文档文本内容
2.5 对数与对数函数
思维导图
知识点总结
知识点一 对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)log (M·N)＝log M ＋ log N；
a a a
(2)log ＝log M － log N；
a a a
(3)log Mn＝ n log M(n∈R)．
a a
知识点二 换底公式
1．log b＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
a
2．对数换底公式的重要推论：
(1)log N＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
a
(2) ＝log b(a>0，且a≠1，b>0)；
a
(3)log b·log c·logd＝log d(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
a b c a
知识点三 对数函数的概念
一般地，函数y＝log x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
a
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(0 ，＋ ∞ ) ．
知识点 对数函数的图象和性质
对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
a
y＝log x (a>0，且a≠1)
a
底数 a>1 0<a<1
图象
定义域 (0 ，＋ ∞ )
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
x∈(0,1)时，y∈ ( － ∞ ， 0) ； x∈(0,1)时，y∈ (0 ，＋ ∞ ) ；
函数值特点
x∈[1，＋∞)时，y∈ [0 ，＋ ∞ ) x∈[1，＋∞)时，y∈ ( － ∞ ， 0]
对称性
函数y＝log x与y＝ 的图象关于 x 轴 对称
a
典型例题分析
考向一 对数运算性质的应用
例1 计算下列各式：
(1)log ；(2)log (32×42)；
5 2
(3)log 35－2log ＋log 7－log .
5 5 5 5
解 (1)原式＝log 625＝log 54＝.
5 5
(2)原式＝log 32＋log 42＝5＋4＝9.
2 2
(3)原式＝log (5×7)－2(log 7－log 3)＋log 7－log
5 5 5 5 5
＝log 5＋log 7－2log 7＋2log 3＋log 7－2log 3＋log 5＝2log 5＝2.
5 5 5 5 5 5 5 5
反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)基本原则
对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问
题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
考向二 对数换底公式的应用
例2 (1)计算：(log 3＋log 3)log 2＝________.
4 8 3
答案
解析 原式＝log 2
3
＝log 2
3
＝＋＝.
(2)已知log 9＝a,18b＝5，求log 45.(用a，b表示)
18 36
解 因为18b＝5，所以b＝log 5.
18
所以log 45＝＝
36
＝
＝＝
＝＝.
反思感悟 利用换底公式化简与求值的思路
考向三 对数函数的概念及应用
例3(1)下列给出的函数：
①y＝log x＋1；
5
②y＝log x2(a>0，且a≠1)；③
a
④y＝log ；⑤y＝log(x>0，且x≠1)；
3 x
⑥ 其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)已知对数函数的图象过点M(8,3)，则f ＝________.
答案 (1)D (2)－1
解析 (1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对
数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④不是对数函数；⑤中底数
是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数，故③⑥正确．
(2)设f(x)＝log x(a>0，且a≠1)，由图象过点M(8,3)，则有3＝log 8，解得a＝2.所以对数函
a a
数的解析式为f(x)＝log x，所以f ＝log ＝－1.
2 2
反思感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法
对数函数必须是形如y＝log x(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
a
(1)对数式系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
考向四 对数函数的图象问题
例4 (1)函数y＝x＋a与y＝log x的图象可能是下图中的( )
a
答案 C
(2)函数y＝log (x＋2)＋3(a>0且a≠1)的图象过定点________．
a
答案 (－1,3)
解析 令x＋2＝1，所以x＝－1，y＝3.所以过定点(－1,3)．
(3)已知f(x)＝log |x|满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
a
解 因为f(－5)＝1，所以log 5＝1，即a＝5，
a
故f(x)＝log |x|＝
5
所以函数y＝log |x|的图象如图所示．
5
反思感悟 现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面
要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
考向五 反函数
例5 函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)＝ (x<0)．求函数g(x)的解析式，定义域、值
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】域．
解 (x<0)是增函数，
所以0< <100，
所以0< <1，
故f(x)＝ 的定义域为(－∞，0)，值域为(0,1)，
所以g(x)＝2 019lg x，定义域为(0,1)，值域为(－∞，0)．
反思感悟 互为反函数的常用结论
(1)同底的指数函数、对数函数互为反函数．
(2)若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域．
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
考向六 解对数不等式
例6 解下列关于x的不等式：
(1)
(2)log (2x－5)>log (x－1)．
a a
解 (1)由题意可得解得0<x<2.
所以原不等式的解集为{x|0<x<2}．
(2)当a>1时，原不等式等价于解得x>4.
