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专题 2.5 幂函数与指、对数函数【九大题型】
【新高考专用】
1、幂函数与指、对数函数
幂函数、指数函数与对数函数是高中三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是
高考常考的热点内容.从近几年的高考情况来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函
数的性质为依托，结合指、对数的运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，
包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.在复习过程中要掌握相关知识，能对常见的指数型函数、对数
型函数进行灵活处理.
【知识点1 幂函数及其解题策略】
1．幂函数的解析式
幂函数的形式是 ( ∈R)，其中只有一个参数 ，因此只需一个条件即可确定其解析式.2．幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+ )上，幂
函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
3．比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各
个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【知识点2 指数、对数运算的解题策略】
1．指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须
同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
2．对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，
然后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数
的积、商、幂再运算.
(3)指对互化： (a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应
注意互化.
【知识点3 指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】
1．指数函数的常见问题及解题思路
(1)比较指数式的大小
比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
(2)指数方程(不等式)的求解思路
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
(3)指数型函数的解题策略
涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、
单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
2．对数函数的常见问题及解题思路
(1)对数函数图象的识别及应用
①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、
最低点等)排除不符合要求的选项.
②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
(2)对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问
题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1的大小关系；三是复合函数的构成，即
它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【题型1 指数幂与对数式的化简、求值】
【例1】（2024·青海·模拟预测）若a=log 5，5b=6，则ab−log 2=（ ）
3 3
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【变式1-1】（2024·河南·三模）若 ，则化简 的结果是（ ）
a≥0,b∈R 2 log 2 3+(√a) 2+√b2
A．3+a+b B．3+a+|b|
C．2+a+b D．2+a+|b|
【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且4a=6b=9c=t，那么（ ）．
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2
A． + = B． + = C． + = D． + =
a b c b c a a b c a c b
【变式1-3】（2024·辽宁丹东·一模）若2a=3，3b=5，5c=4，则log abc=（ ）
4
1 √2
A．−2 B． C． D．1
2 2
【题型2 指对幂函数的定义与解析式】
【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（ ）
A． （ 且 ） B．
y=log (5+x) a>0 a≠1 y=log x
a (√3−1)
C． D． （ 且 ）
y=log (−x) y=log √3 x>0 x≠1
3 x
【变式2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数f (x)的图象过点(4,81)，则f (x)的解析式为
（ ）
A．f (x)=x3 B．f (x)=3x
(1) x 1
C．f (x)=
2
D． f (x)=x3
【变式2-2】（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数 在 上单调递增，则实
f (x)=(m2−m−1)x2m−3 (0,+∞)
数m的值为（ ）
A．2 B．1 C．−1 D．−2【变式2-3】（2024高二下·安徽·学业考试）若函数 是指数函数，则有（ ）
y=(a2−5a+7)ax+4−2a
A．a=2 B．a=3
C．a=2或a=3 D．a>2，且a≠3
【题型3 指对幂函数的定义域与值域问题】
