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专题 1.1 勾股定理
目录
已知两边求第三边.............................................................................................................................1
已知两边求第三边（需要分类讨论）............................................................................................2
勾股定理求面积.................................................................................................................................3
求斜边的高.........................................................................................................................................5
证明勾股定理的内容.........................................................................................................................7
判断勾股数.........................................................................................................................................9
勾股数与倍数...................................................................................................................................11
勾股定理逆定理...............................................................................................................................12
勾股定理的应用（简单的实际应用）..........................................................................................15
勾股定理的应用（最短长度）.......................................................................................................17
勾股定理的应用（台风问题）.......................................................................................................20
折叠问题...........................................................................................................................................22
已知两边求第三边
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么
.
勾股定理的适用范围：
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角
形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定
理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，可求第三边.
在 中， ，则 ， ，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系.
③可运用勾股定理解决一些实际问题.
【例1】如图，在三角形 中，已知 ， ， ，则 的大小有可能是
A．1 B．2 C．3 D．5
【解答】解：方法1：由垂线段最短，可得 的大小有可能是5
方法2：在三角形 中， ， ， ，
则 ．
故选： ．
【变式训练1】直角三角形的两条直角边长分别为9和12，则该直角三角形的斜边长为
A．13 B．14 C． D．15
【解答】解：由勾股定理得，斜边为 ，
故选： ．
【变式训练2】在 中， ．若 ， ，则
A．5 B．6 C．8 D．10
【解答】解： 在 中， ， ， ，
，
即 ，
解得 ．
故选： ．
【变式训练3】设直角三角形的两条直角边长分别为 和 ，斜边长为 ．已知 ，
，则 的值为
A．2 B．6 C．5 D．36【解答】解：由勾股定理得， ，
故选： ．
已知两边求第三边（需要分类讨论）
【例2】已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为
A．30 B． C． 或30 D．36
【解答】解：设 的第三边长为 ，
①当12为直角三角形的直角边时， 为斜边，
由勾股定理得， ，此时这个三角形的周长 ；
②当12为直角三角形的斜边时， 为直角边，
由勾股定理得， ，此时这个三角形的周长 ，
综上所述，该三角形的周长为30或 ．
故选： ．
【变式训练1】已知3，4， 是一个直角三角形的三条边长，则实数 的相反数为
A．5 B． C．5或 D． 或
【解答】解：当 为斜边时： ，
解得： ， （不符合题意）；
当 为直角边时： ，
解得： ， （不符合题意）．
故第三边长 为5或 ，
实数 的相反数为 或 ．
故选： ．【变式训练2】一个直角三角形的两边长分别为 、 ，则第三条边长为
A． B． C． D． 或
【解答】解：当斜边长为 时，
则第三条边长为： ；
当两条直角边长分别为 ， 时，
则第三边长为： ；
故选： ．
【变式训练3】若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是
A．13 B．13或 C． D．12或13
【解答】解：当12是斜边时，它的斜边长是12；
当12是直角边时，它的斜边长 ；