当0<a<1时，原不等式等价于
解得<x<4.
综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0<a<1时，原不等式的解集为.
反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如log x>log b的不等式，借助y＝log x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分
a a a
a>1与0<a<1两种情况进行讨论．
(2)形如log x>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝log ab)，再借助y＝
a a
log x的单调性求解．
a
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)形如log a>log a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的
f(x) g(x)
对数进行求解，或利用函数图象求解．
基础题型训练
一、单选题
1．通过科学研究发现：地震时释放的能量 （单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关
系为 .已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，
若甲、乙两地地震释放能量分别为 ，则 和 的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】考虑 的值，再利用指对数转换可得 和 的关系.
【详解】由题设可得 ，故 ，
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算以及指对数的转化，注意根据给定的计算公式计算即可，本
题属于容易题.
2．已知 ，函数 与 的图像只可能是（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】B
【分析】根据 是增函数，函数 的定义域为 ，且在定义域内为减函
数，从而得出结论．
【详解】解：已知 ，故函数 是增函数．
而函数 的定义域为 ，且在定义域内为减函数，
故选： ．
【点睛】本题主要考查函数的定义域、单调性，函数的图象，属于基础题．
3．已知 ，则 的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数的运算及对数函数的性质,结合幂函数的性质即可求解.
【详解】因为 ， ，
因为函数 在 上单调递增，又 ，
所以 ，
故 ．
故选：D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．设 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先利用对数函数的图像与性质判断出 与 的符号，从而可判断出 的符号，利
用换底公式计算出 与 的大小，由此可得出 、 、 三个数的大小关系.
【详解】 对数函数 为 上的减函数，则 ，即 .
又 对数函数 为 上的增函数，则 ，即 ，
由换底公式得 ， ， ，
，即 ，即 ，
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，解答本题的关键是
灵活应用对数的运算，考查学生对对数公式的掌握与运算能力，属于中档题.
5．已知函数 ，若不等式 恒成立，则实数a的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可知函数为偶函数，且当 时，函数 单调递增，进而可得
，然后利用基本不等式即得.
【详解】因为函数 满足 ，且定义域为R，
所以函数 为偶函数，且当 时，函数 单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 可以变为 ，即 ，
当 时， ；
当 时，可得 ．
又 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，解得 .
故选：B．
6．已知函数 ，若实数 满足 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数解析式可得函数 为偶函数，且当 时， 为增函数，将不等式转
化为 求解即可．
【详解】因为 ，
所以 ，所以函数 为偶函数．
当 时， ， 为增函数，
由 （1），
（1）
得 （1），即 （1），
可得 ，解得 ．
故选： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断与应用，考查转化思想的应用及运算
求解能力，属于中档题．
二、多选题
7．已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由基本不等式可得 ，A由 求 的范围即可判断；B由
求范围即可判断；C应用对数运算及对数的性质即可判断；D利用基本不
等式求 的范围即可判断.
【详解】由题设， ，则 (仅 等号成立)，可得 ，
由 ，即 ，则 ，A正确；
由 ，即 ，B错误；
由 ，C正确；
由 ，当且仅当 时等号成立，D错误；
故选：AC
8．已知函数 ，则（ ）
A． 在 单调递增
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B． 在 单调递增，在 单调递减
C． 的图象关于直线 对称
D．函数 的最小值为0
【答案】BC
【分析】由对数性质求函数定义域，再根据二次函数、对数函数的单调性判断复合函数的
单调性并判断最值情况，判断 是否相等判断对称性.
【详解】由题设 ，故 ，其定义域为 ，
令 ，而 递增，
又 在 上递增，在 上递减，
故 在 上递增，在 上递减，且最大值为 ，无最小值，
所以A、D错误，B正确；
，则 的图象关于直线 对称，C正确.
故选：BC
三、填空题
9．若 ，则a=__________.
【答案】2
【分析】化为同底的对数相等求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：2.
10．函数 的定义域为________.
【答案】
【详解】试题分析：由题意得， ，解得 ，即函数 的定义
域为 .
考点：指数函数与对数函数的性质.
11．已知函数 （ 且 ），若对 ，
，都有 ．则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【分析】由条件可知函数是增函数，可得分段函数两段都是增函数，且 时，满足
，由不等式组求解即可.
【详解】因为对 ，且 都有 成立，
所以函数在 上单调递增.
所以 ，解得 .
