．
（1）求证：∠BAC＝∠DAC．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：（1）∵在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
3．如图，已知 中， 是 的中点，过点 作 交 于点 ，过点 作
交 于点 ，连接 、 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【解答】解：（1）证明：如图，
在 中，点 是 的中点，
，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，点 是 的中点，即 垂直平分 ，
，
平行四边形 是菱形．
（2）如图，过点 作 于点 ，
由（1）知四边形 是菱形，又 ， ，
， ， ，，
，
，
，
， ，
，
，
，
．
4．如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点 ，过点 作 于点 ，延长
至 ，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】解：在菱形 中，有 且 ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形；
（2）设 ，则 ，
则 ，
在直角三角形 中，有 ，
，解得： ，
．
5．已知：如图，平行四边形 中， 为对角线 、 的交点， 平分 ．
在 上截取 ，在 上截取 ．连结 、 、 、 ．
（1）求证： 是菱形．
（2）判断四边形 的形状并证明．
【解答】证明：（1）在平行四边形 中，有 ，
，
平分 ，
，
，
，
为菱形．
（2）四边形 为正方形．
证明： 为菱形，
且 ，
， ，
， ， ， 都是全等的等腰直角三角形，
四边形 为正方形．
6．如图，在矩形 中， ， ，点 是 边上一点（不与 ， 重合），
连接 ，过点 作 交 边于点 ，连接 ．
（1）当 时，求 的长；
（2）取 的中点 ，连接 ， ， ，求 的长．【解答】解：（1） ，
， ，
， ，
，
在 中， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
解得 ，
．
（2）方法1，如图2，过 作 于 ，则 ，
，
，
，
，
，
是 的中点，
， ，
，
在 和 中，，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
是梯形 的中位线，
，即 ，
．
方法2、 点 是 的斜边 中点，
，
，
点 是 的斜边的中点，
，
，，
，
， ，
， ，
，
，
，
．
7．在 中， ， 是 的中点， 是 的中点，过点 作
交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）证明四边形 是菱形；
（3）若 ， ，求菱形 的面积．
【解答】（1）证明：① ，，
是 的中点， 是 的中点，
， ，
在 和 中，
，
；
（2）证明：由（1）知， ，则 ．
，
．
，
四边形 是平行四边形，
， 是 的中点，
，
四边形 是菱形；
（3）连接 ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形，
．
8．如图，在 中， ， 为 的中线，过点 作 于点 ，过
点 作 的平行线，交 的延长线于点 ，在 的延长线上截取 ，连接、 ．
（1）求证： ；
（2）求证：四边形 为菱形；
（3）若 ， ，求四边形 的周长．
【解答】（1）证明： ， 为 的中线，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
又 点 是 中点，
，
；
（2）证明： ，
四边形 是菱形，
（3）解：设 ，则 ， ，
在 中， ，
，即 ，
解得： ，
四边形 的周长 ．
9．如图，在 中， 于点 ，延长 至 点使 ，连接 ， ，
．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ， ，求 的长．【解答】（1）证明： ，
．
即 ．
在 中， 且 ，
且 ．
四边形 是平行四边形．
，
．
四边形 是矩形；
（2）解： 四边形 是矩形， ，
．
， ，
．
．
，
的面积 ．
．
10．如图，在 中， ， 分别是 ， 上的点，且 ， ．求
证：四边形 是菱形．
【解答】证明： 四边形 是平行四边形，， ，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形．
11．如图， 、 相交于点 ，且 是 、 的中点，点 在四边形 外，且
，求证：四边形 是矩形．
【解答】证明：连接 ，如图所示：
是 、 的中点，
， ，
四边形 是平行四边形，
在 中，
为 中点，
，
在 中， 为 中点，
，
，
又 四边形 是平行四边形，
平行四边形 是矩形．12．如图，在边长为4的正方形 中，点 为对角线 上一动点（点 与点 、
不重合），连接 ，作 交射线 于点 ，过点 作 分别交 、
于点 、 ，作射线 交射线 于点 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的长．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形， 是对角线，
，
， ，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中
，
，
；
（2）解：如图1所示，由（1）知， ，，
四边形 是矩形，
，
又 ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
；
如图2所示，
同理可得， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
即 ，解得， ，
， ，
，
．
综上所述： 的长为： ， ．
13．如图，在四边形 中， ， ，对角线 、 交于 ， 平
分 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ，若 ， ，求
的长．【解答】解：（1） ，
，
为 的平分线，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
是菱形；
（2） 四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
．
14．如图，在 中， ， 是 的中点， 是 的中点，过点 作
交 的延长线于点 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求菱形 的面积．
【解答】解：（1）证明：
是 的中点在 和 中
四边形 是平行四边形
，
是 的中点
四边形 是菱形；
（2）解：法一、
设 到 的距离为 ，
，
，
，
．
法二、连接
，
四边形 是平行四边形
．
法三、
三角形 与三角形 与三角形 的面积相等，
菱形 的面积等于三角形 的面积为24．
答：菱形 的面积为24．
15．如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ， ， ， 与
交于点 ．
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）若 ， ，求菱形 的面积．
【解答】解：（1）四边形 是矩形．
证明： ，
四边形 是平行四边形．
又 菱形 对角线交于点
，即 ．
四边形 是矩形．
（2） 菱形 ，，
，
，
，
的面积 ，
菱形 的面积 的面积 ．
16．如图，在四边形 中，对角线 与 交于点 ，已知 ， ，
过点 作 ，分别交 、 于点 ， ，连接 ， ， ．
（1）求证：四边形 是菱形：
（2）设 ， ， ，求 的长．
【解答】（1）证明： ， ，
四边形 为平行四边形，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形；
（2）过点 作 于点 ，如图，， ，
，
在 中， ，
， ，
，
解得 ， ，
，
，
四边形 是菱形，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
在 中， ， ，
根据勾股定理得， ，
在 中， ，
根据勾股定理得，
．
17．如图，在正方形 中，点 、 分别为边 、 上两点， ，过点
作 ，且点 为边 延长线上一点．
① 吗？说明理由．
②若线段 ， ，求线段 的长度．③若 ， ．求线段 的长度．
【解答】解：①全等．
证明： 四边形 为正方形
， ，
在 和 中， ， ，
．
②解： ，
，
在 和 中
， ，
．
．
③设 ，则 ．
，
．
在 中，依据勾股定理可知： ，即 ，
解得： ．．
18．如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ，且
．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求 的度数．
【解答】（1）证明： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
四边形 是矩形；
（2）解： ， ，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
．
19．如图， 中， 是 上一点， 于点 ， 是 的中点， 于
点 ，与 交于点 ，若 ， 平分 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）小亮同学经过探究发现： ．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若 ，判定四边形 是否为菱形，并说明理由．【解答】解：（1） ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
是 的中点， ，
是 的中点，
是线段 的垂直平分线，
， ，
，
，
；
（2）证明：过点 作 于 ，
，而 ，
，
，
由（1）可得 ，
，
，；
（3）四边形 是菱形，
证明： ，
，
，
，
由（1）得 ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形．
20．在 中， ， 是 边上的中线，点 为 的中点，过点 作
交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）填空：①当 4 5 时，四边形 为正方形；
②连接 ，当 时，四边形 为菱形．
【解答】（1）证明： ， 是 边上的中线，
，
点 为 的中点，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：① ， ， ，
四边形 是菱形，
当四边形 为正方形时， ，
；
② ，
当四边形 为菱形时， ，则 ，
，
为等边三角形，
，
．
故答案为：45，30．