【例3】（2024·四川成都·二模）已知函数 的值域为 ．若 ，则实数 的取值范
f (x)=2ax2−x+1 M (1,+∞)⊆M a
围是（ ）
( 1] [ 1] ( 1] [1 ) [1 )
A． −∞, B． 0, C． −∞,− ∪ ,+∞ D． ,+∞
4 4 4 4 4
【变式3-1】（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）已知函数f(x)=lg(1−x)，则下列结论错误的是（ ）
A．f(x)的定义域为(−∞,1) B．f(x)的值域为R
C． D． 的单调递增区间为
f(−1)+f(−4)=1 y=f (x2) (0,1)
( 1)
【变式3-2】（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数y=f (x)的图象过点 4, ，下列说法中正确
2
的是（ ）
A．f (x)是奇函数 B．f (x)的定义域是[0,+∞)
C．f (x)的值域是[0,+∞) D．f (x)在定义域上单调递减
【变式3-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a>0且a≠1，若函数f(x)=¿的值域为R，则a的取值范围是
（ ）
( 1] [1 )
A． 0, B． ,1 C．(1,2] D．[2,+∞)
2 2
【题型4 指对幂函数的图象问题】
【例4】（2024·湖北·模拟预测）函数 1 的图象大致为（ ）
f (x)=ex−ex−lnx2
A． B．C． D．
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x)= ( |x|− 1 ) lnx2 ，则 f (x) 的图象大致为（ ）
|x|
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2024·四川南充·二模）已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能是（ ）
A．
y=x
1
2
B．
y=x
− 1
2
C． y=x3 D．
y=x3
1
【变式4-3】（2024·陕西·模拟预测）已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）A． B． 2 C． D． x
f (x)=ex−e−x f (x)=1− f (x)=x√|x| f (x)=
ex+1 ln(x2+2)
【题型5 指对幂函数的单调性问题】
【例5】（2024·辽宁·一模）若函数 在区间 内单调递减，则 的取值范围是（ ）
f (x)=3−2x2+ax (1,4) a
A．(−∞,4] B．[4,16] C．(16,+∞) D．[16,+∞)
【变式5-1】（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在(0,+∞)上单调递减的是（ ）
A．f (x)=2|x| B．f (x)=x3
1
C．f (x)= −x D．f (x)=¿
x
【变式5-2】（2024·江苏无锡·模拟预测）在下列函数中，是奇函数且在(0,+∞)上是增函数的是（ ）
A．
y=x
1
2
B．
y=x3
1 C．
y=x3
2 D． y=x−1
【变式5-3】（2024·海南·模拟预测）已知 且 ，若函数 与 在
a>0 a≠1 f (x)=ax g(x)=log (x2+4ax+7)
2
[−1,+∞)上的单调性相同，则a的取值范围是（ ）
( 1] [1 )
A． 0, B． ,1 C．(1,2) D．(1,+∞)
2 2
【题型6 指对幂数比较大小】
【例6】（2024·宁夏吴忠·一模）已知 ，则（ ）
a=0.23,b=30.2,c=log 3
0.2
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>b>a
【变式6-1】（2024·四川眉山·一模）若 ， ， ，则（ ）
a=log 91.1 b=log 0.2 c=40.40
3 0.5
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
【变式6-2】（2024·贵州遵义·模拟预测）设a=log 2026，b=log 2026，2024c=2025.则（ ）
2024 2023
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>c>a D．b>a>c
【变式6-3】（2024·陕西铜川·模拟预测）设a=2√2，b=log 3，c=√3，则（ ）
2
A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．a>c>b【题型7 解不等式问题】
【例7】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=3x−2−32−x，则满足f (x)+f (8−3x)>0的x的取值范围是
（ ）
A．(−∞,4) B．(−∞,2) C．(2,+∞) D．(−2,2)
【变式7-1】（2024·广东肇庆·一模）已知定义在R上的函数g(x)=ex−e−x+f (x)，其中g(x)是奇函数且在
R上单调递减，
f(log
1
x) 2，则t的取值范围是（ ）
( 1) (1 )
A．(−∞,−1)∪ 0, B．(−∞,−1)∪ ,1
9 9
( 1) ( 1)
C． −1, D． −∞,
9 9
【变式7-3】（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知g(x)=x3f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x)在区间(−∞,0]
上单调递减，若关于实数m的不等式f(log m)+f(log m)≥2f(3)恒成立，则m的取值范围是（ ）
2 0.5
( 1] 1 1
A． 0, B．[8,+∞) C．(0, ]∪[8,+∞)D．(0, ]∪[8,+∞)
3 3 8
【题型8 反函数】
【例8】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知函数 与 互为反函数．
f(x)=log x g(x)=ax(a>0,a≠1)