故它的斜边长是：12或13
故选： ．
勾股定理求面积
【例3】在一个直角三角形中，若斜边的长是13，周长为30，那么这个直角三角形的面积
是
A．30 B．40 C．50 D．60
【解答】解：设两条直角边分别为 ， ，
根据题意得， ，
解得， ，
这个直角三角形的面积是 ，
故选： ．
【变式训练1】在 中， ， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ， ，则 的面积为
A．96 B．98 C．108 D．120
【解答】解： ， ，
设 ，则 ，
，即 ，
解得 ，
， ．
，
故选： ．
【变式训练2】如图，在 中， ， ， ，以 为边作正方形
，则正方形 的面积为
A．5 B．9 C．16 D．25
【解答】解：在 中， ， ， ，
，
正方形 的面积 ，
故选： ．
【变式训练3】 中， ， ，高 ，则 的面积为
A．66 B．126 C．54或44 D．126或66
【解答】解：如图1， ，
，
， ，，
又 ，
，
，
的面积 ；
如图2， ，
的面积 ；
综上所述， 的面积为126或66，
故选： ．
求斜边的高
若直角三角形两直角边的边长为 和 ，斜边长为 ，则斜边上的高 ．
【例4】一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边上的高为
A．10 B．16 C．4.8 D．48
【解答】解：设斜边长为 ，高为 ．
由勾股定理可得： ，
则 ，
直角三角形面积 ，．
故选： ．
【变式训练1】直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高
A．6 B．8 C． D．
【解答】解：由题意得，斜边为 ．所以斜边上的高 ．
故选： ．
【变式训练2】等腰三角形的腰长为25，底边长为14，则它底边上的高为
A．24 B．7 C．6 D．5
【解答】解：根据题意画出如图所示，
根据题意得， ， ， ．
， ，
，
在 中，根据勾股定理得， ，
，
即：底边上的高为24，
故选： ．
【变式训练3】直角三角形的一直角边长 ，斜边长 ，则其斜边上的高是
．
【解答】解：设斜边上的高为 ，由勾股定理得，直角三角形另一条直角边为： ，
由三角形的面积公式可得， ，
解得， ，
故答案为： ．
证明勾股定理的内容
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图
的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大
图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
【例5】如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三
角形与中间一个小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的边长是 ，每个直角三角形
较短的一条直角边的长是 ，则小正方形的边长为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，
直角三角形的长直角边为： ，
则小正方形的边长为： ，
故选： ．
【变式训练1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，
如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ，若 ，大
正方形的面积为14，则小正方形的面积为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：设大正方形的边长为 ，
则 ，
，
，
解得 ，
小正方形的面积是： ，
故选： ．
【变式训练2】4个全等的直角三角形的直角边分别为 、 ，斜边为 ．现把它们适当拼
合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请
试一试．
【解答】解：图形的总面积可以表示为： ，
也可以表示为： ，
所以， ，所以， ．
【变式训练3】【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三
角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别
为 、 ，斜边长为 ．图中大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，
即 ，所以 ．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角
三角形拼成一个直角梯形 ，其中 ， ，根据拼图证明勾
股定理．
【定理应用】在 中， ， 、 、 所对的边长分别为 、 、 ．
求证： ．
【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为 ，
利用分割法，梯形的面积为 ，
，
；
【定理应用】 ， ，
．判断勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ，
， 为正整数时，称 ， ， 为一组勾股数.
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ； ； ； 等
③用含字母的代数式表示 组勾股数：
m2 −n2,2mn,m2 +n2 (m>n
丢番图发现的：式子 的正整数）
毕达哥拉斯发现的：
2n+1,2n2 +2n,2n2 +2n+1
（
n>1
的整数）
柏拉图发现的：
2n,n2 −1,n2 +1
（
n>1
的整数）.
【例6】下列各组数中，是勾股数的是
A．1.5，2，2.5 B．1，1， C．5，12，13 D．1， ，
【解答】解： ．1.5，2.5不是整数， 不是勾股数，不符合题意；
． 不是整数， 不是勾股数，不符合题意；
． ， 是勾股数，符合题意；
． ， 不是整数， 不是勾股数，不符合题意；
故选： ．
【变式训练1】下列各组数不是勾股数的是
A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，1
【解答】解： ． ，且3，4，5是正整数， ，4，5是勾股数，此选项不符
合题意；
． ，且5，12，13是正整数， ，12，13是勾股数，此选项不符合题意；． ，且7，24，25是正整数， ，24，25是勾股数，此选项不符合题
意；
． ，但0.6，0.8，1不是整数， ，0.8，1不是勾股数，此选项符合
题意；
故选： ．
【变式训练2】下列选项中不是勾股数的是