故答案为：
12．已知 ，设 ，则 的大小关系为（用“<”号连接）
______．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】利用对数函数、指数函数的图象与性质，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，因为 ，则 ，
根据对数函数的单调性，可得 ，
根据指数函数的图象与性质，可得 ，
所以 ．
【点睛】本题主要考查了三个数的比较大小，同时考查了对数函数、指数函数的图象与性
质的应用，着重考查了运算、求解能力，属于基础题．
四、解答题
13．已知函数 .
(1)若函数 的最小值为 ，求实数 的值；
(2)若函数 ，用定义证明函数 在 上单调递减.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】(1)利用函数的单调性即可求解；(2)利用函数单调性的定义证明.
【详解】（1）要使函数有意义，则 ，解得 ,
,
二次函数 的对称轴为 ，且 ，
所以函数 在 单调递增，在 单调递减，
又因为 ，所以 在 单调递减，在 单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，解得 .
（2）由(1)得 ，
所以 ，
，
单调性证明如下，
且 ，
= ，
因为 且 ，所以
且 ，即 ，所以 ，
即 ，所以函数 在 上单调递减.
14．已知 ，用对数的定义证明公式： ．
【答案】详见解析.
【解析】设 ，利用对数的定义得到 ，再利用同底数幂
的除法求解.
【详解】设 ，
则 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，
所以 .
15．已知，a= ， ，求 的值．
【答案】2020
【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解 ,利用对数的运算法则求解 ，
然后代入化简即可.
【详解】
，
【点晴】本题主要考查对数的运算、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：
（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化
成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带
分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示
16．设 为奇函数，a为常数．
（1）求a的值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）若 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由奇函数的性质 ，代入运算后可得 ，代入验证即可
得解；
（2）转化条件为 对于 恒成立，令
，结合函数的单调性求得 即可得解.
【详解】（1）因为 为奇函数，
则
，
则 ，所以 即 ，
当 时， ，不合题意；
当 时， ，由 可得 或 ，满足题意；
故 ；
（2）由 可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 对于 恒成立，
令 ，
因为函数 在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.
提升题型训练
一、单选题
1．已知函数 且 ，则函数恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对数函数过定点求解.
【详解】令 ，解得 ， ，
所以函数恒过定点 ，
故选：D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【解析】根据函数 ，先求得 ，再求 即可.
【详解】因为函数 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
3．已知 满足 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据指数与对数的性质，即可进行判断.
【详解】 ，故
故选：B
【点睛】本题主要考查了指数与对数比较大小，属于中档题.
4．已知 <1，那么a的取值范围是( )
A．0<a< B．a>
C． <a<1 D．0<a< 或a>1
【答案】D
【分析】把1变成底数的对数，讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果．
【详解】当a>1时，由loga <logaa得a> ，得a>1；当0<a<1时，由loga <logaa得0<a<
，
故0<a< .综上可知，a的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关
键是对于底数与1的关系，这里应用分类讨论思想来解题．
5．已知 ， ， ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，分别缩小 的范围，即可得到答案；
【详解】因为 ，
所以 ；
因为 ，
所以 ；
因为 ，
所以 ，
所以 .
故选： .
6．若 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式和对数的运算法则得到 ，再利用指数函数单调性结合放缩法
得到 即可求解．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】 ，
， ，
， ， ，
， ，
，
故选： ．
二、多选题
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．若幂函数 过点 ，则
B． ，
C． ，
D．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
【答案】BD
【解析】根据幂函数的定义判断 ，结合图象判断 ，根据特称命题的否定为全称命题
可判断 .
【详解】解：对于 ：若幂函数 过点 ，则 解得 ，故 错误；
对于 ：在同一平面直角坐标系上画出 与 两函数图象，如图所示
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图可知 ， ，故 正确；
对于 ：在同一平面直角坐标系上画出 与 两函数图象，如图所示
由图可知，当 时， ，当 时， ，当 时，
，故 错误；
对于 ：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“ ， ”的否定是
“ ， ”，故 正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：
【点睛】本题考查指数函数对数函数的性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，
属于基础题.
8．下列函数中，值域是 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】分析得到选项AB的函数的值域为 ，选项C的函数的值域为 ,选项D的函
数的值域为 ，即得解.
【详解】对于函数 ，因为 ，所以 ，所以选项A正确；
对于函数 ，因为 ，所以 ，所以选项B正确；
对于函数 ，因为 ，所以 ，所以选项C错误；
对于函数 ，因为 ，所以函数的值域为 ，所以选项D正确．
故选：AB．
三、填空题
9．已知三个式子 ， ， 同时成立，则 的取值范围为________．
【答案】
【解析】根据指数函数、幂函数、对数函数的单调性，即可求解.