a
若f(x)=lnx的反函数为g(x)，则g(2)=（ ）
A．ln2 B．2e C．e2 D．2
【变式8-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知函数f(x)在定义域[1,3]上满足f (x)f (y)=f(x+ y)，
，函数 的反函数为 ，则 的最小值为（ ）
f(1)=2 f(x) f−1(x) g(x)=f(x)+f−1(x)
A．2 B．4 C．5 D．8
【变式8-2】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知函数 ，且 的图象过点 是
f (x)=ax (a>0 a≠1) (2,4),g(x)(2+x)
f (x)的反函数，则函数g （ ）
2−x
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数
4x−4−x
【变式8-3】（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知函数f (x)= 的反函数为y=f−1(x)，那么
2
g(x)=f−1(x−2)+2在[−2,6]上的最大值与最小值之和为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】
【例9】（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数 2x+1为奇函数．
f (x)=
2x+a
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f (x)的单调性（不用证明）；
x x
(3)设函数g(x)=log ⋅log +m，若对任意的x ∈[2,8]，总存在x ∈(0,1]，使得g(x )=f (x )成立，
22 24 1 2 1 2
求实数m的取值范围．
【变式9-1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数 是偶函数，其中
f (x)=log (9x+1)+kx(x∈R) k
9
为实数.
(1)求k的值；
(2)若函数 ，是否存在实数 ，使得 的最小值为0？若存在，求
g(x)=9f(x)⋅3x−2m⋅3x+1(0≤x≤2) m g(x)
出实数m的值；若不存在，请说明理由.[ 1]
【变式9-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数f (x)=log k⋅9x−(k−2)⋅3x+k+ .
3 3
(1)当k=0时，解不等式f (x)>0；
(2)若函数f (x)的最大值是−1，求k的值.
a−x
【变式9-3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知非常数函数f(x)=log 是定义域为(−2,2)的奇函
1 2+bx
9
数．
(1)求实数a,b的值；
(2)判断并证明函数f(x)的单调性；
1
(3)已知g(x)=m⋅4x−2x+2+3，且∀x ∈(1,2),∃x ∈[−1,1],f(x )−g(x )>− ，求m的取值范围．
1 2 1 2 2
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
1
A．f(x)=−lnx B．f(x)=
2x
1
C．f(x)=− D．f(x)=3|x−1|
x
2．（2023·全国·高考真题）已知函数
f (x)=e−(x−1)2
．记
a=f
(√2)
,b=f
(√3)
,c=f
(√6)，则（ ）
2 2 2
A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
3．（2023·全国·高考真题）已知 xex 是偶函数，则 （ ）
f(x)= a=
eax−1
A．−2 B．−1 C．1 D．24．（2023·天津·高考真题）设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a 1 2
2 2 2 2 2 2
y + y y + y
C．log 1 2x +x
2 2 1 2 2 2 1 2
S−1
7．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 d= 是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河
lnN
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
S没有变化，生物个体总数由N 变为N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）
1 2
A．3N =2N B．2N =3N
2 1 2 1
C． D．
N2=N3 N3=N2
2 1 2 1
8．（2024·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
a=4.2−0.2，b=4.20.2，c=log 0.2 a，b，c
4.2
A．a0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
p p 0 0
0与声源的距离 声压级
声源
/m /dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽
10 50∼60
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p ,p ,p ，则（ ）．
1 2 3
A．p ≥p B．p >10p
1 2 2 3
C．p =100p D．p ≤100p
3 0 1 2
13．（2023·北京·高考真题）已知函数f(x)=4x+log x，则f
(1)
= ．
2 2
14．（2023·天津·高考真题）设 ,函数 ,若 恰有两个零点，则 的取
a∈R f (x)=ax2−2x−|x2−ax+1| f (x) a
值范围为 ．
15．（2024·上海·高考真题）函数y=log x的定义域为 .
2
1 1 5
16．（2024·全国·高考真题）已知a>1且 − =− ，则a= ．
log a log 4 2
8 a