A．7，24，25 B．4，5，6 C．3，4，5 D．9，12，15
【解答】解： ． ，且7，24，25是正整数， ，24，25是勾股数，此
选项不符合题意；
． ， ，5，6不是勾股数，此选项符合题意；
． ，且3，4，5是正整数， ，4，5是勾股数，此选项不符合题意；
． ，且9，12，15是正整数， ，12，15是勾股数，此选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练3】有下列各组数：①3，4，5；② ， ， ；③0.5，1.2，1.3；④1，
， ．其中勾股数有
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【解答】解：① ，是勾股数；
② ，不是勾股数；
③0.5，1.2，1.3不是整数，不是勾股数；
④1， ， ．不是整数，不是勾股数；
其中勾股数有①，
故选： ．勾股数与倍数
【例7】将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形
A．可能是锐角三角形 B．不可能是直角三角形
C．仍然是直角三角形 D．可能是钝角三角形
【解答】解：设直角三角形的直角边分别为 、 ，斜边为 ．
则满足 ．
若各边都扩大 倍 ，则三边分别为 、 、
三角形仍为直角三角形．
故选： ．
【变式训练1】直角三角形的三条边如果同时扩大3倍，则得到的三角形是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
【解答】解：设原直角三角形的三边的长是 、 、 ，则由勾股定理得 ，
，
即 ，
将直角三角形的三条边长同时扩大3倍，得到的三角形还是直角三角形，
故选： ．
【变式训练2】将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍， ，可以得到勾股数6，8，10；
9，12，15；12，16，20； ，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也
写出三组基本勾股数 5 ， 1 2 ， 1 3 ， ， ．
【解答】解：符合 即可，例如5，12，13；8，15，17；9，40，（答案不唯
一）
【变式训练3】已知 、 、 是一组勾股数．把这三个数分别扩大 2倍，所得的3个数还
是勾股数吗？扩大 倍呢？证明你的结论．
【解答】证明： 是正整数， 、 、 是一组勾股数，， ， 都是正整数，
，
，
， ， 是一组勾股数；
， ， 是一组勾股数，且 是正整数，
， ， 是三个正整数，
，
，
所以 ， ， 是一组勾股数．
勾股定理逆定理
如果三角形三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，
其中 为斜边.
①若 ，时，以 ， ， 为三边的三角形是钝角三角形；若 ，
时，以 ， ， 为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若
三角形三边长 ， ， 满足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直
角三角形，但是 为斜边.
③勾股定理的逆定理在描述时，不能说成：当“斜边”的平方等于两条“直角
边”的平方和时，这个三角形是直角三角形.
【例8】下列各组数中，能构成直角三角形的为
A．1，1，2 B．15，21，25 C．7，24，25 D．6，12，13
【解答】解： ． ，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
． ，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
． ，
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
． ，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练1】判断下列四组数据，不可以作为直角三角形三条边的是
A．0.3，0.4，0.5 B．4，3，5 C．8，15，17 D．1，2，3
【解答】解： ． ，
能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
． ，
能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
． ，
能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
． ，
不能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选： ．
【变式训练2】在下列以线段 ， ， 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是
A． ， ， B． ， ，
C． D． ， ，
【解答】解： 、 ，故选项 中的三条线段能构成直角三角形，故选项 不
符合题意；、 ，故选项 中的三条线段能构成直角三角形，故选项 不符合题意；
、 ，故选项 中的三条线段能构成直角三角形，故选项 不符合题意；
、 ，故选项 中的三条线段不能构成直角三角形，故选项 符合题意；
故选： ．
【变式训练3】已知在 中， 、 、 所对的边分别是 、 、 ，则添加下列
条件，不能判定 是直角三角形的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ． ，
，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
． ，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
． ，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
．
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选： ．
【例9】有一块田地的形状和尺寸如图所示，求出它的面积是多少．【解答】解：连接 ，
在 中， 为斜边，
已知 ， ，
则 ，
，
为直角三角形，
，
答：该四边形面积为24
【变式训练1】如图，把一块直角三角形 土地划出一个三角形
后，测得 米， 米， 米， 米．
（1）求证： ；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
【解答】（1）证明： ， 米， 米，
（米 ，
米， 米，
，
；
（2）解：图中阴影部分土地的面积 （平
方米）．