【详解】 ； ；
， ，同时成立则有 ，
，当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三个式子 ， ， 同时成立，
的取值范围为 .
故答案为: .
【点睛】本题考查函数的单调性应用，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
10． ______．
【答案】1
【分析】根据指数和对数的运算性质进行计算即可.
【详解】 ,
故答案为：1.
11．方程 的解为___________.
【答案】2
【详解】依题意 ，所以 ，
令 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， ，所以 ，而 ，所以 不合题意，舍去；
当 时， ，所以 ， ， ，所以 满足条
件，
所以 是原方程的解.
考点：对数方程.
12．已知函数 ，则使不等式 成立的 的取值范围是
_______________
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】由奇偶性定义可判断出 为偶函数，结合复合函数单调性的判断可得到
在 上单调递增，由偶函数性质知其在 上单调递减，利用函数单调性解不等式
即可求得结果.
【详解】由 ，解得： 或 ，故函数的定义域为 ，
又 ，
为 上的偶函数；
当 时， 单调递增，
设 ， ，
在 上单调递增， 在 上单调递增，
在 上单调递增，又 为偶函数， 在 上单调递减；
由 可知 ，解得 ．
故答案为： .
【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类
问题中，奇偶性和单调性的作用如下：
（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.
四、解答题
13．求下列各式的值：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用分数指数幂运算法则即得；（2）利用指对运算法则计算．
【详解】（1）原式
（2）原式
14．已知函数 .
(1)判断函数 的奇偶性，并进行证明；
(2)若实数 满足 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) 为奇函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）由奇偶性定义直接判断即可；
（2）化简函数得到 ，由此可知 在 上单调递增；利用奇偶性可化简
所求不等式为 ，利用单调性解不等式即可.
(1)
为奇函数，证明如下：
定义域为 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为定义在 上的奇函数.
(2)
，
又 在 上单调递增， 在 上单调递增；
由（1）知： ，
， ，
，即 ，
，解得： ，即实数 的取值范围为 .
15．（1）将根式化为分式指数幂的形式 ；
（2）若 求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）先将每个因式的公式化为分式指幂的形式，然后根据指数幂的运算法则求解
即可；
（2）由 ，根据对数的运算法则分别求出 的值，作差即可.
【详解】（1）
.
（2）由 ，可得 ，由 ，可得 ，
可得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．对于在区间 上有意义的函数f(x)，若满足对任意的 ，有
恒成立，则称f(x)在 上是“友好”的，否则就称f（x）在 上是
“不友好”的.现有函数
(1)当a=1时，判断函数f(x)在 上是否“友好”；
(2)若函数f(x)在区间 (1≤m≤2)上是“友好”的，求实数a的取值范围
(3)若关于x的方程 的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范
围.
【答案】(1)函数f(x)在 上是 “友好”的；
(2) ；
(3) .
【分析】(1)利用函数单调性求出f(x)在 上的最值即可判断得解.
(2)利用函数单调性，求出f(x)在区间 (1≤m≤2)上的最值，建立不等关系，分离参数，
构造函数并求出其最值即可作答.
(3)利用对数函数的性质变形等式，求出方程的解，再讨论验证即可作答.
【详解】（1）当a=1时， 在 上单调递减， ，
，
于是得 ，即 ，有 ，
所以当a=1时，函数f(x)在 上是 “友好”的.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）依题意， 在 上单调递减，
则 ， ，
则有 ，
即 ，可得 ，令t=2m-1(1≤t≤3)，
则 ，则 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，当t=1或3时， 取最大值
1，此时， ，
于是当t=1或3时， 取最大值 ，依题意， ，
又对于任意的 ， ，即 ，此时
，
综上，a的取值范围是 .
（3）依题意，方程 化为： ，且
，
于是得： ，即 ，
当a=3时，可得x=-1，此时有 且 ，则a=3，
当a=2时，可得x=-1，此时有 ，矛盾，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当a≠2且a≠3时，可得x=-1或 ，若x=-1是原方程的解，必有(a-3)x+ 2a-4=a-1>0，
且a-1≠1，则a>1且a≠2，
若 是原方程的解，必有(a-3)x+ 2a-4=2a-3>0，且2a-3≠1，则 且a≠2，
因此，要使方程有且仅有一个解，必有 ，
综上，方程 的解集中有且仅有一个元素，有 或a=3，
所以实数a的取值范围为 .
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