勾股定理的应用（简单的实际应用）
【例10】如图，有一个羽毛球场地是长方形 ，如果 ， ．若你要从走到 至少要走
A． B． C． D．
【解答】解：四边形 是矩形可得 ， ，
．
要从 走到 ，至少走 ．
故选： ．
【变式训练1】一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所视的隧道，则卡车的外形
高必须低于
A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米
【解答】解： 车宽1.6米，
欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线0.8米处的高度与车高．
在 中，由勾股定理可得：（米 ，
（米 ，
卡车的外形高必须低于2.9米．
故选： ．
【变式训练2】如图所示，甲渔船以8海里 时的速度离开港口 向东北方向航行，乙渔船
以6海里 时的速度离开港口 向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙
两渔船相距
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
【解答】解：由题意可得： （海里）， （海里），
，
故 ，
（海里），
答：甲、乙两渔船相距15海里，
故选： ．
【变式训练3】多走几步路，就可以留下一片期待的绿色．如图，学校有一块长方形草坪，
有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．请你算一算，其实这
些同学仅仅少走多少步路，却踩伤了花草，留下不文明的形象．（假设1步为【解答】解：根据勾股定理可得斜边长是： ，
则少走的距离是 ，
步为 ，
答：这些同学仅仅少走少了4步．
勾股定理的应用（最短长度）
【例11】如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，
则一条长16的直吸管露在罐外部分 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围
是
A． B． C． D．
【解答】解：设 是圆柱形的高，
当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分 最短，
此时 就是圆柱形的高，
即 ；
，
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分 最长，
，
此时 ，所以 ．
故选： ．
【变式训练1】如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 ，内壁高
．若这支铅笔长为 ，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可得图形： ， ，
在 中： ，
所以 ， ．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在 之间．
观察选项，只有选项 符合题意．
故选： ．
【变式训练2】如图，将一根长为 的吸管，置于底面直径为 ，高为 的圆柱形
水杯中，设吸管露在杯子外面的长度是为 ，则 的取值范围是 ．
【解答】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时， 最短，此时 ，故 ；
当吸管竖直插入水杯时， 最大，此时 ．
故答案为： ．
【变式训练3】一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为 ，高为 ，吸管放
进杯里（如图），杯口外面至少要露出 ，为节省材料，管长 的取值范围是
．
【解答】解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为 ；
最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为 ．
杯里面管长为 ，总长为
故管长 的取值范围是 ．
勾股定理的应用（台风问题）
【例12】我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周
围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向
由点 行驶向点 ，已知点 为一海港，且点 与直线 上两点 ， 的距离分别为
和 ，且 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
（1）求证： ；
（2）海港 受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【解答】解：（1） ， ， ，
．
是直角三角形，
；
（2）海港 受台风影响．
理由如下：如图，过点 作 于 ．
，
，
，
海港 受到台风影响；
（3）当 ， 时，正好影响 港口．
在 中，由勾股定理得
，
，
台风的速度为 ，
．
台风影响该海港持续的时间为 ．【变式训练1】如图，有两条公路 ， 相交成 ，沿公路 方向离 点80米处
有一所学校 ，当重型运输卡车 沿道路 的方向行驶时，以 为圆心，50米长为半径
的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车 与学校 的距离越近噪声影响越大，若
重型运输卡车 沿道路 方向行驶的速度为5米 秒．
（1）求卡车 对学校 的噪声影响最大时，卡车 与学校 的距离；
（2）求卡车 沿道路 方向行驶一次，它给学校 带来噪声影响的总时间．
【解答】解：（1）过点 作 于 ，
， 米，
米，
卡车 对学校 的噪声影响最大时，卡车 与学校 的距离为40米；
（2）当 米时，则卡车在 段对学校 有影响，
由（1）知 米，
（米 ，
（米 ，
（秒 ，卡车 沿道路 方向行驶一次，它给学校 带来噪声影响的总时间为12秒．
【变式训练2】某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过 ，如
图，一辆小汽车在该笔直路段 上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪 的正
前方 的点 处， 后小汽车行驶到点 处，测得此时小汽车与车速检测仪 间的距
离为 ．
（1）求 的长．
（2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得： ， ， ，
，
答： 的长为 ；
（2）这辆小汽车超速了，理由如下：
该小汽车的速度为 ，
这辆小汽车超速了．
折叠问题
【例13】已知，如图长方形 中， ， ，将此长方形折叠，使点
与点 重合，折痕为 ，则 的面积为A． B． C． D．
【解答】解：将此长方形折叠，使点 与点 重合， ．
．
，
根据勾股定理可知 ．
解得 ．
的面积为 ．故选： ．
【变式训练1】如图，矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，点 落在
点 处，则重叠部分 的面积为 1 0 ．
【解答】解：易证 ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
解之得： ，
，
．
故答案为：10
【变式训练2】如图，矩形纸片 中， ， ，现把矩形纸片 沿对角线 折叠，点 与 重合，求 的长．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ， ，
由折叠得：
， ， ，
，
，
，
设 ，则：
，
在 中，由勾股定理得：
，即：
，
解得： ，
．
【变式训练3】如图所示，折叠长方形一边 ，点 落在 边的点 处，已知
厘米， 厘米．
（1）求 与 的长．
（2）求 的长．【解答】解：（1） 折叠后的图形是 ，
， ， ．
，
．
又 ，在 中，根据勾股定理，得
，
，
．
（2）设 的长为 ，则 ．
在 中，根据勾股定理，得： ，
，
即 ，
化简，得 ，
，
故 的长为 ．
1．在 中，若斜边 ，则 等于
A．5 B．10 C．20 D．25【解答】解：在 中，斜边 ，
，
故选： ．
2．如图，在 中， ， ， ，则
A．12 B．13 C．14 D．15
【解答】解：在 中， ，
由勾股定理得： ．
故选： ．
3．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的
大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为41，则直角三角形较短的直角边
与较长的直角边 的比 的值是
A． B． C． D．
【解答】解： 小正方形的面积为1，
小正方形的边长为1，
，
大正方形的面积为41，
，
，解得 ， （不合题意，舍去），
，
，
故选： ．
4．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为 ，则斜边长为
A． B． C． D．
【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为 ， ，斜边为 ，
根据勾股定理得： ，
，
，即 ，
则 ．
故选： ．
5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是
A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1， ，3
【解答】解： 、 ，即三角形是直角三角形，故本选项正确；
、 ，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
、 ，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
、 ，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选： ．
6．满足下列条件的 ，不是直角三角形的是
A． B．
C． D．【解答】解：
则
是直角三角形；
，
设 ， ， ，
，
是直角三角形；
，
则 ，
，
是直角三角形；
，
设 、 、 分别为 、 、 ，
则 ，
解得， ，
则 、 、 分别为 ， ， ，
不是直角三角形；
故选： ．
7．下列各组数中，是勾股数的是
A．12，8，5 B．30，40，50 C．9，13，15 D． ， ，
【解答】解： 、 ， 此选项不符合题意；
、 ， 此选项符合题意；
、 ， 此选项不符合题意；、 ， 此选项不符合题意．
故选： ．
8．如图，一根长 的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端 ．如果
梯子的顶端下滑 ，那么梯子的底端将向右滑动
A． B． C． D．
【解答】解；梯子顶端距离墙角地距离为 ，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为 ，
．
故选： ．
9．如图， 在 中， ， ，正方形 的面积为 100 ，则
正方形 的面积为 64 ．
【解答】解： 因为 ，
在 中， ，
所以 ．故答案为： 64 ．
10．已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是 5 ．
【解答】解：由勾股定理得，斜边长 ，
故答案为：5．
11．如图是“赵爽弦图”， 、 、 和 是四个全等的直角三角形，
四边形 和 都是正方形．如果 ， ，则 ．
【解答】解： 、 、 和 是四个全等的直角三角形，
， ，
在 中， ，
，
四边形 是正方形，
，
故答案为： ．
12．如图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 ．
【解答】解：由图可知正方形的边长为 ，
正方形的面积为 ．故答案为： ．
13．如图所示，已知 中， 于 ， ， ， ．
（1）求 的长；
（2）求 的长；
（3）求证： 是直角三角形．
【解答】（1）解：在 中， ；
（2）解：在 中
；
（3）证明： ， ，
，
，
是直角三角形．
14．如图，在 中， ， 是线段 上一点， ，连接 ， ．
（1）求证： ．
（2）若 ，求 的周长．【解答】（1）证明：在 中， ， ， ，
，
是直角三角形，且 ，
；
（2）解： ，
是直角三角形，
， ，
，
，
在 中， ，即 ，
解得 ，
的周长是 ．
15．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为 ，较短
的直角边为 ，斜边长为 ，结合图①，试验证勾股定理．
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周
长为24， ，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ，正方形
，正方形 的面积分别为 ， ， ，若 ，则 ．【 解 答 】 解 ： （ 1 ） ， 另 一 方 面
，
即 ，
则 ．
（2） ，
设 ，依题意有
，
解得 ，
．
故该飞镖状图案的面积是24．
（3）将四边形 的面积设为 ，将其余八个全等的三角形面积一个设为 ，
正 方 形 ， 正 方 形 ， 正 方 形 的 面 积 分 别 为 ， ， ，
，
得出 ， ， ，
，
，
．
故答案为： ．
